2023年湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫含答案解析_第1頁
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文檔簡介

長風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請謹(jǐn)慎購買!第1卷一.綜合題(共50題)1.已知矩陣M=2a21,其中a∈R,若點(diǎn)P(1,-2)在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P'(-4,0)

(1)求實(shí)數(shù)a的值;

(2)求矩陣M的特征值及其對應(yīng)的特征向量.答案:(1)由2a211-2=-40,∴2-2a=-4?a=3.(2)由(1)知M=2321,則矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(λ)=.λ-2-3-2λ-1.=(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4令f(λ)=0,得矩陣M的特征值為-1與4.當(dāng)λ=-1時(shí),(λ-2)x-3y=0-2x+(λ-1)y=0?x+y=0∴矩陣M的屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為1-1;當(dāng)λ=4時(shí),(λ-2)x-3y=0-2x+(λ-1)y=0?2x-3y=0∴矩陣M的屬于特征值4的一個(gè)特征向量為32.2.把4名男生和4名女生排成一排,女生要排在一起,不同排法的種數(shù)為()

A.A88

B.A55A44

C.A44A44

D.A85答案:B3.滿足條件|z|=|3+4i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是______.答案:|z|=5,即點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離為5∴z所對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以(0,0)為圓心,5為半徑的圓.4.已知如下等式:12=1×2×36,12+22=2×3×56,12+22+32=3×4×76,…當(dāng)n∈N*時(shí),試猜想12+22+32+…+n2的值,并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.答案:由已知,猜想12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6,下面用數(shù)學(xué)歸納法給予證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),由已知得原式成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),原式成立,即12+22+32+…+k2=k(k+1)(2k+1)6,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),12+22+32+…+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6故n=k+1時(shí),原式也成立.由(1)、(2)知12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6成立.5.已知平面向量a,b,c滿足a+b+c=0,且a與b的夾角為135°,c與b的夾角為120°,|c|=2,則|a|=______.答案:∵a+b+c=0∴三個(gè)向量首尾相接后,構(gòu)成一個(gè)三角形且a與b的夾角為135°,c與b的夾角為120°,|c|=2,故所得三角形如下圖示:其中∠C=45°,∠A=60°,AB=2∴|a|=AB?Sin∠Asin∠C=6故為:66.設(shè),求證:。答案:證明略解析:證明:因?yàn)?,所以有。又,故有?!?0分于是有得證。

…………20分7.已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C在橢圓x2+3y2=4上,對角線BD所在直線的斜率為1.

(Ⅰ)當(dāng)直線BD過點(diǎn)(0,1)時(shí),求直線AC的方程;

(Ⅱ)當(dāng)∠ABC=60°時(shí),求菱形ABCD面積的最大值.答案:(Ⅰ)由題意得直線BD的方程為y=x+1.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AC⊥BD.于是可設(shè)直線AC的方程為y=-x+n.由x2+3y2=4y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0.因?yàn)锳,C在橢圓上,所以△=-12n2+64>0,解得-433<n<433.設(shè)A,C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=3n2,x1x2=3n2-44,y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以y1+y2=n2.所以AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3n4,n4).由四邊形ABCD為菱形可知,點(diǎn)(3n4,n4)在直線y=x+1上,所以n4=3n4+1,解得n=-2.所以直線AC的方程為y=-x-2,即x+y+2=0.(Ⅱ)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|.所以菱形ABCD的面積S=32|AC|2.由(Ⅰ)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162,所以S=34(-3n2+16)(-433<n<433).所以當(dāng)n=0時(shí),菱形ABCD的面積取得最大值43.8.已知三個(gè)向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?答案:解:實(shí)數(shù)λ,μ,使p=λq+μr,則a+b-c=(2λ-7μ)a+(-3λ+18μ)b+(-5λ+22μ)c∵a,b,c不共面,∴∴即存在實(shí)數(shù),,使p=λq+μr,故向量p、q、r共面.9.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),若f(c)=0,且0<x<c時(shí),f(x)>0

(1)證明:1a是f(x)的一個(gè)根;(2)試比較1a與c的大?。鸢福鹤C明:(1)∵f(x)=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),f(x)=0的兩個(gè)根x1,x2滿足x1x2=ca,又f(c)=0,不妨設(shè)x1=c∴x2=1a,即1a是f(x)=0的一個(gè)根.(2)假設(shè)1a<c,又1a>0由0<x<c時(shí),f(x)>0,得f(1a)>0,與f(1a)=0矛盾∴1a≥c又:f(x)=0的兩個(gè)根不相等∴1a≠c,只有1a>c10.用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?2?…?(2n-1)”(n∈N+)時(shí),從“n=k到n=k+1”時(shí),左邊應(yīng)增添的式子是______.答案:當(dāng)n=k時(shí),左邊等于(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)…(2k),當(dāng)n=k+1時(shí),左邊等于(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),故從“k”到“k+1”的證明,左邊需增添的代數(shù)式是(2k+1)(2k+2)(k+1)=2(2k+1),故為:2(2k+1).11.(1)求過兩直線l1:7x-8y-1=0和l2:2x+17y+9=0的交點(diǎn),且平行于直線2x-y+7=0的直線方程.

