第6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

第6章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)6.1數(shù)字濾波器的基本概念6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器

6.1數(shù)字濾波器的基本概念

1.數(shù)字濾波器的分類（1）經(jīng)典濾波器——

一般濾波器特點(diǎn)：輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占不同的頻帶舉例：ButterworthFilter、ChebyshevFilter、EllipseFilter、BesselFilter（2）現(xiàn)代濾波器特點(diǎn)：頻帶重疊舉例：維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器(6.1.1)(6.1.2)②從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：經(jīng)典濾波器分類：①從功能上分：低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)以2π為周期，低通頻帶位于

2π的整數(shù)倍附近；高通頻帶位于π的奇數(shù)倍附近。如圖6.1.1所示。圖6.1.1理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性2數(shù)字濾波器的技術(shù)要求通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(ejω)用下式表示：圖6.1.2低通濾波器的技術(shù)要求ωp－通帶截止頻率ωs－阻帶截止頻率阻帶：頻帶

[ωs,π]，幅值[0,δ2]通帶：頻帶

[0,ωp]，幅值[1-δ1,1]過渡帶：

[ωp,ωs,]3dB通帶截止頻率當(dāng)幅度下降到時(shí)，

通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用αs表示，αp和αs分別定義為：(6.1.3)(6.1.4)如將|H(ej0)|歸一化為1，(6.1.3)和(6.1.4)式則表示成：(6.1.5)(6.1.6)3.數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述（1）IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法：借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行；

Ha(s)→H(z)

直接在頻域或時(shí)域中設(shè)計(jì)（2）FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法：窗函數(shù)法頻率采樣法

6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)

幾種典型濾波器的比較：巴特沃斯(Butterworth)濾波器：具有單調(diào)下降的幅頻特性切比雪夫(Chebyshev)濾波器：幅度特性在通帶或阻帶內(nèi)有波動(dòng)——提高選擇性橢圓(Ellipse)濾波器：選擇性最好貝塞爾(Bessel)濾波器：通帶內(nèi)有較好的線性相位特性

圖6.2.1各種理想濾波器的幅頻特性1.模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法

設(shè)計(jì)指標(biāo)：αp,Ωp,αs和ΩsΩp/Ωs——

通帶截止頻率/阻帶截止頻率

αp/αs——

通帶最大衰減系數(shù)/阻帶最小衰減系數(shù)對于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：(6.2.1)(6.2.2)

如果Ω=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示為以上技術(shù)指標(biāo)用圖6.2.2表示。圖中Ωc稱為3dB截止頻率，因(6.2.3)(6.2.4)圖6.2.2低通濾波器的幅度特性

濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)αp和αs.

一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此(6.2.5)2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2用下式表示：(6.2.6)

圖6.2.3巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系濾波器階數(shù)

將幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2寫成s的函數(shù)：(6.2.7)

此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式表示：(6.2.8)特點(diǎn)：（1）極點(diǎn)在s平面上象限對稱；（2）極點(diǎn)決不會(huì)落在虛軸上，因而濾波器才有可能穩(wěn)定；（3）N為奇，實(shí)軸上有極點(diǎn)；N為偶，實(shí)軸上無極點(diǎn)式中，，2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為Ωc的圓（巴特沃斯圓）上，間隔為rad設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為圖6.2.4三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布

為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為仍已N=3為例，取s平面左半平面的極點(diǎn)s0,s1,s2組成Ha(s)

由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率Ωc歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。令λ=Ω/Ωc，λ稱為歸一化頻率；令p=jλ，p稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為(6.2.10)(6.2.11)

式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：將極點(diǎn)表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p的N階多項(xiàng)式，用下式表示：(6.2.12)(6.2.13)

式中，系數(shù)bk，k=0,1,2,…,N-1，以及極點(diǎn)可由表6.2.1查得。另外，表中還給出了Ha(p)的分母因式分解形式中的各系數(shù)。

只要確定階數(shù)N，查表即得Ha(p)及各極點(diǎn)。表6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)

由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：

將Ω=Ωs代入(6.2.6)式中，再將|Ha(jΩs)|2代入(6.2.4)式中，得到：(6.2.14)(6.2.15)

階數(shù)N的大小主要影響幅度特性的下降速度，它由技術(shù)指標(biāo)αp,Ωp,αs和Ωs確定。

將Ω=Ωp代入式（6.2.6），再將|Ha(jΩp)|2代入（6.2.3）中得

用上式求出的N取最小整數(shù)作為所求濾波器階數(shù)。如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出3dB截止頻率Ωc

