編制數學模擬題的過程與方法

編制數學模擬題的過程說明與常用方法介紹現在距中考滿打滿算不到3個月了，如何做好中考復習工作，各人有各自的想法，但進行模擬考試，好像必不可少，那么模擬卷從那里來？當然我們可以拿別人已經編制好的試卷來直接使用，而不管效果如何，但作為教師，尤其是一名畢業(yè)班教師，必須具備命題基本功.1、在擴充的內容中尋求新的生長點：2、對保留的內容確定新的標高；3、在原有命題模式上推出新的結構；4、以數學思想方法為核心設計新的情境；5、以能力考查為目標創(chuàng)造新的題型。編制一份含金量高的試卷，從大的方面講，需要我們把握課程標準、考試綱要上的要求，需要確定試卷的整體結構與各知識點的比重，要制作《考點知識雙向細目表》等，這些說起來就比較長，做起來也比較麻煩，很耽誤時間，我們往往不愿意去做.但我們注意到：多年來，我省中考數學試題，一直突出對四基的考查，注重考查學生的思維能力和發(fā)展?jié)撃?，題型結構穩(wěn)定，因此，為了減少工作量，我們可以類比著近年我省中考試卷的模式和樣板去把握總體結構來命題.下面我主要結合近幾年編制模擬試卷的一些體會，介紹編制數學題常見方法和過程，供參考.一、命題過程說明命題不外乎改編陳題和原創(chuàng)新題.(一)一道陳題的改編過程習慣上把數學教科書中的例題、習題和其它各類書刊上已有的題目等稱為陳題.改編陳題，實際上就是對原有題目進行加工、改造、深化.1.陳題原貌如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，作△ABC的高CD，作△CDB的高DC1，作△DC1B的高C1D1，……，就這樣無限作下去，則圖中陰影部分的面積之和為______.2.前期思考此題背景是相似三角形中的基本圖形——母子三角形.通過解答不難發(fā)現本題主要考查含30度角的直角三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定和性質等，但已知部分和求解過程都涉及無限，解答中還需應用整體思想.若直接使用此題，學生可能不知從何處下筆而無法準確解答，從而就有得分率低，區(qū)分度不高，起不到考查目的的問題.因此我想：在原題題干不動的情況下，通過設計有梯度的幾個問題，并將原問作為最后一問，使大部分同學能夠解答前面的問題，并且通過解答前面的問題對求最后結論有一定的提示引導作用，使之成為入口寬、有梯度、有區(qū)分度的考題.因此，初步打算將試題改編為一道解答題，第一問不涉及無限，只考查對圖形的認識----入口問題；第二問涉及到無限，并且第一問的解答對其有提示作用----鋪墊問題；第三問即為求圖中陰影部分的面積之和.3.編擬試題有了上面的想法，聯系原題解答過程中的第一步，第一問可以有多種問法，比如：=1\*GB3①求△ACD的面積與△ABC的面積比；=2\*GB3②求△CDC1的面積與△ABC的面積比、……，但這兩種問法都過于直白，而且對求陰影部分的面積之和沒有直接的提示作用，如何解決這個問題，又是要我們考慮的問題，對，我們可以綜合這兩問，設置第一問為求△ACD的面積與△CDC1的面積比.考慮到數學語言的簡潔性，可將第一問表述為：⑴若記△ACD的面積為S△ACD，△CDC1的面積為S△CDC1，求S△ACD︰S△CDC1；對于此問，只要學生對相似三角形中的基本圖形有認識，會證△ACD∽△CDC1，并且能夠運用相似三角形面積比等于相似比的平方等性質，都可以完整解答.注意到整個三角形被分成了無限個陰影三角形和無限個無影三角形，而第一問對無限沒有涉及，學生要想求圖中陰影部分的面積，仍有一定的難度，如何在第二問中來引導學生把握無限呢？對第二問可以是：=1\*GB3①求無影三角形與陰影三角形的面積比；=2\*GB3②求出陰影部分面積占整個三角形面積的比……，等.想一想不難發(fā)現，第二種問法與“求圖中陰影部分的面積”大同小異，并不能體現梯度，所以將求無影三角形與陰影三角形的面積比作為第二問，并用簡潔的數學語言表述如下：⑵若記圖中陰影部分的面積為S黑，剩余部分的面積為S白，求S白︰S黑.