《弧度制》教學(xué)設(shè)計(jì)

弧度制教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容與內(nèi)容解析1．內(nèi)容引入弧度制的必要性，弧度制的概念，弧度與角度的互化．2．內(nèi)容解析（1為什么引入弧度制？引入不同的單位制使用單位時(shí)過選擇恰當(dāng)?shù)膯挝唤o我們解決問題帶來(lái)方便度制的本質(zhì)是用線段長(zhǎng)度度量角的大小樣的度量統(tǒng)一了三角函數(shù)自變量和函數(shù)值的單位數(shù)的概念中強(qiáng)調(diào)函數(shù)必須是實(shí)數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)只有這樣才能進(jìn)行基本初等函數(shù)的運(yùn)則運(yùn)算、求反函數(shù)等），使函數(shù)具有更廣泛的應(yīng)用性．此外度制的引入能為后續(xù)學(xué)習(xí)微積分的運(yùn)算提供方便中最著名的就是當(dāng)自變量為實(shí)數(shù)時(shí)，使得重要極限

成立．特別是，利用三角函數(shù)能夠較好地描述鐘擺汐等周期現(xiàn)象時(shí)的自變量不一定是角度以是時(shí)間或其他的量．總之論從滿足函數(shù)定義的要求是簡(jiǎn)化運(yùn)算的需要或是從三角函數(shù)的可用性等方面來(lái)看，引入弧度制都是必要的．因此，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入，會(huì)對(duì)弧度制引入的必要性的體會(huì)越來(lái)越深．

（2弧度制的定義．我們規(guī)定長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角用等于半徑的弧所對(duì)的圓心角作為角的度量單位？在半徑不同但圓心角相同的的扇形中中所學(xué)的扇形的弧長(zhǎng)公式能夠得出弧長(zhǎng)與半徑之比不變，該比值與圓半徑的大小無(wú)關(guān)，因此，用該比值度量角的大小是合理的然角的弧度與扇形所在圓的半徑大小無(wú)關(guān)可以在單位圓中直觀地認(rèn)識(shí)到，在單位圓中可以用長(zhǎng)度為1弧所對(duì)圓心角作為角的度量單位．弧長(zhǎng)與半徑度之間的簡(jiǎn)單正比關(guān)系成為弧度制定義的來(lái)源種通過比值來(lái)定義一個(gè)量的方法，在物理學(xué)有廣泛的應(yīng)用，比如加速度、壓強(qiáng)，密度等概念．從數(shù)學(xué)史中有關(guān)兩種角的度量制度的發(fā)展過程來(lái)看與弧度制的產(chǎn)生有一個(gè)共同的特點(diǎn)是如何劃分圓周長(zhǎng)度的出現(xiàn)源于對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的觀察巴比倫人經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的觀察發(fā)現(xiàn)球圍繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)現(xiàn)公轉(zhuǎn)的周期是360（實(shí)際是365），所以圓被分為360等份，其中的1份為．而弧度制劃分圓周長(zhǎng)的方式，統(tǒng)一了角度和長(zhǎng)度單位，在不同半徑的圓中周長(zhǎng)是不同的，但周角是不變的們需要一個(gè)定值來(lái)刻畫這個(gè)不變的量過觀察發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)與半徑的比值是一個(gè)定值2，因此用2來(lái)刻畫周角的大小是合理、科學(xué)和自然的．事實(shí)上，角的度量在歷史上還有很多其它進(jìn)制，比如法國(guó)把直角分為100等分的百分度，蘇聯(lián)的密位制等等．（3弧度與角度的換算．同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象用不同方式表示時(shí)，它們之間一定存在內(nèi)在聯(lián)系識(shí)其中的聯(lián)系性是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一度制度制都是角的度量制之間一定可以換算事物之間的聯(lián)系性

度與角度在本質(zhì)上沒有差別是角度的單位進(jìn)行了變換而已兩種角度制之間的關(guān)系是：生在進(jìn)行弧度與角度的換算時(shí)緊緊抓住這

一

關(guān)

鍵，

即，，直觀感受，從角度到弧度，角度的量數(shù)放大了57多在熟悉角度制與弧度制的互化后直接用計(jì)算器完成換算外科書中列出特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值生不僅要會(huì)換算而且要記住．最后，例3利用角度與弧度的轉(zhuǎn)換公式完成了弧度制下扇形的面積公式的證明，利用

