《求解二元一次方程組(代入法)》同步課堂教案 (公開課)2022年

5.2求二一方組一時(shí)〔入〕一、教目標(biāo)〔一〕知識(shí)與技能會(huì)用代入消元法解二元一次方程組〔二〕過(guò)程與方法了解解二元一次方程組的消元思初步表達(dá)數(shù)學(xué)研究中化未知為〞的化歸思從而“變陌生為熟悉〞〔三〕情感態(tài)度價(jià)值觀利用小組合作探討學(xué)習(xí),使學(xué)生領(lǐng)會(huì)樸素的辯證物主義思想二、教重點(diǎn)用代入法解二元一次方程組.三、教難點(diǎn)用代入法解二元一次方程組的根本思想是化歸—化陌生為熟悉.四、教過(guò)程〔一〕課題引入上節(jié)課我們的老牛和小馬的包裹誰(shuí)的多的問(wèn)題,經(jīng)大家的共同努得出了如下二元一次方程組：到底誰(shuí)的包裹多呢x-y=2①②這就需要解這個(gè)二元一次方程組.一元一次方程我們會(huì)解,二元一次方程組如何解?我們大家知道二元一次方程只需要消去一個(gè)未知數(shù)就可變?yōu)橐辉淮畏匠棠敲次覀儼l(fā)現(xiàn)：由①得由于方程組相同的字母表示同一個(gè)未知數(shù)所以方程②中的y也等于以用x-2替方程②中的這樣就得到大家會(huì)解的一元一次方程了.〔二〕例題講解

我們知道了解二元一次方程組的一種思路,下面我們來(lái)做一做例1

解方程組

2y=14x=y+3

①②解：將②代入①,得3(y+3)+2y=145y=5將入②得所以原方程組的解是

例2

解方程組

x+4y=13

①②教師先分析題不同于例1,(即用含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù))，②式不能直接代入①,那么我們應(yīng)當(dāng)怎樣處理才能轉(zhuǎn)化為②式這樣的形式呢?請(qǐng)同學(xué)答復(fù)應(yīng)先對(duì)②式進(jìn)行恒等變化,它化為例1②式那樣的形式.)分小組合作完成上述例題,請(qǐng)兩個(gè)小組的代表上黑板上來(lái)板演解：由②，得

將③代入①，得2(13-4)S+3y=1626-8y+3y=16-5y=-10將代入③，得

所以原方程組的解是

〔三〕同學(xué)合作議一議上面解方程組的根本思路是什么？主要步驟有哪些？

上面解方程組的根本思路是“消元〞——把“二元〞變?yōu)橐辉曋饕襟E是將其中一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)②將這個(gè)代數(shù)式代入另一個(gè)方程中而消去一個(gè)未知數(shù)二元一次方程組為一元一次方程式。③解這個(gè)一元一次方程把求得的一次方程的解代入方程中得另一個(gè)未知數(shù)值，組成方程組的解。這種解方程組的方法稱為代入消元法。簡(jiǎn)稱代入法?！菜摹撤€(wěn)固新知練一練1.用含x的代數(shù)式表示y：3x-2y=y=2-2x2.練一練〔1〕〔3〕

2425x+y=11x-y=7

〔2〕〔4〕

x3x-2y=9x+2y=3〔五〕課堂小結(jié)理一理1、今天我學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法，你有什么體會(huì)？2、解二元次方程組的思路是消元，把二元變?yōu)橐辉?、解題步概括為三步即：①變、②代、③解、4、方程組解的表示方法，應(yīng)用大括號(hào)把一對(duì)未知數(shù)的值連在一起，表示同時(shí)成立，不要寫成x=？y=？5、由一個(gè)程變形得到的一個(gè)含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式必須代入另一個(gè)方程中去，否那么會(huì)出現(xiàn)一個(gè)恒等式。五、作布置賽一ax+by=21、是方程組4x+3y=1

x-by=3

的解，那么ab值是多少？2、假設(shè)方程組ax+(a-1)y=3的解x與y相等，那么a的值是多少？方式一)