要正確解答此問，只要運用類比方法得到無限組相鄰的無影三角形與陰影三角形的面積比，再運用等比性質即可求出S白︰S黑.有了上面的入口問題和鋪墊問題，將“求圖中陰影部分的面積.”作為第=3\*GB2⑶問就順理成章了.4.最后定稿基于以上修改想法，編擬出的試題可定稿如下：如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，作△ABC的高CD，作△CDB的高DC1，作△DC1B的高C1D1，…，就這樣無限作下去.(1)若記△ACD的面積為S△ACD，△CDC1的面積為S△CDC1，求S△ACD︰S△CDC1；(2)若記圖中陰影部分的面積為S黑，剩余部分的面積為S白，求S白︰S黑.(3)求圖中陰影部分的面積.反思：上面只對問題進行了改編，本題還可對題干作適當變動，比如將AC=2，修改為BC=等，在此不啰嗦.(二)一道原創(chuàng)題的命制過程從某種角度講，原創(chuàng)數學試題的新穎性對考生是一種難度，但能真正考查出考生的學習潛能和個性品質狀況，而對命題者來說，更是命題成功與否的一個重要標志.2023年在給《數學周報》命制模擬題時，根據模擬題考點需要，需要命制一道考查函數知識的題，當然我可以找來一道中考題進行改編.但我想到了一句話，改變了我，使我有了進行原創(chuàng)的想法.1.素材說明我想到在剛工作時，遇到的一件事，說的是：某次數學考試，由于沒有控制好試卷難度，使得考試成績普遍偏低，我和同組老師交流時，一位老師開玩笑地給我提出一個方案：采用將每人分數先開方再乘以10的方法來記學生的成績，這樣就可保證考36分的人就達到及格(那時，滿分為100分).大家可以發(fā)現，這個分數轉換方法不僅可以提高學生的紀錄成績，還能保證0分轉換后仍為0分,100分轉換后仍為100分.其中蘊含著函數的單調性以及函數值域知識.對，何不運用此素材編一道函數題呢？2.初擬試題素材有了，但要與初中函數聯系編題，還有一定難度.因為直接設原分數為x，轉換后的分數為y，列出的函數是，它并不是初中學習過的函數.但注意到，將其兩邊平方，整理可得，因此，如果將處理后的分數作為自變量，原分數作為應變量就可以將其編制成一到考查二次函數知識的應用題.有了上面的想法，考慮與函數的最值聯系，經思考潤色，試題初擬如下：某次數學考試，因試卷難度大而導致成績普遍很差，老師為了提高學生的分數，采用將每人分數先開方再乘以10的方法.如36分的人計算方法是10×=60，即經過這樣處理后就達到及格分，比原來高了24分.請問多少分的人經過處理后加分最多？問題設置為“問多少分的人經過處理后加分最多”，主要是為求所列二次函數的最值時，可以相應考查配方或頂點坐標公式等知識.3.分析提升顯然，這樣的題是不能令人滿意的，因為：第一、以分數轉換為背景，有過于強調分數的嫌疑，與義務教育目標不符，應該避免；第二、安徽省中考數學分值是150分，而所命的題中，是100分，與現實不符；第三、學生解答此題，很容易將原分數作為自變量，而不知將處理后的分數作為自變量，也可能不會將增加的分數作為應變量，解答時可能無法下手.如何解決上述問題？對于第一條，因為本題立意是考查函數知識，所以不如直接將分數轉換問題修改為數字轉換問題，并將轉換要求直接在題干中反映.如是，將題干修改為：現想將0～n的正數轉換成比原數不小的新數，且0轉換以后仍是0，n轉換以后仍為n.對于第二條和第三條，可以通過設置問題串來解決.初擬的試題只設一問，也浪費的素材，可以通過增加問題，來發(fā)揮素材的價值.考慮原始素材和上面思考，第⑴問就直接用素材中的轉換方法，讓學生驗證是否符合轉換要求.這樣可以幫助學生理解題干，同時為后面的問題作鋪墊.