第三章資金的等值計算

技術(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)譚萍第三章資金的等值計算一、利息的計算；名義利率與實際利率的計算。二、資金時間價值的普通復(fù)利計算。（六個公式的應(yīng)用）三、資金時間價值的其他復(fù)利計算。（復(fù)利周期與支付周期不等情況下的復(fù)利計算）如果將一筆資金存人銀行，這筆資金就稱為本金。經(jīng)過一段時間之后，儲戶可在本金之外再得到一筆利息，這一過程可表示為：

F=P+I

利率幾個習(xí)慣說法的解釋：“利率為8%”——指：年利率為8%，一年計息一次。式中:F——本利和P——本金I——利息“利率為8%，半年計息一次”——指：年利率為8%，每年計息兩次，或半年計息一次，每次計息的利率為4%。計息的方式——單利與復(fù)利1）單利：僅以本金為基數(shù)計算利息，利息不再計息。例：本金100元,三年后本利和為(i=10%,單位：元）單利計算公式為：F＝P（l＋in）總利息:I＝F-

P＝Pin年份年初帳面余額年利息年末本利和1100101102110101203120101302）復(fù)利：以本金與累計利息之和為基數(shù)計算利息，即“利滾利”。例：本金100元,三年后本利和為(i=10%，單位：元)復(fù)利計算公式為：終值F＝P（1＋i）n

總利息：I＝F-P年份年初帳面余額年利息年末本利和110010110211011121312112.1133.1通常，商業(yè)銀行的貸款是按復(fù)利計息的。例某企業(yè)以6%的年利率向銀行貸款1000萬元，貸款期5年，分別以單利、復(fù)利計算。問5年后企業(yè)支付多少利息?如果貸款期為十年呢？復(fù)利法：I=F–P=1000×(1+6%)5–1000=338.23萬元單利法：I=F–P=P×i×n=1000×5×6%=300萬元從例中可以看到，①當(dāng)單利計算和復(fù)利計算的利率相等時，資金的復(fù)利值大于單利值，且時間越長，差別越大。②由于利息是貨幣時間價值的體現(xiàn)，而時間是連續(xù)不斷的，所以利息也是不斷地發(fā)生的。從這個意義上來說，復(fù)利計算方法比單利計算更能反映貨幣的時間價值。因此在技術(shù)經(jīng)濟(jì)分析中，絕大多數(shù)情況是采用復(fù)利計算.復(fù)利間斷復(fù)利連續(xù)復(fù)利間斷復(fù)利：計息周期為一定的時間區(qū)間（年、季、月）連續(xù)復(fù)利：計息周期無限縮短從理論上講，資金是在不停地運動，每時每刻都通過生產(chǎn)和流通在增值。但在實際商業(yè)活動中，計息周期不可能無限縮短，因而采用較為簡單的間斷復(fù)利計息。③例：某人把10000元，按利率10%（以單利計息）借給朋友3年。3年后，改以復(fù)利計息，朋友又使用了4年。最后他從朋友那里收回的本利和F是多少？解：單利計息法公式：F前3年＝P(1＋in)

復(fù)利計息法公式：F后4年＝P(1＋i)n

F=10000(1+10%×3)(1+10%)4

=19033元最后可收回本利和是19033元。討論：現(xiàn)在存入銀行100元，年利率為12%，一年末一次性可以取出本利和多少？若一個月計息一次，則一年末可以取出本利和多少？名義利率與實際利率的計算

在復(fù)利計算中，利率周期通常以年為單位，計息周期可以與之相同，也可以不同。當(dāng)計息周期小于一年時，一年內(nèi)計算利息的次數(shù)不止一次了，在復(fù)利條件下每計息一次，都要產(chǎn)生一部分新的利息，因而實際的利率也就不同了（因計息次數(shù)而變化）。

假如按月計算利息，且其月利率為1%，通常稱為“年利率12%，每月計息一次”。

這個年利率12%稱為“名義利率”。也就是說,名義利率等于每一計息周期的利率與每年的計息周期數(shù)的乘積。但是，按復(fù)利計算，上述“年利率12%，每月計息一次”的實際年利率則不等于名義利率，應(yīng)比12%略大些。設(shè)名義利率為r，一年中計息次數(shù)為m，則一個計息周期的利率應(yīng)為r／m，求一年后本利和、年利率？復(fù)利方法：一年后本利和F=P(1+i期)m利息P(1+i期)m-P年利率：i=[P(1+i期)m—P]/P=(1+i期)m-1

