第三章地圖投影4-5節(jié)new

第三章

地圖投影第三章地圖投影地圖投影基本知識地圖投影分類方位投影圓柱投影圓錐投影我國常用投影其它投影地圖投影判別與選擇及不同投影變換4.1圓柱投影概念和種類1.圓柱投影概念設(shè)想用一圓柱面包圍地球體，并使之與地球體相切或相割，再根據(jù)某種條件將地球面上的經(jīng)緯網(wǎng)點投影到圓柱面上，然后沿圓柱面的一條母線把圓柱切開展成平面，就得到圓柱投影的經(jīng)緯網(wǎng)2.圓柱投影分類根據(jù)投影平面與地軸關(guān)系不同正軸圓柱投影、橫軸圓柱投影和斜軸圓柱投影根據(jù)變形性質(zhì)等角投影等面積投影任意投影，其中主要為等距投影應(yīng)用：等角圓柱投影最廣（正軸、斜軸）等面積圓柱投影極少應(yīng)用

等距離圓柱投影時有采用2.圓柱投影種類依據(jù)圓柱投影定義及中心透視圓柱投影經(jīng)緯形狀可寫出正軸圓柱投影一般方程式：

由上式知，圓柱投影需解決兩個問題確定x的函數(shù)形式確定常數(shù)c4.2圓柱投影公式1.正軸圓柱投影（1）圓柱投影面與平面對應(yīng)關(guān)系地球面上微分弧地球面上微分弧投影面上微分線段投影面上微分線段（2）正軸圓柱投影變形一般公式（3）常數(shù)c的確定有了上述公式，可以依據(jù)是切圓柱還是割圓柱來確定c。切圓柱投影中，圓柱面切于赤道割圓柱投影中，圓柱面切于赤道南北兩同名緯線x函數(shù)形式的確定，取決于圓柱投影的變形性質(zhì)。（4）不同變形性質(zhì)下的x函數(shù)形式及其變形等角圓柱投影投影條件：投影公式：由上式可看出，等角圓柱投影變形情況：等角圓柱投影一般變形情況角度沒有變形，變形橢圓仍為圓長度和面積變形都比較大，如在

φ＝60°，長度增大2倍，面積增大4倍，到φ＝90°，則都變?yōu)椤薷呔暸c低緯地區(qū)的投影面積相差懸殊該投影圖上要量出較準(zhǔn)確的距離或面積，需使用專用的復(fù)式比例尺

經(jīng)緯網(wǎng)投影為相互垂直的直線，緯線圈與赤道等長（4）不同變形性質(zhì)下的x函數(shù)形式及其變形等距離圓柱投影投影條件：投影公式：由上式可看出，等距圓柱投影變形情況：所有經(jīng)線和赤道的投影無變形而且等長，即經(jīng)差與緯差相等時其相應(yīng)的x值和y值也相等投影經(jīng)緯網(wǎng)格為相同的正方形，故球體的正軸等距離切圓柱投影也叫做方格投影。同樣情況下，若實行割圓柱投影，則經(jīng)緯網(wǎng)格為相同的正矩形，因為所割的緯圈半徑小于地球半徑。等距離圓柱投影一般變形情況（4）不同變形性質(zhì)下的x函數(shù)形式及其變形等面積圓柱投影投影條件：投影公式：正軸圓柱投影，通常適于赤道附近沿緯線延伸的地區(qū)若制圖區(qū)域是沿任一方向的大圓延伸或沿某一經(jīng)線延伸，該情況下不能采用正軸圓柱投影，而需選用斜軸和橫軸圓柱投影，才能減小變形。對于斜軸和橫軸圓柱投影，同樣涉及到確定新極點Q，建立球面極坐標(biāo)系，以Z，a為參數(shù)進行投影計算的問題等高圈投影為一組平行直線，垂直圈投影為與等高圈垂直的另一組平行直線，其間距與方位角a成正比。經(jīng)緯線投影后一般都成為曲線，只有通過新極點Q的經(jīng)線才投影為直線，且為其它經(jīng)線的對稱軸。主方向與垂直圈和等高圈相合，故沿垂直圈的長度比Ч1與沿等高圈的長度比Ч2即為極值長度比。2.斜軸與正軸圓柱投影公式斜軸、橫軸圓柱投影一般公式：式中c為常數(shù)，X軸與通過新極點Q的子午線相重合，在橫軸投影中則為與中央經(jīng)線相合；以赤道或最低緯線與X軸的交點作為坐標(biāo)原點。（1）斜軸、橫軸圓柱投影一般公式（2）斜軸、橫軸圓柱投影變形公式以90°-Z取代正軸投影公式中的φ，則得到變形公式：（3）斜軸等角切圓柱投影公式圓柱面切于球體的經(jīng)圈和赤道以外的任一大圓則滿足沿此大圓長度比，據(jù)等角條件得變形公式：經(jīng)緯網(wǎng)形狀：除中央經(jīng)線投影為直線外，其余經(jīng)線和緯線都投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。圓柱投影公式推導(dǎo)思路總結(jié)正軸圓柱投影公式（x與φ的f函數(shù)關(guān)系，y與λ的c常數(shù)關(guān)系）斜軸圓柱投影通式（x與Z的f函數(shù)關(guān)系，y與а的c常數(shù)關(guān)系）а相當(dāng)于λZ相當(dāng)于90-φ將各種變形比公式表示成z和c的函數(shù)等積P=1，即μ1*μ2=1等角W=0，即μ1=μ2等距μ1