(2)求點(diǎn)A(--2,3)關(guān)于直線l:3x-y-1=0對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo).答案:(1)聯(lián)立兩條直線的方程可得:7x-8y-1=02x+17y+9=0,解得x=-1127,y=-1327所以l1與l2交點(diǎn)坐標(biāo)是(-1127,-1327).(2)設(shè)與直線2x-y+7=0平行的直線l方程為2x-y+c=0因?yàn)橹本€l過l1與l2交點(diǎn)(-1127,-1327).所以c=13所以直線l的方程為6x-3y+1=0.點(diǎn)P(-2,3)關(guān)于直線3x-y-1=0的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)(a,b),則b-3a+2×3=-1,且3×a-22-b+32-1=0,解得a=10且b=-1,對稱點(diǎn)的坐標(biāo)(10,-1)12.將圖形F按=(,)(其中)平移,就是將圖形F()A.向x軸正方向平移個(gè)單位,同時(shí)向y軸正方向平移個(gè)單位.B.向x軸負(fù)方向平移個(gè)單位,同時(shí)向y軸正方向平移個(gè)單位.C.向x軸負(fù)方向平移個(gè)單位,同時(shí)向y軸負(fù)方向平移個(gè)單位.D.向x軸正方向平移個(gè)單位,同時(shí)向y軸負(fù)方向平移個(gè)單位.答案:A解析:根據(jù)圖形容易得出結(jié)論.13.若關(guān)于x的不等式xa2-2xa-3<0在[-1,1]上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.[-1,1]

B.[-1,3]

C.(-1,1)

D.(-1,3)答案:D14.函數(shù)f(x)=2,0<x<104,10≤x<155,15≤x<20,則函數(shù)的值域是()A.[2,5]B.{2,4,5}C.(0,20)D.N答案:∵f(x)=20<x<10410≤x<15515≤x<20∴函數(shù)的值域是{2,4,5}故選B15.(本小題滿分12分)

如圖,已知橢圓C1的中心在圓點(diǎn)O,長軸左、右端點(diǎn)M、N在x軸上,橢圓C1的短軸為MN,且C1,C2的離心率都為e,直線l⊥MN,l與C1交于兩點(diǎn),與C1交于兩點(diǎn),這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A、B、C、D.

(I)設(shè)e=,求|BC|與|AD|的比值;

(II)當(dāng)e變化時(shí),是否存在直線l,使得BO//AN,并說明理由.答案:(II)t=0時(shí)的l不符合題意,t≠0時(shí),BO//AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等,即,解得。因?yàn)?,又,所以,解得。所以?dāng)時(shí),不存在直線l,使得BO//AN;當(dāng)時(shí),存在直線l使得BO//AN。解析:略16.如圖,從圓O外一點(diǎn)P作圓O的割線PAB、PCD,AB是圓O的直徑,若PA=4,PC=5,CD=3,則∠CBD=______.答案:由割線長定理得:PA?PB=PC?PD即4×PB=5×(5+3)∴PB=10∴AB=6∴R=3,所以△OCD為正三角形,∠CBD=12∠COD=30°.17.比較大?。篴=0.20.5,b=0.50.2,則()

A.0<a<b<1

B.0<b<a<1

C.1<a<b

D.1<b<a答案:A18.用“斜二測畫法”作正三角形ABC的水平放置的直觀圖△A′B′C′,則△A′B′C′與△ABC的面積之比為______.答案:設(shè)正三角形的標(biāo)出為:1,正三角形的高為:32,所以正三角形的面積為:34;按照“斜二測畫法”畫法,△A′B′C′的面積是:12×1×34×sin45°=616;所以△A′B′C′與△ABC的面積之比為:61634=24,故為:2419.已知向量與的夾角為120°,若向量,且,則=()

A.2

B.

C.