單利方法：一年后本利和F=P(1+i期×m)利息P×i期×m年利率：P×i期×m/P=i期×m=r所以，名義利率與實際利率的換算公式為: i=

(1+i期)m–1=(1+r/m)m–1當(dāng)m＝1時，名義利率等于實際利率；當(dāng)m＞1時，實際利率大于名義利率。當(dāng)m→∞時，即按連續(xù)復(fù)利計算時，i與r的關(guān)系為： 注意：如果沒有特別指出時，通常計算中所給定的利率都是名義利率，而且多數(shù)情況下都是年名義利率。例:住房按揭貸款名義利率i

=5.04%，每年計息12次計息期利率：r/m=4.2‰（月息）實際利率：i=5.158%（年利率）i＝（1+r／m）m-

1＝（1+5.04％／12）12-

1＝5.158％

例（P36）現(xiàn)設(shè)年名義利率r＝6%，則年、半年、季、月、星期、日的年實際利率如下表所示。

計息期年計息次數(shù)計息周期利率（%）年實際利率（%）年16.00006.0000半年23.00006.0900季度41.50006.1364月120.50006.1678星期520.11546.1797日3650.01646.1799連續(xù)∞0.00006.1837每年計息周期越多，年實際利率和名義利率相差就越大。在技術(shù)經(jīng)濟(jì)分析中，如果各技術(shù)方案的計息期不同，就不能使用名義利率來評價，而必須換算成實際利率進(jìn)行評價，否則會得出不正確的結(jié)論。

總結(jié)當(dāng)利率周期與計息周期不等時，一般有兩種處理方法：

(1)將其換算為實際利率后，再進(jìn)行計算；(2)直接按單位計息周期利率來計算，但計息期數(shù)要作相應(yīng)調(diào)整。

例：某年的住房按揭貸款年利率是6.39%，每月計息一次，則年初借款10萬元，則1年末一次性需償還本利和多少？年名義利率：6.39%；月實際利率：6.39%/12=0.5325%年實際利率：（1+6.39%/12）12–1=6.58%10*（1+6.39%/12）12=10.658萬10*（1+6.58%）=10.658萬

但若計息周期為1年，則1年末一次性需償還本利和：10*（1+6.39%）=10.639萬

（2006年時5年以上年貸款利率6.39%，年存款利率4.14%，其實存貸利率差不僅是6.39%與4.14%的差距，而是6.58%與4.14%的差距，所以銀行有誤導(dǎo)傾向）

案例分析方案一：借款100萬，年利率為8%，一個季度計息一次。方案二：借款100萬，年利率為8.5%，半年計息一次。問：若兩年后還款，則選擇哪種借款方式？解答：方案一：100×（1+8%/4）8=100×1.172=117.2（萬元）

或：實際利率：i=（1+8%/4）4-1=8.24%100×（1+8.24%）2=117.2（萬元）方案二：100×（1+8.5%/2）4=100×1.181=118.1（萬元）或：實際利率：i=（1+8.5%/2）2-1=8.68%100×（1+8.68%）2=118.2（萬元）資金的等值計算

不同時期、不同數(shù)額但其“價值等效”的資金稱為等值，又叫等效值。在方案比較中，由于資金時間價值的作用，使得各方案在不同時間點上發(fā)生的現(xiàn)金流量無法直接比較，利用等值的概念，可以將一個時點發(fā)生的資金額換算成另一時點的等值金額，這一過程叫資金等值計算。說明：①影響資金等值的因素有三個資金額大小資金發(fā)生的時間利率

②舉例例如：現(xiàn)在的100元與一年后的106元，數(shù)量上并不相等，但如果將這筆100元的資金存入銀行，且年利率為6%時，一年后的本金和利息之和為:F=100(1+6%)=106即，在年利率為6%的條件下，現(xiàn)在的100元與一年之后的106元，則兩者是等值的。幾個相關(guān)的概念—“折現(xiàn)”或“貼現(xiàn)”、“現(xiàn)值”、“終值”、“年金”等把將來某一時點的資金金額換算成現(xiàn)在時點的等值金額稱為“折現(xiàn)”或“貼現(xiàn)”。將來時點上的資金折現(xiàn)后的資金金額稱為“現(xiàn)值”。與現(xiàn)值等值的將來某時點的資金金額稱為“終值”。資金等值計算：利用等值的概念，可以把在一個時點發(fā)生的資金金額換算成另一時點的等值金額，這一過程叫資金等值計算。需要說明的是，“現(xiàn)值”并非專指一筆資金“現(xiàn)在”的價值，它是一個相對的概念。一般地說，將t+k時點上發(fā)生的資金折現(xiàn)到第t時點，所得的等值金額就是第t+k時點上資金金額的現(xiàn)值。進(jìn)行資金等值計算中使用的反映資金時間價值的參數(shù)叫折現(xiàn)率。年金：分期等額收支的資金值。進(jìn)行資金等值計算要涉及到五個基本參數(shù)，它們是：i——每一利息期的利率，通常是年利率。n——計息周期數(shù)，通常是年數(shù)。P——資金的現(xiàn)值，或本金。F——資金的未來值，或本利和、終值。A——資金的等年值，表示的是在連續(xù)每期期末等額支出或收入中的每一期資金支出或收入額。資金等值計算最基本的六個形式：