證明了，弧度制下的扇形面積公式相比角度制形式更加簡(jiǎn)單，進(jìn)一步體會(huì)引入弧度制的必要性．根據(jù)上述分析定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是了解弧度制引入的背景下解弧度制的概念，能進(jìn)行角度制與弧度制的互化．二、目標(biāo)與目標(biāo)解析1．目標(biāo)（1初步體會(huì)弧度制引入的背景及必要性，明白同一個(gè)量可以用不同的單位制來(lái)度量．（2在半徑不同但圓心角相同的的扇形中，利用初中所學(xué)的扇形的弧長(zhǎng)公式能夠發(fā)現(xiàn)弧長(zhǎng)與半徑之比不變，從而體會(huì)用該比值作為弧度制定義的合理性，

加深弧度制概念的理解此過程中生可以感悟數(shù)學(xué)抽象的層次性及邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性．（3體會(huì)弧度制是度量角的一種方式，并能利用

進(jìn)行弧度制與角度制的互化用單位圓中弧長(zhǎng)等于半徑的圓心角觀感受用長(zhǎng)度度量1弧度的大小明并靈活運(yùn)用一些關(guān)于扇形的公式能理解角與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；2．目標(biāo)解析（1通過比較扇形弧長(zhǎng)公式和面積公式的兩種角度制的不同表達(dá)形式，發(fā)現(xiàn)弧度制可以簡(jiǎn)化公式，初步達(dá)成體會(huì)引入弧度制的必要性的目標(biāo)；通過問達(dá)到體會(huì)同一個(gè)量的度量可以有不同的單位制的目標(biāo)．（2在探求如何科學(xué)合理地定義弧度制這一新概念的過程中，學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探求過程不同半徑的圓周中提煉出不變的量是周角的大小和周長(zhǎng)與半徑的比值推廣到更為一般的圓心角為所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比值不變，通過認(rèn)識(shí)、理解、把握弧度制的本質(zhì)，學(xué)生經(jīng)歷概念形成的全過程，能描述1弧度角的概念理解弧度制這一目標(biāo)過程不僅有利于學(xué)生逐漸養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣和在學(xué)習(xí)中主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式解決問題，而且可以逐步培養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．（3弧度制概念的應(yīng)用過程中生認(rèn)識(shí)到角度制和弧度制之間的關(guān)系，體寫特殊角的弧度數(shù)來(lái)熟練角度與弧度的換算運(yùn)用

有關(guān)知識(shí)解決問題的能力角度與弧度的互化的目標(biāo)例明弧度制下扇形的弧長(zhǎng)和面積公式養(yǎng)實(shí)事求是和扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度成進(jìn)一步體會(huì)弧度制的優(yōu)越性這一目標(biāo)．三、問題診斷分析生硬地記憶弧度制的概念及形式化地運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算是容易的理解為什么引入弧度制定義1弧度有一定難度的很多學(xué)生習(xí)慣用角度制的轉(zhuǎn)換來(lái)代替1弧度角的定義就是說(shuō)多學(xué)生在學(xué)習(xí)了弧度制部分內(nèi)容后最深刻的印象是弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化略了弧度角定義的核心和依據(jù)應(yīng)該是與學(xué)生接觸的練習(xí)題的類型有關(guān)系論是練習(xí)冊(cè)中的習(xí)題還是各類測(cè)試考試只是不斷地對(duì)角度與弧度的轉(zhuǎn)換進(jìn)行著一遍又一遍的運(yùn)算種單一形式的練習(xí)致了一些學(xué)生把數(shù)學(xué)看作就是運(yùn)算過程把定義及定義的學(xué)習(xí)過程看作是細(xì)枝末節(jié)甚至是無(wú)意義的符號(hào)游戲．一些學(xué)生由習(xí)慣角度制得角度制可以用量角器度量很直觀而拒絕用弧度制有部分學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中經(jīng)常把角度制與弧度制混用及一些學(xué)生認(rèn)為π就是弧度制中角的單位，另外，還有少數(shù)學(xué)生混淆了弧長(zhǎng)與弧度的概念等等是學(xué)生理解弧度制的背景和形成弧度制的概念不夠深刻的原因?qū)е碌?。基于此，本?jié)課教學(xué)難點(diǎn)是：弧度制概念的理解．四、教學(xué)支持條件

