2023年北京匯佳職業(yè)學院高職單招（數(shù)學）試題庫含答案解析

長風破浪會有時，直掛云帆濟滄海。住在富人區(qū)的她2023年北京匯佳職業(yè)學院高職單招（數(shù)學）試題庫含答案解析（圖片大小可自由調(diào)整）全文為Word可編輯，若為PDF皆為盜版，請謹慎購買！第1卷一.綜合題(共50題)1.已知橢圓C的左右焦點坐標分別是（-2，0），（2，0），離心率22，直線y=x-1與橢圓C交于不同的兩點A，B．

（1）求橢圓C的方程；

（2）求弦AB的長度．答案：（本小題滿分13分）（1）依題意可設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)…（1分）則c=2e=ca=22，解得a=22c=2…（3分）∴b2=a2-c2=8-4=4…（5分）∴橢圓C的方程為x28+y24=1…（6分）（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）…（7分）聯(lián)立方程x28+y24=1y=x-1，消去y，并整理得：3x2-4x-6=0…（9分）∴x1+x2=43x1?x2=-2…（10分）∴|AB|=1+12|x2-x1|=2[(x1+x2)2-4x1x2]

=2[(43)2-4×(-2)]=4113…（12分）∴|AB|=4113…（13分）2.將3封信投入5個郵筒，不同的投法共有（）

A．15

種

B．35

種

C．6

種

D．53種答案：D3.某人射擊一次擊中的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人至少有兩次擊中目標的概率為（）

A．

B．

C．

D．答案：A4.已知a≠0，證明關(guān)于x的方程ax=b有且只有一個根．答案：證明：一方面，∵ax=b，且a≠0，方程兩邊同除以a得：x=ba，∴方程ax=b有一個根x=ba，另一方面，假設(shè)方程ax=b還有一個根x0且x0≠ba，則由此不等式兩邊同乘以a得ax0≠b，這與假設(shè)矛盾，故方程ax=b只有一個根．綜上所述，方程ax=b有且只有一個根．5.下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（）

A．①②B．①③C．①④D．②④答案：正方體的三視圖都相同，而三棱臺的三視圖各不相同，圓錐和正四棱錐的，正視圖和側(cè)視圖相同，所以，正確為D．故選D6.直線2x-y=7與直線3x+2y-7=0的交點是（）

A．（3，-1）

B．（-1，3）

C．（-3，-1）

D．（3，1）答案：A7.盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個．若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于______．答案：從中隨機取出2個球，每個球被取到的可能性相同，是古典概型從中隨機取出2個球，所有的取法共有C52=10所取出的2個球顏色不同，所有的取法有C31?C21=6由古典概型概率公式知P=610=35故為358.拋物線y=-12x2上一點N到其焦點F的距離是3，則點N到直線y=1的距離等于______．答案：∵拋物線y=-12x2化成標準方程為x2=-2y∴拋物線的焦點為F（0，-12），準線方程為y=12∵點N在拋物線上，到焦點F的距離是3，∴點N到準線y=12的距離也是3因此，點N到直線y=1的距離等于3+（1-12）=72故為：729.復(fù)數(shù)，且A+B=0，則m的值是（）

A．

B．

C．-

D．2答案：C10.若關(guān)于的不等式的解集是,則的值為_______答案：-2解析：原不等式,結(jié)合題意畫出圖可知.11.若直線過點（1，2），()，則此直線的傾斜角是（）

A．60°

B．45°

C．30°

D．90°答案：C12.隋機變量X～B（6，），則P（X=3）=（）

A．

B．

C．

D．答案：C13.設(shè)A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求實數(shù)a的取值范圍。答案：解A={0，-4}∵A∩B=B

∴BA由x2＋2(a＋1)x＋a2-1=0

得△=4（a＋1）2-4（a2-1）=8（a＋1）（1）當a＜-1時△＜0

B=φA（2）當a=-1時△=0

B={0}A（3）當a＞-1時△＞0

要使BA，則A=B∵0，-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的兩根∴解之得a=1綜上可得a≤-1或a=114.某農(nóng)科所種植的甲、乙兩種水稻，連續(xù)六年在面積相等的兩塊稻田中作對比試驗，試驗得出平均產(chǎn)量==415㎏，方差是=794，=958，那么這兩個水稻品種中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的是（）

A．甲

B．乙

C．甲、乙一樣穩(wěn)定

D．無法確定答案：A15.在同一坐標系中，y=ax與y=a+x表示正確的是（）A．

B．

C．

D．

答案：由y=x+a得斜率為1排除C，由y=ax與y=x+a中a同號知若y=ax遞增，則y=x+a與y軸的交點在y軸的正半軸上，由此排除B；若y=ax遞減，則y=x+a與y軸的交點在y軸的負半軸上，由此排除D，知A是正確的；故選A．16.如圖⊙0的直徑AD=2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙0，直線MN切⊙0于點B，∠MBA=30°，則AB的長為______．答案：連BD，則∠MBA=∠ADB=30°，在直角三角形ABD中sin30°=ABAD，∴AB=12×2=1故為：117.現(xiàn)有編號分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九道不同的數(shù)學題，某同學從這九道題中一次隨機抽取兩道題，每題被抽到的概率是相等的，用符號（x，y）表示事件“抽到兩題的編號分別為x，y，且x＜y”．

（1）共有多少個基本事件？并列舉出來．

（2）求該同學所抽取的兩道題的編號之和小于17但不小于11的概率．答案：（1）共有36種基本事件，列舉如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7）（1，8），（1，9），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8），（2，9），（3，4），（3，5），（3，6），（3，7），（3，8），（3，9），（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（6，7），（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，9）；（2）設(shè)事件A=“兩道題的編號之和小于17但不小于11”則事件A包含事件有：（2，9），（3，8），（3，9），（4，7），（4，8），（4，9），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（6，7），（6，8），（6，9），（7，8），（7，9）共15種．∴P（A）=1536=512．18.若向量a=（2，-3，3）是直線l的方向向量，向量b=（1，0，0）是平面α的法向量，則直線l與平面α所成角的大小為______．答案：設(shè)直線l與平面α所成角為θ，則sinθ=|cos＜a，b＞|=|a?b||a|

|b|=222+(-3)2+(3)2×1=12，∵θ∈[0，π2]，∴θ=π6，即直線l與平面α所成角的大小為π6．故為π6．19.設(shè)函數(shù)f（x）是定義在[a，b]上的奇函數(shù)，則f（a+b）=______．答案：因為函數(shù)f（x）是定義在[a，b]上的奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點對稱，所以a+b=0，且f（0）=0．所以f（a+b）=f（0）=0．故為：0．20.用演繹法證明y=x2是增函數(shù)時的大前提是______．答案：∵證明y=x2是增函數(shù)時，依據(jù)的原理就是增函數(shù)的定義，∴用演繹法證明y=x2是增函數(shù)時的大前提是：增函數(shù)的定義故填增函數(shù)的定義21.已知直線ax+by+c=0（a，b，c都是正數(shù)）與圓x2+y2=1相切，則以a，b，c為三邊長的三角形（）