如是，將第一問設置為：⑴若n=100，一位同學將原數先開方再乘以10的方法來確定新數，請你驗證這種方法是否符合要求；第⑵問不能再用問題(1)的問法(若n=150，一位同學將原數先開方再乘以10的方法來確定新數，請你驗證這種方法是否符合要求)，為了使問題串逐步推進，層次分明，有梯度，不如將第二問讓學生設計一種符合要求的轉換方法.如是，將第二問設置為：⑵若n=150，請你寫出一種轉換的方法，使轉換后的新數也符合題目所給的轉換要求.(不必證明)，此種問法，有一定的開放性，答案不唯一.初擬試題中的設問，沒有給出變量，學生可能難以想到，為了降低難度，可將變量在題中給出.有此想法后將最后一問設置為：⑶一個愛動腦筋的同學發(fā)現：不同的正數經過⑴的方法處理后增加的數不一樣多.若設經過⑴中的方法處理后的數為x，增加的數為y，寫出y與x之間的函數關系式，并求出多大的數經過這種方法轉換后增加最多？4.塵埃落定基于以上想法，編擬出的試題定稿如下：現想將0～n的正數轉換成比原數不小的新數，且0轉換以后仍是0，n轉換以后仍為n.⑴若n=100，一位同學將原數先開方再乘以10的方法來確定新數，請你驗證這種方法是否符合要求；⑵若n=150，請你寫出一種轉換的方法，使轉換后的新數也符合題目所給的轉換要求.(不必證明)⑶一個愛動腦筋的同學發(fā)現：不同的正數經過⑴的方法處理后增加的數不一樣多.若設經過⑴中的方法處理后的數為x，增加的數為y，寫出y與x之間的函數關系式，并求出多大的數經過這種方法轉換后增加最多？以上是我對命制題目的回憶，由于有一定的時間間隔，加之我表達能力有限，不能完整反映命制過程.二、命題方法介紹下面分如何“改編陳題”，如何“新編原創(chuàng)”兩個方面歸納常見的命題的方法.(一)改編陳題推陳出新如果每道試題都是原創(chuàng)題當然不錯，但這對命題者的要求實在太高.而用陳題考查學生的水平，顯然不能做到公平與公正，效度難以保證.因此對待陳題，盡量進行改編，加入新的元素使之有新意；注意針對性，使之符合新的評價理念.陳題的來源主要是教材中的習題、思考題，以及往年的中考題.它們是命題的“零投資”資源庫.這些題都是經過專家多次打磨、篩選后的精品，自身蘊藏著豐富的潛在功能，有待我們把握立意，探其源，究其變，創(chuàng)造性使用這些資源，由此構選出大同小異或面目全非的新題.1.修改數據或變換背景“修改數據”就是保持原題的原文或原意，僅把有關數據進行更換，“變換背景”就是用等價的說法對背景稍做改動，它們是一種“偷梁換柱”式的做法.通過改動數據或變換背景，使之更符合現在的情況.例1.電信局的維修工甲、乙兩人要到40千米⑴若搶修車遲出發(fā)20分鐘，搶修車的速度是摩托車的1.5倍，且甲、乙兩人同時到達，求摩托車的速度；⑵若摩托車的速度是45千米/小時，搶修車的速度是60千米本題改編自2023年廈門市中考題22題.原題是：供電局的電力維修工甲、乙兩人要到45千米遠的A地進行電力搶修．甲騎摩托車先行，t(t≥0⑴若(小時),搶修車的速度是摩托車的1.5倍，且甲、乙兩人同時到達，求摩托車的速度；⑵若摩托車的速度是45千米/小時，搶修車的速度是60千米/小時，且乙不能比甲晚到則t改編時注意到原題中變量t可有可無，因此將原題中的變量t刪去；其次修改搶修車遲出發(fā)的時間，使之更符合人們表達習慣，為了保持所求摩托車的速度仍和原題所求摩托車的速度相同，同時修改搶修地與出發(fā)地間的距離.例2.如圖，⊙O的直徑AB為8，弦CD⊥AB，垂足是E，∠B=22.5°，CD的長為().A.B.C.D.8原題：2023北京中考題第7題如圖，⊙O的直徑垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的長為().A.B.C.D.82.選用高中適合初中學生解答的問題現在，新課程對內容采取循環(huán)安排，在高中的數學中，常常包含著一些初中的內容.如果我們注意對高中數學或其他學科中的一些符合初中畢業(yè)生解答的習題進行變形、簡化、特殊化、具體化，就可以編擬出用初中知識或方法來解決的數學問題，有的甚至可以直接選用.例3.