半導(dǎo)體中載流子的統(tǒng)計(jì)分布

第三章半導(dǎo)體中載流子的統(tǒng)計(jì)分布§3.1狀態(tài)密度假設(shè)在能帶中能量E與E+dE之間的能量間隔dE內(nèi)有dZ個(gè)量子態(tài)，則定義狀態(tài)密度g（E）為：計(jì)算狀態(tài)密度的步驟：

1.單位K空間中的量子態(tài)數(shù)(即K空間的狀態(tài)密度)2.dE所對(duì)應(yīng)的K空間體積

3.dE間的量子態(tài)數(shù)dZ

（1、2項(xiàng)相乘）

4.根據(jù)上式求出狀態(tài)密度g(E)

nx，ny，nz為整數(shù)每個(gè)允許的能量狀態(tài)在k空間中與由整數(shù)組（nx，ny，nz）決定的一個(gè)代表點(diǎn)（kx，ky，kZ

）相對(duì)應(yīng)體積為1/V的一個(gè)立方體中有一個(gè)代表點(diǎn)，點(diǎn)密度為v相對(duì)應(yīng)在k空間中，如果計(jì)入電子的自旋，電子的允許量子態(tài)密度是2×V每個(gè)量子態(tài)最多容納一個(gè)電子kZkykx晶體體積一、球形等能面情況

假設(shè)導(dǎo)帶底在k=0處，且則導(dǎo)帶底狀態(tài)密度:同理，可推得價(jià)帶頂狀態(tài)密度：二、旋轉(zhuǎn)橢球等能面情況：導(dǎo)帶底狀態(tài)密度價(jià)帶頂狀態(tài)密度：由此可知：狀態(tài)密度gC（E）和gV（E）與能量E有拋物線關(guān)系，還與有效質(zhì)量有關(guān)，有效質(zhì)量大的能帶中的狀態(tài)密度大?！?.2費(fèi)米能級(jí)和載流子統(tǒng)計(jì)分布1、費(fèi)米分布函數(shù)電子遵循費(fèi)米-狄拉克（Fermi-Dirac）統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。能量為E的一個(gè)獨(dú)立的量子態(tài)被一個(gè)電子占據(jù)的幾率為

f(E)電子的費(fèi)米分布函數(shù)k0為波爾茲曼常數(shù)EF為費(fèi)米能級(jí)，它與溫度、半導(dǎo)體材料的導(dǎo)電類型、雜質(zhì)的含量以及能量零點(diǎn)的選取有關(guān)2、費(fèi)米能級(jí)EF的意義T=0:

fF(E)=1,

當(dāng)E<EF時(shí)

fF(E)=0,當(dāng)E>EF時(shí)T>0:

fF(E)>1/2,當(dāng)E<EF時(shí)

fF(E)=1/2,當(dāng)E=EF時(shí)

fF(E)<1/2,當(dāng)E>EF時(shí)EF01EF的意義EF的位置比較直觀地反映了電子占據(jù)量子態(tài)的情況。即標(biāo)志了電子填充能級(jí)的水平。EF越高，說(shuō)明有較多的能量較高的量子態(tài)上有電子占據(jù)。隨著溫度的升高，電子占據(jù)能量小于費(fèi)米能級(jí)的量子態(tài)的幾率下降，而占據(jù)能量大于費(fèi)米能級(jí)的量子態(tài)的幾率增大二、波爾茲曼（Boltzmann）分布函數(shù)費(fèi)米統(tǒng)計(jì)律與波爾茲曼統(tǒng)計(jì)律的主要差別在于:

費(fèi)米統(tǒng)計(jì)受泡利不相容原理的限制在E-EF》k0T

時(shí)泡利原理失去作用，兩者趨于一致當(dāng)E-EF》k0T時(shí),由于

三、空穴的分布函數(shù)f(E)表示能量為E的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率，因而1-f(E)就是能量為E的量子態(tài)不被電子占據(jù)的幾率，也就是被空穴占據(jù)的幾率，故EF-E》k0T時(shí)為空穴的波爾茲曼分布函數(shù)，它表明當(dāng)E遠(yuǎn)低于EF時(shí)，空穴占據(jù)能量為E的量子態(tài)的幾率很小。即這些量子態(tài)都被電子占據(jù)了。通常，EF位于禁帶內(nèi)，與導(dǎo)帶底或價(jià)帶頂?shù)木嚯x遠(yuǎn)大于k0T

對(duì)導(dǎo)帶導(dǎo)帶中的電子分布服從波爾茲曼函數(shù)。隨著能量E的增大，f(E)迅速減小，所以導(dǎo)帶中絕大多數(shù)電子分布在導(dǎo)帶底附近。對(duì)價(jià)帶價(jià)帶中的空穴分布服從波爾茲曼函數(shù)。隨著能量E的增大，1-f(E)迅速增大，所以價(jià)帶中絕大多數(shù)空穴分布在價(jià)帶頂附近。

服從波爾茲曼分布的電子系統(tǒng)

非簡(jiǎn)并系統(tǒng)

相應(yīng)的半導(dǎo)體

非簡(jiǎn)并半導(dǎo)體服從費(fèi)米分布的電子系統(tǒng)簡(jiǎn)并系統(tǒng)

相應(yīng)的半導(dǎo)體簡(jiǎn)并半導(dǎo)體四、導(dǎo)帶中的電子濃度和價(jià)帶中的空穴濃度本征載流子的產(chǎn)生和復(fù)合：在一定溫度T下，產(chǎn)生過(guò)程與復(fù)合過(guò)程之間處于動(dòng)態(tài)的平衡，這種狀態(tài)就叫熱平衡狀態(tài)。處于熱平衡狀態(tài)的載流子n0和p0稱為熱平衡載流子。它們保持著一定的數(shù)值。

導(dǎo)帶中電子濃度的計(jì)算步驟：將導(dǎo)帶分為無(wú)限多的無(wú)限小的能量間隔dE間有dz=gc(E)dE個(gè)量子態(tài)電子占據(jù)能量為E的量子態(tài)的幾率是f(E)在dE間有f(E)gc(E)dE個(gè)被電子占據(jù)的量子態(tài)每個(gè)被占據(jù)的量子態(tài)上有一個(gè)電子在dE間有f(E)gc(E)dE

個(gè)電子把所有的能量區(qū)間中的電子數(shù)相加就得到了能帶中的電子總數(shù)除以半導(dǎo)體的體積，就得到了導(dǎo)帶中的電子濃度單位體積的電子數(shù)n0和空穴數(shù)p0：則上面的推導(dǎo)中利用了積分公式NC為導(dǎo)帶的有效狀態(tài)密度NV為價(jià)帶的有效狀態(tài)密度容易看出：Nc∝和Nv∝

由式：（1）當(dāng)材料一定時(shí)，n0、p0隨EF和T而變化

EF與T及雜質(zhì)有關(guān)（2）當(dāng)溫度T一定時(shí)，n0×p0僅僅與本征材料有關(guān)。與EF及雜質(zhì)無(wú)關(guān)可得：熱平衡狀態(tài)下的非簡(jiǎn)并半導(dǎo)體均適用