=1確定x用Z和а表示的f函數(shù)形式帶入各種變形比，表示成Z和а的函數(shù)正軸、橫軸或斜軸所確定的球面極坐標(biāo)新極點的坐標(biāo)值（φ0，λ0）可確定Z和а與λ和φ的關(guān)系變形比定義切/割圓柱確定新極點C值4.3主要圓柱投影1.墨卡托投影——正軸等角切圓柱投影初目的精確顯示羅盤方位，提供海上航行保障經(jīng)緯網(wǎng)形狀：經(jīng)緯線投影為直線，相交成直角。（1）長度變形：各緯線長度與赤道相等，而地球上緯線圈由赤道向兩極縮短，故墨卡托投影圖上，除赤道外，東西間的長度都比實際長度擴大，愈向兩極擴大愈多。各緯線擴大的倍數(shù)如下式：各緯線擴大倍數(shù)等于它緯度正割，60°緯線圈與赤道等長，是實際長度的二倍。1.墨卡托投影——正軸等角切圓柱投影（1）長度變形：經(jīng)線依照它所在緯度的緯線所擴大的倍數(shù)而擴大，即，經(jīng)線擴大倍數(shù)是當(dāng)?shù)鼐暥鹊恼睢⒌厍虍?dāng)成正球體時，各經(jīng)線與赤道等長，各緯線離開赤道的距離x（即經(jīng)線上的距離），可近似計算：（1）長度變形：精確計算各緯線離開赤道的距離X：將地球作為旋轉(zhuǎn)橢圓體，并以圖上1赤道里，即圖中赤道上經(jīng)度1分的弧長為單位，可以由此推導(dǎo)出墨卡托海圖緯度漸長率MP，即圖上任一緯線到赤道的距離與圖上1赤道里(圖上經(jīng)度1分的長度)的比值為：1.墨卡托投影——正軸等角切圓柱投影(2)面積變形墨卡托投影地圖，東西間擴大2倍的部分，南北間也擴大2倍，60°緯線附近的一小塊區(qū)域，對應(yīng)圖上長度和寬度都擴大2倍，面積比實際擴大4倍。愈近兩極，緯線長度擴大愈多，南北間長度作同等擴大，面積擴大愈多。墨卡托投影圖上，緯度80°以上地區(qū)就不再繪圖。即大面積變形使得墨卡托投影不適用于常規(guī)地理世界地圖。緯度80°附近，經(jīng)線與緯線長度都擴大近6倍，面積擴大到33倍多。墨卡托投影明顯的面積變形，通過比較格陵蘭島和南美洲的面積就能看出，在這圖上格陵蘭比南美洲還大，實際上格陵蘭的面積只不過是南美洲的1／9（見圖）。（3）墨卡托投影的用途與應(yīng)用1596年，荷蘭制圖學(xué)者格拉德.克列密爾創(chuàng)造了等角正圓柱投影即墨卡托投影。墨卡托是他的拉丁名字。用等角正圓柱投影方法繪制的海圖叫墨卡托海圖，它占目前航用海圖的95%以上。故墨卡托投影主要用于航海圖。其它定向使用：航空旅行、風(fēng)向、洋流還有：等角世界地圖此投影的等角屬性最適合用于赤道附近地區(qū)，例如，印尼和太平洋部分地區(qū)。墨卡托投影——等角與大圓航線①圖上經(jīng)線為南北向相互平行的直線，其上有量取緯度或距離用的緯度圖尺；緯線為東西向相互平行的直線，其上有量取經(jīng)度的經(jīng)度圖尺，且經(jīng)線與緯線相互垂直。②圖上經(jīng)度1′（1赤道里）的長度相等，但緯度1′（1海里）的長度隨緯度升高而逐漸變長，存在緯度漸長現(xiàn)象。(4)墨卡托海圖的特點③恒向線在圖上為直線。④具有等角特性，在圖上所量取的物標(biāo)方位角與地面對應(yīng)角相等。⑤圖上同緯度緯線的局部比例尺相等，不同緯度的局部比例尺，隨緯度的升高而增大。(4)墨卡托海圖的特點(5)墨卡托圖網(wǎng)的繪制