A．是銳角三角形

B．是鈍角三角形

C．是直角三角形

D．不存在答案：C22.一圓形紙片的圓心為O點，Q是圓內(nèi)異于O點的一定點，點A是圓周上一點，把紙片折疊使點A與點Q重合，然后抹平紙片，折痕CD與OA交于P點，當點A運動時點P的軌跡是______．

①圓

②雙曲線

③拋物線

④橢圓

⑤線段

⑥射線．答案：由題意可得，CD是線段AQ的中垂線，∴|PA|=|PQ|，∴|PQ|+|PO|=|PA|+|PO|=半徑R，即點P到兩個定點O、Q的距離之和等于定長R（R＞|OQ|），由橢圓的定義可得，點P的軌跡為橢圓，故為④．23.若向量且與的夾角余弦為則λ等于（）

A．4

B．-4

C．

D．答案：C24.已知棱長都相等的正三棱錐內(nèi)接于一個球，某學生畫出四個過球心的平面截球與正三棱錐所得的圖形，如圖所示，則（）A．以上四個圖形都是正確的B．只有（2）（4）是正確的C．只有（4）是錯誤的D．只有（1）（2）是正確的答案：（1）當平行于三棱錐一底面，過球心的截面如（1）圖所示；（2）過三棱錐的一條棱和圓心所得截面如（2）圖所示；（3）過三棱錐的一個頂點（不過棱）和球心所得截面如（3）圖所示；（4）棱長都相等的正三棱錐和球心不可能在同一個面上，所以（4）是錯誤的．故選C．25.如圖，在空間直角坐標系中，已知直三棱柱的頂點A在x軸上，AB平行于y軸，側(cè)棱AA1平行于z軸．當頂點C在y軸正半軸上運動時，以下關(guān)于此直三棱柱三視圖的表述正確的是（）

A．該三棱柱主視圖的投影不發(fā)生變化

B．該三棱柱左視圖的投影不發(fā)生變化

C．該三棱柱俯視圖的投影不發(fā)生變化

D．該三棱柱三個視圖的投影都不發(fā)生變化

答案：B26.復(fù)數(shù)(12+32i)3i的值為______．答案：(12+32i)3i=(cosπ3+isinπ3)3cosπ2+isinπ2=cosπ+isinπcosπ2+

isinπ2=cosπ2+isinπ2=i，故為：i．27.隨機變量ξ的分布列為k=1、2、3、4，c為常數(shù)，則P（＜ξ＜）的值為（）

A．

B．

C．

D．答案：B28.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1中點，則直線CE垂直于（）A．ACB．BDC．A1DD．A1A答案：以A為原點，AB、AD、AA1所在直線分別為x，y，z軸建空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為1，則A（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），E（12，12，1），∴CE=（-12，-12，1），AC=（1，1，0），BD=（-1，1，0），A1D=（0，1，-1），A1A=（0，0，-1），顯然CE?BD=12-12+0=0，∴CE⊥BD，即CE⊥BD．

故選B．29.函數(shù)y=2|x|的定義域為[a，b]，值域為[1，16]，當a變動時，函數(shù)b=g（a）的圖象可以是（）A．

B．

C．

D．

答案：根據(jù)選項可知a≤0a變動時，函數(shù)y=2|x|的定義域為[a，b]，值域為[1，16]，∴2|b|=16，b=4故選B．30.若直線x+y=m與圓x=mcosφy=msinφ（φ為參數(shù)，m＞0）相切，則m為

______．答案：圓x=mcosφy=msinφ的圓心為（0，0），半徑為m∵直線x+y=m與圓相切，∴d=r即|m|2=m，解得m=2故為：231.設(shè)0＜a＜1，m=loga（a2+1），n=loga（a+1），p=loga（2a），則m，n，p的大小關(guān)系是（）A．n＞m＞pB．m＞p＞nC．m＞n＞pD．p＞m＞n答案：取a=0.5，則a2+1、a+1、2a的大小分別為：1.25，1.5，1，又因為0＜a＜1時，y=logax為減函數(shù)，所以p＞m＞n故選D32.若向量a=(4，2，-4)，b=(6，-3，2)，則(2a-3b)?(a+2b)=______．答案：∵2a-3b=(-10，13，-14)，a+2b=(16，-4，0)∴(2a-3b)?(a+2b)=-10×16+13×（-4）=-212故為-21233.甲、乙兩位運動員在5場比賽的得分情況如莖葉圖所示，記甲、乙兩人的平均得分分別為.x甲，.x乙，則下列判斷正確的是（）A．.x甲＞.x乙；甲比乙成績穩(wěn)定B．.x甲＞.x乙；乙比甲成績穩(wěn)定C．.x甲＜.x乙；甲比乙成績穩(wěn)定D．.x甲＜.x乙；乙比甲成績穩(wěn)定答案：5場比賽甲的得分為16、17、28、30、34，5場比賽乙的得分為15、26、28、28、33∴.x甲=15（16+17+28+30+34）=25，.x乙=15（15+26+28+28+33）=26s甲2=15（81+64+9+25+81）=52，s乙2=15（121+4+4+49）=35.6∴.x甲＜.x乙，乙比甲成績穩(wěn)定故選D．34.已知原命題“兩個無理數(shù)的積仍是無理數(shù)”，則：

