氣體分子運(yùn)動(dòng)分布規(guī)律

分子動(dòng)理學(xué)理論的平衡態(tài)理論第二章

目錄§2.1概率論基礎(chǔ)知識(shí)§2.2麥克斯韋速率分布§2.3玻爾茲曼分布律§2.4能量均分定理一、統(tǒng)計(jì)規(guī)律伽爾頓板實(shí)驗(yàn)小釘?shù)葘挭M槽小球落在哪個(gè)槽是偶然事件大量小球一個(gè)一個(gè)投入或一次投入，分布情況大致相同§2.1概率論基礎(chǔ)知識(shí)說明：某次測(cè)量值與統(tǒng)計(jì)平均值之間總有偏離----漲落(起伏)現(xiàn)象構(gòu)成整體偶然事件數(shù)量越大，漲落現(xiàn)象就越不明顯在一定的條件下，大量的偶然事件存在著一種必然規(guī)律性----統(tǒng)計(jì)規(guī)律

二、概率簡(jiǎn)寫為概率:在一定條件下，某偶然事件出現(xiàn)的可能性的大小設(shè)N為實(shí)驗(yàn)總次數(shù)，Ni為事件i出現(xiàn)的次數(shù)，則

對(duì)n件事件：----歸一化條件任一事件的幾率滿足三、概率的運(yùn)算性質(zhì)1.加法法則N個(gè)相互排斥事件發(fā)生的總概率是每個(gè)事件發(fā)生概率之和。2.乘法法則相互獨(dú)立事件同時(shí)或依次發(fā)生的概率是各獨(dú)立事件發(fā)生概率之積。

四、統(tǒng)計(jì)平均值隨機(jī)變量u的值為ui的概率為Pi，則u的平均值為f(u)

為隨機(jī)變量u的函數(shù)，則f(u)和g(v)分別為互相獨(dú)立的隨機(jī)變量u和v的函數(shù)，u取ui的概率為Pi，v取vj的概率為Pj，則五、概率分布函數(shù)平均值歸一化條件多個(gè)變量？隨機(jī)變量在值x附近單位區(qū)間的概率。一、氣體分子速率及速度分布函數(shù)速率分布函數(shù)：速率在v附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比即§2.2麥克斯韋速率分布?xì)w一化條件速度分布函數(shù)：速度在（vx,vy,vz）附近單位速度區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比即歸一化條件速度分量分布函數(shù)：a方向速度分量在va附近單位區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比即歸一化條件二、麥克斯韋速度分布定律假設(shè)1：平衡態(tài)下，氣體分子速度三個(gè)方向分量彼此獨(dú)立假設(shè)2：速度分布各向同性，與速度方向無關(guān)兩邊對(duì)vx求導(dǎo)：兩邊同時(shí)除以f2(v2)：得到：C為積分常數(shù)。C的確定：利用歸一化條件求得到b的確定：利用理想氣體平均動(dòng)能理想氣體分子平均動(dòng)能：根據(jù)速度分布求得：麥克斯韋速度分布函數(shù)：速度分量的分布函數(shù)：

三、麥克斯韋速率分布定律----麥克斯韋速率分布函數(shù)1859年麥克斯韋從理論上導(dǎo)出平衡狀態(tài)下氣體分子速率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布曲線說明：麥克斯韋速率分布適用于平衡態(tài)氣體；f(v)只受溫度T和分子質(zhì)量m的影響；f(v)取極大值時(shí)對(duì)應(yīng)單位速率稱為最概然速率；麥克斯韋分布律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，存在漲落。

四、氣體分子的三種速率1.最概然速率vp：與f(v)的極大值對(duì)應(yīng)的速率令

2.平均速率3.方均根速率f(v)vT1T2[例]圖為同一種氣體，處于不同溫度狀態(tài)下的速率分布曲線，試問（1）哪一條曲線對(duì)應(yīng)的溫度高？（2)如果這兩條曲線分別對(duì)應(yīng)的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對(duì)應(yīng)的是氧氣，哪條對(duì)應(yīng)的是氫氣？解：(1)T1<

T2(2)綠：氧黃：氫[例]比較下列各氣體在大氣中(290K)的逃逸能力：H2,

He,

H2O,N2,O2,Ar,CO2.解：得:H2,

He,

H2O,N2,O2,Ar,CO2.km/s:1.901.340.630.510.480.420.41所以，脫離地球的逃逸速度11.2km/s.分別計(jì)算各氣體的均方根速度：將各氣體的均方根速度與逃逸速度11.2km/s比較，大者容易逃逸。[例]有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為:C(vo>v>0)0(v>vo

