第三章空間力系

第三章空間力系主要內(nèi)容空間匯交力系的合成與平衡；力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩；空間力偶；空間任意力系的簡(jiǎn)化---主矢和主矩；空間任意力系的平很問(wèn)題和平衡方程；物體重心的確定§3-1空間匯交力系1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影

xyzXiZiYiFiXiZiYiFiX=FsinγcosφY=FsinγsinφZ(yǔ)=Fcosγβαγφxyzγ

X=FcosαY=Fcosβ

Z=FcosγConcurrentforcesysteminspace2、空間匯交力系的合成與平衡條件：合力的大小空間匯交力系的平衡方程:求：三根桿所受力。例：P=1000N,各桿重不計(jì)。nnnnhABMO(F)rhABMO(F)rhABOzxyMO(F)rhABMO(F)r|M

O(F)|=FhF矢量記作MO(F)，且MO

(F)=r×F——定位矢量§3－2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩Themomentofaforceaboutapointoranaxis一、空間力對(duì)點(diǎn)的矩2）矢量的方位與力矩作用面的法向同，矩心為矢起端；1）矢量的模等于力矩的大??；3）矢量的指向確定了轉(zhuǎn)向，按右手法則。力對(duì)點(diǎn)的矩為零的條件：要使|MO(F)|=0，就有r×F=0，得：1）r=0或r與F共線，即力通過(guò)矩心；2）F=0力對(duì)點(diǎn)的矩采用行列式可得如下形式：由：r=xi+y

j+zk和F=X

i+Y

j+Z

k可得：=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k二、力對(duì)軸的矩度量力對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體的作用效果以門為例：門上作用一個(gè)力F假定門繞z軸旋轉(zhuǎn)將力F向z軸和xy面分解成兩個(gè)分力Fz

和Fxy，顯然力Fxy

使門繞z軸旋轉(zhuǎn)。FFxyFzzxyOz力對(duì)軸的矩之定義 力對(duì)軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量，是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于該力在垂直于該軸的平面上的投影對(duì)于此平面與該軸的交點(diǎn)的矩的大小。逆著坐標(biāo)軸正向看，力使物體繞軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。FFxyFzABh即Mz(F)=MO(Fxy)=±Fxyh力對(duì)軸的矩等于零的情形：①力與軸相交(h=0)②力與軸平行(Fxy=0)一句話:只要力與軸在同一平面內(nèi),力對(duì)軸的矩等于零。FxyFxyFzFxyFxyFzFxy力對(duì)軸的矩之解析表達(dá)式設(shè)空間中有一個(gè)力FyxyxOzXYFxyXYZFA(x,y,z)力作用點(diǎn)A（

x，y，z）;

F

在三軸的投影分別為X，Y，Z;A(x,y,z)A(x,y,z)根據(jù)合力矩定理，得Mz(F)=M

O(Fxy)=MO(X)+MO(Y)=xY－yXXYZXYZ按同類方法求得其他兩式：M

x

(F)=yZ－zY

My

(F)=zX－xZ三、力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩的關(guān)系力對(duì)點(diǎn)的矩矢量可以寫成：可得[MO(F)]x

=Mx(F)[MO(F)]y

=M

y

(F)[MO(F)]z

=M

z(F)MO(F)=[MO(F)]xi+[MO(F)]yj+[MO(F)]zk=(yZ－zY)i+(zX－xZ)j+(xY－yX)k

而

Mx(F)=yZ－zY

M

y(F)=zX－xZ

M

z

(F)=xY－yX

結(jié)論：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。如果力對(duì)通過(guò)O點(diǎn)的直角坐標(biāo)軸x、y、z的矩是已知的，則力對(duì)點(diǎn)O的矩的大小和方向余弦為：手柄ABCE在平面Axy內(nèi)，在D處作用一個(gè)力F，它垂直y軸，偏離鉛垂線的角度為α，若CD=a，BC∥x軸，CE∥y軸，AB=BC=l。求力F對(duì)x、y和z三軸的矩。例3-1：CDEAxzyαFB由合力矩定理可得：CDEAxzyαFB解法1將力F沿坐標(biāo)軸分解為Fx和Fz。FxFzMx(F)=M

