高中數(shù)學(xué)人教B版第二章函數(shù) 10

第19課時(shí)函數(shù)的應(yīng)用(Ⅰ)課時(shí)目標(biāo)1.會(huì)利用一次函數(shù)和二次函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題．2．理解數(shù)學(xué)建模的過程，并不斷地加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)．識(shí)記強(qiáng)化常見的函數(shù)模型：(1)正比例函數(shù)模型，形如y＝kx(k≠0)．(2)反比例函數(shù)模型，形如y＝eq\f(k,x)(k≠0)．(3)一次函數(shù)模型，形如y＝ax＋b(a≠0)．(4)二次函數(shù)模型，形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(5)分段函數(shù)模型，形如y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x∈A,gx，x∈B)).課時(shí)作業(yè)(時(shí)間：45分鐘，滿分：90分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x＜10，x∈N,2x＋10，10≤x＜100，x∈N.,，x≥100，x∈N))其中x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)．若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為()A．15B．25C．40D．答案：B解析：令y＝60，若4x＝60，則x＝15＞10，不合題意；若2x＋10＝60，則x＝25，滿足題意；若＝60，則x＝40＜100，不合題意．故該公司擬錄用25人．2．從地面豎直向上拋出一個(gè)小球，小球距離地面的高度h(單位：m)與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(單位：s)之間的關(guān)系式為h＝30t－5t2，那么小球從拋出至落回到地面所需要的時(shí)間是()A．6sB．4sC．3sD．2s答案：A解析：令h＝30t－5t2＝0，則t＝0(舍去)或t＝6.3．某商品的進(jìn)貨價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為50元時(shí)，一個(gè)月能賣出500件．通過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若該商品的單價(jià)每提高1元，則該商品一個(gè)月的銷售量就會(huì)減少10件，為使銷售該商品的月利潤(rùn)最高，商店應(yīng)將每件商品定價(jià)為()A．45元B．55元C．65元D．70元答案：D解析：設(shè)在50元的基礎(chǔ)上提高x元，x∈N，每月的月利潤(rùn)為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝(500－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋400x＋5000，x∈N，其對(duì)稱軸為x＝20，故每件商品的售價(jià)為70元時(shí)，月利潤(rùn)最高．4．從裝滿20L純酒精的容器中倒出1L酒精，然后用水加滿，再倒出1L酒精溶液，再用水加滿，照這樣的方法繼續(xù)下去，如果倒第k次時(shí)共倒出純酒精xL，倒第k＋1次時(shí)共倒出純酒精f(x)L，則A．f(x)＝eq\f(19,20)x＋1B．f(x)＝eq\f(1,20)x＋1C．f(x)＝eq\f(19,20)(x＋1)D．f(x)＝eq\f(1,20)x答案：A解析：∵倒第k次時(shí)共倒出純酒精xL，∴第k次后容器中含純酒精(20－x)L，第k＋1次倒出的純酒精是eq\f(20－x,20)L，所以f(x)＝x＋eq\f(20－x,20)＝eq\f(19,20)x＋1.5．用長(zhǎng)度為24m的材料圍成一矩形場(chǎng)地，并且中間加兩道墻，A．3mB．4mC．6答案：A解析：設(shè)隔墻的長(zhǎng)為xm，矩形面積為S，則S＝x·eq\f(24－4x,2)＝x·(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，∴當(dāng)x＝3時(shí)，S有最大值為18.6．某地興修水利挖渠，其渠道的橫截面為等腰梯形(如圖)，腰與水平線的夾角為60°，要求橫截面的周長(zhǎng)(不含上底)為定值m，要使流量最大，則渠深h為()\f(1,6)m\f(1,3)m\f(\r(2),6)m\f(\r(3),6)m答案：D解析：等腰梯形的腰為eq\f(2,3)eq\r(3)h，周長(zhǎng)為m，下底為m－eq\f(4,3)eq\r(3)h，上底為m－eq\f(4,3)eq\r(3)h＋eq\f(2,3)eq\r(3)h＝m－eq\f(2,3)eq\r(3)h，∴S等腰梯形＝eq\f(1,2)(2m－eq\f(6,3)eq\r(3)h)h＝－eq\r(3)h2＋mh＝－eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h－\f(\r(3),6)m))2＋eq\f(\r(3),12)m2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜h＜\f(\r(3),4)m))，當(dāng)h＝eq\f(\r(3),6)m時(shí)，Smax＝eq\f(\r(3),12)m2，此時(shí)流量最大．二、填空題(本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分)7．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬(wàn)元，并且產(chǎn)量每增加一單位，成本增加1萬(wàn)元，又知總收入R(萬(wàn)元)與產(chǎn)量Q的函數(shù)關(guān)系式為R(Q)＝4Q－eq\f(1,200)Q2，則最大總利潤(rùn)L(Q)是________萬(wàn)元，這時(shí)產(chǎn)品的產(chǎn)量為________．(總利潤(rùn)＝總收入－成本)答案：250300解析：L(Q)＝4Q－eq\f(1,200)Q2－(200＋Q)＝－eq\f(1,200)(Q－300)2＋250，則當(dāng)Q＝300時(shí)，總利潤(rùn)L(Q)取最大值250萬(wàn)元．8．如圖，小明的父親在相距2m的兩棵樹間拴了一根繩子，給小明做了一個(gè)簡(jiǎn)易的秋千．