平均指標和變異指標

平均指標和變異指標第一頁，共七十七頁，2022年，8月28日第五章平均指標和變異指標本章學習目標1.理解和掌握平均指標和變異指標的概念2.掌握平均指標和變異指標的種類3.掌握各類平均指標的計算和應用4.掌握各類變異指標的計算和應用5.掌握幾種平均指標之間的關系第二頁，共七十七頁，2022年，8月28日第一節(jié)平均指標

一、什么是平均指標

？平均指標——是同質總體各單位某一標志在一定時間、地點、條件下所達到的一般水平，是總體的代表值，它描述分布數(shù)列的集中趨勢。二、平均指標的特點1.同質性2.代表性

3.抽象性

第三頁，共七十七頁，2022年，8月28日第一節(jié)平均指標

三、平均指標的作用1.可以比較同類現(xiàn)象在不同單位、不同地區(qū)間的平均水平。2.可以比較同類現(xiàn)象在不同時期的平均水平。3.可用于研究事物之間的依存關系。4.利用平均數(shù)還可以進行推算和預測。第四頁，共七十七頁，2022年，8月28日第一節(jié)平均指標

四、平均指標的分類

（五）幾何平均數(shù)（二）眾數(shù)（三）算術平均數(shù)（四）調和平均數(shù)（一）中位數(shù)位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)怎么計算呢？第五頁，共七十七頁，2022年，8月28日數(shù)值平均數(shù)第六頁，共七十七頁，2022年，8月28日（一）算術平均數(shù)概念：

算術平均數(shù)是總體各單位某一數(shù)量標志的平均數(shù)。基本計算公式：算術平均數(shù)=標志總量÷總體總量算術平均數(shù)與強度相對數(shù)的比較①含義不同。強度相對數(shù)分子與分母是兩個性質但又有聯(lián)系的指標值；而平均數(shù)分子同一總體的某一標志總量，而分母為總體總量。

②有些強度相對數(shù)的分子和分母可以互換，而平均數(shù)則不可以。

③平均數(shù)的分子與分母的數(shù)值存在著一一對應關系。

第七頁，共七十七頁，2022年，8月28日（一）算術平均數(shù)計算方法：由于掌握的資料不同和計算上的復雜程度不同，可分為簡單算術平均數(shù)和加權算術平均數(shù)。（1）簡單算術平均數(shù)公式中：代表算術平均數(shù)

代表總體各單位標志值

代表標志值的項數(shù)

∑為求和符號

第八頁，共七十七頁，2022年，8月28日（一）算術平均數(shù)計算方法：（2）加權算術平均數(shù)公式中：代表算術平均數(shù)

代表總體各單位標志值

代表各組的次數(shù)第九頁，共七十七頁，2022年，8月28日【例5－3】某銷售公司12月份各天的銷售額數(shù)據(jù)如下表所示：

銷售額（萬元）銷售的天數(shù)（天）銷售額×天數(shù)230240260280290300389712690192023401960290600合計307800（一）算術平均數(shù)第十頁，共七十七頁，2022年，8月28日解：＝7800/30

＝260（萬元）當我們掌握的資料是組距數(shù)列時，用各組的組中值代替各組平均數(shù)，再用公式來計算加權算術平均數(shù)。（一）算術平均數(shù)第十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日（一）算術平均數(shù)算術平均數(shù)的性質：（1）算術平均數(shù)與總體單位數(shù)的乘積，等于各單位標志值的總和。

（2）各單位標志值與算術平均數(shù)離差之和等于零。

（3）各單位標志值與算術平均數(shù)離差平方之和為最小。（4）對各單位標志值加或減一個任意數(shù)則算術平均數(shù)也要增加或減少該數(shù)(5)對各單位標志值乘以或除以任意一個非零數(shù),則算術平均數(shù)也要乘以或除以該數(shù)第十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日（二）調和平均數(shù)概念：調和平均數(shù)又稱倒數(shù)平均數(shù)，是變量倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù)。基本計算公式：