本課時(shí)需要可改變半徑的圓及扇形的信息技如GeoGebra示會(huì)周角及扇形的圓心角不會(huì)因?yàn)槠渌趫A的半徑的改變而改變用到計(jì)算器進(jìn)行弧度制與角度制的互化．五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1．創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考問題1我們知道：籃球明星姚明的身高是2.26米，但在NBA官方數(shù)據(jù)中卻是7.5尺，為什么？你還知道哪些量有不同的度量制？舉例說(shuō)明.師生活動(dòng)：生針對(duì)老師提出的問題進(jìn)行思考與回答要的原因是為用了不同的單位．再如，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的單位制，度量體積可以用立方米、升等不同的單位制．設(shè)計(jì)意圖：過生活中的發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)度可以用米不同的單位制，讓學(xué)生體會(huì)度量一樣?xùn)|西可以有多種度量制．2．分析歸納，形成定義問題2量角除了角度制，還有什么單位制呢？追問1如圖1射線OA端點(diǎn)O轉(zhuǎn)到形成角α．在旋轉(zhuǎn)過程中，射線的點(diǎn)點(diǎn)一條圓弧對(duì)應(yīng)于圓心角α點(diǎn)所形成的圓弧的長(zhǎng)為l．回憶初中所學(xué)知識(shí)，弧長(zhǎng)如何用圓心角α來(lái)表示？師生活動(dòng)：學(xué)生經(jīng)過觀察、討論得出結(jié)論：．

追問2如圖線任取一點(diǎn)同于點(diǎn)OP1旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)Q形成的的圓弧的長(zhǎng)為l，那么l11比值是多少？你能得出什么結(jié)論？師生活動(dòng)：生經(jīng)過觀察、討論得出結(jié)論：；圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比值，與半徑的大小無(wú)關(guān)，只與α的大小有關(guān)，也就是說(shuō)，這個(gè)比值隨α的確定而唯一確定．因此可以用弧長(zhǎng)和半徑的比值表示圓心角．設(shè)計(jì)意圖：過復(fù)習(xí)初中所學(xué)知識(shí)可知學(xué)生得到弧長(zhǎng)與半徑的比只與角的大小有關(guān)廣到一般也成立此我們可以利用這個(gè)比值來(lái)度量角出新概念,使學(xué)生明白新概念的由來(lái)和定義的合理性．追問3結(jié)合上面的探索過程，你能試著說(shuō)一說(shuō)什么是弧度角嗎？師生活動(dòng)：生用自己的語(yǔ)言表述清楚即可師在學(xué)生表述的基礎(chǔ)上進(jìn)行完善們規(guī)定度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1度的角度單位用符號(hào)rad示，讀作弧度．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生得出定義，體會(huì)定義產(chǎn)生的背景、原由及過程．

追問4（1我們把半徑1的圓叫做單位圓．既然角的大小與半徑無(wú)關(guān)，那么在單位圓中如何確定1rad的角呢？（2在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)的圓心角α的弧度數(shù)是多少？（3角有正、負(fù)、零角之分，它的弧度數(shù)呢？師生活動(dòng)：生思考后回答單位圓中長(zhǎng)度為1弧所對(duì)的圓心角就是1rad如圖3；在半徑為的圓中；類比角度制，的正負(fù)由角的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定．設(shè)計(jì)意圖：深化理解弧度的定義位圓中感受1rad的角的大小，體會(huì)1角的幾何表示一步能在一般圓中求得角的弧度數(shù)學(xué)生通過圖形獲取對(duì)新概念的直觀印象，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．追問5請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)弧度制與角度制有哪些不同？師生活動(dòng)：生展開討論之后總結(jié)提煉．預(yù)設(shè)答案：第一，弧度制以線段長(zhǎng)度來(lái)度量角，角度制是“以角量角”；第二，弧度制是十進(jìn)制，角度制是六十進(jìn)制；