x(Fz

)=-F

z(AB+CD)=-F(l+a)cosαM

y(F)=M

y(Fz)=-F

z(BC)=-FlcosαM

z(F)=M

z(Fx)=-F

x(AB+CD)=-F(l+a)sinαFxFzFxFz解法2直接套用力對(duì)軸之矩的解析表達(dá)式：力在x、y、z軸的投影為X=FsinαY=0Z=-FcosαCDEAxzyαFBFxFzM

x(F)=yZ－zY=(l+a)(-Fcosα)-0=-F(l+a)cosαM

y

(F)=zX－xZ=0-(-l)(-Fcosα)=-FlcosαM

z

(F)=xY－yX=0-(l+a)(Fsinα)=-F(l+a)sinα圖中力F的大小為10kN，求的力F在x、y、z三坐標(biāo)軸的投影，以及對(duì)三坐標(biāo)軸的矩和對(duì)O點(diǎn)的矩。(長(zhǎng)度單位為m)OxyzA(4,9,5)534例3-2:Fijk解：1、先求F的三個(gè)方向余弦FF2、求力的投影（F

=10kN）例4-2（續(xù)1）OxyzA(4,9,5)534FijkFF已算得：3、求力對(duì)軸的矩例4-2（續(xù)3）OxyzA(4,9,5)534FijkFF已算得：（求力對(duì)軸的矩也完全可以先將力F分解為三個(gè)分力，再由合力矩定理分別求出力對(duì)軸的矩）例4-2（續(xù)4）4、求力F對(duì)O點(diǎn)的矩由

MO(F)=Mx

i+My

j+Mz

k得：也可以按如下方法求解：二、圖示正立方體的邊長(zhǎng)為0.5m，沿對(duì)角線HD作用一力F1，沿棱邊BC作用一力F2，在BCHE面上作用一力偶。已知：力偶矩M=10N·cm，F(xiàn)1=F2=100N，求力系對(duì)各軸的矩。(10分)ndFF’BAMnMM為自由矢M為自由矢M為自由矢M為自由矢O就是力偶矩的大小?？梢?jiàn)，與矩心無(wú)關(guān)。如圖力偶對(duì)O點(diǎn)的矩為：§3－3空間力偶Systemofforcecouplesinspace一、力偶矩以矢量表示：力偶矩矢方位與作用面法方向方位n同。指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋法則。二、空間力偶等效定理：作用于剛體上的兩力偶，若它們的力偶矩矢相等，則此二力偶等效。（2）力偶作用面可平行移動(dòng)而不改變力偶對(duì)剛體的效應(yīng)。只要保持力偶矩不變，力偶可從其所在平面移至另一與此平面平行的任一平面，對(duì)剛體的作用效果不變。（1）只要保持力偶矩矢不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時(shí)改變力偶中力的大小與力偶臂的長(zhǎng)短，對(duì)剛體的作用效果不變。===力偶矩矢相等的力偶等效，即力偶矩矢是空間力偶作用效果的唯一量度。三、空間力偶系的合成與平衡條件：

任意個(gè)力偶可以合成為一個(gè)合力偶，這個(gè)合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。M=M1+M2+…+Mn

