函數(shù)的增減性 曲線的凹凸性與拐點

3.2

函數(shù)的增減性

曲線的凹凸性與拐點第三章三、小結(jié)與思考練習(xí)二、函數(shù)的凹凸性與拐點一、函數(shù)增減性（MonotonicityofFunction&ConcavityandConvexityofCurve）2/4/20231一、函數(shù)增減性圖1圖22/4/202321.利用導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)的單調(diào)性解

2/4/20233

解

經(jīng)驗2/4/20234解：經(jīng)驗:從例2、例3可以看到在討論函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間時，函數(shù)的駐點或函數(shù)有定義、但一階導(dǎo)數(shù)不存在的點都可能成為單調(diào)區(qū)間的分界點.2/4/202352/4/20236求單調(diào)區(qū)間的基本步驟：（1）確定定義區(qū)間；（2）求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)；（3）找出駐點（導(dǎo)數(shù)為零的點）和導(dǎo)數(shù)不存在點；（4）以駐點和導(dǎo)數(shù)不存在點為分界點，把定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間，并討論在這些小區(qū)間上，導(dǎo)數(shù)的符號，進而確定單調(diào)區(qū)間。2/4/202372.利用導(dǎo)數(shù)來證明不等式所以2/4/20238證明：令則2/4/20239二、曲線的凹凸性及拐點（InflectionPoint）1、曲線凹凸的定義顯然，曲線AB與BC都是單調(diào)增加的，但它們單調(diào)增加的變化方式卻有所不同。這說明：僅靠單調(diào)性來描述曲線的性態(tài)是不夠的。為此，我們有必要研究一下曲線的彎曲方向問題。2/4/202310o2/4/202311直接利用定義來判別曲線的凹凸性是比較困難的，下面利用二階導(dǎo)數(shù)來判別曲線的凹凸性．2/4/2023122、曲線凹凸性的判定（證明略）2/4/202313解

2/4/202314解

2/4/202315解：凹的凸的凹的拐點拐點2/4/2023161.函數(shù)單調(diào)性的判別法（定理1）內(nèi)容小結(jié)（1）會利用導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)的單調(diào)性（2）會利用導(dǎo)數(shù)來證明一些不等式（3）利用導(dǎo)數(shù)來證明方程根的唯一性2.函數(shù)凹凸性的定義3.函數(shù)凹凸性的判別定理（定理2）（1）拐點的定義（會求拐點和凹凸區(qū)間）（2）會利用凹凸性來證明一些不等式2/4/202317習(xí)題3-41；3（2）（4）；5（奇數(shù)題）；6；8課后練習(xí)思考練習(xí)答案：不能斷定.例如，2/4/202318但當(dāng)時，當(dāng)時，注意可以任意大，故在點的任何鄰域內(nèi)，都不單