高中數(shù)學(xué)北師大版1第一章常用邏輯用語(yǔ) 第1章

第一章§1一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下列語(yǔ)句：①3>2；②π是有理數(shù)嗎？③sin30°＝eq\f(1,2)；④x2－1＝0有一個(gè)根是x＝－1；⑤x>2.其中是命題的是()A．①②③ B．①③④C．③ D．②⑤解析：②是一般疑問(wèn)句不是命題；⑤無(wú)法判斷真假，不是命題．答案：B2．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為()①面積相等的兩個(gè)三角形是全等三角形；②若xy＝0，則|x|＋|y|＝0；③若a>b，則a＋c>b＋c；④矩形的對(duì)角線互相垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：①錯(cuò)．②錯(cuò)，若xy＝0則x，y至少一個(gè)為0，而未必|x|＋|y|＝0.③對(duì)，同向不等式，兩邊加上同一個(gè)常數(shù)．不等號(hào)不變．④錯(cuò)．答案：A3．命題“當(dāng)AB＝AC時(shí)，△ABC為等腰三角形”與它的逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)是()A．4 B．3C．2 D．1解析：原命題與逆否命題為真，逆命題：“△ABC為等腰三角形，則AB＝AC”是假命題，因?yàn)檫€可以是AB＝BC，所以否命題也是假命題．答案：C4．有下列四個(gè)命題：①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題；②“相似三角形的周長(zhǎng)相等”的否命題；③“若b≤0，則方程x2－2bx＋b2＋b＝0有實(shí)根”的逆否命題；④若“A∪B＝B，則A?B”的逆否命題．其中是真命題的是()A．①② B．②③C．①③ D．③④解析：①逆命題：若x、y互為倒數(shù)，則xy＝1是真命題．②否命題：不相似的三角形周長(zhǎng)不相等是假命題．③方程x2－2bx＋b2＋b＝0無(wú)實(shí)根，則b＞0是真命題．④若A?B，則A∪B≠B是假命題．答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5．給出下列命題①若ac＝bc，則a＝b；②方程x2－x＋1＝0有兩個(gè)實(shí)根；③對(duì)于實(shí)數(shù)x，若x－2＝0，則x－2≤0；④若p＞0，則p2＞p；⑤正方形不是菱形．其中真命題是________，假命題是________．解析：①c＝0時(shí)，a不一定等于b，假命題．②此方程無(wú)實(shí)根，假命題．③結(jié)論成立，真命題．④0＜p≤1時(shí)結(jié)論不成立，假命題．⑤不成立，假命題．答案：③①②④⑤6．將“偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱”，寫(xiě)成“若p，則q”的形式，則p：________，q：________.解析：弄清命題的條件和結(jié)論．答案：一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱三、解答題(每小題10分，共20分)7．把下列命題改寫(xiě)成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假．(1)當(dāng)m＜eq\f(1,4)時(shí)，方程mx2－x＋1＝0有實(shí)根；(2)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)實(shí)數(shù)；(3)互相垂直的兩直線斜率乘積等于－1.解析：(1)若m＜eq\f(1,4)，則方程mx2－x＋1＝0有實(shí)根，真命題．因?yàn)榉匠蘭x2－x＋1＝0有無(wú)實(shí)根取決于判別式Δ＝1－4m，當(dāng)m＜eq\f(1,4)時(shí)，Δ＞0，故當(dāng)m＜eq\f(1,4)時(shí)，方程mx2－x＋1＝0有實(shí)根為真命題；(2)若x∈R，則x2≥0，真命題．(3)若兩條直線互相垂直，則這兩條直線的斜率乘積等于－1.假命題．當(dāng)一條直線斜率為0，另一條直線斜率不存在時(shí)兩條直線垂直，而斜率乘積不等于－1.8．分別寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷它們的真假．(1)若q≤1，則方程x2＋2x＋q＝0有實(shí)根；(2)若ab＝1，則a＝1且b＝1.解析：(1)逆命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實(shí)根，則q≤1，為真命題．否命題：若q>1，則方程x2＋2x＋q＝0無(wú)實(shí)根，真命題．逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無(wú)實(shí)根，則q>1，真命題．(2)逆命題：若a＝1且b＝1，則ab＝1，真命題．否命題：若ab≠1，則a≠1或b≠1，真命題．逆否命題：若a≠1或b≠1，則ab≠1，假命題．eq\x(尖子生題庫(kù))☆☆☆9．(10分)在公比為q的等比數(shù)列{an}中前n項(xiàng)和為Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數(shù)列，則am，am＋2，am＋1成等差數(shù)列．(1)寫(xiě)出上述命題的逆命題；(2)判斷公比q為何值時(shí)，逆命題為真？公比q為何值時(shí)，逆命題為假？解析：(1)逆命題：在公比為q的等比數(shù)列{an}中前n項(xiàng)和為Sn，若am，am＋2，am＋1成等差數(shù)列，則Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差數(shù)列．(2)由{an}為等比數(shù)列知an≠0，q≠0，由am，am＋2，am＋1成等差數(shù)列得2am＋2＝am＋am＋1，即2am·q2＝am＋am·q.整理得2q2－q－1＝0解得q＝－eq\f(1,2)或q＝1.當(dāng)q＝1時(shí)an＝a1(n＝1,2，…)則Sm＋2＝(m＋2)a1，Sm＝ma1，Sm＋1＝(m＋1)a1，又2(m＋2)a1≠ma1＋(m＋1)a1，即2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1，所以Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差數(shù)列．故當(dāng)q＝1時(shí)原命題的逆命題為假命題．當(dāng)q＝－eq\f(1,2)時(shí)，2Sm＋2＝2·eq\f(a11－qm＋2,1－q)＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))m)),3)，Sm＋1＝eq\f(a11－qm＋1,1－q)＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))m)),3)，又Sm＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))m)),3)，∴Sm＋Sm＋1＝eq\f(a1\b\lc\[\rc\](\