=∑MiM1+M2+…+M

n=rBA×F1+rBA×F2+…+rBA×Fn=rBA×(F1+F2+…+Fn

)=rBA×R=MM1MnM2rBABA證：設(shè)有n個(gè)力偶，總可得到兩個(gè)匯交力系，匯交點(diǎn)分別為A和B。合力偶矩矢的大小和方向余弦：例：求：工件所受合力偶矩在軸上的投影.在工件四個(gè)面上同時(shí)鉆5個(gè)孔，每個(gè)孔所受切削力偶矩均為80N·m。有空間力偶系平衡的充分必要條件是:合力偶矩矢等于零，即圓盤面O1垂直于z軸，求:軸承A,B處的約束力。例F1=3N，F(xiàn)2=5N，圓盤面O2垂直于x軸，AB=800mm,兩圓盤半徑均為200mm，解：例不計(jì)正方體和直桿自重。求：正方體平衡時(shí)，力的關(guān)系和兩根桿受力。正方體上作用兩個(gè)力偶∥解：兩桿為二力桿，取正方體，畫受力圖建坐標(biāo)系如圖b以矢量表示力偶，如圖c解得設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a,有§3-4空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化主矢和主矩

Reductionofaforcesysteminspacetoagivenpoint一空間匯交力系與一空間力偶系等效代替一空間任意力系一、空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可得一力和一個(gè)力偶。主矢作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心O；這個(gè)力偶的矩矢等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩矢。主矢與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)；主矩一般情況下與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān)。—有效推進(jìn)力—有效升力—側(cè)向力—滾轉(zhuǎn)力矩飛機(jī)繞x軸滾轉(zhuǎn)—偏航力矩飛機(jī)轉(zhuǎn)彎—俯仰力矩飛機(jī)仰頭OdOdO二、空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析1、空間力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力偶主矢R’=0；主矩MO≠0主矩與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)。2、空間力系簡(jiǎn)化為一個(gè)合力合力矩定理

①主矢R’≠0；主矩MO=0合力的作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心。②主矢R’≠0；主矩MO≠0且MO⊥

R’

MOR’R’RR”RMOMOMOR’R”R’R”R’R”

MO(R)=∑MO(F)空間任意力系的合力對(duì)于任意一點(diǎn)的矩等于各分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的矢量和。將上式向任意軸投影（如z軸）得：

Mz(R)=∑M

z(F)3、空間力系簡(jiǎn)化為力螺旋的情形主矢R’≠0；主矩MO≠0且MO∥

R’OOOORRRRMOMOMOMO右螺旋左螺旋力螺旋就是由一個(gè)力和一個(gè)力偶組成的力系，其中的力垂直于力偶作用面。力螺旋的力作用線稱為力螺旋的中心軸。力螺旋由兩個(gè)力學(xué)基本要素組成，不能進(jìn)一步合成主矢R’≠0；主矩MO≠0且MO與R’即不平行也不正交。M”O(jiān)=MOsinα；M’O=MOcosα

M’O和R’組成力螺旋，其中心軸距O點(diǎn)的距離為：OOOαR’MOR’R’M”O(jiān)M’OM’OdMOMOMO4、空間力系簡(jiǎn)化為平衡的情形主矢R’=0；主矩M

O=0§4-5空間力系的平衡方程空間力系平衡的充分必要條件：所有力在三個(gè)坐標(biāo)軸中的每一個(gè)軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對(duì)于每一個(gè)坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也為零。除了上述的基本方程，還有所謂的4力矩、5力矩和6力矩式。Equilibriumequationsofaforcesysteminspaceandtheirapplications幾種特殊情形平衡規(guī)律[Ⅰ] 匯交力系∵所有的力矩方程恒等于0∴匯交力系有三個(gè)平衡方程：