為了解學生身高情況，某校以10%的比例對全校700名學生按性別進行分層抽樣調查，測得身高情況的統(tǒng)計圖如下：⑴估計該校男生的人數；⑵估計該校學生身高在170～185cm之間的概率.這是一道綜合考查統(tǒng)計與概率知識的問題，來源于2023陜西高考理科第19題.原題的第(Ⅰ)問即上述第⑴問，可以用初中所學統(tǒng)計中的樣本估計總體的思想解答；原題的第(Ⅱ)問即上述第⑵問，可以用初中所學的概率知識解答.原題的第(Ⅲ)問如下：(Ⅲ)從樣本中身高在165～180cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170～180cm之間的概率.解答需要排列組合知識，初中學生沒有學過，所以選用時，將此問刪去.例4.(2023課標全國Ⅰ文改編A.三棱柱B.三棱錐C.四棱柱D.四棱錐例5.（江西2023高三大聯考改編）右圖是某駕照培訓機構仿照2023年北京申奧標志設計的路考的行使路線，即從A點出發(fā)沿曲線段B→曲線段C→曲線段D，最后到達E.某觀察者站在M點處觀察練車場上勻速行駛的小車P的運動情況，設觀察者從點A開始隨車子運動變化的視角θ=∠AMP，則下列圖象中能表示θ與t之間的函數關系的圖象大致是().3.改變題型對題型進行切換，以吻合考查意圖，此類問題一般是把解答題改為填空題、選擇題或開放題等，進行切換時，往往需要考慮條件的必要性.例4.如圖，拋物線與軸正半軸交于A、B兩點(A在B的左邊)，與軸正半軸交于C，則B點坐標可能是(

).A.(，0)

B.(4，0)C.(1，0)

D.(，0)本題的原題是一道解答題：如圖，拋物線與x軸正半軸交于A、B兩點(A在B的左邊)，與軸正半軸交于C，且∠OCA=∠OBC，求B點坐標.解答原題可以得到B點坐標是B(1，0).但解答過程涉及二次函數、相似三角形以及一元二次方程根與系數關系等知識.不但偏難，而且解答所涉及的知識點一元二次方程根與系數關系是的初中的選學內容，所以此題作為一道模擬題不合適.那么如何修改呢？進一步思考發(fā)現，此拋物線的對稱軸是直線，如圖.利用對稱性知，原點O關于對稱軸的對稱點的橫坐標應為，因此B點的橫坐標應介于和之間，于是，就有將其修改為選擇題的想法，通過列出四個選項，使其中一個選項的坐標為(1，0)，另外三個選項的橫坐標處于～之外，這樣就避免了使用一元二次方程根與系數關系來解答的超標問題.同時刪去題干中解答時不需要的條件∠OCA=∠OBC.為了使問題嚴密，將“則B點坐標是”改為“則B點坐標可能是”.4.更換條件或結論或具體化把數學題中的條件或結論變更、或將條件與結論交換(轉換為原命題的逆命題)等方式，也可打造出新題.例5.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點D在AB上，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，當D從A點向B點移動的過程中，矩形DECF的最大面積是().A.B.C.12D.24原題是：如圖Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D在AB上，作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，當D從A點向B點移動的過程中，矩形DECF的面積的變化情況是().A.逐漸變大

B.逐漸變小C.先變大后變小

