第四章平面匯交力系

第四章

平面力系的簡(jiǎn)化與平衡方程一、本章知識(shí)點(diǎn)：1.平面任意力系簡(jiǎn)化2.平面任意力系的平衡3.物體系的平衡問(wèn)題

本章有可能考計(jì)算題，平面力系的簡(jiǎn)化與平衡方程在以后章節(jié)的學(xué)習(xí)中也要用到，因此必須掌握。1．平面任意力系定義 力系中各力的作用線都在同一平面內(nèi)，且任意地分布，這樣的力系稱為平面任意力系。4-1．平面任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化荷載（力、力偶）、反力既不全部平行，也不交于一點(diǎn)；有兩種特殊情況：平面平行力系：各力全部平行；平面匯交力系：各力全部匯交一點(diǎn)。平行力系2平面任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化

一般情況下，平面任一力系向平面內(nèi)任選的簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化，可以得到一個(gè)力和一個(gè)力偶。此力作用在簡(jiǎn)化中心上，它的矢量等于力系中各力的矢量和，稱主矢。此力偶的矩等于力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的矩的代數(shù)和，稱主矩。平面一般力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化一般力系（任意力系）向一點(diǎn)簡(jiǎn)化匯交力系+力偶系

（未知力系）

（已知力系）匯交力系力，R'(主矢)，(作用在簡(jiǎn)化中心)力偶系力偶，MO

(主矩)，(作用在該平面上)

大?。?主矢

方向：

簡(jiǎn)化中心(與簡(jiǎn)化中心位置無(wú)關(guān))[因主矢等于各力的矢量和]（移動(dòng)效應(yīng)）??--==XYRRxy11tantana

大小：主矩MO

方向：方向規(guī)定+—

簡(jiǎn)化中心：(與簡(jiǎn)化中心有關(guān)) （因主矩等于各力對(duì)簡(jiǎn)化中心取矩的代數(shù)和）（轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)）例子：固定端（插入端）約束雨搭固定端（插入端）約束說(shuō)明①認(rèn)為Fi這群力在同一平面內(nèi);②將Fi向A點(diǎn)簡(jiǎn)化得一力和一力偶;③RA方向不定可用正交分力YA,XA表示;④YA,XA,MA為固定端約束反力;⑤YA,XA限制物體平動(dòng),

MA為限制轉(zhuǎn)動(dòng)。主矢：等于力系中各力的矢量和。

主矩：O這一點(diǎn)稱為簡(jiǎn)化中心。力偶的矩等于力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的矩的代數(shù)和。平面任意力系可向平面內(nèi)任選的簡(jiǎn)化中心簡(jiǎn)化。?==￠niFiFR1簡(jiǎn)化結(jié)果（1）等效于一個(gè)力和一個(gè)力偶的共同作用，既非一個(gè)合力也非一個(gè)力偶；（2）主矢與簡(jiǎn)化中心位置無(wú)關(guān)，即對(duì)于任一點(diǎn)主矢都等于原力系各力的矢量和，確定其大小和方向；（3）主矩一般與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)3．力系簡(jiǎn)化的方法：（1）將復(fù)雜的平面力系用力向一點(diǎn)平移的方法分解為平面匯交力系和平面力偶系；（2）分別按兩種力系的合成方法簡(jiǎn)化得到主矢與主矩。4-2平面一般力系的簡(jiǎn)化結(jié)果討論簡(jiǎn)化結(jié)果：主矢

，主矩MO

，下面分別討論。

②

=0,MO≠0即簡(jiǎn)化結(jié)果為一合力偶,MO=M此時(shí)剛體等效于只有一個(gè)力偶的作用，因?yàn)榱ε伎梢栽趧傮w平面內(nèi)任意移動(dòng)，故這時(shí)，主矩與簡(jiǎn)化中心O無(wú)關(guān)。①

