第7章 彎曲應(yīng)力

第7章彎曲應(yīng)力7.1梁彎曲時的正應(yīng)力7.2彎曲正應(yīng)力強度計算7.3*非對稱梁的彎曲7.4梁彎曲時的剪應(yīng)力7.5提高粱彎曲強度的措施內(nèi)容提要1、中性層、中性軸的概念；2、梁的橫截面上正應(yīng)力、剪應(yīng)力公式及對應(yīng)的強度條件；3.提高梁彎曲強度的措施。1、危險截面的確定；2、彎曲剪應(yīng)力的求解。重點難點7.1梁彎曲時的正應(yīng)力7.1.1前言軸向拉壓：圓軸扭轉(zhuǎn)：梁的彎曲：當(dāng)梁上有橫向外力作用時，一般情況下，梁的橫截面上既又彎矩M，又有剪力V。mmVM只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素

dFN=dA

才能合成彎矩只有與剪應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素dV=dA

才能合成剪力所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，又有剪應(yīng)力mmVmmM7.1梁彎曲時的正應(yīng)力一、純彎曲

7.1.2梁的正應(yīng)力若梁在某段內(nèi)各橫截面上的

彎矩為常量

，剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲。+-PP+Pa

CD段就是

純彎曲。PPaaCD7.1梁彎曲時的正應(yīng)力二、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力1、實驗觀察與分析觀察到：

在矩形截面梁的側(cè)面畫上一些水平的縱線（aa、bb等）和一些橫向線（mm、nn等）縱線：相互平行的水平直線→相互平行的曲線，且上部被壓短，下部被拉長；橫向線：仍保持直線，仍與縱線垂直，但相互不再平行，相對轉(zhuǎn)動了一個角度。7.1梁彎曲時的正應(yīng)力7.1梁彎曲時的正應(yīng)力（1）橫截面變形后仍為一平面（平截面假設(shè)），且仍與梁的軸線正交；（3）縱向纖維間無擠壓，上部纖維縮短，下部纖維伸長，由變形的連續(xù)性，必有一層纖維即不伸長，也不縮短，稱之為中性層；中性層與橫截面的交線稱為中性軸。（2）梁可看成是由一層層的縱向纖維組成的，由平面假設(shè)，同一層纖維的伸長（或縮短）相同；中性層——即不伸長，也不縮短的一層縱向纖維中性層中性軸橫截面中性軸——中性層與橫截面的交線彎曲變形的特征——橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動了一個角度中性層7.1梁彎曲時的正應(yīng)力中性軸7.1梁彎曲時的正應(yīng)力2、公式推導(dǎo)在推導(dǎo)純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的計算公式時，要綜合考慮幾何，物理和靜力學(xué)三方面。如圖，從純彎曲梁段上取出長為dx的微段，將梁的軸線取為x軸，橫截面的對稱軸取為

y軸，中性軸取為

z軸dxzyaabba′a′b′b′o1o2中性軸中性層7.1梁彎曲時的正應(yīng)力dxzyaabba′a′b′b′o1o2中性軸中性層幾何關(guān)系a′a′o1o2b′yK1K2取距離中性軸為y處的纖維K1K2作為研究對象曲率半徑7.1梁彎曲時的正應(yīng)力a′a′b′o1o2b′yK1K2纖維K1K2的相對伸長為曲率半徑即：y

——纖維距離中性軸的距離

——梁彎曲后的曲率幾何關(guān)系7.1梁彎曲時的正應(yīng)力a′a′b′o1o2b′yK1K2曲率半徑y(tǒng)

——纖維距離中性軸的距離

——梁彎曲后的曲率該式說明：線應(yīng)變和纖維與中性軸的距離y成正比，同一層纖維的線應(yīng)變相同，離中性層越遠，纖維的線應(yīng)變越大；和梁彎曲后的曲率成正比。幾何關(guān)系7.1梁彎曲時的正應(yīng)力物理方面a′a′b′o1o2b′yK1K2曲率半徑由縱向纖維間無擠壓，則各條纖維均處于單向受力狀態(tài)，因此，由胡克定律，有：該式說明：正應(yīng)力σ