Ⅰ墨卡托圖網(wǎng)的正規(guī)繪制方法Ⅱ墨卡托圖網(wǎng)的簡易繪制方法Ⅰ墨卡托圖網(wǎng)的正規(guī)繪制方法

同一張墨卡托海圖上，每1分經(jīng)度的長度，即1赤道里的長度是相等的，取決于圖幅寬度和圖幅經(jīng)差。任一緯線到赤道的距離，等于該緯線緯度漸長率MP與圖上經(jīng)度1分的長度之積。相鄰兩緯線之間的距離，等于兩緯線緯度漸長率之差DMP與圖上經(jīng)度1分的長度之積。因此，當(dāng)需要繪制一張墨卡托圖網(wǎng)時，可以按下列步驟進行：繪制正規(guī)墨卡托圖網(wǎng)的步驟①根據(jù)比例尺或圖幅大小和圖幅經(jīng)差，計算圖上經(jīng)度1分的長度；②根據(jù)“經(jīng)差(分)×圖上經(jīng)度1分長度”，畫出圖幅內(nèi)整度或每隔2°/5°的整度經(jīng)線，各經(jīng)線相互平行；繪制正規(guī)墨卡托圖網(wǎng)的步驟③根據(jù)圖幅緯度，分別求取上、下緯線到赤道的緯度漸長率，再求出上、下緯線間的緯度漸長率差，乘以圖上經(jīng)度1分長度，即可得到圖幅上、下緯線之間的距離。按此間距畫出圖幅上、下緯線，相互平行，并且與經(jīng)線相垂直；④按③中同樣的方法，畫出圖幅內(nèi)其它緯線；⑤按圖上經(jīng)度1分長度等分畫出經(jīng)度圖尺；緯度圖尺最好先按③中方法畫出每10分緯差圖尺，再等分畫出其它緯度圖尺。例以圖上1°經(jīng)度等于6cm的比例尺，繪制一張：120°E～124°E，32°N～36°N范圍的墨卡托圖網(wǎng)。第一步圖上經(jīng)度1分的長度=6／60cm=0.1cm；第二步圖幅經(jīng)度范圍為：124－120=4，因此，圖幅寬度為：6cm×4=24cm。相鄰兩整度經(jīng)線間距離均為6cm，按此繪制整度經(jīng)線，并且相互平行；第三步查緯度漸長率表或直接用公式計算得上、下緯線的緯度漸長率，并求得圖幅長度為：圖幅長度=(MP36－MP32)×經(jīng)度1長度=(2304.5－2016.2)×0.1cm=28.83cm第四步按上述計算結(jié)果，畫出上、下緯線，相互平行，且與經(jīng)線相垂直。第五步按同樣的方法畫出其它緯線，相互平行，且與經(jīng)線相垂直。Ⅱ墨卡托圖網(wǎng)的簡易繪制方法

