拉普拉斯變換

§4拉普拉斯變換以傅立葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點在于：它給出的結(jié)果有著清楚的物理意義，但也有不足之處，傅立葉變換只能處理符合狄利克雷條件的信號，而有些信號是不滿足絕對可積條件的，因而其信號的分析受到限制；另外在求時域響應(yīng)時運用傅立葉反變換對頻率進行的無窮積分求解困難。引言為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，可利用本章要討論的拉氏變換法擴大信號變換的范圍。優(yōu)點：求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進行變換時，初始條件被自動計入，因此應(yīng)用更為普遍。缺點：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。引言一．拉普拉斯變換的定義則

1.從傅立葉變換到拉普拉斯變換信號f(t)乘以衰減因子(為任意實數(shù))后容易滿足絕對可積條件，依傅氏變換定義：令，具有頻率的量綱，稱為復(fù)頻率2．拉氏逆變換對于是的傅立葉逆變換兩邊同乘以其中；若取常數(shù)，則積分限：對對所以一．拉普拉斯變換的定義3．拉氏變換對正變換反變換記作，稱為原函數(shù)，稱為象函數(shù)采用系統(tǒng)，相應(yīng)的單邊拉氏變換為考慮到實際信號都是有起因信號所以一．拉普拉斯變換的定義二．拉氏變換的收斂域

收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實際上就是拉氏變換存在的條件；說明：6.一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。1.

滿足的信號稱為指數(shù)階信號；2.

有界的非周期信號的拉氏變換一定存在；3.4.5.等信號

比指數(shù)函數(shù)增長快，找不到收斂坐標，為非指數(shù)階信號，無法進行拉氏變換；二．拉氏變換的收斂域三．一些常用函數(shù)的拉氏變換1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)全s域平面收斂

3.單位沖激信號4．冪函數(shù)tnu(t)三．一些常用函數(shù)的拉氏變換5．正余弦信號收斂域收斂域三．一些常用函數(shù)的拉氏變換6．衰減的正余弦信號收斂域收斂域三．一些常用函數(shù)的拉氏變換§4.2拉普拉斯變換的基本

性質(zhì)一．線性性解：例：已知求的拉普拉斯變換說明：前面求正余弦信號的拉普拉斯變換時已經(jīng)用到了線性性。若為常數(shù)則二．延時（時域平移）證明：若則二．延時（時域平移）注意：(1)一定是的形式的信號才能用時移性質(zhì)(2)信號一定是右移(3)表達式等所表示的信號不能用時移性質(zhì)例：已知求因為所以解：二．延時（時域平移）解：4種信號的波形如圖例：已知單位斜變信號的拉普拉斯變換為求的拉普拉斯變換二．延時（時域平移）只有信號可以用延時性質(zhì)二．延時（時域平移）二．延時（時域平移）時移性質(zhì)的一個重要應(yīng)用是求單邊周期信號的拉普拉斯變換。

結(jié)論：單邊周期信號的拉普拉斯變換等于第一周期波形的拉普拉斯變換乘以

例：周期沖擊序列的拉氏變換為例解：已知s)F((ttu(t)f求,1)-=解：例二．延時（時域平移）三．尺度變換時移和尺度變換都有:證明：若則四．s域平移證明：若則例：求

的拉氏變換解：五．時域微分定理推廣：證明：若則六．時域積分定理證明：①②①②若則因為第一項與t無關(guān)，是一個常數(shù)（a）例求三角脈沖函數(shù)f(t),如圖（a）所示的象函數(shù)和傅里葉變換類似，求拉氏變換的時，往往要借助基本信號的拉氏變換和拉氏變換的性質(zhì)，這比按拉氏變換的定義式積分簡單，為比較起見，本例用多種方法求解。方法一：按定義式求解方法二：利用線性疊加和時移性質(zhì)求解方法三：利用微分性質(zhì)求解方法四：利用卷積性質(zhì)求解方法一：按定義式求解方法二：利用線性疊加和時移性質(zhì)求解

于是由于方法三：利用微分性質(zhì)求解信號的波形僅由直線組成，信號導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)容易求得，或者信號經(jīng)過幾次微分后出現(xiàn)原信號，這時利用微分性質(zhì)比較簡單。將微分兩次，所得波形如圖（b）所示。圖（b）顯然根據(jù)微分性質(zhì)由圖（b）可以看出于是方法四：利用卷積性質(zhì)求解