D.答案:C20.與

向量

=(2,-1,2)共線且滿足方程=-18的向量為()

A.不存在

B.-2

C.(-4,2,-4)

D.(4,-2,4)答案:D21.已知曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2),則曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為______.答案:我們通過聯(lián)立解方程組ρcosθ=3ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2)解得ρ=23θ=π6,即兩曲線的交點(diǎn)為(23,π6).故填:(23,π6).22.如圖,△ABC中,AD=2DB,AE=3EC,CD與BE交于F,若AF=xAB+yAC,則()A.x=13,y=12B.x=14,y=13C.x=37,y=37D.x=25,y=920答案:過點(diǎn)F作FM∥AC、FN∥AB,分別交AB、AC于點(diǎn)M、N∵FM∥AC,∴FMAC=DMAD且FMAE=BMAB∵AD=2DB,AE=3EC,∴AD=23AB,AE=34AC.由此可得AM=13AB同理可得AN=12AC∵四邊形AMFN是平行四邊形∴由向量加法法則,得AF=13AB+12AC∵AF=xAB+yAC,∴根據(jù)平面向量基本定理,可得x=13,y=12故選:A23.當(dāng)太陽光線與水平面的傾斜角為60°時(shí),要使一根長為2m的細(xì)桿的影子最長,則細(xì)桿與水平地面所成的角為()

A.15°

B.30°

C.45°

D.60°答案:B24.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1n+1+1n+2+1n+3+…+1n+n>1124

(n∈N,n≥1)答案:證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12>1124,∴n=1時(shí)成立(2分)(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)成立,即1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k>1124那么當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1k+2+1k+3+…+1k+k

+1K+1+k+1k+1+k+1=1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k+1k+k+1

+1k+1+k+1-1k+1>1124+12k+1-12k+2>1124.∴n=k+1時(shí)也成立(7分)根據(jù)(1)(2)可得不等式對所有的n≥1都成立(8分)25.若圓x2+y2=9上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短為原來的,則所得到的曲線的方程是()

A.

B.

C.

D.答案:C26.將程序補(bǔ)充完整

INPUT

x

m=xMOD2

IF______THEN

PRINT“x是偶數(shù)”

ELSE

PRINT“x是奇數(shù)”

END

IF

END.答案:本程序的作用是判斷出輸入的數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù),由其邏輯關(guān)系知,若邏輯是“是”則輸出“x是偶數(shù)”,若邏輯是“否”,則輸出“x是奇數(shù)”故判斷條件應(yīng)為m=0故為m=027.直線y=x-1的傾斜角是()

A.30°

B.120°

C.60°

D.150°答案:A28.若3π2<α<2π,則直線xcosα+ysinα=1必不經(jīng)過()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案:令x=0,得y=sinα<0,令y=0,得x=cosα>0,直線過(0,sinα),(cosα,0)兩點(diǎn),因而直線不過第二象限.故選B29.若點(diǎn)P(-1,3)在圓x2+y2=m2上,則實(shí)數(shù)m=______.答案:∵點(diǎn)P(-1,3)在圓x2+y2=m2上,∴點(diǎn)P坐標(biāo)代入,得(-1)2+(3)2=m2,即m2=4,解之得m=±2.故為:±230.若將推理“四邊形的內(nèi)角和為360°,所以平行四邊形的內(nèi)角和為360°”改為三段論的形式,則它的小前提是______.答案:將推理“四邊形的內(nèi)角和為360°,所以平行四邊形的內(nèi)角和為360°”改為三段論的形式,因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和為360°,平行四邊形是四邊形,所以平行四邊形的內(nèi)角和為360°大前提:四邊形的內(nèi)角和為360°;小前提:平行四邊形是四邊形;結(jié)論:平行四邊形的內(nèi)角和為360°.故為:平行四邊形是四邊形.31.圓心為(-2,3),且與y軸相切的圓的方程是()A.x2+y2+4x-6y+9=0B.x2+y2+4x-6y+4=0C.x2+y2-4x+6y+9=0D.x2+y2-4x+6y+4=0答案:根據(jù)圓心坐標(biāo)(-2,3)到y(tǒng)軸的距離d=|-2|=2,則所求圓的半徑r=d=2,所以圓的方程為:(x+2)2+(y-3)2=4,化為一般式方程得:x2+y2+4x-6y+9=0.故選A32.已知向量a與向量b,|a|=2,|b|=3,a、b的夾角為60°,當(dāng)1≤m≤2,0≤n≤2時(shí),|ma+nb|的最大值為______.答案:∵|a|=2,|b|=3,a、b的夾角為60°,∴|ma+nb|2=m2a2+2mna?b+n2b2=4m2+2mn×2×3×cos60°+9n2=4m2+6mn+9n2,∵1≤m≤2,0≤n≤2,∴當(dāng)m=2且n=2時(shí),|ma+nb|2取到最大值,即|ma+nb|2max=100,∴,|ma+nb|的最大值為10.故為:10.33.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)F

是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).