①使用時機②簡易墨卡托圖網(wǎng)的繪制原理③繪制方法①使用時機構(gòu)制墨卡托圖網(wǎng)的精度要求不高時。②繪制原理a.將地球作為圓球體；b.等緯圈弧長Dep被放大了sec倍；c.相鄰兩緯線間經(jīng)線上的平均放大倍數(shù)為secm，m為相鄰兩緯線緯度的平均值。利用兩點間的東西距，即相鄰兩子午線之間的等緯圈弧長Dep（兩點間等緯圈弧長的實際長度），與兩點間的經(jīng)差D（地球赤道上經(jīng)差為D的的弧長，其即為使用墨卡托投影后兩點間等緯圈弧長的圖上長度）和該兩點所在緯度之間的下列關(guān)系而繪制成的：③繪制方法以實例說明：例：以圖上1°經(jīng)度等于6cm的比例尺，繪制一張：120°E～124°E，32°N～36°N范圍的簡易墨卡托圖網(wǎng)。繪制步驟如下：第一步按上例所述，在圖紙上分別畫出120E，121E，122E，123E和124E的整度經(jīng)線，各經(jīng)線相互平行，間距為6cm。第二步在圖的下端畫一垂直與經(jīng)線的直線，作為32N緯線。第三步自A點(32N，120E)，以32N緯線為邊，作一角度等于32.5，與121E經(jīng)線相交與B點。則AB=(121－120)sec32.5=1sec32.5，即AB等于圖上經(jīng)度1或60赤道里的secm倍。所以在120經(jīng)線上量取AC=AB，過C點且垂直與經(jīng)線的直線，即為33N緯線。第四步用類似的方法，畫出其它緯線。墨卡托投影為等角投影，保持方向和位置關(guān)系正確，用于航海用地圖。等角航線：指地球面上與各經(jīng)線相交成等方位角的一條曲線。墨卡托投影圖上，該等角航線投影為一條直線。航行時，船艦按起止點間固定的方位角前進，只要不改變方位角便可到達終點。航行時，要求嚴地球面上兩點之間的最短距離——大圓弧線航行。地球面上的等角航線是以極點為漸進點的一條螺旋曲線，只在赤道位置與赤道重合，呈大圓形態(tài)。等角航線非大圓弧線，故不是兩點間的最短距離。（6）墨卡托投影應(yīng)用——等角航線等角航線實際是螺旋曲線沿等角航線航行：若循墨卡托投影圖上兩點間的直線航行（飛行或航海），可以保持方向不變，可到達目的地。優(yōu)點：不改變航行，航行方便；缺點：距離非大圓航線，故非最短距離。然對遠洋航行和長距離飛行，以節(jié)省能源和時間為目的，通常沿大圓航線航行。優(yōu)點：距離為最短距離；缺點：除循赤道和經(jīng)線方向外，必須時時變更方向，不便利。墨卡托投影應(yīng)用——等角航線尋找兩點間接近最短、最經(jīng)濟的航線球面上任一大圓在球心投影圖上表現(xiàn)為直線。實際應(yīng)用中如何操作？先在正軸球心投影地圖上確定兩點間大圓航線，即為該兩點間的連線；量測球心投影圖上大圓航線與各經(jīng)線交角，航行時，將大圓航線按它與經(jīng)緯線的交點轉(zhuǎn)繪到墨卡托投影的地圖上，并以圓滑曲線連接，成為墨卡托投影上大圓航線（實弧線）。沿大圓航線航行時，雖距離最短，但需隨時調(diào)整航向很不方便。為此，將大圓航線劃分成若干段，把每段連成直線，即為等角航線（虛折線）。這樣，就每個航段來說是按等角航線航行，但就全部航程來講，則接近于代表最短距離的大圓航線。