可看作是圖(c）所示的矩形脈沖自身的卷積所以于是，根據(jù)卷積性質(zhì)而圖（c）例應(yīng)用微分性質(zhì)求圖（a）中的象函數(shù)圖（a）的導(dǎo)數(shù)的波形。下面說明應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)注意的問題，圖（b）是（1）對于單邊拉氏變換,故二者的象函數(shù)相同，即圖（b）這是應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)特別注意的問題。因而由圖（b）知七．s域微分定理若則取正整數(shù)證明：對拉普拉斯正變換定義式求導(dǎo)得即得證。七．s域微分定理例解：因為所以八．s域積分定理兩邊對s積分：交換積分次序:證明：若則九．初值定理和終值定理若和拉氏變換存在，且則為真分式終值存在的條件:若的拉氏變換存在，且則初值定理的所有極點有負實部終值定理證明證明初值存在的條件:當(dāng)t<0時，f(t)=0，且f(t)不包含沖激信號及其各階導(dǎo)數(shù)項由時域微分定理可知所以返回九．初值定理和終值定理初值定理證明：所以終值定理證明根據(jù)初值定理證明時得到的公式九．初值定理和終值定理返回例：確定下列拉普拉斯變換所對應(yīng)的時域因果信號的初值和終值初值

終值

初值終值

注意應(yīng)用終值定理的條件是滿足的。

解：九．初值定理和終值定理初值

因為有兩重極點，并不具有負實部，因此不能應(yīng)用終值定理，即的終值不存在九．初值定理和終值定理例：解：

即單位階躍信號的初始值為1。十．時域卷積若為有始信號則證明：交換積分次序§4.3拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換1定義2查表法3部分分式展開法4留數(shù)法5數(shù)值計算方法——利用計算機返回首頁查表法一．部分分式展開法ai,bi為實數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解零點極點通常F(s)具有如下的有理分式形式：當(dāng)是真分式是的根，稱為的零點是的根，稱為的極點拉氏逆變換的過程一．部分分式展開法找出F(s)的極點將F(s)展開成部分分式查拉氏變換表求f(t)一．部分分式展開法(m<n)1.單階實數(shù)極點為不同的實數(shù)根求出即可將F(s)展開成部分分式(1)找極點(2)展成部分分式(3)逆變換求系數(shù)例：求的拉氏逆變換一．部分分式展開法(m<n)2.

極點為共軛復(fù)數(shù)其中為單實根，為共軛復(fù)根，各個系數(shù)的求法和單實根一樣，是共軛復(fù)數(shù)。共軛極點出現(xiàn)在

求f(t)例題F(s)具有共軛極點，不必用部分分式展開法求下示函數(shù)F(s)的逆變換f(t)：解：求得另一種方法例：求的逆變換(其他方法)解：實單根的系數(shù)求法同前面一樣，這樣有可以用公分母的方法，或是設(shè)定兩個特殊的S值來求系數(shù)A和B，比如設(shè)得到一．部分分式展開法(m<n)用配方法求共軛復(fù)根部分的拉普拉斯反變換，即所以有：用配方法避免了復(fù)數(shù)運算，過程相對比較簡單

一．部分分式展開法(m<n)3.

有重根存在一．部分分式展開法(m<n)對于非重根，系數(shù)的求法和前面一樣，對于重根則需用求導(dǎo)的方法求系數(shù)解：展成部分分式例：求拉氏反變換一．部分分式展開法(m<n)所以有所以一．部分分式展開法(m<n)F(s)兩種特殊情況非真分式——

化為真分式＋多項式——用時移性質(zhì)一．部分分式展開法(m<n)1.非真分式——真分式＋多項式作長除法2.含e-s的非有理式二．留數(shù)定理法拉普拉斯反變換式一階極點的留數(shù)k階極點的留數(shù)例已知Re［s］＞-2。求F(s)的單邊拉氏逆變換。解選σa＞-2，則F(s)est在σa左側(cè)的極點分別為一階極點s1=-3和二重極點s2=-2。t＞0t<0于是，得

§4.4連續(xù)時間LTI系統(tǒng)

的復(fù)頻域分析用拉氏變換法分析系統(tǒng)的步驟列s

域方程（可以從兩方面入手）列時域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。求解s域方程得到時域解答一．微分方程的拉氏變換