拴繩子的地方距地面的高度都是2.5m，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1m的小明距較近的那棵樹答案：解析：若以距離小明較近的那棵樹的樹根為原點(diǎn)、以水平線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，設(shè)拋物線方程為y＝ax2－2ax＋.當(dāng)x＝時(shí)，y＝0.25a－a＋＝1，∴a＝2，y＝2(x－1)2＋∴繩子的最低點(diǎn)距地面的距離為0.59．某種電熱水器的水箱盛滿水是200L，加熱到一定溫度可浴用．浴用時(shí)，已知每分鐘放水34L，在放水的同時(shí)注水，tmin注水2t2L，當(dāng)水箱內(nèi)的水量達(dá)到最小值時(shí)，放水自動(dòng)停止答案：4解析：設(shè)最多用熱水器xmin，則水箱內(nèi)水量y＝200＋2x2－34x＝2(x－eq\f(17,2))2＋eq\f(111,2)，∴當(dāng)x＝eq\f(17,2)時(shí)，y有最小值，此時(shí)共放水34×eq\f(17,2)＝289L.∵每人洗浴用水65L，∴三、解答題(本大題共4小題，共45分)10．(12分)某公司生產(chǎn)某種電子儀器的固定成本為20000元，且每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需再投入100元，已知總收益(單位：元)滿足函數(shù)R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400,80000x＞400))，其中x(單位：臺(tái))是儀器的月產(chǎn)量．(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？(利潤(rùn)＝總收益－總成本)解：(1)由題意，知總成本為(20000＋100x)元，從而f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－200000≤x≤400,60000－100xx＞400)).(2)當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，∴當(dāng)x＝300時(shí)，f(x)有最大值25000；當(dāng)x＞400時(shí)，f(x)＝60000－100x是減函數(shù)，又f(400)＝20000＜25000，∴當(dāng)x＝300時(shí)，f(x)取得最大值25000.即當(dāng)月產(chǎn)量為300臺(tái)時(shí)，公司所獲最大利潤(rùn)為25000元．11．(13分)某校校長(zhǎng)暑假期間帶領(lǐng)該校市級(jí)三好學(xué)生去北京旅游，有甲、乙兩家旅行社可供選擇．甲旅行社的方案：校長(zhǎng)按全票收費(fèi)，學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)惠．乙旅行社的方案：全部按票價(jià)的6折收費(fèi)．已知全票價(jià)為240元．(1)設(shè)學(xué)生人數(shù)為x，甲旅行社收費(fèi)為y甲元，乙旅行社收費(fèi)為y乙元，分別寫出兩家旅行社的收費(fèi)y甲，y乙關(guān)于學(xué)生人數(shù)x的函數(shù)解析式．(2)當(dāng)學(xué)生數(shù)是多少時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)一樣；(3)就學(xué)生數(shù)x討論哪家旅行社更優(yōu)惠．解：(1)y甲＝120x＋240(x∈N*)，y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N*)．(2)令y甲＝y(tǒng)乙，則120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即當(dāng)學(xué)生人數(shù)為4時(shí)，兩家旅行社的收費(fèi)一樣．(3)①當(dāng)y甲＞y乙時(shí)，120x＋240＞144x＋144，解得x＜4；②當(dāng)y甲＝y(tǒng)乙時(shí)，x＝4；③當(dāng)y甲＜y乙時(shí)，120x＋240＜144x＋144，解得x＞4.綜上所述，當(dāng)x＜4時(shí)，乙旅行社更優(yōu)惠；當(dāng)x＝4時(shí)，兩家旅行社收費(fèi)一樣．能力提升12．(5分)某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000＋20x－，x∈(0,240)．若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為40萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不少于總成本)時(shí)的最低產(chǎn)量是()A．100臺(tái)B．120臺(tái)C．150臺(tái)D．180臺(tái)答案：A解析：要使生產(chǎn)者不虧本需滿足3000＋20x－≤40x.即＋20x－3000≥0，x2＋200x－30000≥0，∴x≥100或x≤－300∵x∈(0,240)∴最低產(chǎn)量是100臺(tái)，故選A.13．(15分)某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿的市場(chǎng)售價(jià)P(單位：元/102kg)與上市時(shí)間t(單位：天)的關(guān)系符合圖1中的折線表示的函數(shù)關(guān)系，西紅柿種植成本Q(單位：元/102kg)與上市時(shí)間t((1)寫出圖1表示的西紅柿的市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P＝f(t)，圖2表示的西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q＝g(t)；(2)若西紅柿的市場(chǎng)售價(jià)減去其種植成本為西紅柿的純收益，問何時(shí)上市西紅柿的純收益最大？解：(1)由圖1，可得西紅柿的市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－t，0＜t≤200,2t－300，200＜t≤300)).由圖2，可得西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為g(t)＝eq\f(1,200)(t－150)2＋100,0＜t≤300.(2)設(shè)上市時(shí)間為t時(shí)的純收益為h(t)，則由題意，得h(t)＝f(t)－g(t)，即h(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,200)t2＋\f(1,2)t＋\f(