(Ⅰ)試確定點(diǎn)F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;

(Ⅱ)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí),求二面角C1-EF-A的余弦值以及BA1與面C1EF所成的角的大?。鸢福海↖)由題意可得:以A為原點(diǎn),分別以直線AB、AD、AA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方體的棱長為1,且DF=x,則A1(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1,12,0),F(xiàn)(x,1,0)所以D1E=(1,-12,-1),AB1=(1,0,1),AF=(x,1,0)由D1E⊥面AB1F?D1E⊥AB1且D1E⊥AF,所以D1E?AB1=0D1E?AF=0,可解得x=12所以當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí),D1E⊥平面AB1F.(II)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí),F(xiàn)是CD的中點(diǎn),F(xiàn)(12,1,0)由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得:平面AEF的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),設(shè)平面C1EF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),在平面C1EF中,EC1=(0,12,1),EF=(-12,12,0),所以EC1?n=0EF?n

=0,即y=-2zx=y,所以取平面C1EF的一個(gè)法向量為n=(2,2,-1),所以cos<m,n>=-13,所以<m,n>=π-arccos13,又因?yàn)楫?dāng)把m,n都移向這個(gè)二面角內(nèi)一點(diǎn)時(shí),m背向平面AEF,而n指向平面C1EF,所以二面角C1-EF-A的大小為π-arccos13又因?yàn)锽A1=(-1,0,1),所以cos<BA1,n>=-22,所以<BA1,n>=135°,∴BA1與平面C1EF所成的角的大小為45°.34.選修4-2:矩陣與變換

已知矩陣M=0110,N=0-110.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)直線2x-y+1=0在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下得到曲線F,求曲線F的方程.答案:由題設(shè)得MN=01100-111=100-1.…(3分)設(shè)(x,y)是直線2x-y+1=0上任意一點(diǎn),點(diǎn)(x,y)在矩陣MN對應(yīng)的變換作用下變?yōu)椋▁′,y′),則有1001xy=x′y′,即x-y=x′y′,所以x=x′y=-y′…(7分)因?yàn)辄c(diǎn)(x,y)在直線2x-y+1=0上,從而2x′-(-y′)+1=0,即2x′+y′+1=0.所以曲線F的方程為2x+y+1=0.

…(10分)35.一條直線的傾斜角的余弦值為32,則此直線的斜率為()A.3B.±3C.33D.±33答案:設(shè)直線的傾斜角為α,∵α∈[0,π),cosα=32∴α=π6因此,直線的斜率k=tanα=33故選:C36.當(dāng)圓x=4cosθy=4sinθ上一點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)角為θ=23π時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為______.答案:根據(jù)圓的參數(shù)方程的意義,當(dāng)圓x=4cosθy=4sinθ上一點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)角為θ=23π時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4cos2π3,4sin2π3),即(-2,23).故為:(-2,23).37.已知向量OA=(2,3),OB=(4,-1),P是線段AB的中點(diǎn),則P點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.(2,-4)B.(3,1)C.(-2,4)D.(6,2)答案:由線段的中點(diǎn)公式可得OP=12(OA+OB)=(3,1),故P點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,1),故選B.38.過點(diǎn)(0,2)且與圓x2+y2=4只有一個(gè)交點(diǎn)的直線方程是______.答案:∵圓x2+y2=4的圓心是O(0,0),半徑r=2,點(diǎn)(0,2)到圓心O(0,0)的距離是d=0+4=2=r,∴點(diǎn)(0,2)在圓x2+y2=4上,∴過點(diǎn)(0,2)且與圓x2+y2=4只有一個(gè)交點(diǎn)的直線方程是0x+2y=4,即y=2.故為:y=2.39.一只螞蟻在三邊邊長分別為3,4,5的三角形的邊上爬行,某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的概率為______.答案:如下圖所示,當(dāng)螞蟻位于圖中紅色線段上時(shí),距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1,由已知易得:紅色線段的長度和為:6三角形的周長為:12故P=612=12故為:1240.證明不等式的最適合的方法是()

A.綜合法

B.分析法

C.間接證法

D.合情推理法答案:B41.(理)在極坐標(biāo)系中,半徑為1,且圓心在(1,0)的圓的方程為()