我們采用0-系統(tǒng)求解系統(tǒng)微分方程，只要知道起始狀態(tài)，不需要求0-到0＋的跳變問題。用拉普拉斯變換法求解微分方程，主要利用拉普拉斯變換的微分性質(zhì)即一．微分方程的拉氏變換

一般情況下微分方程為如果x(t)是因果信號，對應(yīng)的拉普拉斯變換為即是僅由系統(tǒng)的起始條件產(chǎn)生的零輸入響應(yīng)是僅由激勵產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)一．微分方程的拉氏變換

（1）求完全響應(yīng)，對上式進行拉普拉斯變換，得

例:求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)解：代入起始條件得完全響應(yīng)為一．微分方程的拉氏變換（2）求零輸入響應(yīng)，代入起始條件得零輸入響應(yīng)為一．微分方程的拉氏變換（3）求零狀態(tài)響應(yīng)，得得零狀態(tài)響應(yīng)為可以驗證例某線性時不變系統(tǒng)，在非零狀條件不變的情況下，三種不同的激勵信號作用于系統(tǒng)。為圖中所示的矩形脈沖時，求此時系統(tǒng)的輸出一．微分方程的拉氏變換

則階躍響應(yīng)4.4連續(xù)時間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析時域關(guān)系復(fù)頻域關(guān)系元件的S域模型1.電阻元件二．基于s

域模型的電路分析

2.電容元件電容的初始儲能為零時二．基于s

域模型的電路分析復(fù)頻域阻抗3.電感元件電感初始儲能為零時二．基于s

域模型的電路分析復(fù)頻域阻抗線性定常電路中兩類約束關(guān)系的復(fù)頻域形式：KCLKVL二．基于s

域模型的電路分析有了域電路元件模型，就可以得到一般電路的S域模型和S域的KVL、KCL（在形式上與相量形式的KVL和KCL相同），應(yīng)用電路分析中的基本分析方法（節(jié)點法、網(wǎng)孔法等）和定理（如疊加定理、戴維南定理等），列出復(fù)頻域的代數(shù)方程，并進行求解得到響應(yīng)的象函數(shù)，對所求的響應(yīng)象函數(shù)進行拉氏反變換，即得出響應(yīng)的時域解。其中建立S域的模型最關(guān)鍵。二．基于s

域模型的電路分析例:已知如圖所示各電路原已達穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)K換接，試畫出電路的s域模型。二．基于s

域模型的電路分析解：(a)開關(guān)K換接前電路已在直流穩(wěn)態(tài)，所以容易求得畫出電路S域模型為

二．基于s

域模型的電路分析(b)直流穩(wěn)態(tài)時，電感短路，電容開路，所以有畫出電路S域模型為

二．基于s

域模型的電路分析(c)直流穩(wěn)態(tài)時，電感短路，電容開路，所以有畫出電路s

域模型為

二．基于s

域模型的電路分析(d)在t<0時電路沒有電源作用，所以電路處于零起始狀態(tài)，故s

域模型為二．基于s域模型的電路分析

建模過程中要特別注意三點:(1)對于具體的電路,只有給出的初始狀態(tài)是電感電流和電容電壓時,才可方便地畫出s域等效電路模型,否則就不易直接畫出,這時不如先列寫微分方程再取拉氏變換較為方便;(2)不同形式的等效s域模型其電源的方向是不同的,千萬不要弄錯;(3)在作s域模型時應(yīng)畫出其所有內(nèi)部象電源,并特別注意其參考方向。例:已知各電路原已達穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)K打開，求t>0時的解：因為所以可得到s

域電路模型二．基于s域模型的電路分析由節(jié)點法得所以有二．基于s域模型的電路分析例:求圖示電路的完全響應(yīng)

，已知解：根據(jù)電路的起始狀態(tài)得到S域電路模型二．基于s域模型的電路分析列寫網(wǎng)孔方程所以有即得二．基于s域模型的電路分析強調(diào)：解決問題的手段很多，這只是其中的一種，根據(jù)具體問題和個人習(xí)慣選擇解法,例如下面的例子可以建S域模型解，也可以建時域模型解例：如圖所示電路中,已知C=0.5F,R1=2Ω,R2=2Ω,L=2H,激勵iS(t)為單位階躍電流U(t)A,電阻R1上電壓的初始狀態(tài)u1(0-)=1V,u`1(0-)=2V,試求該電路的響應(yīng)電壓u1(t)。解先列寫該電路的數(shù)學(xué)模型由KCL由KVL

