高等流體力學(xué)第六章

第六章導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解6.1

一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱6.2

邊界條件與源項(xiàng)的處理一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱源項(xiàng)線(xiàn)性化6.2

邊界條件與源項(xiàng)的處理一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱其中6.2

邊界條件與源項(xiàng)的處理一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱式中下標(biāo)nb表示一個(gè)相鄰結(jié)點(diǎn)，表示對(duì)所有的相鄰結(jié)點(diǎn)求和

6.3

邊界條件在熱傳導(dǎo)問(wèn)題中有三類(lèi)典型的邊界條化：

1．已知邊界溫度

2．已知邊界熱流密度

3．通過(guò)放熱系數(shù)和周?chē)黧w的溫度來(lái)規(guī)定邊界的熱流密度．6.3

邊界條件6.3

邊界條件對(duì)控制容積積分，考慮熱流與溫度關(guān)系6.3

邊界條件

6.3

邊界條件（第三類(lèi)）

如果熱流密度系由放熱系數(shù)h以及環(huán)境流體溫度T那么于是對(duì)于的方程變?yōu)椋菏街?.4

四項(xiàng)基本法則法則1：在控制容積面上的連續(xù)性

當(dāng)一個(gè)面作為兩個(gè)相鄰控制容積所共有，離散化方程內(nèi)必須用相同的表達(dá)式來(lái)表示通過(guò)該面的熱流密度、質(zhì)量流量以及動(dòng)量通量。6.4

四項(xiàng)基本法則

圖3.5由二次曲線(xiàn)分布所得到的熱流密度的不連續(xù)性

6.4

四項(xiàng)基本法則法則2：正系數(shù)

所有的系數(shù)（以及各相鄰結(jié)點(diǎn)系數(shù)）必須總是正的。

（3.13）

（3.15）6.4

四項(xiàng)基本法則法則3：源項(xiàng)的負(fù)斜率線(xiàn)性化

當(dāng)源項(xiàng)線(xiàn)性化為時(shí)，系數(shù)必須總是小于或是等于0。其中6.4

四項(xiàng)基本法則

aP=aE+aW-SPΔx法則4：相鄰結(jié)點(diǎn)系數(shù)之和

為了使微分方程在因變量增加一個(gè)常數(shù)之后也仍然能得到滿(mǎn)足，我們要求：

方程（3.18）當(dāng)時(shí)，遵守此法則。（3.18）6.5

界面導(dǎo)熱系數(shù)離散化方程：6.5

界面導(dǎo)熱系數(shù)其中：如何求取導(dǎo)熱系數(shù)ki？6.5

界面導(dǎo)熱系數(shù)假設(shè)k在P點(diǎn)和E點(diǎn)之間呈線(xiàn)性變化，則：其中：（4.5）（4.6）ke=fekP+(1-fe)kE6.5

界面導(dǎo)熱系數(shù)如果界面e位于兩個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)之間的中點(diǎn)，那么fe將是0.5，ke就是kp與ke的算術(shù)平均值。界面熱流密度：（4.8）對(duì)于在P點(diǎn)與E點(diǎn)之間的組合板，根據(jù)穩(wěn)態(tài)無(wú)內(nèi)熱源一維導(dǎo)熱的分析，可得：（4.7）6.5

界面導(dǎo)熱系數(shù)將（4.6）-（4.8）合并在一起，就得到：（4.9）當(dāng)界面位于P和E之間的中點(diǎn)時(shí)，則，有（4.10）6.5

界面導(dǎo)熱系數(shù)將式（4.9）代入，得（4.11）ae代表點(diǎn)P和E之間的材料的熱導(dǎo)。1.令，則由方程（4.9）可得：。2.令，則：。6.6

源項(xiàng)的線(xiàn)性化當(dāng)源項(xiàng)S與T有關(guān)時(shí)，則：S的線(xiàn)性化應(yīng)當(dāng)是S-T關(guān)系的一個(gè)良好的表達(dá)式，還必須滿(mǎn)足非正的SP的基本法則。6.6

源項(xiàng)的線(xiàn)性化例1.已知：。某些可能的線(xiàn)性化如下：1.2.當(dāng)S的表達(dá)式很復(fù)雜時(shí)，采用此方式。3.曲線(xiàn)比實(shí)際的S-T關(guān)系更陡的曲線(xiàn)，這將使迭代的收斂速度減慢。6.6

源項(xiàng)的線(xiàn)性化例2.已知：。某些可能的線(xiàn)性化如下：1.2.3.導(dǎo)致收斂速度減慢。不可接受，因?yàn)镾P為正。6.6

源項(xiàng)的線(xiàn)性化例3.已知：。某些可能的線(xiàn)性化如下：1.2.3.則：在點(diǎn)，所選擇的直線(xiàn)與S-T曲線(xiàn)相切。6.6

源項(xiàng)的線(xiàn)性化4.收斂慢。6.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解