第三，1弧度是等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角的大小，而的角是周角的；第四，無(wú)論是以“弧度”還是以“度”為單位，角的大小都是一個(gè)與半徑大小無(wú)關(guān)的定值，等等．設(shè)計(jì)意圖：概念辨析，深化理解．3初步應(yīng)用深化理解問題3既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它們之間如何換算？你認(rèn)為在換算的過程中最為關(guān)鍵的是什么？師生活動(dòng)：生思考后回答，得出答案．預(yù)設(shè)答案：這兩種角度度量制之間的關(guān)是．為關(guān)的，即，．設(shè)計(jì)意圖：過思考學(xué)生掌握弧度和角度換算的方法會(huì)同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象用不同方式表示時(shí)們之間的內(nèi)在聯(lián)系識(shí)這種聯(lián)系性是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一．例1照下列要求，把67°30′化成弧度：（1精確值；（2）精確到0.001近似值．

師生活動(dòng)生自行完成并回答問題為，所以(2)用計(jì)算器有

．因此，≈1.178rad設(shè)計(jì)意圖：在換算中學(xué)會(huì)根據(jù)要求的精度不同，選擇不同的計(jì)算方式．例23.14rad算成角度（用度數(shù)表示，精確到0.001）．師生活動(dòng)：使用計(jì)算器完成．預(yù)設(shè)答案：利用計(jì)算器有

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)會(huì)利用計(jì)算器完成這種繁雜的計(jì)算問題．追問′能直接化成弧度嗎？你是怎么做的？應(yīng)該注意什么問題？（2相互交流一下，如何使用計(jì)算器完成弧度制與角度制的換算？師生活動(dòng)：生獨(dú)立完成角度制與弧度制的換算的精確值后交流展示用計(jì)算器完成弧度制與角度制換算的近似值．設(shè)計(jì)意圖：通過簡(jiǎn)單應(yīng)用，熟悉弧度制、熟悉弧度制與角度制的換算．學(xué)生可能出現(xiàn)的問題：第一，進(jìn)行角度制與弧度制的換算不夠熟練；第二，角度轉(zhuǎn)化弧度時(shí)需要把含分或秒的角度統(tǒng)一為度的單位三算機(jī)完成弧度制與角度制換算的近似值時(shí)，操作需要一個(gè)熟悉的過程．練習(xí)填寫特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表（課本174頁(yè)）．師生活動(dòng)：快問快答，進(jìn)行訓(xùn)練，預(yù)設(shè)答案：

設(shè)計(jì)意圖：些角是今后常用的特殊角僅要求學(xué)生會(huì)換算且要讓學(xué)生記住這些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值外練角度和弧度的換算一步加深對(duì)πrad的理解和掌握．同時(shí)進(jìn)一步體會(huì)角的概念推廣后，無(wú)論用角度制還是弧度制，都能在角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．例3用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式：其中R圓的半徑，α＜為圓心角l是扇形的弧長(zhǎng)s扇形的面積．師生活動(dòng)：生利用弧度制證明關(guān)于扇形的公式師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)及板書設(shè)答案：下面證明（2）．

為為°是設(shè)計(jì)意圖：會(huì)弧度制下的扇形弧長(zhǎng)積公式的簡(jiǎn)潔美是引入弧度制的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)．4．梳理小結(jié)問題4通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)用弧度制度量角了嗎？追問你覺得這樣定義弧度制合理嗎？在度量角的時(shí)候你覺得需要注意哪些問題？你現(xiàn)在覺得用弧度制度量角有什么好處？為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？師生活動(dòng)：由學(xué)生獨(dú)立思考、交流討論，再由教師幫助學(xué)生總結(jié)．預(yù)設(shè)答案：圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比值隨α的確定而唯一確定，因此，利用圓的弧長(zhǎng)與半徑的關(guān)系度量圓心角的是合理的度量角的時(shí)候需要注意系兩種度量制的橋梁是πrad注意防止出現(xiàn)角的兩種度量制混用的現(xiàn)象等；用弧度制度量角的好處：弧度制下的扇形弧長(zhǎng)、面積公式非常簡(jiǎn)單，這是引入弧度制帶來(lái)的一個(gè)便利．實(shí)際上，角度制下角的度量制是六十進(jìn)制，與長(zhǎng)度、面積的度量進(jìn)位制不一樣，于是在公式中要有