代入元件值,消去中間參量iL(t)可得微分方程作為習(xí)題§4.5連續(xù)時間LTI系統(tǒng)

的系統(tǒng)函數(shù)

1.定義一．系統(tǒng)函數(shù)所以其中當(dāng)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)則響應(yīng)的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比沖激響應(yīng)的拉氏變換策動點函數(shù)：激勵與響應(yīng)在同一端口時策動點導(dǎo)納策動點阻抗轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移阻抗電壓比電流比轉(zhuǎn)移函數(shù)：激勵和響應(yīng)不在同一端口2.分類一．系統(tǒng)函數(shù)比較H(s)和H(p)二.系統(tǒng)函數(shù)的求解利用網(wǎng)絡(luò)的s域元件模型圖，列s域方程微分方程兩端取拉氏變換系統(tǒng)函數(shù)的求解方法:例：已知描述系統(tǒng)的微分方程如下，求系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解：直接寫出系統(tǒng)函數(shù)為二．系統(tǒng)函數(shù)的求解進行拉普拉斯反變換，得到系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為試求圖所示電路的系統(tǒng)函數(shù)

(a)時域模型；(b)零狀態(tài)s域模型

二．系統(tǒng)函數(shù)的求解

解畫出零狀態(tài)條件下系統(tǒng)的復(fù)頻域等效電路,如圖

(b)所示。s域模型圖中,電阻R1與并聯(lián),電阻R2與串聯(lián),設(shè)復(fù)頻域阻抗Z1(s)與Z2(s)分別為二．系統(tǒng)函數(shù)的求解所以,系統(tǒng)函數(shù)H(s)為二．系統(tǒng)函數(shù)的求解解：直接由分壓、分流公式可以得到例：電路如圖，響應(yīng)分別為，求對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)二．系統(tǒng)函數(shù)的求解解：列寫電路的網(wǎng)孔方程例：給定電路如圖所示，求對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)解得二．系統(tǒng)函數(shù)的求解三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用求系統(tǒng)的響應(yīng)：即方法一：方法二：解：根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義容易求得系統(tǒng)函數(shù)為例:設(shè)信號加到如圖所示電路中，設(shè)電容上的起始電壓為零，求電容電壓激勵信號的拉普拉斯變換為所以有三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用即(1)在零起始狀態(tài)下，對原方程兩端取拉氏變換(2)三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用已知系統(tǒng)的框圖如下，請寫出此系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和描述此系統(tǒng)的微分方程。三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用例5―28圖5.15所示ＲＬＣ串聯(lián)電路,已知C=1/2/F,輸入激勵uＳ(t)=t·u(t),初始狀態(tài)iL(0-)=0,uC(0-)=－1/3,

試求系統(tǒng)響應(yīng)uR(t)。

圖5.15例5―28圖

三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用解首先應(yīng)用拉氏變換法求解系統(tǒng)響應(yīng)。按KVL及VAR列寫時域微分方程式,可得對以上方程組取拉氏變換,可得三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用解此象函數(shù)方程組,得將已知數(shù)據(jù)代入,其中

(5―74)

三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用對上式取拉氏反變換,可得時域響應(yīng)為

(5―75)

三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用此例中,若設(shè)初始狀態(tài)為零,則系統(tǒng)對于輸入uS(t)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)為于是,式(5―74)可以表示為

實際上,上式還可表示為三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用

例5―29

利用s域等效模型重解例5―28。

解根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性,可以把系統(tǒng)的完全響應(yīng)分解為零狀態(tài)響應(yīng),單獨由電感初始儲能作用而產(chǎn)生的零輸入響應(yīng)和單獨由電容初始儲能而形成的零輸入響應(yīng)。相應(yīng)的s域等效電路如圖5.16所示。三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用圖5.16s域等效電路圖(a)零狀態(tài)等效電路；(b)僅電感有儲能的等效電路；(c)僅電容有儲能的等效電路

三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用三個等效電路實際上是激勵點不同,輸出相同的三個系統(tǒng)。根據(jù)H(s)的定義很容易寫出三個系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s),HS1(s)和HS2(s)。激勵為US(s)時,激勵為L·iL(0-)時,

三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用（5―76）

因此,系統(tǒng)完全響應(yīng)的拉氏變換為三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用