，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到：由(6.2.15)式得到：(6.2.17)(6.2.18)令,則N由下式表示：(6.2.16)

低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)Ωp,αp,Ωs和αs，用(6.2.16)式求出濾波器的階數(shù)N。

(2)按照(6.2.12)式，求出歸一化極點(diǎn)pk，將pk代入(6.2.11)式，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。

(3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/Ωc代入Ha(p)，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。

例6.2.1已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減αp=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=30dB，按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解:(1)確定階數(shù)N。(2)按照(6.2.12)式，其極點(diǎn)為按照(6.2.11)式，歸一化傳輸函數(shù)為

上式分母可以展開成為五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解形式。這里不如直接查表6.2.1簡單，由N=5，直接查表得到：極點(diǎn)：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000

式中

b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3)為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率Ωc。按照(6.2.17)式，得到：將Ωc代入(6.2.18)式，得到：將p=s/Ωc代入Ha(p)中得到：3.切比雪夫（Chebyshev）濾波器的設(shè)計(jì)方法Butterworth濾波器的缺點(diǎn)：頻率特性曲線是頻率的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)通帶邊界處滿足指標(biāo)要求時(shí)，通帶內(nèi)有余量。更有效的設(shè)計(jì)方法：選擇具有等波紋性的逼近函數(shù)，使精確度均勻分布在整個(gè)通帶或阻帶內(nèi)

——ChebyshevFilterChebyshevⅠ型濾波器：振幅特性在通帶內(nèi)等波紋，在阻帶內(nèi)單調(diào)ChebyshevⅡ型濾波器：振幅特性在通帶內(nèi)單調(diào)，在阻帶內(nèi)等波紋

這里僅介紹切比雪夫Ⅰ型濾波器的設(shè)計(jì)方法。圖6.2.5分別畫出階數(shù)N為奇數(shù)與偶數(shù)時(shí)的切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性。其幅度平方函數(shù)用A2(Ω)表示：(6.2.19)

式中，ε為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度，ε愈大，波動(dòng)幅度也愈大。Ωp稱為通帶截止頻率。圖6.2.5切比雪夫Ⅰ型濾波器幅頻特性

令λ=Ω/Ωp，稱為對Ωp的歸一化頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為當(dāng)N=0時(shí)，C0(x)=1；當(dāng)N=1時(shí)，C1(x)=x；當(dāng)N=2時(shí)，C2(x)=2x2-1；當(dāng)N=3時(shí)，C3(x)=4x3-3x。由此可歸納出高階切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式為

CN+1(x)=2xCN(x)－CN-1(x)(6.2.20)

圖6.2.6示出了階數(shù)N=0,4,5時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式特性。由圖可見：

(1)切比雪夫多項(xiàng)式的過零點(diǎn)在|x|≤1的范圍內(nèi)；

(2)當(dāng)|x|<1時(shí)，|CN(x)|≤1,在|x|<1范圍內(nèi)具有等波紋性；

(3)當(dāng)|x|>1時(shí)，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。圖6.2.6N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線

按照(6.2.19)式，平方幅度函數(shù)與三個(gè)參數(shù)即ε,Ωp和N有關(guān)。其中ε與通帶內(nèi)允許的波動(dòng)大小有關(guān)。定義允許的通帶波紋δ用下式表示：(6.2.21)因此(6.2.22)

圖6.2.7切比雪夫Ⅰ型與巴特沃斯低通的A2(Ω)曲線

設(shè)阻帶的起始點(diǎn)頻率(阻帶截止頻率)用Ωs表示，在Ωs處的A2(Ωs)用(6.2.19)式確定：

(6.2.23)令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有(6.2.24)(6.2.25)可以解出3dB截止頻率用Ωc表示，按照(6.2.19)式，有通常取λc>1，因此上式中僅取正號(hào)，得到3dB截止頻率計(jì)算公式：(6.2.26)

以上Ωp,ε和N確定后，可以求出濾波器的極點(diǎn)，并確定Ha(p)，p=s/Ωp。

設(shè)Ha(s)的極點(diǎn)為si=σi+jΩi，可以證明：(6.2.27)式中(6.2.28)(6.2.28)式是一個(gè)橢圓方程，長半軸為Ωpchξ(在虛軸上)，短半軸為Ωpshξ(在實(shí)軸上)。令bΩp和aΩp分別表示長半軸和短半軸，可推導(dǎo)出：(6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)則b圖6.2.8三階切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布

