第四章平面匯交力系

第四章

平面力系的簡化與平衡方程一、本章知識點：1.平面任意力系簡化2.平面任意力系的平衡3.物體系的平衡問題

本章有可能考計算題，平面力系的簡化與平衡方程在以后章節(jié)的學(xué)習(xí)中也要用到，因此必須掌握。1．平面任意力系定義 力系中各力的作用線都在同一平面內(nèi)，且任意地分布，這樣的力系稱為平面任意力系。4-1．平面任意力系向一點的簡化荷載（力、力偶）、反力既不全部平行，也不交于一點；有兩種特殊情況：平面平行力系：各力全部平行；平面匯交力系：各力全部匯交一點。平行力系2平面任意力系向一點的簡化

一般情況下，平面任一力系向平面內(nèi)任選的簡化中心簡化，可以得到一個力和一個力偶。此力作用在簡化中心上，它的矢量等于力系中各力的矢量和，稱主矢。此力偶的矩等于力系中各力對簡化中心的矩的代數(shù)和，稱主矩。平面一般力系向一點簡化一般力系（任意力系）向一點簡化匯交力系+力偶系

（未知力系）

（已知力系）匯交力系力，R'(主矢)，(作用在簡化中心)力偶系力偶，MO

(主矩)，(作用在該平面上)

大?。?主矢

方向：

簡化中心(與簡化中心位置無關(guān))[因主矢等于各力的矢量和]（移動效應(yīng)）??--==XYRRxy11tantana

大小：主矩MO

方向：方向規(guī)定+—

簡化中心：(與簡化中心有關(guān)) （因主矩等于各力對簡化中心取矩的代數(shù)和）（轉(zhuǎn)動效應(yīng)）例子：固定端（插入端）約束雨搭固定端（插入端）約束說明①認為Fi這群力在同一平面內(nèi);②將Fi向A點簡化得一力和一力偶;③RA方向不定可用正交分力YA,XA表示;④YA,XA,MA為固定端約束反力;⑤YA,XA限制物體平動,

MA為限制轉(zhuǎn)動。主矢：等于力系中各力的矢量和。

主矩：O這一點稱為簡化中心。力偶的矩等于力系中各力對簡化中心的矩的代數(shù)和。平面任意力系可向平面內(nèi)任選的簡化中心簡化。?==￠niFiFR1簡化結(jié)果（1）等效于一個力和一個力偶的共同作用，既非一個合力也非一個力偶；（2）主矢與簡化中心位置無關(guān)，即對于任一點主矢都等于原力系各力的矢量和，確定其大小和方向；（3）主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)3．力系簡化的方法：（1）將復(fù)雜的平面力系用力向一點平移的方法分解為平面匯交力系和平面力偶系；（2）分別按兩種力系的合成方法簡化得到主矢與主矩。4-2平面一般力系的簡化結(jié)果討論簡化結(jié)果：主矢

，主矩MO

，下面分別討論。

②

=0,MO≠0即簡化結(jié)果為一合力偶,MO=M此時剛體等效于只有一個力偶的作用，因為力偶可以在剛體平面內(nèi)任意移動，故這時，主矩與簡化中心O無關(guān)。①

=0，MO

=0，則力系平衡,下節(jié)專門討論。

③

≠0,MO

=0,即簡化為一個作用于簡化中心的合力。這時，簡化結(jié)果就是合力（這個力系的合力）,。（此時與簡化中心有關(guān)，換個簡化中心，主矩不為零） ④≠0,MO

≠0,為最一般的情況。此種情況還可以繼續(xù)簡

化為一個合力。合力的大小等于原力系的主矢合力的作用線位置總之：最后簡化結(jié)果只有三種可能：合力、合力偶、平衡4-3平面任意力系的平衡1．平面任意力系的平衡條件平面任意力系的主矢和主矩同時為零，即R’=0、M0=0，是平面任意力系的平衡的必要與充分條件。

平面一般力系平衡的充分和必要條件是：平面一般力系中各力在兩個任選的直角坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對任意一點之矩的代數(shù)和也等于零。用數(shù)學(xué)式子表達為：∑Fx=0∑Fy=0∑mO(F)=0平面力系的平衡平面一般力系的平衡條件此外平面一般力系的平衡方程還可以表示為二矩式和三力矩式。二矩式為：∑Fx=0∑mA(F)=0∑mB(F)=0三力矩式為∑mA(F)=0∑mB(F)=0∑mC(F)=02.解析表達式――平衡方程

三個方程可求解三個未知數(shù)。二矩式

附加條件說明：若任意力系有一合力R，在A、B連線上，雖然R＝0，但如果AB垂直X軸，則仍滿足∑X1＝0（當(dāng)然另二個方程也滿足），此三個方程不是相互獨立的。X=0，mA(F)=0，mB(F)=0要求連線AB不垂直于投影軸xAB1、mA(F)=0，說明力系簡化結(jié)果為作用線通過A點的一合力；2、mB(F)=0，說明力系簡化結(jié)果為作用線通過B點的一合力；3、兩者都等于零，說明說力系簡化結(jié)果為作用線AB的一合力。x4、如果AB垂直于x軸，則無論合力是否等于零，其在投影都等于零，因此X=0并不表明力系平衡。