例5―30

電路及元件參數(shù)同例5―28。輸入為

uＳ(t)=u(t),初始狀態(tài)為iL(0-)=3A,

uＣ(0-)=-10V,試求輸出uR(t)。

解因為與例5―28相比較,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)沒有變化,所以系統(tǒng)函數(shù)與例5―28相同,僅僅是三個激勵發(fā)生變化。因此,s域的完全響應(yīng)仍為式(5―76)三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用代入已知量得通過例5―28、5―29、5―30,可以使我們進一步理解系統(tǒng)函數(shù)在系統(tǒng)分析中的重要性。首先系統(tǒng)函數(shù)是對系統(tǒng)的一種描述,是復(fù)頻域的系統(tǒng)特征量,從系統(tǒng)的輸入輸出端的特性或者說從系統(tǒng)對輸入信號的處理功能上來講,了解了系統(tǒng)的H(s)也就了解了該系統(tǒng)。三.系統(tǒng)函數(shù)的應(yīng)用1.

系統(tǒng)零極點的概念四．零極點與系統(tǒng)時域響應(yīng)的關(guān)系對系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式進行因式分解得是系統(tǒng)零點是系統(tǒng)極點在復(fù)平面上，零點用“o”表示，極點用“×”表示，標出系統(tǒng)的零極點的位置，稱為系統(tǒng)的零極點圖當(dāng)，極點在左半平面，衰減振蕩當(dāng)，極點在右半平面，增幅振蕩在原點在左實軸上，，指數(shù)衰減在右實軸上，指數(shù)增長在虛軸上等幅振蕩共軛根單極點四．零極點與系統(tǒng)時域響應(yīng)的關(guān)系2.極點的影響極點在原點極點在實軸上在虛軸上增幅振蕩重極點四．零極點與系統(tǒng)時域響應(yīng)的關(guān)系幾種典型情況四．零極點與系統(tǒng)時域響應(yīng)的關(guān)系系統(tǒng)零點分布只影響系統(tǒng)時域響應(yīng)的幅度和相位，對時域響應(yīng)模式?jīng)]有影響。比如已知系統(tǒng)函數(shù)及相應(yīng)響應(yīng)兩系統(tǒng)函數(shù)僅是零點不同，它們對應(yīng)的沖激響應(yīng)僅是響應(yīng)幅度和相位不同，響應(yīng)波形的模式均為衰減振蕩模式3.零點的影響四．零極點與系統(tǒng)時域響應(yīng)的關(guān)系

二、系統(tǒng)函數(shù)的極點、零點與系統(tǒng)頻率特性的關(guān)系頻率特性頻率特性指系統(tǒng)在正弦信號激勵下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨信號頻率的變化情況。主要是指幅頻特性和相頻特性。在系統(tǒng)是穩(wěn)定的前提下，系統(tǒng)頻率響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系為用零極點形式表示為五．零極點與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系則系統(tǒng)的幅頻特性為系統(tǒng)的相頻特性為令有五．零極點與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系所以幅頻特性為相頻特性為將都看作是兩矢量之差，將矢量圖畫在復(fù)平面內(nèi)五．零極點與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系零點：極點:五．零極點與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系定性地畫系統(tǒng)的幅頻特性時的規(guī)律：（1）在原點是否有零點，若有，則否則從某一數(shù)值開始。（2）當(dāng)點沿正虛軸向上移動時，如果點離零點越來越近時，則越來越小，反之，越來越大。（3）當(dāng)點沿正虛軸向上移動時，如果點離極點越來越近時，則越來越大，反之，越來越小。五．零極點與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系

(4)虛軸若有零點，則當(dāng)靠近零點時，

(5)虛軸若有極點，則當(dāng)靠近極點時，

(6)在處主要看零點極點的個數(shù)，若零點比極點多，則若極點比零點多，則若零點和極點一樣多，則為某一有限值。五．零極點與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系例：已知系統(tǒng)的零極點圖如圖所示，定性畫出各系統(tǒng)對應(yīng)的幅頻特性五．零極點與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系解：對應(yīng)系統(tǒng)的幅頻特性為五．零極點與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系五．零極點與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系五．零極點與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的關(guān)系§4.6系統(tǒng)方框圖