∑X=0，∑Y=0，∑Z=0[Ⅱ] 平行力系（假定力的作用線平行z軸）∵∑X≡0，∑Y≡0，∑Mz≡0∴平行力系有三個(gè)平衡方程：

∑Z=0，∑M

x

=0，∑M

y

=0[Ⅲ] 平面一般力系（假定力的作用面為Oxy面）∵∑Z≡0，∑Mx

≡0，∑My

≡0∴平面一般力系有三個(gè)平衡方程：

∑X=0，∑Y=0，∑M

z=0約束反力未知量約束類型AFAAFAzFAyA徑向軸承圓柱鉸鏈鐵軌蝶鉸鏈約束反力未知量約束類型AFAyFAxFAzAFAyFAxFAzMAyMAzFAyFAzAMAy球形鉸鏈止推軸承導(dǎo)向軸承萬(wàn)向接頭約束反力未知量約束類型AFAyFAxFAzMAyMAzMAxAFAyFAxFAzMAzMAxFAyFAzMAzMAxAMAy帶有銷子的夾板導(dǎo)軌空間的固定端支座空間力系平衡問(wèn)題舉例：空間任意力系的平衡方程有六個(gè)，所以對(duì)于空間任意力系作用下平衡的物體，只能求解六個(gè)未知量。本節(jié)基本目的：①受力分析②平衡方程的建立③解題技巧圖示三輪小車，自重P=8kN，作用于點(diǎn)E，載荷P1=10N，作用于點(diǎn)C。求小車靜止時(shí)地面對(duì)車輪的反力。例P1PFBFAFD解：以小車為研究對(duì)象，受力分析如圖FBFAFDFBFAFD0.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACP10.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACFBFDFBFDFBFDFBFDP例4-4(續(xù)）zxyO∑M

x

(F)=0，2FD－1.2P－0.2P1=0FD=5.8kN∑My

(F)=0，1.2FB－0.8P1－0.6P+0.6FD=0FB

=7.8kN∑Z=0，F(xiàn)A+FB

+FD

－P1－P=0FA=4.4kN適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)軸對(duì)簡(jiǎn)化計(jì)算非常重要。FAFAFAFA選取坐標(biāo)軸如圖水平均質(zhì)板重P，6根直桿用球鉸將板和地面連接，結(jié)構(gòu)如圖。求由板重引起得各桿內(nèi)力。例解：給各桿編號(hào)①②③④⑤⑥受力分析，假定各桿均受拉力S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6∑MAB=0∑MAE

=0S5=0∑MAC=0S4=0∑MBF

=0S1=0∑MEG=0S3=0∑MFG=0PaBHbADCFGE本章小結(jié)（4）簡(jiǎn)化的最終結(jié)果主矢主矩最終結(jié)果說(shuō)明空間任意力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果§4-8重心1.重心的概念及其坐標(biāo)公式重力是一個(gè)分布力系，可足夠精確地視為空間平行力系。一般所謂重力，就是空間平行力系的合力?？梢宰C明不變形的物體（剛體）在地表面無(wú)論怎樣放置，其平行分布重力的合力作用線都通過(guò)此物體上的一個(gè)確定的點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為物體的重心Thecenterofgravityofanobject△ViMiC推導(dǎo)物體重心的坐標(biāo)公式若將物體分割為許多小體積，每個(gè)小塊體積為△Vi，所受重力為Pi，則整個(gè)物體的重量為P=∑PiPPiyizixizCxCyCxzyO根據(jù)合力矩定理，

對(duì)x軸取矩，有PyC

=-(P1y1+P2y2+…+Pnyn)=-∑Piyi對(duì)y軸取矩，有P

xC

=(P1x1+P2x2+…+Pnxn)=∑Pixi為了求坐標(biāo)zC，將物體連同直角坐標(biāo)系Oxyz一起繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°對(duì)有x軸取矩，有PzC

=(P1z1+P2z2+…+Pnzn)=∑Pizi△ViMiCPPiyizixizCxCyCxzyOxzyO△ViMiCPiPzizC重心的坐標(biāo)公式:體積的重心若物體均質(zhì)，單位體積的重量為γ=常量，以△Vi表示微小體積，物體總體積為V=∑△Vi。將