§3.3本征半導(dǎo)體的載流子濃度在熱平衡態(tài)下，半導(dǎo)體是電中性的,即：

n0=p0（1）容易得到本征半導(dǎo)體費(fèi)米能級(jí)上式中第二項(xiàng)小得多，故Ef

Ei

在禁帶中線處

一般溫度下，Si、Ge、GaAs等本征半導(dǎo)體的EF近似在禁帶中央Ei，只有溫度較高時(shí)，EF才會(huì)偏離Ei。

磷化銦是個(gè)例外由（5）式

可以看到：1、對(duì)不同材料，溫度一定時(shí)，Eg大的材料，ni?。?、對(duì)同種材料，ni隨溫度T增加按指數(shù)關(guān)系上升。一般半導(dǎo)體器件，載流子主要來(lái)源于雜質(zhì)電離，而將本征激發(fā)忽略不計(jì)。當(dāng)溫度足夠高時(shí)，本征激發(fā)占主要地位，器件將不能正常工作，因此，每種器件都有一定的極限工作溫度?！?.4雜質(zhì)半導(dǎo)體的載流子濃度一、雜質(zhì)能級(jí)上的電子和空穴雜質(zhì)能級(jí)最多只能容納某個(gè)自旋方向的電子。電子占據(jù)施主能級(jí)ED的幾率

空穴占據(jù)受主能級(jí)EA的幾率施主濃度:ND

受主濃度:NA：

（1）雜質(zhì)能級(jí)上未離化的載流子濃度nD和pA

：（2）電離雜質(zhì)的濃度nd+和pA-雜質(zhì)能級(jí)與費(fèi)米能級(jí)的相對(duì)位置反映了電子和空穴占據(jù)雜質(zhì)能級(jí)的情況EF遠(yuǎn)在ED之下時(shí)，施主雜質(zhì)幾乎全部電離EF遠(yuǎn)在ED之上時(shí)，施主雜質(zhì)基本沒(méi)有電離當(dāng)ED

與EF重合時(shí)，施主雜質(zhì)有1/3電離，2/3沒(méi)電離同理EF遠(yuǎn)在EA之上時(shí)，受主雜質(zhì)幾乎全部電離EF遠(yuǎn)在EA之下時(shí)，受主雜質(zhì)基本沒(méi)有電離當(dāng)EA

與EF重合時(shí)，受主雜質(zhì)有1/3電離，2/3沒(méi)電離二、n型半導(dǎo)體的載流子濃度

假設(shè)只含一種n型雜質(zhì)。在熱平衡條件下，半導(dǎo)體是電中性的,電中性條件為:

則

當(dāng)溫度從低到高變化時(shí)，對(duì)不同溫度還可將此式進(jìn)一步簡(jiǎn)化

n型Si中電子濃度n與溫度T的關(guān)系：本征激發(fā)區(qū)雜質(zhì)離化區(qū)過(guò)渡區(qū)1、雜質(zhì)離化區(qū)特征：本征激發(fā)可以忽略，p0≌0

導(dǎo)帶電子主要由電離雜質(zhì)提供。電中性條件n0=p0+nD+

可近似為

n0=nD+（1）低溫弱電離區(qū)：

特征：nD+《NDp0=0弱電離極低溫時(shí)T→0Klim(TlnT)=0故NC與T有關(guān)，雜質(zhì)含量越高，EF達(dá)到極值的溫度也越高

費(fèi)米能級(jí)位于導(dǎo)帶底和施主能級(jí)間的中線處（2）中間電離區(qū)溫度繼續(xù)升高，當(dāng)2NC>ND后，ln(ND

/2NC)<0

費(fèi)米能級(jí)降到(EC+ED)/2以下當(dāng)溫度升高到EF=ED時(shí)，則

施主雜質(zhì)有1/3電離

（3）強(qiáng)電離區(qū)：

特征：雜質(zhì)基本全電離nD+≌ND

電中性條件簡(jiǎn)化為n0=ND一般代入上式可得室溫時(shí)硅中施主雜質(zhì)達(dá)到全部電離時(shí)的雜質(zhì)濃度上限令則D-未電離施主占施主雜質(zhì)數(shù)的百分比通常施主雜質(zhì)全部電離的標(biāo)準(zhǔn)是90%，則D-約為10%D-與溫度、雜質(zhì)濃度、和雜質(zhì)電離能有關(guān)雜質(zhì)濃度越高，達(dá)到全部電離的溫度就越高。所謂的室溫下雜質(zhì)全部電離是忽略了雜質(zhì)濃度的限制例：摻磷的n型硅，室溫時(shí)雜質(zhì)全部電離的濃度上限室溫時(shí)，硅的本征載流子濃度約為1010，則室溫時(shí)磷濃度在1011~1017范圍內(nèi)，可以認(rèn)為是以雜質(zhì)電離為主，而且處于雜質(zhì)全部電離的飽和區(qū)由D-還可確定、ND