1.8

完平

●學(xué)目標(biāo)一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.2.完全平方公式的幾何背景.二)能力訓(xùn)練要求1.經(jīng)歷探索完全平方公式的過(guò)程，進(jìn)一步開展符號(hào)感和推理能力.2.重視學(xué)生對(duì)算理的理解，有意識(shí)地培養(yǎng)他們有條理的思考和表達(dá)能力三)情感與價(jià)值觀要求1.了解數(shù)學(xué)的歷史，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣.2.鼓勵(lì)學(xué)生自己探索算法的多樣化，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力●學(xué)重點(diǎn)1.完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、語(yǔ)言表述、幾何解釋.2.完全平方公式的應(yīng)用.●學(xué)難點(diǎn)1.完全平方公式的推導(dǎo)及其幾何解釋.2.完全平方公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其應(yīng)用.●學(xué)方法自主探索法學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自主探索完全平方公式的幾何解釋、代數(shù)運(yùn)算角度的推理，揭示其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，然后到達(dá)合理、熟練地應(yīng)用●具準(zhǔn)備投影片四張第一張：試驗(yàn)田的改造，記作(§1.8.1A)第二張：想一想，記作(§1.8.1B)第三張：例題，記作(§1.8.1C)第四張：補(bǔ)充練習(xí)，記作(§1.8.1D)●學(xué)過(guò)程Ⅰ.設(shè)問(wèn)題情景，引入新課［師］去年，一位老農(nóng)在一次下鄉(xiāng)〞活動(dòng)中得到啟示，將一塊邊長(zhǎng)為米

的正方形農(nóng)田改成試驗(yàn)田，種上了優(yōu)質(zhì)的雜交水稻，一年來(lái)，收益很今年，又一次“科技下鄉(xiāng)〞活動(dòng)，使老農(nóng)鐵了心，要走技興農(nóng)的路子，于是他想把原來(lái)的試驗(yàn)田，邊長(zhǎng)增加b，形成四塊試驗(yàn)田，種植不同的新品種.同學(xué)們，誰(shuí)來(lái)幫老農(nóng)實(shí)現(xiàn)這個(gè)愿望呢？同學(xué)們開始動(dòng)手在練習(xí)本上畫圖，尋求解決的途徑［生］我能幫這位爺爺.［師］你能把你的結(jié)果展示給大家嗎？［生可以如圖1－25示這就是我改造后的試驗(yàn)田可以種植四種不同的新品種.圖1－25［師］你能用不同的方式表示試驗(yàn)田的面積嗎？［生］改造后的試驗(yàn)田變成了邊長(zhǎng)(a+b)的大正方形，因此，試驗(yàn)田的總面應(yīng)為(a+b)

.［生］也可以把試驗(yàn)田的總面積看成四局部的面積和即邊長(zhǎng)為a正方形面積，邊長(zhǎng)為b的正方形的面積和兩塊長(zhǎng)和寬分別a和b面積的和所以試驗(yàn)田的總面積也可表示為2

.［師］很好！同學(xué)們用不同的形式表示了這塊試驗(yàn)田的總面積，進(jìn)行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？［生］可以發(fā)現(xiàn)它們雖形式不同，但都表示同一塊試驗(yàn)田的面積，因此它們應(yīng)該相等.(a+b)2

=a

2

2［師］我們這節(jié)課就來(lái)研究上面這個(gè)公式—完全平方公式.Ⅱ.授新課1.推導(dǎo)完全平方公式［師我們通過(guò)比照試驗(yàn)田的總面積得出了完全平方公式a+b)=a2+2ab+b.其實(shí)，