（1）逆命題是“乘積為無理數(shù)的兩數(shù)都是無理數(shù)”；

（2）否命題是“兩個不都是無理數(shù)的積也不是無理數(shù)”；

（3）逆否命題是“乘積不是無理數(shù)的兩個數(shù)都不是無理數(shù)”；

其中所有正確敘述的序號是______．答案：（1）交換原命題的條件和結(jié)論得到逆命題：“乘積為無理數(shù)的兩數(shù)都是無理數(shù)”，正確．（2）同時否定原命題的條件和結(jié)論得到否命題：“兩個不都是無理數(shù)的積也不是無理數(shù)”，正確．（3）同時否定原命題的條件和結(jié)論，然后在交換條件和結(jié)論得到逆否命題：“乘積不是無理數(shù)的兩個數(shù)不都是無理數(shù)”．所以逆否命題錯誤．故為：（1）（2）．35.在空間直角坐標系中，已知點P（a，0，0），Q（4，1，2），且|PQ|=，則a=（）

A．1

B．-1

C．-1或9

D．1或9答案：C36.方程cos2x=x的實根的個數(shù)為

______個．答案：cos2x=x的實根即函數(shù)y=cos2x與y=x的圖象交點的橫坐標，故可以將求根個數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)．如圖在同一坐標系中作出y=cos2x與y=x的圖象，由圖象可以看出兩圖象只有一個交點，故方程的實根只有一個．故應(yīng)該填

1．37.直線kx-y+1=3k，當k變動時，所有直線都通過定點（）

A．（0，0）

B．（0，1）

C．（3，1）

D．（2，1）答案：C38.構(gòu)成多面體的面最少是（）

A．三個

B．四個

C．五個

D．六個答案：B39.某種細菌在培養(yǎng)過程中，每15分鐘分裂一次（由一個分裂成兩個），這種細菌由1個繁殖成4096個需經(jīng)過（）A．12小時B．4小時C．3小時D．2小時答案：設(shè)共分裂了x次，則有2x=4

096，∴2x=212，又∵每次為15分鐘，∴共15×12=180（分鐘），即3個小時．故為C40.如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于E、D，連接EC、CD．

（1）求證：直線AB是⊙O的切線；

（2）若tan∠CED=12，⊙O的半徑為3，求OA的長．答案：（1）如圖，連接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切線；（2）∵BC是圓O切線，且BE是圓O割線，∴BC2=BD?BE，∵tan∠CED=12，∴CDEC=12．∵△BCD∽△BEC，∴BDBC=CDEC=12，設(shè)BD=x，BC=2x．又BC2=BD?BE，∴（2x）2=x?（x+6），解得x1=0，x2=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）．41.已知向量a與b的夾角為π3，|a|=2，則a在b方向上的投影為______．答案：由投影的定義可得：a在b方向上的投影為：|a|cos＜a，b＞，而|a|cos＜a，b＞=2cosπ3=22故為：2242.正方體AC1中，S，T分別是棱AA1，A1B1上的點，如果∠TSC=90°，那么∠TSB=______．答案：由題意，BC⊥平面A1B，∵S，T分別是棱AA1，A1B1上的點，∴BC⊥ST∵∠TSC=90°，∴ST⊥SC∵BC∩SC=C∴ST⊥平面SBC∴ST⊥SB∴∠TSB=90°，故為：90°43.對于函數(shù)y=f（x），在給定區(qū)間上有兩個數(shù)x1，x2，且x1＜x2，使f（x1）＜f（x2）成立，則y=f（x）（）A．一定是增函數(shù)B．一定是減函數(shù)C．可能是常數(shù)函數(shù)D．單調(diào)性不能確定答案：解析：由單調(diào)性定義可知，不能用特殊值代替一般值．故選D．44.已知函數(shù)f（x）=ax，（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點P(12，12)，則常數(shù)a的值為（）A．2B．4C．12D．14答案：∵函數(shù)f（x）=ax，（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點P(12，12)，∴a12=12，?a=14．故選D．45.已知△ABC中，過重心G的直線交邊AB于P，交邊AC于Q，設(shè)AP=pPB，AQ=qQC，則pqp+q=（）A．1B．3C．13D．2答案：取特殊直線PQ使其過重心G且平行于邊BC∵點G為重心∴APPB=AQQC=21∵AP=pPB，AQ=qQC∴p=2，q=2∴pqp+q=44=1故選項為A46.一個水平放置的平面圖形，其斜二測直觀圖是一個等腰三角形，腰AB=AC=1，如圖，則平面圖形的實際面積為（）

A．1

B．2

C．

D．

答案：A47.與直線2x+y+1=0的距離為的直線的方程是（）

A．2x+y=0

B．2x+y-2=0

C．2x+y=0或2x+y-2=0

D．2x+y=0或2x+y+2=0答案：D48.如果雙曲線的半實軸長為2，焦距為6，那么該雙曲線的離心率是（）

A．

B．

C．

D．2答案：C49.將函數(shù)y=sin(x+)的圖象按向量=(-m,0)平移所得的圖象關(guān)于y軸對稱，則m最小正值是

（

）

A．

B．

C．

D．答案：A50.過點P（-3，0）且傾斜角為30°的直線和曲線x=t+1ty=t-1t（t為參數(shù)）相交于A，B兩點．求線段AB的長．答案：直線的參數(shù)方程為

x

=

-3

+

32sy

=

12s

（s

為參數(shù)），曲線x=t+1ty=t-1t

可以化為

x2-y2=4．將直線的參數(shù)方程代入上式，得

s2-63s+

10

=

0．設(shè)A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為s1，s2，∴s1+

s2=

6

3，s1?s2=10．∴AB=|s1-s2|=(s1+s2)2-4s1s2=217．第2卷一.綜合題(共50題)1.橢圓x225+y29=1的兩焦點為F1，F(xiàn)2，一直線過F1交橢圓于P、Q，則△PQF2的周長為______．答案：∵a=5，由橢圓第一定義可知△PQF2的周長=4a．∴△PQF2的周長=20．，故為20．2.某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是______．答案：由三視圖可知該幾何體為是一平放的直三棱柱，底面是邊長為2的正三角形，棱柱的側(cè)棱為3，也為高．V=Sh=34×22