A.ρ=sinθ

B.ρ=cosθ

C.ρ=2sinθ

D.ρ=2cosθ答案:D42.已知命題p:“△ABC是等腰三角形”,命題q:“△ABC是直角三角形”,則命題“△ABC是等腰直角三角形”的形式是()A.p或qB.p且qC.非pD.以上都不對答案:因?yàn)椤啊鰽BC是等腰直角三角形”即為“△ABC是等腰且直角三角形”,所以命題“△ABC是等腰直角三角形”的形式是p且q,故選B.43.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過F且斜率為1的直線交C于A,B兩點(diǎn).設(shè)|FA|>|FB|,則|FA|與|FB|的比值等于______.答案:設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)由y=x-1y2=4x?x2-6x+1=0?x1=3+22,x2=3-22,(x1>x2)∴由拋物線的定義知|FA||FB|=x1+1x2+1=4+224-22=2+22-2=3+22故為:3+2244.(選做題)已知x+2y=1,則x2+y2的最小值是______.答案:x2+y2表示(0,0)到x+2y=1上點(diǎn)的距離的平方∴x2+y2的最小值是(0,0)到x+2y=1的距離d的平方據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得d=11+4=15∴x2+y2的最小值是15故為1545.定義:若函數(shù)f(x)對于其定義域內(nèi)的某一數(shù)x0,有f(x0)=x0,則稱x0是f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)。

(1)當(dāng)a=1,b=-2時(shí),求函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn);

(2)若對任意的實(shí)數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),求a的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,若y=f(x)圖象上兩個(gè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn),且A、B的中點(diǎn)C在函數(shù)g(x)=-x+的圖象上,求b的最小值。

(參考公式:A(x1,y1),B(x2,y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為)

答案:解:(1)f(x)=x2-x-3,由x2-x-3=0,解得x=3或x=-1,所以所求的不動(dòng)點(diǎn)為-1或3。(2)令ax2+(b+1)x+b+1=x,則ax2+bx+b-1=0,①由題意,方程①恒由兩個(gè)不等實(shí)根,所以△=b2-4a(b-1)>0,即b2-4ab+4a>0對任意的b∈R恒成立,則△′=16a2-16a<0,故0(3)依題意,設(shè),則AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)為,又AB的中點(diǎn)在直線上,∴,∴,又x1,x2是方程①的兩個(gè)根,∴,∴,,∴,∴當(dāng)時(shí),bmin=-1。</a<1。46.若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值,并求出最小值點(diǎn).答案:由柯西不等式(4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1,∴4x2+9y2≥12.當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=3y?1,即2x=3y時(shí)取等號.由2x=3y2x+3y=1得x=14y=16∴4x2+9y2的最小值為12,最小值點(diǎn)為(14,16).47.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn),P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且P、F1、F2三點(diǎn)構(gòu)成一直角三角形,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為______.答案:由題意,P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),且P、F1、F2三點(diǎn)構(gòu)成一直角三角形,故可分為兩類:①當(dāng)∠P為直角時(shí),設(shè)P的縱坐標(biāo)為y,則F1,F(xiàn)2分別是橢圓x24+y2=1的左、右焦點(diǎn)∴|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=23∵∠P為直角,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∵|PF1|+|PF2|=4,|F1F2|=23∴|PF1||PF2|=2∴S△PF1F2=12|PF1||PF2|=1∵S△PF1F2=12|F1F2|×y=3y∴3y=1∴y=33②當(dāng)∠PF2F1為直角時(shí),P的橫坐標(biāo)為3設(shè)P的縱坐標(biāo)為y(y>0),則(3)24+y2=1,∴y=12故為:33

或1248.已知雙曲線x2-y22=1,經(jīng)過點(diǎn)M(1,1)能否作一條直線l,使直線l與雙曲線交于A、B,且M是線段AB的中點(diǎn),若存在這樣的直線l,求出它的方程;若不存在,說明理由.答案:設(shè)過點(diǎn)M(1,1)的直線方程為y=k(x-1)+1或x=1(1)當(dāng)k存在時(shí)有y=k(x-1)+1x2

-y22=1得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0

(1)當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn),則必有△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,k<32

又方程(1)的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)∴x1+x2=2(k-k2)2-k2

又M(1,1)為線段AB的中點(diǎn)∴x1+x22=1

即k-k22-k2=1

k=2

∴k=2,使2-k2≠0但使△<0因此當(dāng)k=2時(shí),方程(1)無實(shí)數(shù)解故過點(diǎn)m(1,1)與雙曲線交于兩點(diǎn)A、B且M為線段AB中點(diǎn)的直線不存在.(2)當(dāng)x=1時(shí),直線經(jīng)過點(diǎn)M但不滿足條件,綜上,符合條件的直線l不存在49.關(guān)于x的不等式(k2-2k+)x(k2-2k+)1-x的解集是()