據(jù)有關(guān)資料說(shuō)明，古埃及、古巴比倫、古印度和古代中國(guó)人也是通過(guò)類似的圖形認(rèn)識(shí)了這個(gè)公式.我們姑且把這種方法看作對(duì)完全平方公式的一個(gè)幾何解釋能不能從代表運(yùn)算的角度也能推導(dǎo)出這樣的公式呢？出示投影片§A)想一想：等于什么？你能用多項(xiàng)式乘法法那么說(shuō)明理由嗎？－等于什么？你是怎樣想的.同學(xué)們可先在自己的練習(xí)本上推導(dǎo)教師巡視推導(dǎo)的情況對(duì)較困難的學(xué)生以啟示)［生］用多項(xiàng)式乘法法那么可得(a+b)=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)22

+ab+ab+b2所以(

=a

2

+2ab+b2

(1)［師］上面的幾何解釋和代數(shù)推導(dǎo)各有什么利弊？］認(rèn)何釋2

=a

2

,到了條件限制:且b>0;代數(shù)推導(dǎo)完全平方公式雖然不直觀，但在推導(dǎo)的過(guò)程中可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，零，也可以是單項(xiàng)式,多項(xiàng)式［師］同學(xué)們分析得很有道理.接下來(lái)，我們來(lái)完成第問(wèn).［生］也可利用多項(xiàng)式乘法法那么，那－2－2.

=(a－－b)=a

－ab－2

2［生］我是這樣想的，因(=a2中的、b以是任意數(shù)或單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.們用“－b〞代替公式中的b〞,利用上面的公式就可以得到－b)=［a+(－b)］2

.［師這位同學(xué)的想法很好因?yàn)樗芰粜奈覀儽硎龅拿恳痪湓挼暮x你能繼續(xù)沿著這個(gè)思路做下去嗎？我們一塊試一下.［師生共析］(ab)=［a+(－b)］22－－2

↓↓↓↓↓↓=a2·b+b

22

－

.于是，我們得到又一個(gè)公式：(ab)

2

－2

(2)［師］你能用語(yǔ)言描述上述公式(1)、嗎？［生公式(用語(yǔ)言描述為兩個(gè)數(shù)的和的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和與它們積的2的和公式(用語(yǔ)言描述為兩個(gè)數(shù)的差的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和與它們積的倍的差這兩個(gè)公式為完全平方公式.它們和平方差公式一樣可以使整式的運(yùn)算簡(jiǎn)便.2.應(yīng)用、升華出示投影片(B)［例1］利用完全平方公式計(jì)算：－3)

;(2)(4x+5y)2

;(3)(mna).分析：利用完全平方公式計(jì)算，第一步先選擇公式；第二步，準(zhǔn)確代入公式；第三步化解：方法一：

1111［例2］利用完全平方公式計(jì)算－－x－y);－z)

2

;(4)(x+y)

－－y)2

;－2.分析：此題需靈活運(yùn)用完全平方公式(1)題可轉(zhuǎn)化為(－x)

2

或(x－2y)2

,運(yùn)用平方差公式題需轉(zhuǎn)化為(x+y),利用和的完全平方公式(3)題利用加法結(jié)合律變形為［(x+y)－］2(或［x+(y－］2－z)+y］),再用完全平方公式計(jì)算(4)題可利用完全平方公式，再合并同類項(xiàng)，也可逆用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.(5)題可先逆用冪的運(yùn)算性質(zhì)變形，再用平方差公式和完全平方公式解：方法一：(－2=(2y－2=4y2－4xy+x；方法二：－2

=－2y)］

=(x－2y)2

=x

2

－4xy+4y

.－x－y)2

=－(x+y)2

=(x+y)

=x

2

+2xy+y

.－z)

2

=(x+y)－z］2

=(x+y)2

－2(x+y)·z+z

2=x2+z2+2xy－－2yz.方法一：(x+y)

－(xy)2=(x

2

+2xy+y

－(x

2

－2xy+y2

)方法二：(x+y)－(xy)=(x+y)+(x－y)－y)］－2

=(2x］2=4x－2］22+81y4.Ⅲ.堂練習(xí)課本1.計(jì)算：x－2y);(2)(2xy+x)2;25(3)(n+1)2－n.

