概率論與數(shù)理統(tǒng)計2-2離散性隨機變量及其分布律

第二節(jié)離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量分布律的定義離散型隨機變量表示方法三種常見分布小結(jié)

從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每個值的概率為:看一個例子一、離散型隨機變量分布律的定義定義1：某些隨機變量X的所有可能取值是有限多個或可列無限多個,這種隨機變量稱為離散型隨機變量.其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）

定義2：設xk(k=1,2,…)是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機變量X的分布律.用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是分布律解:依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X=k)≥0,

a≥0,從中解得即例2設隨機變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.二、離散型隨機變量表示方法（1）公式法（2）列表法X例3某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解：X可取值為0,1,2;

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示為：這就是X的分布律.例4某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.解:顯然，X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,為計算

P{X=k}，

k=1,2,…，Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設于是可見這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.三、三種常見分布1、（0-1）分布：（也稱兩點分布）隨機變量X只可能取0與1兩個值，其分布律為：看一個試驗將一枚均勻骰子拋擲3次.X的分布律是：2.伯努利試驗和二項分布令X表示3次中出現(xiàn)“4”點的次數(shù)

擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”

抽驗產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”

一般地，設在一次試驗E中我們只考慮兩個互逆的結(jié)果：A

或.這樣的試驗E稱為伯努利試驗

.“重復”是指這n次試驗中P(A)=p保持不變.

將伯努利試驗E獨立地重復地進行n次,則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗

.“獨立”是指各次試驗的結(jié)果互不影響.

用X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則易證：（1）稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項分布，記作X~B(n,p)（2）例5

已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.

解:因為這是有放回地取3次，因此這3次試驗的條件完全相同且獨立，它是貝努里試驗.依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.設X為所取的3個中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X~B(3,0.05)，若將本例中的“有放回”改為”無放回”,那么各次試驗條件就不同了,此試驗就不是伯努利試驗.此時,只能用古典概型求解.請注意：

伯努利試驗對試驗結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗條件相同；二項分布描述的是n重伯努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的分布律.（2）每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果A或，（3）各次試驗相互獨立.可以簡單地說，

且P(A)=p

，；3.泊松分布

設隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~π().,則對固定的

k設Possion定理Poisson定理說明若X~B(n,p),則當n

較大，p

較小,而適中,則可以用近似公式泊松分布與二項分布的關(guān)系例6

一家商店采用科學管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應進某種商品多少件？解:設該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)λ=5的泊松分布.設商店在月底應進某種商品m件,求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.進貨數(shù)銷售數(shù)求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.查泊松分布表得也即m=9件或例7

某廠產(chǎn)品不合格率為0.03,現(xiàn)將產(chǎn)品裝箱,若要以不小于90%的概率保證每箱中至少有100個合格品,則每箱至少應裝解

設每箱至少應裝100+n個,每箱的不合格品個數(shù)為X,則X~B(100+n,0.03)由題意3(100+n)0.03=3+0.03n取=3多少個產(chǎn)品？查Poisson分布表,=3得n=5故每箱至少應裝105個產(chǎn)品,才能符合要求.應用Poisson定理在實際計算中,當n

20,p0.05時,可用上述公式近似計算;而當n

100,np10時,精度更好00.3490.3580.3690.3660.36810.3050.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015

按二項分布

按Possion

公式

kn=10

p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=