（簡單公式）（加權公式）第十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日（二）調和平均數(shù)調和平均數(shù)與算術平均數(shù)的聯(lián)系：調和平均數(shù)是算術平均數(shù)的變形。調和平均數(shù)的權數(shù)是算術平均數(shù)中的標志值乘以總體單位數(shù)所得到的標志總量，即：第十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日（二）調和平均數(shù)運用調和平均數(shù)該注意的問題：（1）當變量數(shù)列有一變量X的值為零時，調和平均數(shù)公式的分母將等于無窮大，因而無法求出確定的平均值。（2）調和平均數(shù)和算術平均數(shù)一樣，易受兩極端值影響。

（3）要注意區(qū)分調和平均數(shù)和算術平均數(shù)的使用條件，因事制宜

。第十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日【例5－4】某農貿市場蘋果5元每斤、香蕉2元每斤、西瓜3元每斤，如果蘋果買了5元、香蕉買了8元、西瓜買了6元，請問買回來的水果平均每斤多少錢？解：價格＝則平均價格H為：（二）調和平均數(shù)第十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日（三）幾何平均數(shù)概念：幾何平均數(shù)是個變量值連乘積的次方根，用Ｇ表示。

基本計算公式：

（簡單公式）（加權公式）銀行平均利率、各年平均發(fā)展速度、產品平均合格率等的計算就采用幾何平均法第十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日（三）幾何平均數(shù)運用幾何平均數(shù)該注意的問題：（1）變量數(shù)列中任何一個變量值不能為0，一個為0，則幾何平均數(shù)為0。（2）用環(huán)比指數(shù)計算的幾何平均易受最初水平和最末水平的影響。（3）幾何平均法主要用于動態(tài)平均數(shù)的計算。第十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日【例5－5】一位投資者持有一種投資產品，在2005、2006、2007、2008、2009和2010年的收益率分別是4.5％、2.5％、5％、4％、4.2％、4.6％。試計算該投資者在這六年內的平均收益率。解：根據(jù)計算公式得：

（三）幾何平均數(shù)第十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日幾何平均數(shù)的計算過程中往往要求開高次方，計算起來比較麻煩，因此可利用對數(shù)，將幾何平均數(shù)轉化為算術平均數(shù)：

(簡單)(加權)（三）幾何平均數(shù)第二十頁，共七十七頁，2022年，8月28日【例5－6】一位投資者持有一種投資產品，在2001-2010年10年收益情況如下表所示，試計算該投資者在這幾年平均投資收益。收益率（％）

4.04.55.05.41.0401.0451.0501.05424510.017030.019110.021190.022840.034060.076440.105950.02284合計／10／0.26029（三）幾何平均數(shù)第二十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日解：由公式可知：G＝0.06177＝6.177％（三）幾何平均數(shù)第二十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日幾種平均數(shù)的關系（一）算術平均數(shù)、調和平均數(shù)和幾何平均數(shù)的關系：（1）各自的適用場合不同。

（2）各種數(shù)值平均數(shù)在計算上的繁簡程度也不同

。第二十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日HG計算公式（簡單）計算公式（加權）單項式分組變量值為分組標志值，實際值組距式分組變量值為組中值，近似值計算原則平均數(shù)=標志總量÷總體總量適用范圍權數(shù)總和為總體總量（分母數(shù)據(jù)），如：總人數(shù)、總購買量、總天數(shù)權數(shù)總和為標志總量（分子數(shù)據(jù)），如：總產值、總支出、總費用、總產量、總成本變量各值相互聯(lián)系，如發(fā)展速度、年收益率、流水作業(yè)條件下各車間及格率數(shù)值比較（同變量值、同權數(shù)）第二十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日位置平均數(shù)第二十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日眾數(shù)一、眾數(shù)1、眾數(shù)是指變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多或頻率最大的變量值。2、適用條件：只有集中趨勢明顯時，才能用眾數(shù)作為總體的代表值。3、特點：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值適合于數(shù)據(jù)量較多且有明顯的集中趨勢時使用不受極端值的影響(缺乏敏感性)一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)第二十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日眾數(shù)(不惟一性)無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268