)1、作速率分布曲線。2、由N和vo求常數(shù)C。3、求粒子的平均速率。4、求粒子的方均根速率。Cvovo解：1、處于v~v+dv速率區(qū)間的分子數(shù)dNdN=[例]有N個(gè)分子，其速率分布函數(shù)為:2、處于0~vP速率區(qū)間的分子數(shù)NN=3、求0~vP速率區(qū)間的分子平均速率：[例]有0oC平衡狀態(tài)下的氧氣，計(jì)算速率在300--310m/s區(qū)間內(nèi)氧分子數(shù)的百分率解：速率區(qū)間較小，可用[例]利用麥克斯韋速度分布律求每秒碰到單位面積上器壁上的分子數(shù)。解：設(shè)有面元dS垂直于x軸，則速度處于v到v+dv區(qū)間，且在單位時(shí)間內(nèi)能夠碰撞到dS面的分子必然處于以dS為底，以v為棱的六面體中，其高為vx，體積為設(shè)單位體積內(nèi)分子數(shù)為n，則單位體積內(nèi)速度處于v到v+dv區(qū)間的分子數(shù)為取dS=1，則單位時(shí)間碰撞到單位壁面的速度處于v到v+dv區(qū)間分子數(shù)為每秒碰撞到單位面積上分子總數(shù)為五、分子速率分布的測(cè)定金屬蒸汽膠片屏斯特恩實(shí)驗(yàn)（1920）----可通過兩縫一.等溫大氣中分子數(shù)按高度的分布§2.3玻爾茲曼分布律z到z+dz高度單位面積上的氣體受力平衡：z+dzz代入上式，得：n—分子數(shù)密度，m—單個(gè)分子質(zhì)量分子數(shù)密度按高度的分布?jí)簭?qiáng)按高度的分布分子數(shù)按速度分布二.玻爾茲曼分布律分子數(shù)按空間分布同時(shí)考慮分子數(shù)按速度和空間的分布，將麥克斯韋分布做以下替換得到玻爾茲曼分布律波爾茲曼因子反映了平衡態(tài)系統(tǒng)中處于不同能量的粒子數(shù)的比例關(guān)系。說明：波爾茲曼分布對(duì)于處于任何保守立場(chǎng)中的任何物質(zhì)微粒都成立。1908，佩蘭三.舉例：懸浮微粒按高度分布

分子動(dòng)能§2.4能量均分定理平動(dòng)動(dòng)能=轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能+振動(dòng)動(dòng)能+

一、自由度自由度：確定一個(gè)物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目?；疖嚕罕幌拗圃谲壍郎线\(yùn)動(dòng)，自由度為1飛機(jī)：在空中飛行，自由度為3輪船：在一水平面上運(yùn)動(dòng)，自由度為2剛體的自由度剛體有6個(gè)自由度：3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度3個(gè)平動(dòng)自由度剛體繞CA軸轉(zhuǎn)動(dòng)CA的方位其中兩個(gè)是獨(dú)立的確定C的位置問題：兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)由剛性管連接，自由度為多少？2.兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)由彈簧連接，自由度為多少？氣體分子的自由度自由度平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)振動(dòng)總自由度單原子分子3003雙原子分子3216多原子分子333N-13N能量均分定理：物質(zhì)分子任一自由度的平均動(dòng)能都相等，等于kT/2。自由度為

i

的分子，其平均動(dòng)能為分子總動(dòng)能=質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能+轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能+振動(dòng)動(dòng)能二、能量按自由度均分原理分子總能量=（質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)能+轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能+振動(dòng)動(dòng)能）+振動(dòng)勢(shì)能單原子分子：雙原子分子：

三、理想氣體的內(nèi)能對(duì)理想氣體，可忽略分子間的相互作用力，則1mol理想氣體的內(nèi)能內(nèi)能：組成物體的所有分子的能量和分子之間勢(shì)能的總和。

----理想氣體內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)Mkg理想氣體的內(nèi)能[例]當(dāng)剛性雙原子分子理想氣體處于平衡態(tài)時(shí)，一個(gè)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能（）A．大于一個(gè)分子的平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能B．小于一個(gè)分子的平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能C．等于一個(gè)分子的平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能D．與一個(gè)分子平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能誰大誰小是隨機(jī)變化的[例]兩容積相同的容器中，分別裝有氦氣和氫氣，其內(nèi)能分別用E1和E2表示，若壓強(qiáng)相同，則：AE1=E2；BE1>E2；CE1<E2；D無法確定解：（1）四、理想氣體的熱容熱容：溫度升高（降低）1℃，物體吸收（放出）的能量。比熱容、摩爾熱容說明：熱容與過程有關(guān)。定容摩爾熱容不同氣體定容摩爾熱容只與分子自由度有關(guān)。