等額支付資本回收計算等額支付現(xiàn)值計算等額支付償債基金計算等額支付終值計算一次支付現(xiàn)值計算一次支付終值計算（一）一次支付終值計算已知P，求F?4321n0……65PF=?

終值又稱將來值，是指將現(xiàn)在一定量的資金折算到未來某一時點所對應(yīng)的金額。一次支付終值公式為F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)一次支付終值現(xiàn)金流量圖例3.2（P38）某公司現(xiàn)在向銀行借款100萬元，年利率為10%，借款期為5年，問5年末一次償還銀行的本利和是多少？【解答】由一次支付終值公式可得：

F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)=161.1（萬元）查表得：(F/P,10%,5)=1.611

復(fù)利系數(shù)表

i=10%年份一次支付終值系數(shù)一次支付現(xiàn)值系數(shù)等額支付終值系數(shù)償債基金系數(shù)等額分付現(xiàn)值系數(shù)資金回收系數(shù)n(F/P,i,n)(P/F,i,n)(F/A,i,n)(A/F,i,n)(P/A,i,n)(A/P,i,n)11.1000.90911.0001.00000.9091.100021.2100.82642.1000.47621.7360.576231.3310.75133.3100.30212.4870.402141.4640.68304.6410.21553.1700.315551.6110.62096.1050.16383.7910.263861.7720.56457.7160.12964.3550.2296例：一份遺書上規(guī)定有250000元留給未成年的女兒，但是，暫由她的保護(hù)人保管8年。若這筆資金的利率是5％，問8年后這位女孩可以得到多少錢？計算公式：F=P（1＋i）n

F＝250000×(1+5%）8

=250000×1.477=369250（元）102n-13nPF=?（二）一次支付現(xiàn)值計算已知F，求P？4321n0……65P=?F一次支付現(xiàn)值現(xiàn)金流量圖

現(xiàn)值是指未來某一時點上的一定量資金折算到現(xiàn)在所對應(yīng)的金額。一次支付現(xiàn)值公式為P=F/(1+i)n=F(P/F,i,n)例：某人為了5年后能從銀行取出100元，在復(fù)利年利率2%的情況下，求當(dāng)前應(yīng)存入金額?！窘獯稹縋=F/(1+i)n=100/(1+2%)5

=100（P/F,2%,5）=100×0.9057=90.57（元）

（三）等額支付終值計算已知A，求F?01A432……F=?……n例：某人從30歲起每年末向銀行存入8000元，連續(xù)10年，若銀行年利率為8％，問10年后共有多少本利和？10293108000F=?8000800080008000i=8%F=A×（F／A，i，n）=8000×（F／A，8%，10）=8000×14.487=115892（元）例：某投資人若10年內(nèi)每年末存入10000元，年利率8%，問10年末本利和為多少？【解答】=10000×(F/A，8%，10)=10000×14.487=14.487（萬元）

（四）等額分付償還基金計算

已知F，求A?01A=?432……F……n例3.5（P41）某公司計劃自籌資金于5年后新建一個新產(chǎn)品生產(chǎn)車間，預(yù)計需要投資5000萬元。若年利率為5%，在復(fù)利計息的情況下，從現(xiàn)在起每年年末應(yīng)等額存入銀行多少錢？【解答】=5000×(A/F,5%,5)=5000×0.1810=905(萬元)

（五）等額支付現(xiàn)值計算

已知A，求P?……4……3210P=?nA例：某投資項目，計算期5年，每年年末等額收回100萬元，問在利率為10%時，開始需一次投資多少？【解答】=100×(P/A，10%，5)=100×3.791=379.1(萬元)

（六）等額支付資本回收計算

已知P，求A？……4……3210PnA=?例3.7（P43）某投資項目貸款200萬，銀行4年內(nèi)等額收回全部貸款，已知貸款利率為10%，那么項目每年的凈收益應(yīng)不少于多少萬元？【解答】