設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點(diǎn)分布如圖6.2.8所示(極點(diǎn)用X表示)。為穩(wěn)定，用左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成Ha(p)，即(6.2.32)式中c是待定系數(shù)。根據(jù)幅度平方函數(shù)(6.2.19)式可導(dǎo)出：c=ε·2N-1，代入(6.2.32)式，得到歸一化的傳輸函數(shù)為(6.2.33a)切比雪夫Ⅰ型濾波器設(shè)計(jì)步驟：

1)確定技術(shù)要求αp,Ωp,αs和Ωs

去歸一化后的傳輸函數(shù)為(6.2.33b)(6.2.34)(6.2.35)按照(6.2.22)式求ε：這里αp就是前面定義的通帶波紋δ，見(6.2.21)式歸一化頻率2)求濾波器階數(shù)N和參數(shù)ε令則取大于等于N的最小整數(shù)3)求歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)

先按照(6.2.27)式求出歸一化極點(diǎn)pk,k=1,2,…,N。

將極點(diǎn)pk代入(6.2.33)式，得到：4)將Ha(p)去歸一化，得到實(shí)際的Ha(s)，即(6.2.38)(6.2.39)

例6.2.2設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減αp=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減αs=60dB。解:(1)濾波器的技術(shù)要求：(2)求階數(shù)N和ε：(3)求Ha(p):由(6.2.38)式求出N=5時(shí)的極點(diǎn)pi，代入上式，得到：(4)將Ha(p)去歸一化，得到：4.模擬濾波器的頻率變換——模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)給定HPF、BPF或BSF的技術(shù)指標(biāo)LPF技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)LPF的G(p)HPF、BPF或BSF的H(s)頻率轉(zhuǎn)換頻率轉(zhuǎn)換為了防止符號(hào)混淆，先規(guī)定一些符號(hào)如下：

1)低通到高通的頻率變換①低通傳輸函數(shù)G(s)，s=jΩ，歸一化頻率λ；p=jλ，p為歸一化拉氏復(fù)變量②所需類型濾波器的傳輸函數(shù)H(s)，s=jΩ，歸一化頻率η；歸一化拉氏復(fù)變量q，q=jη；歸一化傳輸函數(shù)H(q)觀察圖6.2.9，對比LPF的幅度特性和HPF的幅度特性可知圖6.2.9低通與高通濾波器的幅度特性(6.2.41)(6.2.40)

上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(jλ)，高通H(jη)則用下式轉(zhuǎn)換：λ和η之間的關(guān)系為

模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：

(1)確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶下限頻率Ω’p，阻帶上限頻率Ω’s，通帶最大衰減α’p，阻帶最小衰減α’s。

(2)確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：按照(6.2.40)式，將高通濾波器的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率，各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)為：①低通濾波器通帶截止頻率Ωp=1/Ω’p；②低通濾波器阻帶截止頻率Ωs=1/Ω’s；③通帶最大衰減αp=α’p

，阻帶最小衰減αs=α’s(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p)。

(4)求模擬高通的H(s)。將G(p)按照(6.2.40)式，轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/Ωc代入H(q)中，得例6.2.3設(shè)計(jì)高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減αs=15dB。(6.2.42)不用去歸一化

解①高通技術(shù)要求：

fp=200Hz,αp=3dB;fs=100Hz,αs=15dB

歸一化頻率②低通技術(shù)要求：③設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故④求模擬高通H(s)：

2)低通到帶通的頻率變換低通與帶通濾波器的幅度特性如圖6.2.10所示。—BPF的通帶上限頻率和通帶下限頻率B—通帶帶寬，一般作為歸一化參考頻率—下阻帶上限頻率和和上阻帶下限頻率—通帶中心頻率,圖6.2.10帶通與低通濾波器的幅度特性

表6.2.2η與λ的對應(yīng)關(guān)系各歸一化邊界頻率為η與λ的對應(yīng)關(guān)系見表6.2.2

由η與λ的對應(yīng)關(guān)系，得到：由表6.2.2知λp對應(yīng)ηu，代入上式中，有(6.2.43)式稱為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。下面推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式。由于(6.2.43)

將(6.2.43)式代入上式，得到：將q=jη代入上式，得到：為去歸一化，將q=s/B代入上式，得到：(6.2.44)(6.2.45)模擬帶通的設(shè)計(jì)步驟:(1)確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：通帶上限頻率Ωu，通帶下限頻率Ωl

下阻帶上限頻率Ωs1,上阻帶下限頻率Ωs2

通帶中心頻率Ω20=ΩlΩu，通帶寬度B=Ωu-Ωl

與以上邊界頻率對應(yīng)的歸一化邊界頻率如下：(2)確定歸一化低通技術(shù)要求：注意：λs與-λs的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的λs，這樣保證在較大的λs處更能滿足要求。通帶最大衰減仍為αp，阻帶最小衰減亦為αs。