一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):659855多于一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828364242第二十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日眾數(shù)的計算方法（1）單項數(shù)列確定眾數(shù)，即出現(xiàn)次數(shù)最多（頻率最大）的標志值就是眾數(shù)。（2）組距數(shù)列確定眾數(shù)：在等距數(shù)列條件下，先確定眾數(shù)組，然后再通過公式進行具體計算，找出眾數(shù)點的標志值。第二十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日第一步：確定眾數(shù)所在的組，即從變量數(shù)列中找出頻率最大的組“眾數(shù)組”；第二步：根據(jù)與眾數(shù)組相鄰的兩個組的頻數(shù)，通過公式近似計算眾數(shù)值。

下限公式：Mo=上限公式：Mo=其中：L代表眾數(shù)組的下限值；U代表眾數(shù)組的上限值；表示眾數(shù)組次數(shù)與前一組次數(shù)之差；表示眾數(shù)組次數(shù)與后一組次數(shù)之差；i表示眾數(shù)組的組距。（一）眾數(shù)第二十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日身高人數(shù)（CM）（人）

152115421552156415711582159216012161716281634身高人數(shù)（CM）（人）

1643165816651673168716911705171217231741總計

83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174【例】某年級女生的身高分布情況,求出眾數(shù)第三十頁，共七十七頁，2022年，8月28日例：某廠甲車間有200名工人，他們每月加工的零件數(shù)如下表所示：按日產量分組（件）x工人數(shù)f121316172313合計8則，日產量眾數(shù)為13或者17第三十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日現(xiàn)檢測某廠生產的一批電子產品的耐用時間，得到資料如下表所示：眾數(shù)位于第三組

L=800U=1000i=1000-800=200

＝244-161＝83

＝244-157＝87耐用時間產品個數(shù)（個）600以下84600-800161800-10002441000-12001571200-1400361400以上18合計700例題第三十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日代入公式得：第三十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日二、中位數(shù)1、中位數(shù)：將總體單位的某一數(shù)量標志的各個數(shù)值按照大小順序排列，居于中間位置的那個數(shù)值就是中位數(shù)。2、中位數(shù)的特點和作用代表整個總體各單位標志值的平均水平各單位標志值與中位數(shù)離差的絕對值之和最小不受極端值的影響(缺乏敏感性)第三十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日計算方法

（1）由未分組資料確定中位數(shù)排序：確定中位數(shù)位置奇數(shù)：中間位置的標志值為中位數(shù)。偶數(shù)：中間位置相鄰兩個變量值的簡單平均數(shù)是中位數(shù)。第三十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日（2）由分組資料確定中位數(shù)第一步：確定中位數(shù)所處位置，按確定（f為次數(shù)）。第二步：采用公式計算上限法：用“以上累計”法確定中位數(shù)。下限法：用“以下累計”法確定中位數(shù)。其中：U是中位數(shù)所在組的上限，L是中位數(shù)所在組的下限，fm是中位數(shù)所在組的次數(shù)，Sm+1是中位數(shù)所在組后面各組累計數(shù)，Sm-1是中位數(shù)所在組前面各組累計數(shù)，i是中位數(shù)所在組的組距。第三十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日

1、設有9個工人生產某種產品，其日產量件數(shù)按大小順序排列為67778991014。則中位數(shù)位次即處于第5位的那個標志值為中位數(shù)。即Me=8件。例題第三十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日2、設有10個工人生產某種產品，其日產量件數(shù)按大小順序排列為6777899101418。則其中位數(shù)位次:

中位數(shù)處在第5個標志值與第6個標志值之間中點的位置。則Me=(8+9)/2=8.5第三十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日3、某學院1999到2000學年共有30名同學獲得獎學金

學生獲獎學金分布情況及計算表獎學金金額（元/人）人數(shù)（人）人數(shù)累計以下累計（人）以上累計（人）300500800100015003687639172430302721136合計30—

—

第三十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日從表中資料計算，中位數(shù)位置為：（人）中位數(shù)在第15人的位置上。無論是以下累計法還是以上累計法，所選擇的累計人數(shù)數(shù)值都應是含15人的最小數(shù)值。表中的17和21符合這一要求，它們對應的都是第三組，即800元就中位數(shù)。第四十頁，共七十七頁，2022年，8月28日4、現(xiàn)檢測某廠生產的一批電子產品的耐用時間，得到資料如下表所示：耐用時間產品個數(shù)累計次數(shù)以下累計以上累計600以下8484700600-800161245（Sm-1)616800-1000244(fm)4894551000-1200157646211（Sm+1)1200-140036682541400以上1870018合計700－－第四十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日第四十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日幾種平均數(shù)的關系數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)的關系：（1）它們代表的意義不同。

（2）受個別或少數(shù)極端值的影響程度不同

。（3）數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)各自適用的數(shù)據(jù)類型不同

。第四十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日圖5-1三種集中趨勢的關系幾種平均數(shù)的關系（4）三者關系：第四十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日第二節(jié)變異指標

一、什么是變異指標

？變異指標——是指綜合反映總體各單位標志值及其分布的差異程度的指標，也稱為標志變異度指標。二、變異指標的作用1.可以反映平均指標的代表性程度2.說明現(xiàn)象或過程的均衡程度與穩(wěn)定程度

3.在抽樣調查中，變異度指標是計算抽樣誤差和確定樣本量的依據(jù)第四十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日第二節(jié)變異指標三、變異指標的分類？1.全距和四分位差2.平均差、標準差、方差和變異系數(shù)

3.偏度和峰度掌握它們的計算、特點和適用范圍。第四十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日全距和四分位差第四十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日全距概念：全距指總體各單位標志值中最大值與最小值之差，因為它是總體中兩個極端值之差，故又稱為極差。計算公式：

優(yōu)點：計算簡單，涵義直觀，運用方便。缺點：①不夠全面。它僅僅取決于兩個極端值的水平，不能反映整個數(shù)列的分布情況；②不夠準確。它受個別極端值的影響過于顯著，不符合穩(wěn)健性和耐抗性的要求。

第四十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日四分位差概念：四分位差是指四分位數(shù)中間兩個分位數(shù)之差。

計算公式：其中：為第三個四分位數(shù)，

的位置

為第一個四分位數(shù)，

的位置

全距和四分位差均只使用部分數(shù)據(jù)進行計算。第四十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日四分位差例：在某城市隨機抽取9個家庭，調查得到每個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)如下（單位：元），計算人均月收入的四分位差

1500、750、780、1080、850、960、2000、1250、1630解：把題目所給數(shù)據(jù)排序，結果如下：

750、780、850、960、1080、1250、1500、1630、2000

Q1位置=（n+1）/4=10/4=2.5，Q1=780+（850-780）*0.5=815Q3位置=3（n+1）/4=3*10/4=7.5，

Q3=1500+（1630-1500）*0.5=1565

四分位差Qd=Q3—Q1=1565-815=750第五十頁，共七十七頁，2022年，8月28日平均差概念：平均差是指總體各單位標志值對其算術平均數(shù)的離差絕對值的算術平均數(shù)。一般用A.D表示。計算公式：或（簡單平均差）

(加權平均差)

第五十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日平均差優(yōu)點：①含義明確，它是根據(jù)總體各單位標志值計算出來的，綜合了各單位標志值的變異情況,所以它能夠充分、客觀地反映出了指標值的平均變異程度；②計算也比較簡便。