A.x>

B.x<

C.x>2

D.x<2答案:B50.現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水為200g,需將它制成工業(yè)生產(chǎn)上需要的含鹽5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食鹽水,設(shè)需要加入4%的食鹽水xg,則x的取值范圍是(

)。答案:(100,400)第2卷一.綜合題(共50題)1.已知f(x+1)=x2+2x+3,則f(2)的值為______.答案:由f(x+1)=x2+2x+3,得f(1+1)=12+2×1+3=6,故為:6.2.用行列式討論關(guān)于x,y

的二元一次方程組mx+y=m+1x+my=2m解的情況并求解.答案:D=.m11m.=m2-1=(m+1)(m-1),Dx=.m+112mm.=m2-m=m(m-1),Dy=.mm+112m.=2m2-m-1=(2m+1)(m-1),…(各(1分)共3分)(1)當(dāng)m≠-1,m≠1時(shí),D≠0,方程組有唯一解,解為(4)x=mm+1(5)y=2m+1m+1(6)…((2分),其中解1分)(2)當(dāng)m=-1時(shí),D=0,Dx≠0,方程組無解;…(2分)(3)當(dāng)m=1時(shí),D=Dx=Dy=0,方程組有無窮多組解,此時(shí)方程組化為x+y=2x+y=2,令x=t(t∈R),原方程組的解為x=ty=2-t(t∈R).…((2分),沒寫出解扣1分)3.從點(diǎn)A(2,-1,7)沿向量=(8,9,-12)的方向取線段長||=34,則B點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(-9,-7,7)

B.(18,17,-17)

C.(9,7,-7)

D.(-14,-19,31)答案:B4.如圖,從圓O外一點(diǎn)A引切線AD和割線ABC,AB=3,BC=2,則切線AD的長為______.答案:由切割線定理可得AD2=AB?AC=3×5,∴AD=15.故為15.5.一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱.這個(gè)四棱錐的底面為正方形,且底面邊長與各側(cè)棱長相等,這個(gè)三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等.設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為h1,h2,h,則h1:h2:h3=()

A.:1:1

B.:2:2

C.:2:

D.:2:答案:B6.下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是()

①y=sin

x(x∈R

)是三角函數(shù);②三角函數(shù)是周期函數(shù);

③y=sin

x(x∈R

)是周期函數(shù).

A.①②③

B.②①③

C.②③①

D.③②①答案:B7.一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的側(cè)視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)面積等于()A.3B.6C.23D.2答案:由正視圖知:三棱柱是以底面邊長為2,高為1的正三棱柱,側(cè)面積為3×2×1=6,故為:B.8.下面哪個(gè)不是算法的特征()A.抽象性B.精確性C.有窮性D.唯一性答案:根據(jù)算法的概念,可知算法具有抽象性、精確性、有窮性等,同一問題,可以有不同的算法,故選D.9.已知函數(shù)y=f(n),滿足f(1)=2,且f(n+1)=3f(n),n∈N+,則

f(3)的值為______.答案:∵f(1)=2,且f(n+1)=3f(n),n∈N+,∴f(2)=3f(1)=6,f(3)=f(2+1)=3f(2)=18,故為18.10.若一元二次方程ax2+2x+1=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,則有

A.a(chǎn)<0

B.a(chǎn)>0

C.a(chǎn)<-1

D.a(chǎn)>1答案:A11.直線l過橢圓x24+y23=1的右焦點(diǎn)F2并與橢圓交與A、B兩點(diǎn),則△ABF1的周長是()A.4B.6C.8D.16答案:根據(jù)題意結(jié)合橢圓的定義可得:|AF1|+|AF2|=2a=4,,并且|BF1|+|BF2|=2a=4,又因?yàn)閨AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周長為:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8.故選C.12.已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA-MB|=4,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為______.答案:動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA-MB|=4=|AB|,結(jié)合圖形思考判斷動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為直線AB(不包括線段AB內(nèi)部的點(diǎn))上的兩條射線.故為直線AB(不包括線段AB內(nèi)部的點(diǎn))上的兩條射線.13.設(shè)a1,a2,…,an為正數(shù),求證:a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a1+a2+…+an.答案:證明:不妨設(shè)a1>a2>…>an>0,則a12>a22>…>an2,1a1<1a2<…1an由排序原理:亂序和≥反序和,可得:a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a12a1+a22a2+…+an2an=a1+a2+…+an.14.若f(x)=exx≤0lnxx>0,則f(f(12))=______.答案:∵f(x)=ex,x≤0lnx,x>0,∴f(f(12))=f(ln12)=eln12=12.故為:12.15.已知拋物線和雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)M(1,2),它們在x軸上有共同焦點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.答案:設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),將M(1,2)代入y2=2px,得P=2.∴拋物線方程為y2=4x,焦點(diǎn)為F(1,0)由題意知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)∴c=1對于雙曲線,2a=||MF1|-|MF2||=22-2∴a=2-1,a2=3-22,b2=22-2∴雙曲線方程為x23-22-y222-2=1.故為:x23-22-y222-2=1.16.如圖,在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,下底ABCD是邊長為2的正方形,上底A1B1C1D1是邊長為1的正方形,側(cè)棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.