正軸球心投影圖A/ABCDB/C/D/ABCDA/B/C/D/NA/B/C/D/A/B/C/D/球心投影為任意投影，該投影上所有大圓航線都能投影成直線180o經(jīng)差150，緯差100的球心正軸方位投影經(jīng)緯網(wǎng)的繪制：E165oE150oE135oE120oW165oW150oW135oW120o正軸球心投影圖的繪制各正軸方位投影公式回顧：回到上一張墨卡托圖上上海到西雅圖的大圓為曲線（實線）回到上一張實驗練習(xí)通過以上講解，同學(xué)們完成從舊金山到東京在球心投影圖上的大圓航線，并在墨卡托航海圖上確定航行過程中的近似等角航線。（5）GIS下墨卡托投影參數(shù)認識東移假定值北移假定值標(biāo)準(zhǔn)緯線1中央子午線由愛丁堡人RJ高爾于1855年提出他規(guī)定圓柱面與地球相割于南北緯45°處，實行球面透視投影。投影后經(jīng)緯線都是直線，且垂直相交。南北緯45°緯線與主比例尺相符，沒有變形；南北緯45°以內(nèi)小于主比例尺；45°以外大于主比例尺該投影的地圖既不等積，又不等角，但就整個圖形看，能適當(dāng)?shù)厝姹硎臼澜绾ｊ懛植嫉南鄬﹃P(guān)系僅用于做世界地圖。應(yīng)用：在英國地圖冊中用于世界地圖2.高爾（Gall）投影高爾投影的世界地圖5.1圓錐投影概念和種類1.概念：圓錐投影：是假定以圓錐面作為投影面，使圓錐面和地球體相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后把圓錐面沿一條母線剪開展為平面而成。當(dāng)圓錐面與地球相切時，稱為切圓錐投影當(dāng)圓錐面與地球相割時，稱為割圓錐投影2.圓錐投影種類：根據(jù)投影平面與地軸關(guān)系不同正軸、橫軸、斜軸圓錐投影橫軸、斜軸圓錐投影實際上很少應(yīng)用。所以凡在地圖上注明是圓錐投影的，一般都是正軸圓錐投影。根據(jù)投影性質(zhì)分為等角、等面積和任意投影，其中主要為等距投影2.圓錐投影種類：按標(biāo)準(zhǔn)緯線分為切圓錐投影和割圓錐投影切圓錐投影，視點在球心，緯線投影到圓錐面展開后呈以圓錐頂點為圓心的同心圓弧，經(jīng)線成為由圓錐頂點向外放射的直線束，經(jīng)線間的夾角與相應(yīng)的經(jīng)差成正比，但比經(jīng)差小。切圓錐投影上，圓錐面與球面相切的一條緯線投影后是不變形的線，叫做標(biāo)準(zhǔn)緯線。它符合主比例尺，這條緯線通常位于制圖區(qū)域的中間部位。從切線向南向北，變形逐漸增大。2.圓錐投影種類：在割圓錐投影上，兩條緯線投影后沒有變形，是雙標(biāo)準(zhǔn)緯線，兩條割線符合主比例尺，離開這兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向外投影變形逐漸增大，離開這兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向里投影變形逐漸減小，凡是距標(biāo)準(zhǔn)緯線相等距離的地方，變形數(shù)量相等，因此圓錐投影上等變形線與緯線平行。5.2圓錐投影公式1.正軸圓錐投影一般公式由圓推投應(yīng)定義知，正軸圓錐投影緯線投影為同心圓弧，經(jīng)線投影為同心圓弧的半徑，兩經(jīng)線間的夾角與相應(yīng)經(jīng)差成正比例式中a是圓錐常數(shù)。地球極點處的x＝360°，而圓錐展開后為扇形，其頂角一定不足360°，將圓椎頂角與圓周角360°之比，稱為圓錐常數(shù)當(dāng)0＜a＜1，為圓錐投影當(dāng)a＝1時，為方位投影當(dāng)a＝0時，為圓柱投影因此，方位投影和圓柱投影是圓錐投影特例式中ρ是緯線投影半徑，函數(shù)形式由投影性質(zhì)決定所以圓錐投影主要是確定ρ和a1.正軸圓錐投影一般公式