×3=33故為：33．3.“因為指數(shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)（大前提），而y=（12）x是指數(shù)函數(shù)（小前提），所以函數(shù)y=（12）x是增函數(shù)（結(jié)論）”，上面推理的錯誤在于______（大前提、小前提、結(jié)論）．答案：∵當a＞1時，函數(shù)是一個增函數(shù)，當0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)是一個減函數(shù)∴y=ax是增函數(shù)這個大前提是錯誤的，從而導(dǎo)致結(jié)論錯．故為：大前提．4.一段雙行道隧道的橫截面邊界由橢圓的上半部分和矩形的三邊組成，如圖所示．一輛卡車運載一個長方形的集裝箱，此箱平放在車上與車同寬，車與箱的高度共計4.2米，箱寬3米，若要求通過隧道時，車體不得超過中線．試問這輛卡車是否能通過此隧道，請說明理由．答案：建立如圖所示的坐標系，則此隧道橫截面的橢圓上半部分方程為：x225+y24=1，y≥0．令x=3，則代入橢圓方程，解得y=1.6，因為1.6+3=4.6＞4.2，所以，卡車能夠通過此隧道．5.某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個分裂為兩個）．經(jīng)過3個小時，這種細菌由1個可繁殖成（）

A．511個

B．512個

C．1023個

D．1024個答案：B6.巳知橢圓{xn}與{yn}的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為32，且G上一點到G的兩個焦點的距離之和為12，則橢圓G的方程為______．答案：由題設(shè)知e=32，2a=12，∴a=6，b=3，∴所求橢圓方程為x236+y29=1．：x236+y29=1．7.已知原點O（0，0），則點O到直線4x+3y+5=0的距離等于

______．答案：利用點到直線的距離公式得到d=|5|42+32=1，故為1．8.3科老師都布置了作業(yè)，在同一時刻4名學生都做作業(yè)的可能情況有（）

A．43種

B．4×3×2種

C．34種

D．1×2×3種答案：C9.圓x2+y2-4x=0，在點P（1，）處的切線方程為（）

A．x+y-2=0

B．x+y-4=0

C．x-y+4=0

D．x-y+2=0答案：D10.下列各式中錯誤的是（）

A．||2=2

B．||=||

C．0?=0

D．m(n)=mn（m，n∈R）答案：C11.用數(shù)學歸納法證明：

對于一切n∈N*，都有(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)=n(n+1)(n+2)3．答案：證明：（1）當n=1時，左邊=12+1=2，右邊=1×2×33=2，所以當n=1時，命題成立；

…（2分）（2）設(shè)n=k時，命題成立，即有(12+1)+(22+2)+…+(k2+k)=k(k+1)(k+2)3…（4分）則當n=k+1時，左邊=（12+1）+（22+2）+…+（k2+k）+[（k+1）2+（k+1）]…（5分）=k(k+1)(k+2)3+[(k+1)2+(k+1)]=(k+1)[k(k+2)+3(k+1)+3]3…（8分）=(k+1)(k2+5k+6)3=(k+1)(k+2)(k+3)3=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]3…（10分）所以當n=k+1時，命題成立．綜合（1）（2）得：對于一切n∈N*，都有(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)=n(n+1)(n+2)3…（12分）12.如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點A、B、C、D、E、F、O中的任意一點為始點，與始點不同的另一點為終點的所有向量中，除向量外，與向量共線的向量共有（）

A．2個

B．3個

C．6個

D．9個

答案：D13.設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則“a1＜0且0＜q＜1”是“對于任意n∈N*都有an+1＞an”的

（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分又不必要條件答案：A14.從集合M={1，2，3，…，10}選出5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)的任兩個數(shù)之和都不等于11，則這樣的子集有______個．答案：集合{1，2，…，10}中和是11的有：1+10，2+9，3+8，4+7，5+6，選出5個不同的數(shù)組成子集，就是從這5組中分別取一個數(shù)，而每組的取法有2種，所以這樣的子集有：2×2×2×2×2=32故這樣的子集有32個故為：3215.“因為對數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù)（大前提），而y=logx是對數(shù)函數(shù)（小前提），所以y=logx是增函數(shù)（結(jié)論）．”上面推理的錯誤是（）

A．大前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯

B．小前提錯導(dǎo)致結(jié)論錯

C．推理形式錯導(dǎo)致結(jié)論錯

D．大前提和小前提都錯導(dǎo)致結(jié)論錯答案：A16.設(shè)四邊形ABCD中，有且，則這個四邊形是（）

A．平行四邊形

B．矩形

C．等腰梯形

D．菱形答案：C17.圓錐曲線x=4secθ+1y=3tanθ的焦點坐標是______．答案：由x=4secθ+1y=3tanθ可得secθ=x-14tanθ=y3，由三角函數(shù)的運算可得tan2θ+1=sec2θ，代入可得(x-14)2-(y3)2=1，即(x-1)216-y29=1，可看作雙曲線x216-y29=1向右平移1個單位得到，而雙曲線x216-y29=1的焦點為（-5，0），（5，0）故所求雙曲線的焦點為（-4，0），（6，0）故為：（-4，0），（6，0）18.將參數(shù)方程化為普通方程為（

）

A．y=x-2

B．y=x+2

C．y=x-2(2≤x≤3)

D．y=x+2(0≤y≤1)答案：C19.如圖是集合的知識結(jié)構(gòu)圖，如果要加入“全集”，則應(yīng)該放在（）

A．“集合的概念”的下位

B．“集合的表示”的下位

C．“基本關(guān)系”的下位

D．“基本運算”的下位答案：D20.下列集合中，不同于另外三個集合的是（）A．{0}B．{y|y2=0}C．{x|x=0}D．{x=0}答案：解析：A是列舉法，C是描述法，對于B要注意集合的代表元素是y，故與A，C相同，而D表示該集合含有一個元素，即方程“x=0”．故選D．21.利用計算機在區(qū)間（0，1）上產(chǎn)生兩個隨機數(shù)a和b，則方程有實根的概率為（）

A．

B．

C．

D．1答案：A22.若圓x2+y2=9上每個點的橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的，則所得到的曲線的方程是（）

A．

B．

C．

D．答案：C23.已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線與x軸的交點為M，N為拋物線上的一點，且|NF|=32|MN|，則∠NMF=（）A．π6B．π4C．π3D．5π12答案：設(shè)N到準線的距離等于d，由拋物線的定義可得d=|NF|，