(3)設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。

(4)由(6.2.45)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。

例6.2.4設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2π×200rad/s，中心頻率Ω0=2π×1000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減αp=3dB，阻帶Ωs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s，阻帶最小衰減αs=15dB。解

(1)模擬帶通的技術(shù)要求：

Ω0=2π×1000rad/s,αp=3dBΩs1=2π×830rad/s,Ωs2=2π×1200rad/s,αs=15dBB=2π×200rad/s;η0=5,ηs1=4.15,ηs2=6(2)模擬歸一化低通技術(shù)要求：

取λs=1.833,αp=3dB,αs=15dB。

(3)設(shè)計(jì)模擬歸一化低通濾波器G(p)：采用巴特沃斯型，有

取N=3，查表6.2.1，得(4)求模擬帶通H(s)：3)低通到帶阻的頻率變換低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖6.2.11所示。Ωl和Ωu分別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率；Ωs1和Ωs2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率；Ω0為阻帶中心頻率，Ω20=ΩuΩl；B為阻帶帶寬，B=Ωu-Ωl，B作為歸一化參考頻率。相應(yīng)的歸一化邊界頻率為

ηu=Ωu/B,ηl=Ωl/B,ηs1=Ωs1/B,ηs2=Ωs2/B;η20=ηuηl

表6.2.3η與λ的對應(yīng)關(guān)系圖6.2.11低通與帶阻濾波器的幅頻特性

根據(jù)η與λ的對應(yīng)關(guān)系，可得到：且ηu-ηl=1，λp=1，(6.2.46)式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。將(6.2.46)式代入p=jλ，并去歸一化，可得上式就是直接由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式。(6.2.46)(6.2.47)(6.2.48)下面總結(jié)設(shè)計(jì)帶阻濾波器的步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求，即：下通帶截止頻率Ωl,上通帶截止頻率Ωu阻帶下限頻率Ωs1，阻帶上限頻率Ωs2阻帶中心頻率Ω02=ΩuΩl，阻帶寬度B=Ωu-Ωl它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為

ηl=Ωl/B,ηu=Ωu/B,ηs1=Ωs1/B;ηs2=Ωs2/B,η20=ηuηl以及通帶最大衰減αp和阻帶最小衰減αs。(2)確定歸一化模擬低通技術(shù)要求，即：取λs和λs的絕對值較小的λs；通帶最大衰減為αp，阻帶最小衰減為αs。

(3)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通G(p)。

(4)按照(6.2.48)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。

例6.2.5設(shè)計(jì)模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為：

Ωl=2π×905rad/s,Ωs1=2π×980rad/s,Ωs2=2π×1020rad/s,Ωu=2π×1105rad/s,αp=3dB,αs=25dB。試設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器。解

(1)模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求：

Ωl=2π×905,Ωu=2π×1105;Ωs1=2π×980,Ωs2=2π×1020;Ω02=ΩlΩu=4π2×1000025,B=Ωu-Ωl=2π×200;

ηl=Ωl/B=4.525,ηu=Ωu/B=5.525;ηs1=Ωs1/B=4.9,ηs2=5.1;η20=ηlηu=25(2)歸一化低通的技術(shù)要求：(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p):(4)帶阻濾波器的H(s)為6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR

數(shù)字低通濾波器數(shù)字濾波器DF的技術(shù)要求AF的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)ALPF的H(s)數(shù)字低通濾波器DLPF的H(z)轉(zhuǎn)換關(guān)系

為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：

(1)保持因果穩(wěn)定性。要求轉(zhuǎn)換關(guān)系應(yīng)是s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)部；

(2)數(shù)字濾波器的頻響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。轉(zhuǎn)換關(guān)系：脈沖響應(yīng)不變法、雙線性變換法

設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)

設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：(6.3.1)

式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：(6.3.2)

式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：(6.3.3)對上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)(6.3.4)設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)用ha(t)表示，下面分析從AF轉(zhuǎn)換到DF，s平面與z平面的映射關(guān)系

對進(jìn)行拉氏變換，得到:

式中ha(nT)是ha(t)在采樣點(diǎn)t=nT時(shí)的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(6.3.5)

上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示：我們知道模擬信號(hào)ha(t)的傅里葉變換Ha(jΩ)和其采樣信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系滿足(1.5.5)式，重寫如下：(6.3.6)將s=jΩ代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到:(6.3.7)(6.3.8)(6.3.9)