Pi=γ△Vi代入重心公式，得上式的極限為體積重心與比重?zé)o關(guān)，只與物體的體積有關(guān)面積的重心工程中常采用薄殼結(jié)構(gòu)，其厚度與其表面積S相比是很小的，若薄殼均質(zhì)等厚的，則重心公式為PPiyizixizCxCyCxzyOCds線段的重心如果物體是均質(zhì)等截面的細(xì)長(zhǎng)線段，其截面尺寸與其長(zhǎng)度l相比是很小的，則重心公式為yizixizCxCyCxzyOPPiC2.確定重心的常用方法當(dāng)物體具有對(duì)稱軸、對(duì)稱面或?qū)ΨQ中心時(shí)，它的重心一定在對(duì)稱軸、對(duì)稱面或?qū)ΨQ中心上。對(duì)于幾何形狀較復(fù)雜的均質(zhì)物體，往往采用分割法和負(fù)面積法分割法負(fù)面積法例求：其重心坐標(biāo)均質(zhì)等厚Z字型薄板如圖所示。解:分為三個(gè)小矩形，例等厚均質(zhì)偏心塊的解：用負(fù)面積法，3.確定重心的常用實(shí)驗(yàn)方法實(shí)驗(yàn)方法多種多樣，但最常見(jiàn)的是懸掛法。CCCC稱重法為了確定具有對(duì)稱軸的圖示連桿的重心xC，線先稱出連桿重量P。然后將其一端支承于A點(diǎn)，另一端放在磅稱B上，測(cè)得兩點(diǎn)的水平距離l及B處的約束反力FB,假定為G,由∑MA(F)=0，PxC－FB

l=0重心公式（1）重心公式（2）重心公式（3）重心公式（4）本章小結(jié)1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影

X=FsinγcosφY=FsinβsinφZ(yǔ)=FcosγXiZiYiFiφxyzγxyzXiZiYiFiβαγ

X=Fcosα

Y=Fcosβ

Z=Fcosγ本章小結(jié)（2）2、力對(duì)點(diǎn)的矩的計(jì)算=(yZ－zY)i+(zX－xZ)j+(xY－yX)k3、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)軸的矩的關(guān)系[M

O(

F)]x

=M

x

(F)[M

O(

F)]y=M

y

(F)[M

O(

F)]z

=M

z

(F)本章小結(jié)（3）4、合力矩定理Mo(R)=∑Mo(F)即：空間任意力系的合力對(duì)于任意一點(diǎn)的矩等于各分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的矢量和。將上式向任意軸投影（如z軸）得：

Mz(R

)=∑M

z(F)5、空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可得一個(gè)大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心的力和一個(gè)力偶。本章小結(jié)（5）6、空間任意力系平衡方程的基本形式幾種特殊情形平衡規(guī)律[Ⅰ] 匯交力系

∑X=0，∑Y=0，∑Z=0[Ⅱ] 平行力系（假定力的作用線平行z軸）

∑Z=0，∑Mx=0，∑M

y=0[Ⅲ] 平面一般力系（假定力的作用面為Oxy面）

∑X=0，∑Y=0，∑Mz=0本章小結(jié)（6）[Ⅳ] 力偶系

∑M

x=0，∑M

y=0，∑M

z=07、不變形的物體（剛體）在地表面無(wú)論怎樣放置，其平行分布重力的合力作用線都通過(guò)此物體上的一個(gè)確定的點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為物體的重心重心的坐標(biāo)公式在圖中，皮帶的拉力F2=2F1，曲柄上作用有鉛垂力F=2000N。已知皮帶輪的直徑

D=400mm，曲柄長(zhǎng)R=300mm，α=30o，β=60o。求皮帶拉力和軸承反力。例200mm200mm200mmDRFF2βF1αAB例4-5(2)

(α=30o，β=60o)解:選坐標(biāo)軸如圖∑X=0，F(xiàn)1sin30o+F2sin60o+XA+XB=0∑Y=0，0=0∑Z=0，ZA+ZB-F-

F1cos30o-F2cos60o=0zyxzxFRDβαF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB以整個(gè)軸為對(duì)象，受力分析如圖200mm200mmαβ200mmAB(α=30o，β=60o)解:選坐標(biāo)軸如圖∑M

x

(F)=0，400ZB-200F+200F1cos30o+200F2cos60o=0∑M

y

(F)=0，F(xiàn)·R-(F2-F1)·D/2=0∑M

z(F)=0，200F1sin30o+200F