正軸圓錐投影示意圖式中ρs為最南邊緯線投影半徑ρρsdρ正軸圓錐投影示意圖2.等角圓錐投影ρ確定及一般公式

上述公式中，尚有常數(shù)α和K沒有具體確定，故不能用這些公式進行投影計算這兩個常數(shù)需根據(jù)切圓錐投影或割圓錐投影才能確定等角條件：ω＝0，m＝nα為圓錐系數(shù)；K為積分常數(shù)，當(dāng)φ＝0，ρ＝K，即K等于赤道投影半徑；當(dāng)φ＝90°，即在極點投影半徑ρ＝0。（1）單標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影

K值確定——可計算直角坐標(biāo)和變形值（2）雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影

此投影，圓錐面切于一條緯線φ0上，n0＝1，由此得出：此投影，圓錐面割于地球上φ1和φ2兩條緯線上，n1＝n2=1，得出：等面積條件P＝mn＝1，來確定投影半徑ρ的具體形式的圓錐投影即為等面積正軸圓錐投影。它的兩個投影常數(shù)a和K也是根據(jù)切圓錐或割圓錐的投影條件來確定。單標(biāo)準(zhǔn)緯線的等面積圓錐投影應(yīng)用較少。雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等面積圓錐投影又名阿爾勃斯(Albers)投影，是中緯度地區(qū)常用一種投影下圖為采用φ1＝25°N和φ2＝47°N的等面積圓錐投影繪制的我國地圖。2.等面積圓錐投影式中ρs為最南邊緯線投影半徑

等面積圓錐投影中國地圖形狀以等距離條件m＝1，確定投影半徑P的具體形式的圓錐投影，即為等距離正軸圓錐投影。它的兩個常數(shù)a和K．同樣也是根據(jù)切圓推投影或割圓錐投影而確定。單標(biāo)準(zhǔn)緯線的等距離圓錐投影使用較少雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等距離圓椎投影，其角度、面積和緯線長度的變形都不太大，故常被用于中緯或高緯地區(qū)的小比例尺地圖3.等距離圓錐投影相切緯線（標(biāo)準(zhǔn)緯線）沒有變形，長度比為1。其他緯線投影后為擴大的同心圓弧并且離開標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠，這種擴大的變形程度也就越大，標(biāo)準(zhǔn)線以北變形增加的要比以南快些。經(jīng)線為過緯線圓心的一束直線。由于m=n所以在緯線方向上擴大多少，就在經(jīng)線上擴大多少，才能使經(jīng)緯線方向上的長度比相等。所以在等角圓錐投影上緯線間隔從標(biāo)準(zhǔn)緯線向南向北是逐漸增大的。5.3圓錐投影變形分析和應(yīng)用1.等角圓錐投影（1）等角切圓錐投影

兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線長度比為1，沒有變形。兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之間緯線長度比小于1，即投影后的緯線長比圓面上相應(yīng)緯線縮短了，便形成離開標(biāo)準(zhǔn)緯線向里成負的方向增大；兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之外，緯線長度比大于1，即離開標(biāo)準(zhǔn)緯線長度變形逐漸增大。經(jīng)線的變形長度也是如此。所以在等角割圓錐投影上從兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向外，緯線間距是逐漸增大的；從兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線逐漸向里，緯線距離是縮小的。等角圓錐投影面積變形大.1.等角圓