和點與中性軸的距離y成正比，同一層纖維的正應(yīng)力相同，離中性層越遠，點的正應(yīng)力越大；和梁彎曲后的曲率成正比。7.1梁彎曲時的正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力分布規(guī)律彎矩為正時，正應(yīng)力以中性軸為界，下拉上壓；彎矩為負時，正應(yīng)力上拉下壓；中性軸上，正應(yīng)力等于零MM問題：中性軸的位置？曲率？物理方面7.1梁彎曲時的正應(yīng)力靜力學(xué)方面yZOxM在橫截面上法向內(nèi)力元素dA

構(gòu)成了空間平行力系。dAzy根據(jù)梁上只有外力偶M這一條件可知，上式中的

FN

和My均等于零，而MZ就是橫截面上的彎矩M?！佟凇?.1梁彎曲時的正應(yīng)力yZOxMdAzy——說明中性軸過形心由①式得：靜力學(xué)方面7.1梁彎曲時的正應(yīng)力yZOxMdAzy——說明中性軸是截面的主軸由②式得：由①②式可知，中性軸是截面的形心主慣性軸對稱軸為截面的形心主慣性軸，彎曲變形時的中性軸就是對稱軸靜力學(xué)方面7.1梁彎曲時的正應(yīng)力靜力學(xué)方面yZOxMdAzy由③式得：該式說明，曲率與彎矩成正比，與EIZ成反比。IZ——截面對中性軸的慣性矩EIZ——彎曲剛度（抗彎剛度）7.1梁彎曲時的正應(yīng)力靜力學(xué)方面IZ——截面對中性軸的慣性矩M——截面的彎矩y——求應(yīng)力的點到中性軸的距離中性軸是截面的形心主軸，彎曲變形時的中性軸就是對稱軸M正比反比——梁的正應(yīng)力公式7.1梁彎曲時的正應(yīng)力IZ——截面對中性軸的慣性矩M——截面的彎矩注意：1、此公式是在純彎曲狀態(tài)下推導(dǎo)出來的，對于剪力彎曲（V≠0）仍然適用；2、對其它對稱形狀的梁也適用（工字型、T形等）；3、對非對稱截面梁，只要荷載作用在過形心主軸的縱平面內(nèi)，也適用，但要先求出中性軸的位置。純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力y——求應(yīng)力的點到中性軸的距離7.1梁彎曲時的正應(yīng)力純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力IZ——截面對中性軸的慣性矩M——截面的彎矩

應(yīng)用公式時，一般將M、y以絕對值代入，根據(jù)梁變形的情況直接判斷的正、負號。以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力（為正號），凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力（為負號）。y——求應(yīng)力的點到中性軸的距離7.1梁彎曲時的正應(yīng)力yyCZCZ中性軸7.1梁彎曲時的正應(yīng)力yyCZCZ中性軸將橫截面分為受拉和受壓兩部分。M拉壓M拉壓7.1梁彎曲時的正應(yīng)力梁的彎矩圖如圖5-8b所示，由圖知梁在固定端橫截面上的彎矩最大，其值為

例7-1

圖5-8所示，一受均布載荷的懸臂梁，其長l=1m，均布載荷集度q=6kN/m；梁由10號槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的慣性矩Iz=25.6cm4。試求此梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。（1）作彎矩圖，求最大彎矩7.1梁彎曲時的正應(yīng)力

因危險截面上的彎矩為負，故截面上緣受最大拉應(yīng)力，其值為在截面的下端受最大壓應(yīng)力，其值為（2）求最大應(yīng)力7.2彎曲正應(yīng)力強度計算一、梁的最大正應(yīng)力1、梁的危險截面梁的危險截面在該梁內(nèi)彎矩最大的截面上危險截面位于梁中部危險截面位于梁根部2、梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危險截面上離中性軸最遠處7.2彎曲正應(yīng)力強度計算IZ——截面對中性軸的慣性矩yZCWZ稱為彎曲截面系數(shù)（抗彎截面模量），只與截面形狀和尺寸有關(guān)，單位m3令：2、梁的最大正應(yīng)力梁的最大正應(yīng)力發(fā)生在危險截面上離中性軸最遠處7.2彎曲正應(yīng)力強度計算M矩形截面梁橫截面上正應(yīng)力分布圖如圖所示二、正應(yīng)力強度條件注意：如果材料的σmax所在的截面稱為危險截面7.2彎曲正應(yīng)力強度計算對于鑄鐵等