(Ⅰ)求證:B1B∥平面D1AC;

(Ⅱ)求二面角B1-AD1-C的余弦值.答案:以D為原點(diǎn),以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖,則有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).…(3分)(Ⅰ)證明:設(shè)AC∩BD=E,連接D1、E,則有E(1,1,0),D1E=B1B=(1,1,-2),所以B1B∥D1E,∵BB?平面D1AC,D1E?平面D1AC,∴B1B∥平面D1AC;…(6分)(II)D1B1=(1,1,0),D1A=(2,0,-2),設(shè)n=(x,y,z)為平面AB1D1的法向量,n?B1D1=x+y=0,n?D1A=2x-2z=0.于是令x=1,則y=-1,z=1.則n=(1,-1,1)…(8分)同理可以求得平面D1AC的一個(gè)法向量m=(1,1,1),…(10分)cos<m,n>=m?n|m||n|=13.∴二面角B1-AD1-C的余弦值為13.…(12分)17.已知拋物線C1:x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為p的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3.

(Ⅰ)求拋物線C1的方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)P(0,-2)的直線交拋物線C1于A,B兩點(diǎn),設(shè)拋物線C1在點(diǎn)A,B處的切線交于點(diǎn)M,

(?。┣簏c(diǎn)M的軌跡C2的方程;

(ⅱ)若點(diǎn)Q為(?。┲星€C2上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線AQ,BQ,PQ的斜率kAQ,kBQ,kPQ均存在時(shí),試判斷kPQkAQ+kPQkBQ是否為常數(shù)?若是,求出這個(gè)常數(shù);若不是,請說明理由.答案:(Ⅰ)由題意得p+p2=3,則p=2,…(3分)所以拋物線C1的方程為x2=4y.

…(5分)(Ⅱ)(ⅰ)設(shè)過點(diǎn)P(0,-2)的直線方程為y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx-2x2=4y得x2-4kx+8=0.由△>0,得k<-2或k>2,x1+x2=4k,x1x2=8.…(7分)拋物線C1在點(diǎn)A,B處的切線方程分別為y-y1=x12(x-x1),y-y2=x22(x-x2),即y=x12x-x214,y=x22x-x224,由y=x12x-x214y=x22x-x224得x=x1+x22=2ky=x1x24=2.所以點(diǎn)M的軌跡C2的方程為y=2

(x<-22或x>22).…(10分)(ⅱ)設(shè)Q(m,2)(|m|>22),則kPQ=4m,kAQ=y1-2x1-m,kBQ=y2-2x2-m.…(11分)所以kPQkAQ+kPQkBQ=4m(1kAQ+1kBQ)=4m(x1-my1-2+x2-my2-2)…(12分)=4m[(x1-m)(y2-2)+(x2-m)(y1-2)(y1-2)(y2-2)]=4m[2kx1x2-(mk+4)(x1+x2)+8mk2x1x2-4k(x1+x2)+16]=4m[16k-(mk+4)?4k+8m8k2-4k?4k+16]=4m[8m-4mk216-8k2]=4m[4m(2-k2)8(2-k2)]=2,即kPQkAQ+kPQkBQ為常數(shù)2.