一維離散化方程的解可以用標(biāo)準(zhǔn)的高斯(Gauss)消去法得到，由于方程的形式特別簡(jiǎn)單，消去過(guò)程的算法就變得十分方便．有時(shí)候，這種算法稱(chēng)之為T(mén)DMA(三對(duì)角矩陣算法)．TDMA的名稱(chēng)基于：在寫(xiě)這些方程的系數(shù)矩陣時(shí)，所有的非零系數(shù)均排列在矩陣的三條對(duì)角線(xiàn)上(僅對(duì)角元素及其上下鄰位上的元素不為零)．6.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解式中下標(biāo)i＝l，2，3，…N．于是溫度Ti與相鄰的溫度Ti-1及Ti+1有關(guān)．

（1）將方程改寫(xiě)成：6.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解顯然當(dāng)i＝1時(shí)，C=0，而i=N時(shí)，B=0，即首、尾兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的方程中僅有兩個(gè)未知數(shù)。TDMA的求解過(guò)程分為消元與回代兩步。消元時(shí)，從系數(shù)矩陣的第二行起，逐一把每行中的非零元素消去一個(gè)，使原來(lái)的三元方程化為二元方程。消元進(jìn)行到最后一行時(shí)，該二元方程就化為一元?？闪⒓吹贸鲈撐粗康闹?。逐一往前回代，由各二元方程解出其它未知值。6.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解假設(shè)在前向代入過(guò)程中，得到

把方程（2）代入方程（1）就得到：

（2）

（3）6.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解改寫(xiě)成：與式（2）相比，有6.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解

可以由左端點(diǎn)的離散方程來(lái)確定：其中，所以，6.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解當(dāng)消元到最后一行時(shí)，有：而，所以，從上式出發(fā)，逐個(gè)回代，得出Ti（N-1，…1）。例題k＝1；源項(xiàng)S＝－T，SC＝0，Sp＝－1，T1＝0設(shè)有一導(dǎo)熱型方程，邊界條件為x＝0，T＝0；x＝1，。將該區(qū)域三等分，求該問(wèn)題的解。解：由導(dǎo)熱方程知，

6.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解6.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解a1=a3=3,a2=19/3,b2=0a2=a4=3,a3=19/3,b3=0a3=3,a4=19/6,b4=-1，

6.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解即19/3T2=3T3+3T119/3T3=3T4+3T219/6T4=3T3-1T1=0T2=-243/1121T3=-27/59T4=-840/11216.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解高斯—塞始爾(Gauss—5eldel)逐點(diǎn)計(jì)算法其中Tnb*代表在計(jì)算機(jī)存貯器中所存在的相鄰點(diǎn)的溫度值．對(duì)于那些在本次迭代過(guò)程中已經(jīng)被訪(fǎng)問(wèn)過(guò)的相鄰點(diǎn)是新鮮的計(jì)值，而對(duì)于那些尚待訪(fǎng)問(wèn)的相鄰點(diǎn)是由前一次達(dá)代所得到的值．6.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解高斯—塞始爾(Gauss—5eldel)逐點(diǎn)計(jì)算法

迭代序列號(hào)01234T10-1-4-11.5-30.25T20-3-10.5-29.5-76.136.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解高斯—塞始爾(Gauss—5eldel)逐點(diǎn)計(jì)算法

迭代的序號(hào)012345···T100．20．680．8720．9490．920···1．0T201．21．681．8721．9491．980···2．06.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解逐行計(jì)算法

6.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解松弛

我們?cè)诜匠痰挠覀?cè)加上，再減它，我們就有：括號(hào)內(nèi)的部分代表由本次迭代所產(chǎn)生的的變化。這一變化可以通過(guò)引進(jìn)一個(gè)

6.7

線(xiàn)性代數(shù)方程的解松弛

括號(hào)內(nèi)的部分代表由本次迭代所產(chǎn)生的的變化。這一變化可以通過(guò)引進(jìn)一個(gè)

松弛因子加以修改，所以6.8

超松弛與欠松弛在代數(shù)方程的迭代求解過(guò)程中，或是用于處理非線(xiàn)性問(wèn)題的整體迭代模式中，往往希望加快或是減慢前后二次迭代之間因變量值的變化。因變量的變化被加速——超松弛；因變量的變化被減慢——欠松弛。對(duì)于離散方程取作為前一次迭代所得TP值。采用一個(gè)松弛因子離散方程可以寫(xiě)成如果我們?cè)诜匠痰挠覀?cè)加上變換可以得到括號(hào)內(nèi)部分代表本次迭代所產(chǎn)生的TP的變化。可以通過(guò)引進(jìn)一個(gè)松弛因子加以修改

,為松弛因子當(dāng)?shù)諗繒r(shí)，TP和相等6.8

超松弛與欠松弛6.8

超松弛與欠松弛松弛因子在0與1之間時(shí)，他的作用是欠松弛的；對(duì)一很小的值，TP的變化很慢。當(dāng)大于1時(shí)，就產(chǎn)生超松弛。的最佳值與