由題意得cos∠NMF=d|MN|=|NF||MN|=32，∴∠NMF=π6，故選A．24.設(shè)集合A={l，2}，B={2，4），則A∪B=（）A．{1}B．{4}C．{l，4}D．{1，2，4}答案：∵集合A={1，2}，集合B={2，4}，∴集合A∪B={1，2，4}．故選D．25.從裝有2個紅球和2個黒球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）

A．至少有一個黒球與都是紅球

B．至少有一個黒球與都是黒球

C．至少有一個黒球與至少有1個紅球

D．恰有1個黒球與恰有2個黒球答案：D26.已知一種材料的最佳加入量在110g到210g之間．若用0.618法安排試驗，則第一次試點的加入量可以是（

）g。答案：171.8或148.227.已知點M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點O，有OM=xOA+13OB+13OC，則x的值為（）A．1B．0C．3D．13答案：解∵OM=xOA+13OB+13OC，且M，A，B，C四點共面，∴必有x+13+13=1，解之可得x=13，故選D28.點（1，1）在圓（x-a）2+（y+a）2=4的內(nèi)部，則a的取值范圍是（

）

A．-1＜a＜1

B．0＜a＜1

C．a(chǎn)＜-1或a＞1

D．a(chǎn)=±1答案：A29.某企業(yè)甲、乙、丙三個生產(chǎn)車間的職工人數(shù)分別為120人，150人，180人，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中甲車間有4人，那么此樣本的容量n=______．答案：每個個體被抽到的概率等于

4120=130，∴樣本容量n=（120+150+180）×130=15，故為：15．30.從單詞“equation”選取5個不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相連且順序不變）的不同排列共有（）A．120個B．480個C．720個D．840個答案：要選取5個字母時首先從其它6個字母中選3個有C63種結(jié)果，再與“qu“組成的一個元素進行全排列共有C63A44=480，故選B．31.已知直線l的參數(shù)方程為x=12ty=22+32t（t為參數(shù)），若以直角坐標系xOy的O點為極點，Ox方向為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程為ρ=2cos(θ-π4)

（1）求直線l的傾斜角；

（2）若直線l與曲線C交于A，B兩點，求|AB|．答案：（1）直線參數(shù)方程可以化x=tcos60°y=22+tsin60°，根據(jù)直線參數(shù)方程的意義，這條經(jīng)過點(0，22)，傾斜角為60°的直線．（2）l的直角坐標方程為y=3x+22，ρ=2cos(θ-π4)的直角坐標方程為(x-22)2+(y-22)2=1，所以圓心(22，22)到直線l的距離d=64，∴|AB|=102．32.化簡5（2a-2b）+4（2b-2a）=______．答案：5（2a-2b）+4（2b-2a）=10a-10b+8b-8a=2a-2b故為：2a-2b33.已知P（B|A）=，P（A）=，則P（AB）=（）

A．

B．

C．

D．答案：D34.已知圖形F上的點A按向量平移前后的坐標分別是和，若B（）是圖形F上的又一點，則在F按向量平移后得到的圖形F，上B，的坐標是（

）A．B．C．D．答案：選D解析：設(shè)向量，則平移公式為依題意有∴平移公式為將B點坐標代入可得B，點的坐標為．所以選D．35.已知：空間四邊形ABCD，AB=AC，DB=DC，求證：BC⊥AD．答案：取BC的中點為E，∵AB=AC，∴AE⊥BC．∵DB=DC，∴DE⊥BC．這樣，BC就和平面ADE內(nèi)的兩條相交直線AE、DE垂直，∴BC⊥面ADE，∴BC⊥AD．36.

點M分有向線段的比為λ，已知點M1（1，5），M2（2，3），λ=-2，則點M的坐標為（）

A．（3，8）

B．（1，3）

C．（3，1）

D．（-3，-1）答案：C37.不等式的解集是（

）

A．

B．

C．

D．答案：D38.雙曲線的中心在坐標原點，離心率等于2，一個焦點的坐標為（2，0），則此雙曲線的漸近線方程是______．答案：∵離心率等于2，一個焦點的坐標為（2，0），∴ca=2，

c=2且焦點在x軸上，∴a=1∵c2=a2+b2∴b2=3∴b=3．所以雙曲線的漸進方程為y=±3x．故為y=±3x39.已知a為常數(shù)，a＞0且a≠1，指數(shù)函數(shù)f（x）=ax和對數(shù)函數(shù)g（x）=logax的圖象分別為C1與C2，點M在曲線C1上，線段OM（O為坐標原點）與曲線C1的另一個交點為N，若曲線C2上存在一點P，且點P的橫坐標與點M的縱坐標相等，點P的縱坐標是點N的橫坐標2倍，則點P的坐標為______．答案：設(shè)點M的坐標為（m，am），點N的坐標為（n，an）∵點P的橫坐標與點M的縱坐標相等∴點P的坐標為（am，m）∵點P的縱坐標是點N的橫坐標2倍，∴m=2n而O、M、N三點共線則amm=ann=

am2m2解得：am=4即m=loga4∴點P的坐標為（4，loga4）故為：（4，loga4）40.已知在△ABC和點M滿足

MA+MB+MC=0，若存在實數(shù)m使得AB+AC=mAM成立，則m=______．答案：由點M滿足MA+MB+MC=0，知點M為△ABC的重心，設(shè)點D為底邊BC的中點，則AM=23AD=23×

12×(AB+AC)=13(AB+AC)∴AB+AC=3AM∴m=3故為：341.給出的下列幾個命題：

①向量共面，則它們所在的直線共面；

②零向量的方向是任意的；

③若則存在唯一的實數(shù)λ，使

其中真命題的個數(shù)為（）

A．0

B．1

C．2

D．3答案：B42.已知直線l：ax+by=1（ab＞0）經(jīng)過點P（1，4），則l在兩坐標軸上的截距之和的最小值是______．答案：∵直線l：ax+by=1（ab＞0）經(jīng)過點P（1，4），∴a+4b=1，故a、b都是正數(shù)．故直線l：ax+by=1，此直線在x、y軸上的截距分別為1a、1b，則l在兩坐標軸上的截距之和為1a+1b=a+4ba+a+4bb=5+4ba+ab≥5+24ba?ab=9，當且僅當4ba=ab時，取等號，故為9．43.將參數(shù)方程x=2sinθy=1+2cos2θ（θ為參數(shù)，θ∈R）化為普通方程，所得方程是______．答案：由x=2sinθ

