流體流動的控制方程

流體流動的控制方程第四講流體仿真與應用連續(xù)性方程◆質量守恒定律

單位時間內通過控制面流入的質量之和等于單位時間內控制體中質量的增量。積分形式！連續(xù)性方程◆質量守恒定律

根據(jù)高斯（Gauss）定理直角坐標系張量形式微分形式！運動（動量）方程◆動量守恒定律微元面積矢量dS的應力張量為作用在控制體的上外力的合力與單位時間內通過控制面流入控制體內的動量之和等于單位時間內控制體中流體動量的增量。

分量為表面力為流體具有的總動量為單位質量流體所受到的質量力為控制體受到的總質量力為運動（動量）方程動量守恒定律的數(shù)學表達式為高斯（Gauss）定理對于x方向的動量守恒積分形式！運動（動量）方程x方向的運動方程y方向的運動方程z方向的運動方程直角坐標系中的張量形式微分形式！能量方程◆能量守恒定律微元面積矢量dS的應力張量為單位時間內由外界給予控制體的熱量、功及控制面流入控制體的能量之和等于單位時間內控制體中流體能量的增加。

分量為內能為e

單位質量流體內熱源單位時間內的發(fā)熱量為q單位質量流體所受到的質量力為單位質量流體具有的動能為

能量方程表面力所做的功為單位時間內通過該微元表面的熱流密度為

內熱源發(fā)熱所獲得的能量為控制體內的流體的總能量為

質量力所做的功為與外界熱交換所獲得的能量為

能量方程高斯（Gauss）定理動量守恒定律的數(shù)學表達式直角坐標系中的張量形式積分形式！微分形式！牛頓型流體的控制方程▼流體的本構關系

①流體靜止時，切應力為0，正應力為流體的靜壓強p，即熱力學平衡態(tài)壓強。應力張量與變形速率張量之間的關系

▼斯托克斯對牛頓流體本構關系提出3條假設

②流體的物理性質僅隨空間位置的改變而變化，與方位無關，即流體具有各向同性的性質。③流體的應力張量與變形速率張量呈線性關系。牛頓型流體的控制方程△將牛頓流體的本構關系代入張量形式的運動方程▼牛頓流體的本構關系▼流體的變形速率張量牛頓型流體的控制方程不可壓縮流體，根據(jù)連續(xù)方程

不可壓縮牛頓流體流動運動方程，又稱為Navier-Stokes方程，簡稱為N-S方程?！鲗⑴ｎD流體的本構關系代入張量形式的能量方程牛頓型流體的控制方程耗散函數(shù)△N-S方程兩邊乘以代入上能量方程內能與溫度的關系內能表示的能量方程溫度表示的能量方程牛頓型流體的控制方程不可壓縮流體，根據(jù)連續(xù)方程

不可壓縮牛頓流體流動運動方程，又稱為Navier-Stokes方程，簡稱為N-S方程。牛頓型流體的控制方程N-S方程牛頓型流體的控制方程理想流體N-S方程——歐拉運動方程牛頓型流體的控制方程重力場中理想流體的伯努利方程（能量方程）牛頓型流體的控制方程重力場中理想流體的伯努利方程位置水頭測壓管水頭壓強水頭速度水頭總水頭流體流動的控制方程的通用形式▼流動與傳熱的通用微分方程

瞬變項或時間項對流項擴散項源項流動現(xiàn)象及其數(shù)學模型的類別▼流動現(xiàn)象分類①按流態(tài)的不同，可分為層流和湍流。②按流動速度的級別，可分為蠕動流、低速流、高速流、超聲速流、高超聲速流。③按流體受阻狀況，分為自由流和剪切流。④按流線形態(tài)，可分為直線流、旋轉流與分離流。⑤按參照物的尺度，可分為大尺度流、中尺度流、小尺度流和微尺度流。▼流動現(xiàn)象及控制方程的一般分類流動現(xiàn)象恒定流非恒定流非剪切流橢圓型拋物型剪切流拋物型拋物型流體流動控制方程的定解條件▼關于橢圓型方程定解條件

對于橢圓方程，需要在封閉區(qū)域的整個邊界上給定邊界條件，方程才能求出定解。

○第一類邊界條件又稱為Dirichlet問題，要求在封閉區(qū)域的整個邊界上給出待解物理量的確定值或確定函數(shù)規(guī)律，如

○第二類邊界條件即為Neumann問題，要求在封閉區(qū)域的整個邊界上給出待解物理量的一階導數(shù)確定值或確定函數(shù)規(guī)律，如

○第三類邊界條件即為Robin或Cauchy問題，要求在封閉區(qū)域的部分邊界上給定函數(shù)值，在其余邊界上給定一階導數(shù)值。

流體流動控制方程的定解條件對于拋物型方程，需要在與二階導數(shù)相關的自變量方向的兩端給出定解條件，在與一階導數(shù)相關的自變量方向上一端給出定解條件，另一端待定，方程才能定解。

▼關于拋物型方程定解條件

▼初始條件

——定解條件關于時間變量的，稱為初始條件。要求給出在記時開始的瞬間流場中各物理量的空間分布。▼邊界條件

——定解條件關于空間變量的，稱為邊界條件。▼不可壓縮