三矩式

其中A、B、C三點不能共線。若A、B、C三點共線，當(dāng)合力R作用于此線上時，滿足三個方程，但仍可能不為零。mA(F)=0，mB(F)=0，mC(F)=0

要求A、B、C三點不共線。1、mA(F)=0，說明力系簡化結(jié)果合力作用線通過A點；2、mB(F)=0，說明力系簡化結(jié)果合力作用線通過B點；3、mB(F)=0，說明力系簡化結(jié)果合力作用線通過B點；4、三者都等于零，如果ABC共線，則說明力系簡化結(jié)果合力作用線沿ABC連線。ABC教材例4-3、4-4、4－5：P48十字交叉梁用三個鏈桿支座固定，如圖所示。求在水平力F的作用下各支座的約束反力。

分析：

若使用一矩式、二矩式平衡方程，都需解聯(lián)方程式；若使用三矩式，選取三未知約束力的交點分別為矩心，則使一個方程只有一個未知力，求解方便（L，K，J）三點不共線。這樣求解還有一個好處，每個力均用已知力直接求解，可以避免前面求解的未知力的錯誤的影響。解題步驟：

1．取分離體，作受力圖取十字交叉梁為分離體，其上受主動力P、約束反力NA、NB和NC的作用。2．列平衡方程，求解未知力。解：

[例]求剛架的支座反力ABC3m4mP=5kNq=4kN/mABCPQXAYAMAX=0,XA－P=0Y=0,YA－Q=0ｍB=0，4XA+MA－1.5Q=0解得:XA=5kN，YA=12kN，MA=－2kN.m[例]已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m 求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：結(jié)論：1、一個受平面力系作用的物體，若平衡就必須滿足平衡方程。2、一個受平面平移力系作用的物體，獨立的平衡方程只有三個，只能解三個未知數(shù)。歸納物體平衡問題的解題步驟如下：

（1）選取研究對象。

（2）畫出受力圖。

（3）依照受力圖的特點選取坐標(biāo)系，注意投影為零和力矩為零的應(yīng)用，列方程求解。

（4）校核計算結(jié)果。(1)平面匯交力系如果平面匯交力系中的各力作用線都匯交于一點O，則式中∑MO(F)=0，即平面匯交力系的平衡條件為力系的合力為零，其平衡方程為：

∑Fx=0∑Fy=0

平面匯交力系有兩個獨立的方程，可以求解兩個未知數(shù)。3平面力系平衡的特例(2)平面平行力系

力系中各力在同一平面內(nèi)，且彼此平行的力系稱為平面平行力系。設(shè)有作用在物體上的一個平面平行力系，取x軸與各力垂直，則各力在x軸上的投影恒等于零，即∑Fx≡0。因此，根據(jù)平面一般力系的平衡方程可以得出平面平行力系的平衡方程：

∑Fy=0∑MO(F）=0

同理，利用平面一般力系平衡的二矩式，可以得出平面平行力系平衡方程的又一種形式：

∑MA(F)=0∑MB（F）=0

注意，式中A、B連線不能與力平行。平面平行力系有兩個獨立的方程，所以也只能求解兩個未知數(shù)。（3）平面力偶系在物體的某一平面內(nèi)同時作用有兩個或者兩個以上的力偶時，這群力偶就稱為平面力偶系。由于力偶在坐標(biāo)軸上的投影恒等于零，因此平面力偶系的平衡條件為：平面力偶系中各個力偶的代數(shù)和等于零，即：

∑M=0

設(shè)有F1,F2…Fn

各平行力系，向O點簡化得：

合力作用線的位置為： 平衡的充要條件為主矢=0 主矩MO

=04-3

平面平行力系的平衡方程平面平行力系:各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行的力系。R￠4-3所以平面平行力系的平衡方程為：二矩式條件：AB連線不能平行于力的作用線一矩式實質(zhì)上是各力在x軸上的投影恒等于零，即 恒成立，所以只有兩個獨立方程，只能求解兩個獨立的未知數(shù)。4-4物體系統(tǒng)的平衡一、定義1、由構(gòu)件組成的物體系統(tǒng)2、物體系統(tǒng)的平衡——各構(gòu)件的平衡———3n方程式3、研究對象是關(guān)鍵：

（1）先取整體研究對象，再取其中部分研究對象

（2）先取部分構(gòu)件研究對象，再取整體研究對象。三、計算步驟歸納物體平衡問題的解題步驟如下：（1）選取研究對象。（2）畫出受力圖。（3）依照受力圖的特點選取坐標(biāo)系，注意投影為零和力矩為零的應(yīng)用，列方程求解。（4）校核計算結(jié)果。四、算例：一、力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)

力

力+力偶

③平衡合力矩定理①合力（主矢）②合力偶（主矩）二、平面一