①y=1+2cos2θ

②，因為θ∈R，所以-1≤sinθ≤1，則-2≤x≤2．由①兩邊平方得：x2=2sin2θ③由②得y-1=2cos2θ④③+④得：x2+y-1=2，即y=-x2+3（-2≤x≤2）．故為y=-x2+3（-2≤x≤2）．44.直線l1到l2的角為α，直線l2到l1的角為β，則cos=（）

A．

B．

C．0

D．1答案：A45.已知：關(guān)于x的方程2x2+kx-1=0

（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若方程的一個根是-1，求另一個根及k值．答案：（1）證明：2x2+kx-1=0，△=k2-4×2×（-1）=k2+8，無論k取何值，k2≥0，所以k2+8＞0，即△＞0，∴方程2x2+kx-1=0有兩個不相等的實數(shù)根．（2）設(shè)2x2+kx-1=0的另一個根為x，則x-1=-k2，(-1)?x=-12，解得：x=12，k=1，∴2x2+kx-1=0的另一個根為12，k的值為1．46.2005年10月，我國載人航天飛船“神六”飛行獲得圓滿成功．已知“神六”飛船變軌前的運行軌道是一個以地心為焦點的橢圓，飛船近地點、遠地點離地面的距離分別為200公里、250公里．設(shè)地球半徑為R公里，則此時飛船軌道的離心率為______．（結(jié)果用R的式子表示）答案：（I）設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1由題設(shè)條件得：a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=R+200，a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=R+250，解得a=225+R，c=25則此時飛船軌道的離心率為25225+R故為：25225+R．47.已知隨機變量ξ服從二項分布ξ～B（6，），則E（2ξ+4）=（）

A．10

B．4

C．3

D．9答案：A48.點M的直角坐標是，則點M的極坐標為（）

A．（2，）

B．（2，-）

C．（2，）

D．（2,2kπ+）（k∈Z）答案：C49.（《幾何證明選講》選做題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O分別切AC、BC于M、N，圓心O在AB上，⊙O的半徑為4，OA=5，則OB的長為______．答案：連接OM，ON，則∵⊙O分別切AC、BC于M、N∴OM⊥AC，ON⊥BC∵∠C=90°，∴OMCN為正方形∵⊙O的半徑為4，OA=5∴AM=3∴CA=7∵ON∥AC∴ONAC=OBBA∴47=OBOB+5∴OB=203故為：20350.若不等式的解集，則實數(shù)=___________.答案：-4第3卷一.綜合題(共50題)1.已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一點，若λOG=OA+OB+OC，則λ=______．答案：如圖，正方體中，OA+OB+OC=OD=3OG，∴λ=3．故為3．2.如圖，AB，CD是半徑為a的圓O的兩條弦，他們相交于AB的中點P，PD=2a3，∠OAP=30°，則CP=______．答案：因為點P是AB的中點，由垂徑定理知，OP⊥AB．在Rt△OPA中，BP=AP=acos30°=32a．由相交弦定理知，BP?AP=CP?DP，即32a?32a=CP?23a，所以CP=98a．故填：98a．3.a=0是復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件答案：當a=0時，復(fù)數(shù)a+bi=bi，當b=0是不是純虛數(shù)即“a=0”成立推不出“復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)”反之，當復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)，則有a=0且b≠0即“復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)”成立能推出“a=0“成立故a=0是復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）為純虛數(shù)的必要不充分條件故選B4.下列物理量中，不能稱為向量的是（）A．質(zhì)量B．速度C．位移D．力答案：既有大小，又有方向的量叫做向量；質(zhì)量只有大小沒有方向，因此質(zhì)量不是向量．而速度、位移、力既有大小，又有方向，因此它們都是向量．故選A．5.若A、B兩點的極坐標為A(4

，

π3)，B（6，0），則AB中點的極坐標是

______（極角用反三角函數(shù)值表示）答案：A的直角坐標為：（2，23），所以AB的中點坐標為：（4，3）所以極徑為：19；極角為：α，tanα=34所以α=arctan34；AB中點的極坐標是：(19，

arctan34)故為：(19，

arctan34)6.請寫出所給三視圖表示的簡單組合體由哪些幾何體組成．______．答案：由已知中的三視圖我們可以判斷出該幾何體是由一個底面面積相等的圓錐和圓柱組合而成故為：圓柱體，圓錐體7.空間中，若向量=（5，9，m），=（1，-1，2），=（2，5，1）共面，則m=（）

A．2

B．3

C．4

D．5答案：C8.已知棱長都相等的正三棱錐內(nèi)接于一個球，某學生畫出四個過球心的平面截球與正三棱錐所得的圖形，如圖所示，則（）A．以上四個圖形都是正確的B．只有（2）（4）是正確的C．只有（4）是錯誤的D．只有（1）（2）是正確的答案：（1）當平行于三棱錐一底面，過球心的截面如（1）圖所示；（2）過三棱錐的一條棱和圓心所得截面如（2）圖所示；（3）過三棱錐的一個頂點（不過棱）和球心所得截面如（3）圖所示；（4）棱長都相等的正三棱錐和球心不可能在同一個面上，所以（4）是錯誤的．故選C．9.直線l1：a1x+b1y+1=0直線l2：a2x+b2y+1=0交于一點（2，3），則經(jīng)過A（a1，b1），B（a2，b2）兩點的直線方程為______．答案：∵直線l1：a1x+b1y+1=0直線l2：a2x+b2y+1=0交于一點（2，3），∴2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+2=0．∴A（a1，b1），B（a2，b2）兩點都在直線2x+3y+1=0上，由于兩點確定一條直線，因此經(jīng)過A（a1，b1），B（a2，b2）兩點的直線方程即為2x+3y+1=0．故為：2x+3y+1=0．10.已知x、y的取值如下表所示：

