平面衍射光柵

平面衍射光柵1第一頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院

例如在一塊不透明的板上刻劃出一系列等寬度又等間距的平行狹縫。就是一種簡單的一維透射式光柵。

a不透光b透光

在一張透明膠片上因曝光而記錄的一系列等寬度又等間距的平行干涉條紋。便是一塊一維的正弦光柵。

d反射光柵ba

又如在一塊很平的鋁板上刻上一系列等間隔的平行槽紋，就是一塊反射式光柵。

2第二頁，共三十五頁，2022年，8月28日

晶體由于內(nèi)部原子排列具有空間周期性而成為天然的的三維光柵。

光柵種類很多，有透射光柵和反射光柵。有平面光柵和凹面光柵，有黑白光柵和正弦光柵，有一維、二維和三維光柵。

光柵的種類雖然很多但其基本原理是相似的，下面以平面透射光柵為例討論光柵衍射的基本原理。

一、實驗裝置S*屏幕3第三頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院

設(shè)光柵各縫的寬度都等于b，相鄰兩縫間不透明部分的寬度都等于a，則相鄰狹縫上對應(yīng)點之間的距離為：

它反映光柵的空間周期性，其倒數(shù)表示每毫米內(nèi)有多少條狹縫，稱為光柵密度，實驗室內(nèi)常用（600~1200）/mm的光柵。－稱為光柵常量（數(shù)）4第四頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院二、光柵衍射的強(qiáng)度分布

當(dāng)平行光來照射到一條細(xì)長狹縫上出現(xiàn)衍射圖樣時，其光強(qiáng)分布滿足下式：屏幕5第五頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院其中

光屏上所有最大值和最小值的位置分布僅取決于相應(yīng)的衍射角，并不隨縫的位置的改變而改變。

也就是說，當(dāng)狹縫平行于自身做平動時，光屏上出現(xiàn)的圖樣仍維持原狀，并不跟著移動。

如果在平面上開了許多相互平行的同樣寬度的細(xì)長狹縫，則它們會給出與單縫同樣的相互重疊的衍射圖樣，各最大值都在原來位置得到相應(yīng)的加強(qiáng)。6第六頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院

但是實際上，還必須考慮由各縫發(fā)出的多光束之間產(chǎn)生的干涉。

如果照射的光是復(fù)色光，則每一波長都將產(chǎn)生和它對應(yīng)的細(xì)窄亮條紋。通常稱為光譜線。

因此，如果相鄰各縫間不透明部分的寬度也是嚴(yán)格相等的。那么各相鄰光束在疊加時有相同的相位差，因而同時將出現(xiàn)多光束干涉圖樣，即寬大的黑暗背景中出現(xiàn)明晰銳利的亮條紋。7第七頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院

由于透鏡L2的作用，來自不同的狹縫的方向衍射光會聚在屏幕上同一點，形成多光束干涉．

光柵有N條狹縫，縫寬為b，光柵常數(shù)為d。

在夫瑯和費遠(yuǎn)場條件下，各縫在P點產(chǎn)生的振動，振幅相同，相位不同.相鄰兩縫在方向上的光程差為8第八頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院相位差為設(shè)最上面的狹縫在P點的光振動相位為零,則各點P點產(chǎn)生的復(fù)振幅分別為9第九頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院于是P點的復(fù)振幅為10第十頁，共三十五頁，2022年，8月28日上式的推導(dǎo)中,應(yīng)用了等比數(shù)列前N項和公式式中以及歐拉公式物理科學(xué)與信息工程學(xué)院11第十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院所以12第十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院或式中光強(qiáng)公式中稱為衍射因子,稱為縫間干涉因子.

