高中數(shù)學(xué)蘇教版1第1章常用邏輯用語 第1章5

1．3全稱量詞與存在量詞1．量詞[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見的全稱量詞和存在量詞.2.了解含有量詞的全稱命題和存在性命題的含義，并能用數(shù)學(xué)符號(hào)表示含有量詞的命題及判斷其命題的真假性．[知識(shí)鏈接]下列語句是命題嗎？(1)與(3)，(2)與(4)之間有什么關(guān)系？(1)x>3；(2)2x＋1是整數(shù)；(3)對所有的x∈R，x>3；(4)對任意一個(gè)x∈Z,2x＋1是整數(shù)．答：語句(1)(2)含有變量x，由于不知道變量x代表什么數(shù)，無法判斷它們的真假，因而不是命題．語句(3)在(1)的基礎(chǔ)上，用短語“對所有的”對變量x進(jìn)行限定；語句(4)在(2)的基礎(chǔ)上，用短語“對任意一個(gè)”對變量x進(jìn)行限定，從而使(3)(4)成為可以判斷真假的語句，因此語句(3)(4)是命題．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．全稱量詞和全稱命題(1)全稱量詞：短語“所有”“每一個(gè)”“任意”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“?”表示．(2)全稱命題：含有全稱量詞的命題叫做全稱命題．全稱命題“對M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可用符號(hào)簡記為?x∈M，p(x)，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”．2．存在量詞和存在性命題(1)存在量詞：短語“存在一個(gè)”“有一個(gè)”“有些”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“?”表示．(2)存在性命題：含有存在量詞的命題叫做存在性命題．存在性命題“存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立”可用符號(hào)簡記為?x0∈M，p(x0)，讀作“存在M中的一個(gè)元素x0，使p(x0)成立”.

要點(diǎn)一全稱量詞與全稱命題例1試判斷下列全稱命題的真假：(1)?x∈R，x2＋2>0；(2)?x∈N，x4≥1；(3)對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命題“?x∈R，x2＋2>0”是真命題．(2)由于0∈N，當(dāng)x＝0時(shí)，x4≥1不成立，所以命題“?x∈N，x4≥1”是假命題．(3)由于?α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命題“對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命題．規(guī)律方法判斷全稱命題為真時(shí)，要看命題是否對給定集合中的所有元素成立．判斷全稱命題為假時(shí)，可以用反例進(jìn)行否定．跟蹤演練1判斷下列全稱命題的真假：(1)所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)；(2)?x∈R，x2＋1≥1；(3)對每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)．解(1)2是素?cái)?shù)，但2不是奇數(shù)．所以，全稱命題“所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)”是假命題．(2)?x∈R，總有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全稱命題“?x∈R，x2＋1≥1”是真命題．(3)eq\r(2)是無理數(shù)，但(eq\r(2))2＝2是有理數(shù)．所以，全稱命題“對每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是假命題．要點(diǎn)二存在量詞與存在性命題例2判斷下列命題的真假：(1)?x0∈Z，xeq\o\al(3,0)<1；(2)存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形；(3)有一個(gè)實(shí)數(shù)α，使tanα無意義；(4)?x0∈R，cosx0＝eq\f(π,2).解(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，∴“?x0∈Z，xeq\o\al(3,0)<1”是真命題．(2)真命題，如梯形．(3)真命題，當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，tanα無意義.(4)∵當(dāng)x∈R時(shí)，cosx∈[－1,1]，而eq\f(π,2)>1，∴不存在x0∈R，使cosx0＝eq\f(π,2)，∴原命題是假命題．規(guī)律方法存在性命題是含有存在量詞的命題，判定一個(gè)存在性命題為真，只需在指定集合中找到一個(gè)元素滿足命題結(jié)論即可．跟蹤演練2判斷下列存在性命題的真假：(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋3＝0；(2)存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線；(3)有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)．解(1)由于?x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的實(shí)數(shù)x不存在．所以，存在性命題“有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋3＝0”是假命題．