x0134y2.24.34.86.7若從散點圖分析，y與x線性相關(guān)，且

y=0.95x+

a，則

a的值等于（）A．2.6B．6.3C．2D．4.5答案：∵.x=0+1+3+44=2，.y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是（2，4.5）∵y與x線性相關(guān)，且y=0.95x+a，∴4.5=0.95×2+a，∴a=2.6，故選A．11.已知a，b，c是空間的一個基底，且實數(shù)x，y，z使xa+yb+zc=0，則x2+y2+z2=______．答案：∵a，b，c是空間的一個基底∴a，b，c兩兩不共線∵xa+yb+zc=0∴x=y=z=0∴x2+y2+z2=0故為：012.若一個圓錐的軸截面是邊長為4cm的等邊三角形，則這個圓錐的側(cè)面積為______cm2．答案：如圖所示：∵軸截面是邊長為4等邊三角形，∴OB=2，PB=4．圓錐的側(cè)面積S=π×2×4=8πcm2．故為8π．13.已知某試驗范圍為[10，90]，若用分數(shù)法進行4次優(yōu)選試驗，則第二次試點可以是（

）。答案：40或60（不唯一）14.某化肥廠甲、乙兩個車間包裝肥料，在自動包裝傳送帶上每隔30min抽取一包產(chǎn)品，稱其重量，分別記錄抽查數(shù)據(jù)如下：

甲：86、72、92、78、77；

乙：82、91、78、95、88

（1）這種抽樣方法是哪一種？

（2）將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示；

（3）將兩組數(shù)據(jù)比較，說明哪個車間產(chǎn)品較穩(wěn)定．答案：（1）因為間隔時間相同，故是系統(tǒng)抽樣．（2）莖葉圖如下：．（3）因為.x甲=15（86+72+92+78+77）=81，.x乙=15（82+92+78+95+88）=87，所以s甲2=15(52+92+92+72+42)=50.4，s乙2=15(52+52+92+82+12)=39.2，而s甲2＞s乙2，所以乙車間產(chǎn)品較穩(wěn)定．15.方程x2+（m-2）x+5-m=0的兩根都大于2，則m的取值范圍是（）

A．（-5，-4]

B．（-∞，-4]

C．（-∞，-2]

D．（-∞，-5）∪（-5，-4]答案：A16.給出以下四個對象，其中能構(gòu)成集合的有（）

①教2011屆高一的年輕教師；

②你所在班中身高超過1.70米的同學；

③2010年廣州亞運會的比賽項目；

④1，3，5．A．1個B．2個C．3個D．4個答案：解析：因為未規(guī)定年輕的標準，所以①不能構(gòu)成集合；由于②③④中的對象具備確定性、互異性，所以②③④能構(gòu)成集合．故選C．17.已知原命題“兩個無理數(shù)的積仍是無理數(shù)”，則：

（1）逆命題是“乘積為無理數(shù)的兩數(shù)都是無理數(shù)”；

（2）否命題是“兩個不都是無理數(shù)的積也不是無理數(shù)”；

（3）逆否命題是“乘積不是無理數(shù)的兩個數(shù)都不是無理數(shù)”；

其中所有正確敘述的序號是______．答案：（1）交換原命題的條件和結(jié)論得到逆命題：“乘積為無理數(shù)的兩數(shù)都是無理數(shù)”，正確．（2）同時否定原命題的條件和結(jié)論得到否命題：“兩個不都是無理數(shù)的積也不是無理數(shù)”，正確．（3）同時否定原命題的條件和結(jié)論，然后在交換條件和結(jié)論得到逆否命題：“乘積不是無理數(shù)的兩個數(shù)不都是無理數(shù)”．所以逆否命題錯誤．故為：（1）（2）．18.（選做題）那霉素發(fā)酵液生物測定，一般都規(guī)定培養(yǎng)溫度為（37±1）°C，培養(yǎng)時間在16小時以上，某制藥廠為了縮短時間，決定優(yōu)選培養(yǎng)溫度，試驗范圍固定在29～50°C，精確度要求±1°C，用分數(shù)法安排實驗，令第一試點在t1處，第二試點在t2處，則t1+t2=（

）．答案：7919.傾斜角為60°的直線的斜率為______．答案：因為直線的傾斜角為60°，所以直線的斜率k=tan60°=3．故為：3．20.國旗上的正五角星的每一個頂角是多少度？答案：由圖可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C，∠AGF=∠B+∠D=2∠B，∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A∴5∠A=180°，∴∠A=36°．21.如圖，在△ABC中，，，則實數(shù)λ的值為（）

A．

B．

C．

D．

答案：D22.大熊貓活到十歲的概率是0.8，活到十五歲的概率是0.6，若現(xiàn)有一只大熊貓已經(jīng)十歲了，則他活到十五歲的概率是（）

A．0.8

B．0.75

C．0.6

D．0.48答案：B23.已知x，y的取值如下表所示：

x3711y102024從散點圖分析，y與x線性相關(guān)，且y=74x+a，則a=______．答案：∵線性回歸方程為y=74x+a，，又∵線性回歸方程過樣本中心點，.x=3+7+113=7，.y=10+20+243=18，∴回歸方程過點（7，18）∴18=74×7+a，∴a=234．故為：234．24.已知雙曲線的焦點在y軸，實軸長為8，離心率e=2，過雙曲線的弦AB被點P（4，2）平分；

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）求弦AB所在直線方程；

（3）求直線AB與漸近線所圍成三角形的面積．答案：（1）∵雙曲線的焦點在y軸，∴設(shè)雙曲線的標準方程為y2a2-x2b2=1；∵實軸長為8，離心率e=2，∴a=4，c=42，∴b2=c2-a2=16．或∵實軸長為8，離心率e=2，∴雙曲線為等軸雙曲線，a=b=4．∴雙曲線的標準方程為y216-x216=1．（2）設(shè)弦AB所在直線方程為y-2=k（x-4），A，B的坐標為A（x1，y1），B（x2，y2）．∴k=y1-y2x1-x2，x1+x22=4，y1+y22=2；∴y1216-x1216=1

y2216-x2216=1?y12-y2216-x12-x2216=0?(y1-y2)(y1+y2)16-(x1-x2)(x1+x2)16=0代入x1+x2=8，y1+y2=4，得(y1-y2)×416-(x1-x2)×816=0，∴y1-y2x1-x2×14-12=0，∴14k-12=0，∴k=2；所以弦AB所在直線方程為y-2=2（x-4），即2x-y-6=0．（3）等軸雙曲線y216-x216=1的漸近線方程為y=±x．∴直線AB與漸近線所圍成三角形為直角三角形．又漸近線與弦AB所在直線的交點坐標分別為（6，6），（2，-2），∴直角三角形兩條直角邊的長度分別為62、22；∴直線AB與漸近線所圍成三角形的面積S=12×62×22=12．25.（1）用紅、黃、藍、白四種不同顏色的鮮花布置如圖一所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域用不同顏色鮮花，問共有多少種不同的擺放方案？