可見光柵衍射的光強(qiáng)是單縫衍射圖樣和縫間干涉因子的乘積。單縫衍射因子對干涉主最大起調(diào)制作用。

13第十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院三、光柵衍射圖樣的主要特征

根據(jù)

可得出光柵衍射花樣的主要特征是：一系列的主最大、次最大和光強(qiáng)為零的條紋有規(guī)律的分布。1.主最大的角位置、光強(qiáng)和數(shù)目由縫間干涉因子即時,－稱為光柵方程當(dāng)時14第十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院由在滿足dsin=k

的衍射方向上，在屏幕的中心光強(qiáng)取得最大值:光強(qiáng)為

15第十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院由于衍射角不可能大于90o，所以主最大的級次kmax

滿足例如，當(dāng)＝0.4d

時，則只可能有k＝0，±1，±2的級次的主最大，而無更高級次的主最大。若d

，除零級主最大外，別無其它級主最大存在。由主最大的數(shù)目:16第十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院因此可以看出，光柵衍射主最大的數(shù)目最多為：表示只取整數(shù)部分為入射平行光垂直照射光柵時的光柵方程若平行光斜入射到光柵上，入射方向和光柵平面法線方向的夾角為0，則光柵方程為：

其角度均取正值，和0在法線同側(cè)時上式左邊括號中取加號；在法線異側(cè)是取減號。

17第十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院2.光強(qiáng)為零（暗紋）的角位置和數(shù)目

在光強(qiáng)公式中，兩因子中任一因子為零，P點的光強(qiáng)都會為零.對于干涉因子,可以得最小光強(qiáng)當(dāng)時,18第十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院因此最小值（暗紋）的位置滿足即即的整數(shù)。否則上式就變成決定主最大角位置的光柵方程了。因此,兩個干涉主極大之間有(N-1)個由于干涉產(chǎn)生的光強(qiáng)為零的最小值.19第十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院3.次最大的角位置和數(shù)目次最大的角位置可由

求得

可以證明，各級次最大的光強(qiáng)遠(yuǎn)比主最大弱得多。其值不超過零級主最大的1/23，所以次最大和暗紋實際上混成一片，形成光強(qiáng)很弱的黑暗背景。對于總縫數(shù)N很大的光柵，次極大完全觀察不到。

因為在兩相鄰主最大之間有N－1個暗紋，而相鄰兩零光強(qiáng)暗紋之間應(yīng)有一個次最大。因此，兩相鄰主最大之間必有N－2個次最大。

20第二十頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院4.譜線的半角寬度

每一譜線（主最大值）的角寬度，它的左右兩側(cè)附加第一最小值的位置為范圍，從主最大的中心到其一側(cè)的附加第一最小值的角距離就是每一譜線的半角寬度。對第K級來說：

21第二十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院因此可見譜線的半角寬度與Nd的乘積成反比，Nd愈大，愈小，譜線愈窄，銳度愈好。

如果光源發(fā)出的光單色性很好，那么光柵給出的光譜是一組很明銳的譜線。

22第二十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院5.光柵光強(qiáng)分布曲線

對于一定的波長來說，由光柵方程各級譜線之間的距離由光柵常量d決定。

由前面的學(xué)習(xí)知道，縫間干涉因子決定主最大、次最大和暗紋的角位置，它們的強(qiáng)度分布還要乘上單縫衍射因子。

縫間干涉因子與單縫衍射因子相乘，就得到實際光強(qiáng)分布。單縫衍射因子的變化曲線可看作是各級主最大的強(qiáng)度的包絡(luò)線。從而使不同級的主最大具有不同的強(qiáng)度。如圖23第二十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院24第二十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院6.主最大（譜線）的缺級

若本應(yīng)該由相應(yīng)級的干涉主最大出現(xiàn)的地方，恰好是單縫衍射的暗紋所在的位置，此時合成光強(qiáng)為零，即本應(yīng)該出現(xiàn)的主最大不再出現(xiàn)，這種現(xiàn)象稱缺級。

缺級發(fā)生在衍射角，同時滿足光柵方程（主最大）和單縫衍射極小兩個條件的地方。如圖

若在某衍射方向是

j級衍射極小,又是級干涉主最大,則有{25第二十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院由上面兩方程,得第級干涉主極大被j級衍射極小調(diào)制掉例如則等級次被調(diào)制掉,不出現(xiàn).總之,光柵光強(qiáng)是多光束干涉被單縫衍射調(diào)制的結(jié)果.由上式可見，光柵主最大的缺級與波長無關(guān)，而由光柵參數(shù)決定。