=0，MO

=0，則力系平衡,下節(jié)專門(mén)討論。

③

≠0,MO

=0,即簡(jiǎn)化為一個(gè)作用于簡(jiǎn)化中心的合力。這時(shí)，簡(jiǎn)化結(jié)果就是合力（這個(gè)力系的合力）,。（此時(shí)與簡(jiǎn)化中心有關(guān)，換個(gè)簡(jiǎn)化中心，主矩不為零） ④≠0,MO

≠0,為最一般的情況。此種情況還可以繼續(xù)簡(jiǎn)

化為一個(gè)合力。合力的大小等于原力系的主矢合力的作用線位置總之：最后簡(jiǎn)化結(jié)果只有三種可能：合力、合力偶、平衡4-3平面任意力系的平衡1．平面任意力系的平衡條件平面任意力系的主矢和主矩同時(shí)為零，即R’=0、M0=0，是平面任意力系的平衡的必要與充分條件。

平面一般力系平衡的充分和必要條件是：平面一般力系中各力在兩個(gè)任選的直角坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對(duì)任意一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也等于零。用數(shù)學(xué)式子表達(dá)為：∑Fx=0∑Fy=0∑mO(F)=0平面力系的平衡平面一般力系的平衡條件此外平面一般力系的平衡方程還可以表示為二矩式和三力矩式。二矩式為：∑Fx=0∑mA(F)=0∑mB(F)=0三力矩式為∑mA(F)=0∑mB(F)=0∑mC(F)=02.解析表達(dá)式――平衡方程

三個(gè)方程可求解三個(gè)未知數(shù)。二矩式

附加條件說(shuō)明：若任意力系有一合力R，在A、B連線上，雖然R＝0，但如果AB垂直X軸，則仍滿足∑X1＝0（當(dāng)然另二個(gè)方程也滿足），此三個(gè)方程不是相互獨(dú)立的。X=0，mA(F)=0，mB(F)=0要求連線AB不垂直于投影軸xAB1、mA(F)=0，說(shuō)明力系簡(jiǎn)化結(jié)果為作用線通過(guò)A點(diǎn)的一合力；2、mB(F)=0，說(shuō)明力系簡(jiǎn)化結(jié)果為作用線通過(guò)B點(diǎn)的一合力；3、兩者都等于零，說(shuō)明說(shuō)力系簡(jiǎn)化結(jié)果為作用線AB的一合力。x4、如果AB垂直于x軸，則無(wú)論合力是否等于零，其在投影都等于零，因此X=0并不表明力系平衡。

三矩式

其中A、B、C三點(diǎn)不能共線。若A、B、C三點(diǎn)共線，當(dāng)合力R作用于此線上時(shí)，滿足三個(gè)方程，但仍可能不為零。mA(F)=0，mB(F)=0，mC(F)=0

要求A、B、C三點(diǎn)不共線。1、mA(F)=0，說(shuō)明力系簡(jiǎn)化結(jié)果合力作用線通過(guò)A點(diǎn)；2、mB(F)=0，說(shuō)明力系簡(jiǎn)化結(jié)果合力作用線通過(guò)B點(diǎn)；3、mB(F)=0，說(shuō)明力系簡(jiǎn)化結(jié)果合力作用線通過(guò)B點(diǎn)；4、三者都等于零，如果ABC共線，則說(shuō)明力系簡(jiǎn)化結(jié)果合力作用線沿ABC連線。ABC教材例4-3、4-4、4－5：P48十字交叉梁用三個(gè)鏈桿支座固定，如圖所示。求在水平力F的作用下各支座的約束反力。

分析：

若使用一矩式、二矩式平衡方程，都需解聯(lián)方程式；若使用三矩式，選取三未知約束力的交點(diǎn)分別為矩心，則使一個(gè)方程只有一個(gè)未知力，求解方便（L，K，J）三點(diǎn)不共線。這樣求解還有一個(gè)好處，每個(gè)力均用已知力直接求解，可以避免前面求解的未知力的錯(cuò)誤的影響。解題步驟：