=200×(A/P,10%,4)=200×0.3155=63.09(萬元)例：住房按揭貸款年利率5.751%，某人買房貸款15萬元，20年還清，每月計息一次（5.751%/12=0.479%），若采取每月等額本息還款，則客戶每月還本息多少（銀行每月回收本息多少）？10219320P=15A=?解：A＝P×（A／P，i，n）=15×（A／P，0.479%，240）

=15*0.00702=0.1053萬（共還款：0.1053*240=25.272萬）

等值計算公式小結(jié)：類別已知求解計算公式復(fù)利系數(shù)名稱和符號現(xiàn)金流量圖一次支付終值PFF=P(1+i)n=P(F/P,i,n)一次支付終值系數(shù)(F/P,i,n)現(xiàn)值FPP=F(1+i)-n=F(P/F,i,n)一次支付現(xiàn)值系數(shù)(P/F,i,n)等額支付終值A(chǔ)F等額支付終值系數(shù)(F/A,i,n)償債基金FA等額支付償債基金系數(shù)(A/F,i,n)現(xiàn)值A(chǔ)P等額支付現(xiàn)值系數(shù)(P/A,i,n)資本回收PA等額支付資本回收系數(shù)(A/P,i,n)023n1PF……031F2……nA0123nPA……資金等值計算

例3.9（P49）若年利率為8%，10年中每年年初都存入銀行1000元，求到第十年末的本利和為多少？【解答】方法一：F=1000（F/P，8%，10）+1000（F/A，8%，10）-1000=15646（萬元）

方法二：F=1000（F/A，8%，10）（F/P，8%，1）=15646（萬元）

例：一位發(fā)明者轉(zhuǎn)讓其專利使用權(quán)，一種收益方式在今后五年里每年收到12000元，隨后，又連續(xù)7年每年收到6000元，另一種是一次性付款。在不考慮稅收的情況下，如要求年收益率為10％，他愿意以多大的價格一次性出讓他的專有權(quán)？102536P=?A1=12000i=10%A2=60001112解：P＝A1（P／A，i，n）+A2（P／A，i，n）（P／F，i，n）＝12000（P／A，10%，5）+6000（P／A，10%，7）（P／F，10%，5）=63625（元）例：如果某工程1年建成并投產(chǎn)，壽命10年（投產(chǎn)后），每年凈收益為10萬元，按10％的折現(xiàn)率計算，恰好能夠在壽命期內(nèi)把期初投資全部收回。問該工程期初所投入的資金為多少？012311PA=10解：P＝10（P／A，10％，10）（P／F，10％，1）=10×6.145×0.909＝55.86（萬元）該工程期初所投入的資金為55.86萬元。例：某項工程第一年投資1000萬元,1年后又投資1500萬元，2年后再投入2000萬元，第3年建成投產(chǎn)。投資全部由一銀行貸款，年利率為8％。貸款從第三年開始每年年末等額償還，還款期10年。每年應(yīng)償還銀行多少萬元？解：方案投產(chǎn)年年初的總投資額為：P＝1000（F／P，8％，2）+1500（F／P，8％，l）+2000＝1000×1.1664＋1500×1.080＋2000＝4786.4（萬元）A＝P（A／P，8％，10）＝4786.4×0.1490＝713.11（萬元）012312A=?100015002000資金等值計算時必須注意：

1）判斷已知和要求的變量是屬于現(xiàn)值、終值還是年金2）畫現(xiàn)金流量圖，看是否能夠直接運用系數(shù)表3）注意計息周期，若小于利率周期，應(yīng)進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化（七）等差序列終值公式——已知等差序列得的公差G，求終值F（P44）:A0123……nF=?A+GA+2GA+(n-1)G整付現(xiàn)值系數(shù)————整付終值系數(shù)。⑴倒數(shù)關(guān)系等額分付終值系數(shù)————等額分付償債基金系數(shù)。等額分付現(xiàn)值系數(shù)————等額分付資本回收系數(shù)。公式分析①等額分付現(xiàn)值系數(shù)的置換②等額分付資本回收系數(shù)的置換(P/A,i,n)=(P/F,i,n)(F/A,i,n)(A/P,i,n)=(F/P,i,n)(A/F,i,n)⑵置換關(guān)系現(xiàn)值公式中，n對貼現(xiàn)系數(shù)的影響以(1+i)-n為例，取i=10%（3）n對貼現(xiàn)系數(shù)的影響序號 n(1+i)-n