11111111解：x－2=(x)－2·x·2y+(2y)2=x2222(2)(2xy+

1

x)

2

2

1

x+(

1

x)

2

=4x

y2

4

x

2

y+

1

x

255方法一：(n+1)

2

－n

2

2

+2n+1－n

2

=2n+1.方法二：(n+1)

－n

2

=［(n+1)+n－］Ⅳ.后作業(yè)1.課本習(xí)題1.13的第、、3題.2.閱讀〞，并答復(fù)文章中提出的問(wèn)題Ⅴ.動(dòng)與探究甲乙兩人合養(yǎng)了n頭牛而每頭牛的賣價(jià)恰為元全部賣完后兩人分錢方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿元，如此輪流，拿到最后剩下缺乏十元，輪到乙拿去，為了平均分配，甲應(yīng)該補(bǔ)給乙多少元錢？［過(guò)程］因牛n，每頭賣n元，故共賣得n

2

元.令表示n的十位以前的數(shù)字，表示n的個(gè)位數(shù)字.于是n2+.因甲先取10元，而乙最后一次取錢時(shí)缺乏10元，所以n

2

中含有奇數(shù)個(gè)元，以及最后剩下缺乏10.但10×2a(5a+b)中含有偶數(shù)個(gè)元，因此b中必含有奇數(shù)個(gè)10元，且所以b2只可能是、4916、、36、、、81而這九個(gè)數(shù)中，只有和含有奇數(shù)個(gè)10因此b

2

只可能是1636，但這兩個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)都6，這就是說(shuō)，乙最后所拿的是6(即剩下缺乏10).［結(jié)果］甲比乙多拿了4元，為了平均分配甲必須補(bǔ)給乙2元板書設(shè)計(jì)1.8.完全平方公式(一)一、幾何背景試驗(yàn)田的總面積有兩種表示形式：①+2ab+b2②(a+b)

比照得：(a+b)=a2二、代數(shù)推導(dǎo)(a+b)

2

(ab)

=a+(－］22三、例題講例例1.利用完全平方公式計(jì)算：－3)(3)(mna)四、隨堂練習(xí)略)備課資料一、楊輝楊輝國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家在世紀(jì)中葉活動(dòng)于蘇杭一帶，其著作甚多.他著名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷.著有?詳解九章算法?二卷(1261年)、?日用算法?二(1262年除通變本末三卷()畝比類乘除算法?二卷(續(xù)古摘奇算法二卷(1275年).楊輝的數(shù)學(xué)研究與教育工作的重點(diǎn)是在計(jì)算技術(shù)方面他對(duì)籌算乘除捷算法進(jìn)行總結(jié)和開展，有的還編成了歌訣，如九歸口訣。他在續(xù)古摘奇算法介紹了各種形式的“縱橫圖〞及有關(guān)的構(gòu)造方法同時(shí)垛積術(shù)〞是楊輝繼沈括“隙積術(shù)〞后于高階等差級(jí)數(shù)的研究.楊輝在纂類〞中九章算術(shù)246個(gè)題目按解題方法由淺入深順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈缺乏、方程、勾股等九

1111x－1111x－類.他非常重視數(shù)學(xué)教育的普及和開展，在算法通變本末?中，楊輝為初學(xué)者制訂的綱目〞是中國(guó)數(shù)學(xué)教育史上的重要文獻(xiàn)二、參考練習(xí)1.填空題－3x+4y)=－2a－=(3)x

2

－=(x－2y)

.(4)a

+b2

=(a+b)2

(5)222.42－2=.2.選擇題以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是()A.(m－1)=m2－1B.(x+1)(x+1)=x2+x+1C.(

x－2x24

2

－xy－y2D.(x+y)(x－y)(