26第二十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日四.光柵光譜

如果入射光是包含幾種不同的波長的復(fù)色光，則除零級以外，各級主最大的位置各不相同。我們將可以看到在衍射圖樣中有幾組不同顏色的譜線，分別對應(yīng)于不同的波長。如果入射光中包含兩個十分接近的波長與’，由于色散,它們各有一套窄而亮的主極大。由光柵的主極大滿足光柵方程波長相差越大，級次越高,則分得越開。Isin0級1級2級3級’27第二十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院如果是白光，則光柵光譜中除零級仍為一條白色亮線外，其它各色譜線都排列成連續(xù)的譜帶，第二、三級后可能發(fā)生重疊。如圖把波長不同的同級譜線集合起來構(gòu)成一組譜線，稱為光柵光譜。紫紅紫紫紫紫紫紅紅紅紅紅28第二十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院五.閃耀光柵透射光柵有一個很大的缺點，就是衍射圖樣中無色散的零級主最大占有總光能得很大一部分。其余的光能又分散在各級光譜中，致使每級光譜中的強(qiáng)度比較小。而實際使用光柵時往往只利用它的某一級光譜，這對光柵的利用是很不利的。

造成這種情況的原因是單縫衍射因子的零級與縫間干涉因子的零級主最大重疊。實際使用光柵時，通常只使用它的某一級光譜。因此，只需設(shè)法把光能集中到這一光譜上來即可。用閃耀光柵即可解決這個問題。

29第二十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院目前在分光儀器中使用的光柵幾乎都是反射式的閃耀光柵。它的優(yōu)點是：能將單縫的中央最大值的位置從沒有色散的零級光譜轉(zhuǎn)移到其他有色散的光譜級上。如圖所示：

光柵平面法線槽面法線在一塊玻璃板上鍍一層反射率很高的金屬層，然后用鋼刀在金屬層上等間隔地刻畫很密的鋸齒形溝槽，即形成了閃耀光柵。每個反射面相對于光柵平面有一定傾角B，稱閃耀角。

30第三十頁，共三十五頁，2022年，8月28日光柵平面法線槽面法線槽間干涉主極大的位置，仍有光柵方程dsin=k決定。d是相鄰兩槽間的距離，稱為光柵常數(shù)，=0°對應(yīng)零級干涉最大值。顯然，各級最大值的位置與閃耀角B無關(guān)。

單槽面的衍射光的零級衍射最大值的位置，應(yīng)在槽面反射方向有最大的衍射光強(qiáng)。當(dāng)入射光垂直于光柵平面時，單槽面產(chǎn)生的衍射峰位于＝2B方向，顯然，衍射零級最大隨B變化。則槽間干涉的零級最大值與單槽面衍射的中央最大不再重合。即單槽衍射光的中央最大值位于槽面的反射方向。物理科學(xué)與信息工程學(xué)院31第三十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院若光譜中對應(yīng)的波長Bk，使下式成立：

則Bk

稱為第k級閃耀波長。當(dāng)k＝1時，光柵的單槽衍射零級最大值正好落在B1光波的一級光譜上。又因為閃耀光柵db。因此，光譜的其它級干涉最大值（包括零級）都幾乎落在單槽衍射的暗紋位置處，形成缺級。如圖

32第三十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院衍射干涉綜合33第三十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院這樣一來，80%—90%的光能集中到的一級譜線中，使其強(qiáng)度大大增強(qiáng)，顯然B1光的閃耀方向不可能嚴(yán)格地又是其它波長的閃耀方向，不過由于單縫衍射的零級最大值有一定的寬度，它可容納B1附近一定波段內(nèi)其它波長的一級譜線，使它們也得到相等程度的閃耀，有較大的強(qiáng)度。同時這些波長的其它級譜線也都很弱。

用同樣的方法，也可以把光強(qiáng)集中到二級閃耀波長B2附近的二級光譜中去。

34第三十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日物理科學(xué)與信息工程學(xué)院例題(P231)：已知平面透射光柵夾縫的寬度b=1.5