D.先變小后變大原題的結論是問矩形DECF的面積的變化情況的，解答時無需動筆，只要根據經驗即可判斷出應選C.思維的含量比較低，如是隨手將結論修改為求矩形DECF的最大面積.本題還可修改為問“周長的變化情況是()”.它們雖都是更換結論編題，但改為問周長的變化情況，答案就變成“B.逐漸變小”.解答時如果不思考，易受面積變化情況的影響而選錯.這樣有利于打破學生思維定勢，提高學生的思維層次.5.縱向增設梯度問題對有一定難度的題，為了低起點、高落點，通過增設有梯度的問題，兼顧各水平學生.也可對條件、結論甚至圖形充分挖掘編題.例6.在平面直角坐標系中，有A(3，4)，B(4，3)兩點.⑴現添加一個點C(1，0)，求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；⑵任意添加一點C，是否經過A、B、C三點都可以確定一條拋物線？如果不能，請給出一個點C的坐標，求經過這三點的函數解析式，并寫出你添加的點的坐標.⑶A、B兩點可能在一條雙曲線上嗎?如果能，請求出雙曲線的解析式，如果不能，說明理由？本題的原題是：在平面直角坐標系中，有A(3，4)，B(4，3)兩點.⑴再添加一點C，求出經過A、B、C三點的函數關系式；⑵反思第⑴小題，考慮有沒有更簡捷的解法？如果有，請寫出來；如果沒有，請說明理由.原問題的設置有一定的開放性，問題設置的起點是防止思維定勢，即一般都會想到經過A、B、C三點的二次函數，實際上題目并沒有明確所求一定是二次函數.我在改編時，主要考慮做到目標明確，因此將其直接編制為考查初中所學的三種函數的問題.6.橫向聯系適當組合采用適當組合將幾個相關的概念、運算、結論或圖形等有機地組合起來可以構造新的命題，或把一個命題分解成幾個相關命題以產生新命題.例7.已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′=16cm，BC=B′C′=10cm，∠A=∠A′=30°，如果△ABC和△A′B′C′不全等，則它們的面積之差是_____cm.我們知道，滿足“邊邊角”相等的兩個三角形可能全等，也可能不全等，當滿足“邊邊角”的兩個三角形不全等時，這兩個三角形的面積就相差一個等腰三角形的面積.于是就編制出此題.例8.已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm.⑴分別取AD、AB、BC、CD的中點E、F、G、H，連接EF、FG、GH、HE，如圖⑴，則四邊形EFGH是菱形，求菱形EFGH的面積；⑵請你在圖⑵和圖⑶中分別畫出一個菱形(不必證明).要求:面積比⑴中的菱形面積大，并計算所畫菱形的面積.本題由以下兩題組合改編而成.原題1：如圖，矩形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、AB、BC、CD的中點，求證：四邊形EFGH是菱形.原題2：如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E、F分別是AD、BC上的點，四邊形EBFD是菱形，求菱形的面積.原題1中的菱形面積等于矩形的一半.原題2中的菱形面積大于矩形的一半.因此聯系這兩題就編出例11這道有一定思維含量，考查特殊四邊形知識的問題.以上方法均立足于原有題，分類并非是邏輯分類，它們彼此融合.限于水平，歸納出上述六種改編數學題的方法.實際上改編題的方法應該很多，關鍵是注意變化，編出新意.(二)利用素材進行原創(chuàng)編擬原創(chuàng)題往往需要經過反復推敲才能完成，是一項創(chuàng)造性的勞動.需要編題者做一個有心人，處處留心，處處關注，要能抓住瞬間即逝的想法，并用數學的眼光，看待所見、所聞、所思，從中發(fā)現數學問題.并做到以一定的數學知識為背景，選擇合適的題型，編制出數學題.1.從背景方面考慮進行原創(chuàng)我們可以從社會熱點、日常生活提煉與數學有關的內容，將其作為命題的素材.需要注意的是以現實為背景編制原創(chuàng)題時，所取的背景一定要真實，所給數據一定要準確.例1.前幾年房價上漲過快、近期上漲放緩編制方程題例2.會徽圖案的設計考查對稱.各類會徽的設計往往可以看作一個精美的幾何圖形，其設計通常要用到旋轉、平移、軸對稱、中心對稱、相似等一些圖形變換的方式.命題時可以用會徽圖案，考查對對稱圖形的認識.2.從知識方面考慮進行原創(chuàng)有時為了試卷的知識分布，需要考查某個知識點而編制相應的