脆性材料制成的梁，由于材料的二、正應(yīng)力強度條件應(yīng)分別計算出最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，分別不超過材料的

許用拉應(yīng)力和

許用壓應(yīng)力

7.2彎曲正應(yīng)力強度計算zy應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠的距離和直接代入公式對于中性軸不是對稱軸的橫截面，例如T形截面求得相應(yīng)的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力M二、正應(yīng)力強度條件7.2彎曲正應(yīng)力強度計算zyM（兩者有時并不發(fā)生在同一橫截面上）二、正應(yīng)力強度條件7.2彎曲正應(yīng)力強度計算三、彎曲截面系數(shù)Wz的計算矩形截面圓形截面yzhbdyz注：h是與中性軸垂直方向的長度7.2彎曲正應(yīng)力強度計算四、正應(yīng)力強度條件的應(yīng)用按正應(yīng)力進行強度校核按強度條件選擇梁的截面按強度條件確定梁的許可荷載先確定梁的許可彎矩，再由彎矩與荷載之間的關(guān)系確定荷載7.2彎曲正應(yīng)力強度計算四、正應(yīng)力強度條件的應(yīng)用步驟：1、內(nèi)力計算，求出最大彎矩，確定危險截面的位置；2、代入強度條件進行計算7.2彎曲正應(yīng)力強度計算例7-2

圖示圓截面輥軸，中段BC受均部載荷作用，試確定輥軸BC段截面的直徑。已知q=1KN/mm，許用應(yīng)力[σ]=140MPa。q3003001400ABCD危險截面在軸的中部利用截面法求該截面彎矩qRAyM300700300由對稱性可求得：7.2彎曲正應(yīng)力強度計算例7-3圖示懸臂梁承受均布載荷q，假設(shè)梁截面為bh的矩形，h=2b，討論梁立置與倒置兩種情況哪一種更好？bhhbq根據(jù)彎曲強度條件同樣載荷條件下，工作應(yīng)力越小越好因此，WZ越大越好梁立置時：梁倒置時：立置比倒置強度大一倍。注意：Z軸為中性軸7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力（1）截面上各點剪應(yīng)力的方向都平行于截面的剪力；（2）剪應(yīng)力沿截面寬度方向均勻分布，即距離中性軸等距離各點的剪應(yīng)力相等。一、假設(shè)由彈性力學(xué)可知，對狹長矩形截面（高度h大于寬度b），以上假設(shè)成立7.4.1矩形截面梁的剪應(yīng)力7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力mmnnP2P1q(x)mmnnxdxMM+dMVV＋dV1用橫截面m—m,n—n

從梁中截取dx

一段。彎矩產(chǎn)生正應(yīng)力剪力產(chǎn)生剪應(yīng)力兩橫截面上均有剪力和彎矩。二、狹長矩形截面（h×b）剪應(yīng)力公式的推導(dǎo)7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力

兩橫截面上的彎矩不等

。所以兩截面上到中性軸距離相等的點（用y表示）其正應(yīng)力也不等。mmnn正應(yīng)力（）分布圖ymmnnMM+dMVV+dV7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力mnnmohbdxxyz2在距離中性軸y處假想地從梁段上截出體積元素mB1yABA1B1二、狹長矩形截面（h×b）剪應(yīng)力公式的推導(dǎo)7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力mnnmohbdxxyzyxzyBmnAB1A1體積元素mB1在兩端面mA1、nB1

上兩個法向內(nèi)力不等。3yABA1B14在縱截面AB1上必有沿x方向的切向內(nèi)力dV’。此面上也就有剪應(yīng)力7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力mnnmohbdxxyzyABA1B1BB1yxzyBmnAB1A1在AB1面上的AA1線各點處有剪應(yīng)力。根椐剪應(yīng)力互等定理，在橫截面上橫線AA1上也應(yīng)有剪應(yīng)力。(所求)7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力mnnmohbdxxyzyABA1B1BB1假設(shè)：