（2）用紅、黃、藍、白、橙五種不同顏色的鮮花布置如圖二所示的花圃，要求同一區(qū)域上用同一種顏色鮮花，相鄰區(qū)域使用不同顏色鮮花．

①求恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花的概率；

②記花圃中紅色鮮花區(qū)域的塊數(shù)為S，求它的分布列及其數(shù)學期望E（S）．

答案：（1）根據(jù)分步計數(shù)原理，擺放鮮花的不同方案有：4×3×2×2=48種（2）①設(shè)M表示事件“恰有兩個區(qū)域用紅色鮮花”，如圖二，當區(qū)域A、D同色時，共有5×4×3×1×3=180種；當區(qū)域A、D不同色時，共有5×4×3×2×2=240種；因此，所有基本事件總數(shù)為：180+240=420種．（由于只有A、D，B、E可能同色，故可按選用3色、4色、5色分類計算，求出基本事件總數(shù)為A53+2A51+A55=420種）它們是等可能的．又因為A、D為紅色時，共有4×3×3=36種；B、E為紅色時，共有4×3×3=36種；因此，事件M包含的基本事件有：36+36=72種．所以，P（M）=72420=635②隨機變量ξ的分布列為：ξ012P6352335635所以，E（ξ）=0×635+1×2335+2×635=126.已知三角形ABC的一個頂點A（2，3），AB邊上的高所在的直線方程為x-2y+3=0，角B的平分線所在的直線方程為x+y-4=0，求此三角形三邊所在的直線方程．答案：由題意可得AB邊的斜率為-2，由點斜式求得AB邊所在的直線方程為y-3=-2（x-2），即2x+y-7=0．由2x+y-7=0x+y-4=0

求得x=3y=1，故點B的坐標為（3，1）．設(shè)點A關(guān)于角B的平分線所在的直線方程為x+y-4=0的對稱點為M（a，b），則M在BC邊所在的直線上．則由b-3a-2=-1a+22+b+32-4=0

求得a=1b=2，故點M（1，2），由兩點式求得BC的方程為y-12-1=x-31-3，即x+2y-5=0．再由x-2y+3=0x+2y-5=0求得點C的坐標為（2，52），由此可得得AC的方程為x=2．27.已知A（1，1），B（2，4），則直線AB的斜率為（）

A．1

B．2

C．3

D．4答案：C28.若點P分向量AB的比為34，則點A分向量BP的比為（）A．-34B．34C．-73D．73答案：由題意可得APPB=|AP||PB|=34，故

A分BP的比為BAAP=-|BA||AP|=-4+33=-73，故選C．29.一張紙上畫有一個半徑為R的圓O和圓內(nèi)一個定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點A′剛好與點A重合．這樣的每一種折法，都留下一條折痕．當A′取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合．答案：對于⊙O上任意一點A′，連AA′，作AA′的垂直平分線MN，連OA′，交MN于點P，則OP+PA=OA′=R．由于點A在⊙O內(nèi)，故OA=a＜R．從而當點A′取遍圓周上所有點時，點P的軌跡是以O(shè)、A為焦點，OA=a為焦距，R（R＞a）為長軸的橢圓C．而MN上任一異于P的點Q，都有OQ+QA=OQ+QA′＞OA′，故點Q在橢圓C外，即折痕上所有的點都在橢圓C上及C外．反之，對于橢圓C上或外的一點S，以S為圓心，SA為半徑作圓，交⊙O于A′，則S在AA′的垂直平分線上，從而S在某條折痕上．最后證明所作⊙S與⊙O必相交．1°

當S在⊙O外時，由于A在⊙O內(nèi)，故⊙S與⊙O必相交；2°

當S在⊙O內(nèi)時（例如在⊙O內(nèi)，但在橢圓C外或其上的點S′），取過S′的半徑OD，則由點S′在橢圓C外，故OS′+S′A≥R（橢圓的長軸）．即S′A≥S′D．于是D在⊙S′內(nèi)或上，即⊙S′與⊙O必有交點．于是上述證明成立．綜上可知，折痕上的點的集合為橢圓C上及C外的所有點的集合．30.已知直線l的參數(shù)方程為x=3+12ty=7+32t（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為x=4cosθy=4sinθ（θ為參數(shù)）．

（I）將曲線C的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；

（II）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，試求線段AB的長．答案：（I）由x=4cosθy=4sinθ得x2=16cos2θy2=16sin2θ故圓的方程為x2+y2=16．（II）把x=3+12ty=7+32t代入方程x2+y2=16，得t2+83t+36=0∴線段AB的長為|AB|=|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=43．31.如圖過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則拋物線的方程為（）

A．y2=x

B．y2=9x

C．y2=x

D．y2=3x

答案：D32.根據(jù)給出的空間幾何體的三視圖，用斜二側(cè)畫法畫出它的直觀圖．答案：畫法：（1）畫軸如下圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°．（2）畫圓臺的兩底面畫出底面⊙O假設(shè)交x軸于A、B兩點，在z軸上截取O′，使OO′等于三視圖中相應(yīng)高度，過O′作Ox的平行線O′x′，Oy的平行線O′y′利用O′x′與O′y′畫出底面⊙O′，設(shè)⊙O′交x′軸于A′、B′兩點．（3）成圖連接A′A、B′B，去掉輔助線，將被遮擋的部分要改為虛線，即得到給出三視圖所表示的直觀圖．33.若關(guān)于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一負根，則a的取值范圍為______．答案：令f（x）=x2+ax+a2-1，∴二次函數(shù)開口向上，若方程有一正一負根，則只需f（0）＜0，即a2-1＜0，∴-1＜a