和信號流圖

一．系統(tǒng)方框圖一個系統(tǒng)的方框圖可由許多子系統(tǒng)的框圖作適當(dāng)聯(lián)接組成。子系統(tǒng)的基本聯(lián)接方式有級聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種。（1）級聯(lián)等效系統(tǒng)函數(shù)為（2）并聯(lián)等效系統(tǒng)函數(shù)為一．系統(tǒng)方框圖（3）反饋等效系統(tǒng)函數(shù)為對于負反饋，總有用基本運算器表示系統(tǒng)(教材P500)基本運算器的時域和S域模型(a)數(shù)乘器；(b)加法器；(c)積分器一．系統(tǒng)方框圖

例某線性連續(xù)系統(tǒng)如圖6所示。求系統(tǒng)函數(shù)H(s),寫出描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程。圖6一．系統(tǒng)方框圖解Y(s)為右邊加法器的輸出，該加法器有兩個輸入，如圖所示。因此有于是得

(6)(5)一．系統(tǒng)方框圖把式(5)代入式(6)，得

系統(tǒng)函數(shù)為

對上式應(yīng)用時域微分性質(zhì)，得到系統(tǒng)微分方程為

一．系統(tǒng)方框圖一．系統(tǒng)方框圖一．系統(tǒng)方框圖二．信號流圖二．信號流圖系統(tǒng)的信號流圖是用一些點和有向線段來描述系統(tǒng)。變成信號流圖形式就是用線段端點代表信號，稱為節(jié)點。有向線段表示信號傳輸?shù)穆窂胶头较?，一般稱為支路，所以每一條支路相當(dāng)于乘法器。信號流圖中的節(jié)點可以有很多信號輸入，它們是相加的關(guān)系，而且可以有不同方向輸出。三．Mason公式節(jié)點:

表示系統(tǒng)中的變量或信號的點稱為節(jié)點。支路:

連接兩節(jié)點間的有向線段稱為支路。支路增益就是兩節(jié)點間的增益。輸入節(jié)點（源點）:

僅有輸出支路的節(jié)點，一般為系統(tǒng)的輸入。輸出節(jié)點（阱點）:

僅有輸入支路的節(jié)點，一般為系統(tǒng)的輸出混合節(jié)點:

既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點通路:

從任一節(jié)點出發(fā)沿著支路箭頭方向連續(xù)地穿過各相連支路到達另一節(jié)點的路徑稱為通路。前向通路:

從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的通路。前向通路中通過任何節(jié)點不多于一次。開通路:

如果通路與任一節(jié)點相遇不多于一次，則稱為開通路。閉通路:

如果通路的終點就是通路的起點，而且與其余節(jié)點相遇不多于一次，則稱為閉通路、回路、環(huán)路或簡稱為環(huán)。不接觸環(huán)路:

環(huán)路之間沒有公共節(jié)點。三．Mason公式連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖表示信號流圖的規(guī)則三．Mason公式Mason公式為其中從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的系統(tǒng)函數(shù)特征式從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的第k條前向通路增益在中，將與第k條前向通路相接觸的回路所在項去掉后余下的部分所有不同回路增益之和所有兩兩互不接觸回路增益乘積之和所有三個互不接觸回路增益乘積之和三．Mason公式例：用Mason公式求圖所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)解：先求環(huán)路，一共有4個環(huán)路，即其中L1、L2，L1、L3是兩兩不接觸的回路，沒有三三不接觸的回路。三．Mason公式所以流圖的特征式為前向通路只有一條，即所有回路都和這條前向通路接觸，所以三．Mason公式系統(tǒng)函數(shù)為三．Mason公式例：用Mason公式求圖所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)解：先求環(huán)路，一共有4個環(huán)路，即其中L1、L4是兩兩不接觸的回路三．Mason公式可以求得流圖的特征式三條前向通路之(1)三條前向通路之(2)三．Mason公式三條前向通路之(3)所以系統(tǒng)函數(shù)為四．系統(tǒng)模擬系統(tǒng)模擬指用一些標準的部件通過一定的連接方式實現(xiàn)同樣的系統(tǒng)函數(shù)。對于連續(xù)時間動態(tài)LTI系統(tǒng)的模擬，通常由加法器、標量乘法器和積分器三種部件構(gòu)成。系統(tǒng)模擬可以理解為就是用這三種部件畫出系統(tǒng)的信號流圖或是系統(tǒng)的方框圖，使得流圖或方框圖實現(xiàn)了同樣的系統(tǒng)函數(shù)。1.直接形式以二階系統(tǒng)為例，設(shè)二階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為給H(s)的分子分母乘以s-2，得到四．系統(tǒng)模擬圖12二階系統(tǒng)直接形式信號流圖(a)直接形式Ⅰ;(b)直接形式Ⅰ的方框圖表示；(c)直接形式Ⅱ;(d)直接形式Ⅱ的方框圖表示2.級聯(lián)(串聯(lián))形式如果線性連續(xù)系統(tǒng)由n個子系統(tǒng)級聯(lián)組成，則系統(tǒng)函數(shù)H(s)為四．系統(tǒng)模擬例6已知線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為求系統(tǒng)級聯(lián)形式信號流圖。解用一階節(jié)和二階節(jié)的級聯(lián)模擬系統(tǒng)。H(s)又可以表示為四．系統(tǒng)模擬式中，H1(s)和H2(s)分別表示一階和二階子系統(tǒng)。它們的表示式為四．系統(tǒng)模擬圖13例6圖(a)子系統(tǒng)信號流圖；(b)系統(tǒng)的級聯(lián)形式信號流圖四．系統(tǒng)模擬