橫截面上距中性軸等遠的各點處剪應(yīng)力大小相等。

各點的剪應(yīng)力方向均與剪力（截面?zhèn)冗叄┢叫?。所以橫截面AA1線上各點的剪應(yīng)力相等,且與側(cè)邊平形。根椐剪應(yīng)力互等定理，縱截面AB1上，AA1線上各點的剪應(yīng)力相等。且縱截面AB1上的剪應(yīng)力均勻分布。7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力yxzyBmnAB1A1由靜力平衡方程，求出dV’。推導(dǎo)公式步驟：1和分別求出mA1和nB1面上正應(yīng)力的合力234dV’

除以AB1面的面積得縱截面上的剪應(yīng)力。由此得到橫截面上距中性軸為任意y的點上的剪應(yīng)力公式。7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力yxzBmnAB1A1假設(shè)m—m,n—n上的彎矩為M和M+dM。兩截面上距中性軸y1處的正應(yīng)力為1和2。1求FN1*和FN2*7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力yxzBmnAB1A1y1用A*記作mA1的面積Sz*是面積A*

對中性軸z的靜矩。7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力yxzBmnAB1A1y1Sz*是面積A*對中性軸z的靜矩。同理A*為距中性軸為y的橫線以外部分的橫截面面積。7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力yxzBmnAB1A1y12由靜力平衡方程求dV’7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力yxzBmnAB1A13求縱截面上的剪應(yīng)力’bdx4由剪應(yīng)力互等定理得橫截面上距中性軸為任意y的點，其剪應(yīng)力的計算公式7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力ZIz

—

整個橫截面對中性軸的慣性矩Sz*—

過求剪應(yīng)力的點做與中性軸平行的直線，該線任一邊的橫截面面積對中性軸的靜矩V—

橫截面上的剪力yb—

矩形截面平行于中性軸的邊長狹長矩形截面梁對稱彎曲時橫截面上任一點處的剪應(yīng)力計算公式。7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力剪應(yīng)力沿截面高度的變化規(guī)律nBmAxyzOy沿截面高度的變化由靜矩與y之間的關(guān)系確定7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力nBmAxyzOy7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力τmaxτ=0yy1dy1zh/2h/2yb剪應(yīng)力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力三其它截面的最大剪應(yīng)力四型鋼五彎曲剪應(yīng)力強度條件

21K環(huán)形圓形工字形矩形截面系數(shù)查附錄代入7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力例7.4一矩形截面簡支梁，已知：l＝3m，h＝160mm，b＝100mm，h1＝40mm，F(xiàn)＝3KN，求m-m截面上K點的剪應(yīng)力。BAzl/3mFFl/3l/3ml/6Kbhh1解：先求mm截面的剪力y07.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力例7.5

已知:Plbh

求:1τmax=?2τmax:σmax=?解:1作剪力圖和彎曲圖2計算最大剪應(yīng)力4比值PABl/2l/2C3計算最大正應(yīng)力l=5hhb(-)(+)Q圖(+)M圖7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力例7.6已知:懸臂梁AB(組合梁),b=69mm,h=100mm,l=800mm,

P=1kN;螺栓的許用剪應(yīng)力[τ]=100MPa.求:螺栓的直徑.Plτττ’解:橫截面上的剪力中性層上的剪應(yīng)力中性層上的剪力7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力螺栓承受全部剪力Q’,由螺栓的剪切強度條件取7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力7.4.2工字形梁截面上的切應(yīng)力分布腹板為矩形截面時

yzBHhbtyA*腹板翼板7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力BhH

討論1、沿腹板高度方向拋物線分布2、y=0時，切應(yīng)力值最大3、腹板上下邊處切應(yīng)力最小7.4梁彎曲時的剪切應(yīng)力工字形梁腹板上的切應(yīng)力分布

討論4、當(dāng)B=10b,H=20b,t=2b時

max/min=1.18,大致均勻分布5、腹板上能承擔(dān)多少剪力？積分得:

總剪力的95％～97％近似計算公式：yzBHhbt7.4梁彎曲