1．取分離體，作受力圖取十字交叉梁為分離體，其上受主動(dòng)力P、約束反力NA、NB和NC的作用。2．列平衡方程，求解未知力。解：

[例]求剛架的支座反力ABC3m4mP=5kNq=4kN/mABCPQXAYAMAX=0,XA－P=0Y=0,YA－Q=0ｍB=0，4XA+MA－1.5Q=0解得:XA=5kN，YA=12kN，MA=－2kN.m[例]已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m 求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：結(jié)論：1、一個(gè)受平面力系作用的物體，若平衡就必須滿足平衡方程。2、一個(gè)受平面平移力系作用的物體，獨(dú)立的平衡方程只有三個(gè)，只能解三個(gè)未知數(shù)。歸納物體平衡問(wèn)題的解題步驟如下：

（1）選取研究對(duì)象。

（2）畫(huà)出受力圖。

（3）依照受力圖的特點(diǎn)選取坐標(biāo)系，注意投影為零和力矩為零的應(yīng)用，列方程求解。

（4）校核計(jì)算結(jié)果。(1)平面匯交力系如果平面匯交力系中的各力作用線都匯交于一點(diǎn)O，則式中∑MO(F)=0，即平面匯交力系的平衡條件為力系的合力為零，其平衡方程為：

∑Fx=0∑Fy=0

平面匯交力系有兩個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解兩個(gè)未知數(shù)。3平面力系平衡的特例(2)平面平行力系

力系中各力在同一平面內(nèi)，且彼此平行的力系稱為平面平行力系。設(shè)有作用在物體上的一個(gè)平面平行力系，取x軸與各力垂直，則各力在x軸上的投影恒等于零，即∑Fx≡0。因此，根據(jù)平面一般力系的平衡方程可以得出平面平行力系的平衡方程：

∑Fy=0∑MO(F）=0

同理，利用平面一般力系平衡的二矩式，可以得出平面平行力系平衡方程的又一種形式：

∑MA(F)=0∑MB（F）=0

注意，式中A、B連線不能與力平行。平面平行力系有兩個(gè)獨(dú)立的方程，所以也只能求解兩個(gè)未知數(shù)。（3）平面力偶系在物體的某一平面內(nèi)同時(shí)作用有兩個(gè)或者兩個(gè)以上的力偶時(shí)，這群力偶就稱為平面力偶系。由于力偶在坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，因此平面力偶系的平衡條件為：平面力偶系中各個(gè)力偶的代數(shù)和等于零，即：

∑M=0

設(shè)有F1,F2…Fn

各平行力系，向O點(diǎn)簡(jiǎn)化得：

合力作用線的位置為： 平衡的充要條件為主矢=0 主矩MO

=04-3

平面平行力系的平衡方程平面平行力系:各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行的力系。R￠4-3所以平面平行力系的平衡方程為：二矩式條件：AB連線不能平行于力的作用線一矩式實(shí)質(zhì)上是各力在x軸上的投影恒等于零，即 恒成立，所以只有兩個(gè)獨(dú)立方程，只能求解兩個(gè)獨(dú)立的未知數(shù)。4-4物體系統(tǒng)的平衡一、定義1、由構(gòu)件組成的物體系統(tǒng)2、物體系統(tǒng)的平衡——各構(gòu)件的平衡———3n方程式3、研究對(duì)象是關(guān)鍵：

（1）先取整體研究對(duì)象，再取其中部分研究對(duì)象

（2）先取部分構(gòu)件研究對(duì)象，再取整體研究對(duì)象。三、計(jì)算步驟歸納物體平衡問(wèn)題的解題步驟如下：（1）選取研究對(duì)象。（2）畫(huà)出受力圖。（3）依照受力圖的特點(diǎn)選取坐標(biāo)系，注意投影為零和力矩為零的應(yīng)用，列方程求解。（4）校核計(jì)算結(jié)果。四、算例：一、力線平移定理是力系簡(jiǎn)化的理論基礎(chǔ)

力

力+力偶

③平衡合力矩定理①合力（主矢）②合力偶（主矩）二、平面一