1 1 0.909092 5 0.620923 10 0.385544 15 0.239395 20 0.148646 25 0.092297 30 0.0573088 40 0.0220949 60 0.003284表明：①60年后的100萬元，其現(xiàn)值只有3284元②或者，現(xiàn)在的3284元按10%復(fù)利，60年后可獲得100萬元。③未來20～30年時的收益，其現(xiàn)值已經(jīng)很小了。所以，建設(shè)項目評價中，分析期一般不超過30年。

資金等值計算式的應(yīng)用

舉例1：某企業(yè)獲得一筆10萬元的貸款，償還期為5年，按年利率8%計復(fù)利，有以下4種還款方式，試計算各還款方式所付出的總金額。

已知：（F/P，8%，5）=1.469；（A/P，8%，5）=0.25046

（1）每年年末只償還所欠利息，第5年末一次還清本金

10*8%*5+10=14萬

（2）第5年末一次還清本息；

F/P：P*（F/P，8%，5）=10*1.469=14.69萬

（3）在5年中每年年末等額償還；

A/P：P*（A/P，8%，5）=10*0.25046=2.5046共還款：2.5046*5=12.523萬

（4）每年年末等額償還本金，并付清當(dāng)年的全部利息；

2*5+[10*8%+（10-1*2）*8%+（10-2*2）*8%+（10-3*2）*8%+（10-4*2）*8%]=10+（10*8%+8*8%+6*8%+4*8%+2*8%）=12.4萬

舉例2：某人購房申請15萬元的貸款，償還期為10年，年利率5.814%，按月計息（0.4845%），有3種還款方式：（1）第10年末一次還清本息；（2）在10年中每月月末等額償還（等額本息）；（3）每月月末等額償還本金，并付清當(dāng)月的全部利息（等額本金）；

解答：

（1）15*（F/P，0.4845%，120）=15*1.7860314=26.7905（萬元）（2）15*（A/P，0.4845%，120）=15*0.0110089=1651.34（元）總數(shù)額：0.0165134*120=19.8160（萬元）（3）1250*120+[150000*0.4845%+（150000-1*1250）*0.4845%+（150000-2*1250）*0.4845%+…+（150000-119*1250）*0.4845%]=150000+[150000*120-（1*1250+2*1250+…+119*1250）]*0.4845%=19.3942（萬元）第一個月：1250+150000*0.4845%=1976.75（元）第二個月：1250+（150000-1*1250）*0.4845%=1970.69（元）第三個月：1250+（150000-2*1250）*0.4845%=1964.63（元）最后一個月：1250+（150000-119*1250）*0.4845%=1256.06（元）【1250*0.4845%=6.06；150000*0.4845%=726.75】i、n的小數(shù)處理當(dāng)兩個相鄰系數(shù)相差較小時，假設(shè)呈現(xiàn)線性變化，用內(nèi)插法求解。正相關(guān)（F/P,i,n）,(A/P,i,n),(F/A,i,n)負(fù)相關(guān)（P/F,i,n）,(P/A,i,n),(A/F,i,n)i:n:正相關(guān)（F/P,i,n）,(P/A,i,n),(F/A,i,n)負(fù)相關(guān)（P/F,i,n）,(A/P,i,n),(A/F,i,n)舉例：當(dāng)利率為7.2%，n為10年時，請問（A/P,7.2%,10）是多少？i7%8%7.2%f2ff1xc計息周期與支付周期不等情況下的復(fù)利計算計息周期等于支付周期

例:

年利率為12%，每半年計息一次，從現(xiàn)在起，連續(xù)3年，每半年作100萬元的等額支付，問與其等值的現(xiàn)值為多少？每計息期的利率

i=12%/2=6%P=A(P/A,i,n)＝100×(P/A,6%,6)=100×4.9173=491.73(萬元)

例:年利率12%，每季度計息一次計算利息，從現(xiàn)在起連續(xù)3年的等額年末借款為1000元，問與其等值的第3年年末的借款金額為多少？0123456789101112100010001000ⅠⅡⅢF=?年季度計息周期小于支付周期第一種方法：012341000Ⅰ23923923923901234Ⅰ0123456789101112239239239239239239239239239239239239ⅠⅡⅢF=?第二種方法：0123456789101112100010001000ⅠⅡⅢF=?第三種方法：3.4403.374X=?12%12.55%14%思考：某企業(yè)五年內(nèi)每年末投資1000萬元于某項目，貸款利率8%，若每年計息四次，問此項投資在第五年末的本利和是多少？其現(xiàn)值又是多少？0