上式表明：將模擬信號(hào)ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè)按照(6.3.6)式，得到:因此得到:(6.3.10)那么

為任意整數(shù)另外，注意到z=esT是一個(gè)周期函數(shù)，可寫成σ=0,r=1s平面的虛軸映射z平面的單位圓σ<0,r<1s平面的左半平面映射z平面的單位圓內(nèi)σ>0,r>1s平面的右半平面映射z平面的單位圓外∴Ha(s)因果穩(wěn)定→H(z)因果穩(wěn)定

當(dāng)σ不變，模擬頻率Ω

變化2π/T的整數(shù)倍時(shí)，映射值不變，也即：當(dāng)模擬頻率Ω從-π/T變化到π/T時(shí)，數(shù)字頻率ω從-π變化到π，且有所在s平面與H(z)所在z平面的映射關(guān)系如圖6.3.1所示。若原模擬信號(hào)ha(t)的頻帶不限于之間，則會(huì)在附近產(chǎn)生頻率混疊，映射到z平面上，在π附近產(chǎn)生頻率混疊，如圖6.3.2所示——帶限濾波器適合，非帶限（如高通、帶阻）不適合圖6.3.1z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系圖6.3.2脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象

假設(shè)沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足按照(6.3.9)式，并將關(guān)系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：為避免當(dāng)T很小時(shí)H(ejω)增益太高，令則

一般Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對的形式出現(xiàn)，在(6.3.1)式中將一對復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為(6.3.11)

可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)(只有實(shí)數(shù)乘法)的形式為(6.3.12)

如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為(6.3.13)(6.3.14)一階基本節(jié)的形式：模擬數(shù)字脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：（1）頻率坐標(biāo)變換是線性的，即ω=ΩT；（2）DF的單位脈沖響應(yīng)完全模仿AF的單位沖激響應(yīng)，時(shí)域逼近性好缺點(diǎn)：產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，只適合低通、帶通濾波器的設(shè)計(jì)

例6.3.1已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解：首先將Ha(s)寫成部分分式：極點(diǎn)為那么H(z)的極點(diǎn)為按照(6.3.4)式，并經(jīng)過整理，得到

選取T=1s和T=0.1s兩種情況。設(shè)T=1s時(shí)用H1(z)表示，T=0.1s時(shí)用H2(z)表示，則再按照(6.3.14)式，H(z)為

轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先將Ha(s)寫成(6.3.13)式的形式，如極點(diǎn)s1,2=σ1±jΩ1,則圖6.3.3例6.3.1的幅度特性

6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字

低通濾波器

(6.4.1)脈沖響應(yīng)不變法產(chǎn)生頻率混疊的原因：模擬低通的最高截止頻率超過折疊頻率π/T

克服方法：采用非線性頻率壓縮方法，將整個(gè)頻率軸上的頻率范圍壓縮到之間

設(shè)Ha(s),s=jΩ,經(jīng)過非線性頻率壓縮后得

Ha’(s1),s1=jΩ1,用正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮：

再通過轉(zhuǎn)換到z平面上，得到：(6.4.3)(6.4.4)(6.4.2)則雙線性變換圖6.4.1雙線性變換法的映射關(guān)系下面分析模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間的關(guān)系：

令s=jΩ,z=ejω，并代入(6.4.3)式中，有(6.4.5)兩次映射：

從s平面映射到s1平面，具有非線性頻率壓縮功能，消除頻率混疊現(xiàn)象；從s1平面映射到z平面，其之間的水平帶的左半部分映射到z平面的單位圓內(nèi)，虛軸映射到單位圓圖6.4.2雙線性變換法的頻率變換關(guān)系ω與Ω之間呈非線性關(guān)系優(yōu)點(diǎn)：消除頻率混疊缺點(diǎn)：影響DF對AF頻響模仿的逼真性非線性的實(shí)質(zhì)：（1）如果Ω的刻度是均勻的，映射到z平面ω的刻度不均勻，而是隨Ω的增加越來越密；（2）若AF的頻響具有片斷常數(shù)特性，則DF的頻響也具有片斷常數(shù)特性，即適合設(shè)計(jì)具有片斷常數(shù)特性的濾波器

——一般的濾波器都適合

設(shè)系數(shù)Ak、Bk、ak、bk之間的關(guān)系見表6.4.1。

表6.4.1系數(shù)關(guān)系表

例6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解：首先按照圖6.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為

利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為

利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖6.4.5(a),(b)所示。圖6.4.5例6.4.1圖——H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

(a)H1(z);(b)H2(z)圖6.4.6例6.4.1圖——數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟：

(1)確定