43多項式方法求特征值問題

4．3多項式方法求特色值問題方法求多項式系數(shù)我們知道，求n階方陣A的特色值就是求代數(shù)方程()|AI|0（）的根。()稱為A的特色多項式。上式睜開為()np1n1p2n2.....pn（）此中p1,p2,...pn為多項式()的系數(shù)。從理論上講，求A的特色值可分為兩步：第一步直接睜開隊列式|AI|求出多項式()；第二步求代數(shù)方程(x)0的根，即特色值。關(guān)于低階矩陣，這類方法是可行的。但關(guān)于高階矩陣，計算量則很大，這類方法是不適用的。這里我們介紹用F-L（Faddeev-Leverrier）方法求特色方程（）中多項式()的系數(shù)。因為代數(shù)方程求根問題在第2章中已經(jīng)介紹，所以本節(jié)中解決特色值問題的要點是確立矩陣A的特色多項式()，所以稱這類方法為多項式方法求特色值問題。記矩陣A=(aij)nn的對角線元素之和為trAa11a22...ann（）利用遞歸的看法定義以下n個矩陣Bk(k1,2,....,n):p1trB1B1A,p21B2A(B1p1I),trB22p31trB3B3A(B2p2I),3...............pk1trBkBkA(Bkpk1I),k1................pn1BnA(Bn1pn1I),trBnn（）能夠證明,(4.3.4)式中pk,k1,2,...,n,即是所求A的特色多項式()的各系數(shù)。用（）式求矩陣的特色多項式系數(shù)的方法稱為F-L方法。相應(yīng)特色方程為：(1)n(np1n1p2n2.....pn)0（）并且可證矩陣A的逆矩陣可表示為A11(Bn1pn1I)pn(4.3.6)例1求矩陣324A202423的特色值與A1.解用F-L方法求得324B1A202423p1trB161124B2A(B1p1I)2824211p21trB2152800B3A(B2p2I)080008p31trB38所以A的特色方程為3(1)3(362158)0此方程的根,即特色值為18,21,31111242A11(B2p2I)171p3484111242從例1中的計算結(jié)果可知B3p3I.Faddeev以前證明:對n階矩陣A,按(4.3.4)式計算出的Bn總有BnpnI(4.3.7)特色向量求法當(dāng)矩陣A的特色向量確立此后,將這些特色值逐一代入齊次線性程組(AI)x=0中,因為系數(shù)矩陣AI的秩小于矩陣AI的階數(shù)n,所以固然有n個方程n個未知數(shù),但實際上是解有n個未知數(shù)的互相獨立的r個方程(r<n).當(dāng)矩陣A的所有特色值互不同樣時,這樣的問題中要解的齊次方程組中有n-1個獨立方程,此中含有n個特色向量重量,所以特色向量重量中最罕有一個需要隨意假定其值,才能求出其余特色重量.在計算機中解這樣的齊次線性程組,可用高斯-若當(dāng)消去法,以便把一組n個方程簡化為等價的一組n-1個方程的方程組.可是,用高斯-若當(dāng)消去法簡化一個齊次線性程組時,方程之間不都是獨立的,在消去過程中系數(shù)為零的狀況許多.必需互換方程中未知數(shù)的序次,以避免主元素地點上為零的狀況.所以,為了提升精度和防范零元素的可能性,我們老是用主元素措施把絕對值最大的系數(shù)放于主元素地點.比方,假定矩陣A為422A532241其特色方程為422532241=0睜開后為(1)(2)(5)0故特色值分別為11,22,35下邊求特色向量，將1代入方程組(AI)x0中，得3x12x22x305x12x22x302x14x20x30（）以-5為主元素,互換上式第一與第二個方程得5x12x22x303x12x22x302x14x20x30(4.3.9)用高斯-若當(dāng)消去法消去-5所在列中的x1,并把主元素所內(nèi)行調(diào)到最后,得0x1164x30x2550x116x24x3055x12x22x3055(4.3.10)再以16/5為主元素,消去它所在列中的x2,并把主元素所在的行調(diào)到最后,得0x10x20x30x10x21x3020x1x21x30(4.3.11)4這就是用高斯若當(dāng)消去法實現(xiàn)把一組三個方程簡化為等價的一組兩個獨立方程的情況