一定時(shí)，雜質(zhì)全部電離所需的溫度決定雜質(zhì)全電離

（nD+≧90%ND）的因素：1、雜質(zhì)電離能；

2、雜質(zhì)濃度。在室溫（RT）時(shí)，當(dāng)雜質(zhì)濃度≧10ni時(shí)，

nD+≌ND施主雜質(zhì)全部電離時(shí)n0=ND載流子濃度與溫度無(wú)關(guān)飽和區(qū)：載流子濃度保持等于雜質(zhì)濃度的溫度范圍2、過(guò)渡區(qū)：半導(dǎo)體處于飽和區(qū)和完全本征激發(fā)之間

電中性條件：n0=ND+p0則顯然：n0》p0，這時(shí)的過(guò)渡區(qū)接近于強(qiáng)電離區(qū)。多數(shù)載流子（多子）n0少數(shù)載流子（少子）p03.高溫本征激發(fā)區(qū)

n0》ND電中性條件：n0=p0費(fèi)米能級(jí)接近禁帶中線載流子濃度隨溫度升高而迅速增加，雜質(zhì)濃度越高，達(dá)到本征激發(fā)起主要作用的溫度也越高摻雜半導(dǎo)體的載流子濃度和費(fèi)米能級(jí)由溫度和雜質(zhì)濃度所決定雜質(zhì)濃度一定時(shí)

隨溫度的升高，載流子從以雜質(zhì)電離為主過(guò)渡到以本征激發(fā)為主，相應(yīng)地費(fèi)米能級(jí)則從雜質(zhì)能級(jí)附近逐漸移近禁帶中線處溫度一定時(shí)，費(fèi)米能級(jí)的位置由雜質(zhì)濃度決定在雜質(zhì)半導(dǎo)體中，費(fèi)米能級(jí)的位置不但反映了半導(dǎo)體的導(dǎo)電類型，而且還反映了半導(dǎo)體的摻雜水平對(duì)n型，EF位于禁帶中線以上，ND越大，EF越高對(duì)p型，EF位于禁帶中線以下，NA越大，EF越低EF強(qiáng)p型弱p型本征型弱n型強(qiáng)n型EiEcEv4.少數(shù)載流子濃度n型半導(dǎo)體p型半導(dǎo)體少子濃度與成正比，與多子濃度成反比隨T增加，少子濃度增加飽和區(qū)不變§3.5一般情況下（即雜質(zhì)補(bǔ)償情況）的載流子統(tǒng)計(jì)分布電中性條件：如果半導(dǎo)體中存在若干種施主雜質(zhì)和受主雜質(zhì)，則電中性條件為上式中的變數(shù)僅有EF和T，由此可求出EF考慮n型半導(dǎo)體即ND>NA時(shí)（1）溫度很低時(shí)p0=0pA

=0電中性條件為ND=n0+NA+nD極低溫時(shí)，很小，而NA很大，《NA則得低溫下NA<<<<ND當(dāng)ND<2NC時(shí)EF位于ED與EC之間的中線以下當(dāng)ND>2NC時(shí)EF位于ED與EC之間的中線以上（2）溫度升高施主電離增加，如果ND>>NA，此時(shí)，受主雜質(zhì)已不產(chǎn)生顯著作用，情況與單一摻雜相同（3）當(dāng)溫度升高到使EF降到ED之下，且滿足

ED-EF》k0T時(shí)施主雜質(zhì)全部電離，則電中性條件為（4）ND-NA

與ni相近,則電中性條件為n0+NA=p0+ND與聯(lián)立求解可得§3.6簡(jiǎn)并（重?fù)诫s）