(2)由于垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是互相平行的，因此不存在兩個(gè)相交的平面垂直于同一條直線．所以，存在性命題“存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線”是假命題．(3)由于存在整數(shù)3只有兩個(gè)正因數(shù)1和3，所以存在性命題“有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)”是真命題．要點(diǎn)三全稱命題、存在性命題的應(yīng)用例3(1)對于任意實(shí)數(shù)x，不等式sinx＋cosx>m恒成立．求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)存在實(shí)數(shù)x，不等式sinx＋cosx>m有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))≥－eq\r(2)，又∵?x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，∴只要m<－eq\r(2)即可．∴所求m的取值范圍是(－∞，－eq\r(2))．(2)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．又∵?x∈R，sinx＋cosx>m有解，∴只要m<eq\r(2)即可，∴所求m的取值范圍是(－∞，eq\r(2))．規(guī)律方法有解和恒成立問題是存在性命題和全稱命題的應(yīng)用，注意二者的區(qū)別．跟蹤演練3(1)已知關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若命題p：eq\r(1－sin2x)＝sinx－cosx是真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．解(1)關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥eq\f(7,4)，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[eq\f(7,4)，＋∞)．(2)由eq\r(1－sin2x)＝sinx－cosx，得eq\r(sin2x＋cos2x－2sinxcosx)＝sinx－cosx，∴eq\r(sinx－cosx2)＝sinx－cosx，即|sinx－cosx|＝sinx－cosx，∴sinx≥cosx.結(jié)合三角函數(shù)圖象，得2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)，此即為所求x的取值范圍．即p：?x∈[2kπ＋eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(5π,4)](k∈Z)，有eq\r(1－sin2x)＝sinx－cosx是真命題.1．給出四個(gè)命題：①末位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在實(shí)數(shù)x，x>0；④對于任意實(shí)數(shù)x,2x＋1是奇數(shù)．下列說法正確的是________．①是假命題②是存在性命題③是真命題④是真命題答案②③解析①④為全稱命題；②③為存在性命題；①②③為真命題；④為假命題．2．下列命題中，不是全稱命題的是________．①任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0；②自然數(shù)都是正整數(shù)；③每一個(gè)向量都有大小；④一定存在沒有最大值的二次函數(shù)．答案④解析④是存在性命題．3．下列存在性命題是假命題的是________．①存在x∈Q，使2x－x3＝0；②存在x∈R，使x2＋x＋1＝0；③有的素?cái)?shù)是偶數(shù)；④有的有理數(shù)沒有倒數(shù)．答案②解析對于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0恒成立．4．用量詞符號(hào)“?”“?”表述下列命題：(1)凸n邊形的外角和等于2π；(2)有一個(gè)有理數(shù)x0滿足xeq\o\al(2,0)＝3.解(1)?x∈{x|x是凸n邊形}，x的外角和是2π.(2)?x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝3.1.判斷命題是全稱命題還是存在性命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞，有些全稱命題雖然不含全稱量詞，可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷．2．要確定一個(gè)全稱命題是真命題，需保證該命題對所有的元素都成立；若能舉出一個(gè)反例說明命題不成立，則該全稱命題是假命題．3．要確定一個(gè)存在性命題是真命題，舉出一個(gè)例子說明該命題成立即可；若經(jīng)過邏輯推理得到命題對所有的元素都不成立，則該存在性命題是假命題．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．下列命題：①中國公民都有受教育的權(quán)利；②每一個(gè)中學(xué)生都要接受愛國主義教育；③有人既能寫小說，也能搞發(fā)明創(chuàng)造；④任何一個(gè)數(shù)除0，都等于0.其中全稱命題的個(gè)數(shù)是________．答案3解析命題①②④都是全稱命題．2．下列命題中的假命題是________．①?x∈R，lgx＝0；②?x∈R，tanx＝1；③?x∈R，x3>0；④?x∈R,2x>0.