3.并聯(lián)形式若系統(tǒng)由n個子系統(tǒng)并聯(lián)組成，如圖3所示，則系統(tǒng)函數(shù)H(s)為這種情況下，先把每個子系統(tǒng)用直接形式信號流圖模擬，然后把它們并聯(lián)起來，就得到系統(tǒng)并聯(lián)形式的信號流圖。四．系統(tǒng)模擬例7

已知線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)為求系統(tǒng)并聯(lián)形式信號流圖。

解

用一階節(jié)和二階節(jié)的級聯(lián)模擬系統(tǒng)。H(s)又可以表示為

四．系統(tǒng)模擬式中：四．系統(tǒng)模擬圖14例7圖四．系統(tǒng)模擬四．系統(tǒng)模擬例：用加法器、標量乘法器和積分器三種部件模擬下面微分方程描述的系統(tǒng)解：首先考慮下面的系統(tǒng)由線性時不變系統(tǒng)的性質(zhì)知道存在下面關(guān)系四．系統(tǒng)模擬方程兩邊積分三次得到說明是某信號積分三次得到，可以畫出部分框圖。四．系統(tǒng)模擬第一個積分器的輸入信號實際是可以畫出部分系統(tǒng)框圖四．系統(tǒng)模擬可以畫出完整的系統(tǒng)框圖四．系統(tǒng)模擬對應(yīng)的信號流圖為其中表示積分器（拉普拉斯變換的性質(zhì)）§4.7連續(xù)時間LTI

系統(tǒng)的穩(wěn)定性一．系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義系統(tǒng)穩(wěn)定定義為任何有界的輸入將引起有界的輸出，簡稱BIBO穩(wěn)定（BoundedInputBoundedOutput）連續(xù)時間LTI系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充要條件為連續(xù)時間、因果LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是沖激響應(yīng)絕對可積，即一．系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義必要性：構(gòu)造一有界激勵，可以驗證，若沖激響應(yīng)絕對可積的條件不滿足，則響應(yīng)無界。充分性：設(shè)激勵x(t)

有界，即，容易驗證響應(yīng)也有界，即一．系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義（1）當(dāng)H(s)

的所有極點全部位于平面的左半平面，不包含虛軸，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）當(dāng)H(s)在平面虛軸上有一階極點，其余所有極點全部位于平面的左半平面，則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。（3）當(dāng)H(s)含有右半平面的極點或虛軸上有二階或二階以上的極點時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由系統(tǒng)函數(shù)的極點分布可以判斷連續(xù)時間、因果LTI系統(tǒng)系統(tǒng)穩(wěn)定性二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷（3）三階系統(tǒng)必須滿足條件且系統(tǒng)才是穩(wěn)定的（1）一階系統(tǒng)，顯然只要參數(shù)滿足即為穩(wěn)定。為臨界穩(wěn)定。（2）二階系統(tǒng)只要參數(shù)滿足即為穩(wěn)定?；?qū)儆跒榕R界穩(wěn)定。假設(shè)系統(tǒng)函數(shù)分母多項式的最高項系數(shù)為1三階以下系統(tǒng)穩(wěn)定的判定二．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷例：設(shè)系統(tǒng)方框圖如圖所示，求（1）系統(tǒng)函數(shù)H(s)（2）系統(tǒng)穩(wěn)定，參數(shù)