.因為這個等價的方程組包括兩個獨立的方程,而有三個未知數(shù)，所以只需假定此中一個值

,則其余兩個值就能夠經(jīng)過兩個獨立方程解出.比方,令x31,則獲得矩陣A的對應(yīng)于11的一個特色向量為12141對其余兩個特色值的對應(yīng)特色向量求法與上述對11的推導(dǎo)過程同樣.計算機中實現(xiàn)求解這樣的齊次線性方程組的消去步驟是,用第3章談?wù)撨^的高斯-若當(dāng)消去法的公式,方程組(4.3.9)的系數(shù)矩陣經(jīng)過第一次消去后的矩陣B為16455164B552255(4.3.12)以矩陣為方程組(4.3.10)的系數(shù)矩陣,此中省略了有0和1元素的第一列.在進行第二次消元以前,要應(yīng)用完整主元素措施對前兩行進行最大主元素選擇,而后再進行必需的行或列互換.每達成一次消元過程,總省略只有0和1元素的第一列,并且計算機僅找尋矩陣的前n-k行中的最大主元素,此中k是消元過程應(yīng)用的次數(shù).對(4.3.12)式再進行一次消元過程,則獲得列矩陣0B11214(4.3.13)此矩陣是對應(yīng)于方程組(4.3.11)的系數(shù)矩陣,可是省略了含0和1元素的前兩列.一般來說,最后矩陣列的數(shù)量等于矩陣AI的階數(shù)和秩的差值.因為方程組(4.3.8)有三個未知數(shù),兩個獨立方程,所以計算機一定隨意給定一個未知數(shù)的值,以便能夠從其余兩個獨立方程中解出其余兩個未知數(shù).為方便，在計算機決定特色向量時,要合適地設(shè)定隨意采納的未知數(shù)的值.比方,令x31,由方程組知道,其余兩個重量的值正好能從含x3的非零系數(shù)項得出.為此,從計算機所儲存的最后矩陣中,令B1最上邊的0元素為-1,并把它按序調(diào)到最下邊第三行的地點上,就獲得所求的特色向量(1,1,1)T.24在工程問題中,從特色方程所求出的特色值,少量情況也有同樣的.一般地,當(dāng)一個特色方程有k重根時,矩陣AI的秩可能比其階數(shù)少1,或2,或3,,或k,自然對應(yīng)于的線性沒關(guān)的特色向量的個數(shù)也就是1,或2,或3,,或k,下邊經(jīng)過一個特色值對應(yīng)兩個線性沒關(guān)特色向量的例子進一步說明計算機求特色向量的方法.設(shè)矩陣A為324A202423其特色方程為324220423睜開后得(1)2(8)0所以特色值為121,38為了決定1的特色向量,將1代入方程組(AI)x=0,得424x1212x20424x3(4.3.14)應(yīng)用一次高斯-若當(dāng)消去法,得000x1000x2011/21x3(4.3.15)寫成矩陣形式,(4.3.15)式的系數(shù)矩陣為00B001/21(4.3.16)因為方程組(4.3.15)的系數(shù)矩陣的秩為1,它比矩陣階數(shù)少2,所以對應(yīng)于1有兩個線性沒關(guān)的特色向量,一定給兩個未知數(shù)隨意規(guī)定值,才能確立這兩個線性沒關(guān)的特色向量,由（）式可看出,一般老是選擇x21,x30求一個特色向量;選擇x20,x31求另一個特色向量;這樣有兩個線性沒關(guān)的特色向量1/21100,1計算機中求兩個線性沒關(guān)的特色向量的方法是,在(4.3.16)式的B中,把第一列中第一個0元素用-1取代,第二列中第二個0元素也用-1取代,而后把第一、第二行按序調(diào)到最下邊一行的地點上，第三行自然就成了第一行，這樣調(diào)動后矩陣的第一列和第二列就是所求的兩個線性沒關(guān)的特色向量。對應(yīng)于1的所有特色向量為1/21k11k2001此中k1與k2是隨意常數(shù)，且不一樣時為零。為了說明列互換的必需性，防范主元素為零，再舉一個例子，設(shè)矩陣A為2812A144001其特色方程為(2)(1)0特色值為12,20,31對應(yīng)于2的特色向量可由解以下方程組而求得4812x1124x20001x3(4.3.17)用一次高斯-若當(dāng)消去法，得001x1001x20123x3(4.3.18)若不進隊列互換，則下一個消元過程只好在第一行的第二個元素與第二行的第二個元素中找最大主元素，而它們都是零，我們不得不對(4.3.17)式進隊列互換，即互換未知數(shù)之間的序次，以后再進行消去過程.對(4.3.17)式進隊列互換，即把絕對值最大系數(shù)放在主元素地點，明顯是第一列與第三列的互換，互換后成為1284x3421x20100x1(4.3.19)此中未知數(shù)列矩陣中x1與x3也進行了互換，這樣才能保證(4.3.17)式與式等價，對式進行一次高斯-若當(dāng)消去法，得02/31/3x302/31/3x2012/31/3x1(4.3.20)再進行一次消去過程，得000x3100x20011/2x1(4.3.21)在計算機被騙算，剩下一個最后的列矩陣0