答案③解析對于①，當(dāng)x＝1時(shí)，lgx＝0，正確；對于②，當(dāng)x＝eq\f(π,4)時(shí)，tanx＝1，正確；對于③，當(dāng)x＜0時(shí)，x3＜0，錯(cuò)誤；對于④，?x∈R,2x＞0，正確．3．下列命題中存在性命題的個(gè)數(shù)是________．①有些自然數(shù)是偶數(shù)；②正方形是菱形；③能被6整除的數(shù)也能被3整除；④對于任意x∈R，總有|sinx|≤1.答案1解析命題①含有存在量詞；命題②可以敘述為“所有的正方形都是菱形”，故為全稱命題；命題③可以敘述為“一切能被6整除的數(shù)都能被3整除”，是全稱命題；而命題④是全稱命題．故有一個(gè)存在性命題．4．下列全稱命題中真命題的個(gè)數(shù)為________．①負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；②對任意的實(shí)數(shù)a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函數(shù)f(x)＝x2－ax－1與x軸恒有交點(diǎn)；④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.答案3解析①②③為真命題，當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時(shí)，x2＋|y|＝0，故④為假命題．5．給出以下命題：①?x∈R，有x4>x2；②?α∈R，使得sin3α＝3sinα；③?a∈R，對?x∈R，使得x2＋2x＋a<0.其中真命題的個(gè)數(shù)為________．答案1解析①中，當(dāng)x＝0時(shí)，x4＝x2，故為假命題；②中，當(dāng)α＝kπ(k∈Z)時(shí)，sin3α＝3sinα成立，故為真命題；③中，由于拋物線開口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，顯然為假命題．6．下列命題中，既是真命題又是存在性命題的是________．①存在一個(gè)α，使tan(90°－α)＝tanα；②存在實(shí)數(shù)x0，使sinx0＝eq\f(π,2)；③對一切α，sin(180°－α)＝sinα；④sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.答案①解析只有①、②兩個(gè)選項(xiàng)中的命題是存在性命題，而由于|sinx|≤1，所以sinx0＝eq\f(π,2)不成立，故②為假命題．又因?yàn)楫?dāng)α＝45°時(shí)，tan(90°－α)＝tanα，故①為真命題．7.判斷下列命題是否為全稱命題或存在性命題，若是，用符號(hào)表示，并判斷其真假．(1)存在一條直線，其斜率不存在；(2)對所有的實(shí)數(shù)a，b，方程ax＋b＝0都有惟一解；(3)存在實(shí)數(shù)x0，使得eq\f(1,x\o\al(2,0)－x0＋1)＝2.解(1)是存在性命題，用符號(hào)表示為“?直線l，l的斜率不存在”，是真命題．(2)是全稱命題，用符號(hào)表示為“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有惟一解”，是假命題．(3)是存在性命題，用符號(hào)表示為“?x0∈R，eq\f(1,x\o\al(2,0)－x0＋1)＝2”，是假命題．二、能力提升8．給出下列四個(gè)命題：①a⊥b?a·b＝0；②矩形都不是梯形；③?x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的兩條直線的斜率之積等于－1.其中全稱命題是________．答案①②④解析①②省略了量詞“所有的”，④含有量詞“任意”．9．對任意x>3，x>a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，3]解析對任意x>3，x>a恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a，∴a≤3.10．下面四個(gè)命題：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命題的個(gè)數(shù)為________．答案0解析x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴當(dāng)x>2或x<1時(shí)，x2－3x＋2>0才成立，∴①為假命題．當(dāng)且僅當(dāng)x＝±eq\r(2)時(shí)，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②為假命題．對?x∈R，x2＋1≠0，∴③為假命題．4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即當(dāng)x＝1時(shí)，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④為假命題．∴①②③④均為假命題．11．已知命題p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命題q：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0.若命題“p∧q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解?x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)恒成立，∴a≤1.?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有實(shí)根，∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1.又p∧q為真，故p、q都為真，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a≤－2或