缺點：平均差的計算需要對離差取絕對值，這就不便于進一步的代數(shù)運算了

第五十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日某車間50名工人日加工零件標準差計算表按零件數(shù)分組組中值(Xi)頻數(shù)(Fi)|Xi-X||Xi-X|Fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2合計—50—312根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計算工人日加工零件數(shù)的平均差例題第五十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日方差概念：標準差的平方就是方差，一般用計算公式：或（簡單公式）

(加權公式)

表示。第五十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日標準差概念：標準差，是總體所有單位標志值與其平均數(shù)的離差平方的算術平均數(shù)的正平方根。一般用來表示。

計算公式：或（簡單標準差）

(加權標準差)

第五十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日【例5－7】有三個生產小組，各有５個人，每人日產量如下：甲組：24，24，24，24，24乙組：20，22，25，26，27丙組：10，20，25，30，35分別計算各組的日產量差異程度（標準差和方差）。第五十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日解：由于甲組5個工人的日產量都是24件，各單位標志值與平均數(shù)之間均無差異，因此，該組日產量方差和標準差均為零，即：第五十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日乙組丙組日產量(件))日產量(件）2022252627-4-2+1+2+31641494004846256767291020253035-14-4+1+6+11196161361211002006259001225合計0342914合計03703050乙組和丙組的標準差和方差計算表

第五十八頁，共七十七頁，2022年，8月28日（件）（件）第五十九頁，共七十七頁，2022年，8月28日計算結果表明，甲組方差和標準差均為0，說明該組工人日產量無差異；乙組方差和標準差居中，說明乙組工人日產量有差異，其差異程度大于甲組但小于丙組；丙組的方差和標準差在三組中是最大的。所以，盡管三組的算術平均數(shù)相等，但三個組的平均數(shù)對本組的代表程度不同，甲組的代表性最強，乙組其次，丙組最差。第六十頁，共七十七頁，2022年，8月28日若c=0，則

對分布數(shù)列而言，則

3、方差的簡捷計算第六十一頁，共七十七頁，2022年，8月28日若分布數(shù)列是等距數(shù)列，則有a為中間組的組中值或次數(shù)最多的組中值，b為（x-a）的最大公約數(shù)第六十二頁，共七十七頁，2022年，8月28日4.方差及標準差的計算一般的計算過程：列表簡捷計算方法：不計算離差方差及標準差

第一步計算均值

第二步計算離差

第三步離差平方

第四步乘以權數(shù)

第五步計算方差

第一步計算均值

第二步變量平方

第三步乘以權數(shù)

第四步計算方差第六十三頁，共七十七頁，2022年，8月28日變量替換法：等距數(shù)列

第二步計算x’均值

第三步計算x’平方

第四步求x’方差

第五步求x方差

第一步變量替換x’第六十四頁，共七十七頁，2022年，8月28日例4：某班50名學生統(tǒng)計學考試成績如下表所示，計算其考試成績的標準差成績（分）學生數(shù)（人）60以下460-701270-802080-901090以上4合計50第六十五頁，共七十七頁，2022年，8月28日1、一般解法成績學生數(shù)fi組中值xixifixi-x(xi-x)2(xi-x)2fi60以下455220-19.6384.161536.6460-701265780-9.692.161105.9270-80207515000.40.163.2080-90108585010.4108.161081.6090以上49538020.4416.161664.64合計50/3730//5392.00第六十六頁，共七十七頁，2022年，8月28日2、簡捷公式成績學生數(shù)fi組中值xixifixi2xi2fi60以下45522030251210060-70126578042255070070-8020751500562511250080-90108585072257225090以上495380902536100合計50/3730/283650第六十七頁，共七十七頁，2022年，8月28日3、變量替換法（a=75，b=10）成績學生數(shù)fi組中值xixi’xi’

fixi’

2fi60以下455-2-81660-701265-1-121270-80207500080-9010851101090以上4952816合計50//-2