…(15分)18.與x軸相切并和圓x2+y2=1外切的圓的圓心的軌跡方程是______.答案:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任一點(diǎn),則由題意知1+|y|=x2+y2,化簡得x2=2|y|+1.因此與x軸相切并和圓x2+y2=1外切的圓的圓心的軌跡方程是x2=2|y|+1.故為x2=2|y|+1.19.搖獎(jiǎng)器有10個(gè)小球,其中8個(gè)小球上標(biāo)有數(shù)字2,2個(gè)小球上標(biāo)有數(shù)字5,現(xiàn)搖出3個(gè)小球,規(guī)定所得獎(jiǎng)金(元)為這3個(gè)小球上記號之和,求此次搖獎(jiǎng)獲得獎(jiǎng)金數(shù)額的數(shù)學(xué)期望.答案:設(shè)此次搖獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)額為ξ元,當(dāng)搖出的3個(gè)小球均標(biāo)有數(shù)字2時(shí),ξ=6;當(dāng)搖出的3個(gè)小球中有2個(gè)標(biāo)有數(shù)字2,1個(gè)標(biāo)有數(shù)字5時(shí),ξ=9;當(dāng)搖出的3個(gè)小球有1個(gè)標(biāo)有數(shù)字2,2個(gè)標(biāo)有數(shù)字5時(shí),ξ=12.所以,P(ξ=6)=C38C310=715P(ξ=9)=C28C12C310=715P(ξ=12)=C18C22C310=115Eξ=6×715+9×715+12×115=395(元)

答:此次搖獎(jiǎng)獲得獎(jiǎng)金數(shù)額的數(shù)字期望是395元.20.把平面上一切單位向量的始點(diǎn)放在同一點(diǎn),那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是()

A.一條線段

B.一段圓弧

C.圓上一群孤立點(diǎn)

D.一個(gè)單位圓答案:D21.參數(shù)方程x=2cosαy=3sinα(a為參數(shù))化成普通方程為______.答案:∵x=2cosαy=3sinα,∴cosα=x2sinα=y3∴(x2)2+(y3)2=cos2α+sin2α=1.即:參數(shù)方程x=2cosαy=3sinα化成普通方程為:x24+y29=1.故為:x24+y29=1.22.滿足條件|z|=|3+4i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是______.答案:|z|=5,即點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離為5∴z所對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以(0,0)為圓心,5為半徑的圓.23.若橢圓長軸長與短軸長之比為2,它的一個(gè)焦點(diǎn)是(215,0),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.答案:由題設(shè)條件知a=2b,c=215,∴4b2=b2+60,∴b2=20,a2=80,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x280+y220=1.故為:x280+y220=1.24.用反證法證明“a>b”時(shí),反設(shè)正確的是()

A.a(chǎn)>b

B.a(chǎn)<b

C.a(chǎn)=b

D.以上都不對答案:D25.若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是(

A.

B.

C.

D.答案:B26.已知,求證:答案:證明略解析:∵

∴①

又∵②

③由①②③得

∴,又不等式①、②、③中等號成立的條件分別為,,故不能同時(shí)成立,從而.27.在空間有三個(gè)向量AB、BC、CD,則AB+BC+CD=()A.ACB.ADC.BDD.0答案:如圖:AB+BC+CD=AC+CD=AD.故選B.28.已知a,b為正數(shù),求證:≥.答案:證明略解析:1:∵a>0,b>0,∴≥,≥,兩式相加,得≥,∴≥.解析2.≥.∴≥.解析3.∵a>0,b>0,∴,∴欲證≥,即證≥,只要證

≥,只要證

≥,即證

≥,只要證a3+b3≥ab(a+b),只要證a2+b2-ab≥ab,即證(a-b)2≥0.∵(a-b)2≥0成立,∴原不等式成立.【名師指引】當(dāng)要證明的不等式形式上比較復(fù)雜時(shí),常通過分析法尋求證題思路.“分析法”與“綜合法”是數(shù)學(xué)推理中常用的思維方法,特別是這兩種方法的綜合運(yùn)用能力,對解決實(shí)際問題有重要的作用.這兩種數(shù)學(xué)方法是高考考查的重要數(shù)學(xué)思維方法.29.設(shè)點(diǎn)P(+,1)(t>0),則||(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最小值是()

A.

B.

C.5

D.3答案:A30.如圖算法輸出的結(jié)果是______.答案:當(dāng)I=1時(shí),滿足循環(huán)的條件,進(jìn)而循環(huán)體執(zhí)行循環(huán)則S=2,I=4;當(dāng)I=4時(shí),滿足循環(huán)的條件,進(jìn)而循環(huán)體執(zhí)行循環(huán)則S=4,I=7;當(dāng)I=7時(shí),滿足循環(huán)的條件,進(jìn)而循環(huán)體執(zhí)行循環(huán)則S=8,I=10;當(dāng)I=10時(shí),滿足循環(huán)的條件,進(jìn)而循環(huán)體執(zhí)行循環(huán)則S=16,I=13;當(dāng)I=13時(shí),不滿足循環(huán)的條件,退出循環(huán),輸出S值16故為:1631.在△ABC中,“A=45°”是“sinA=22”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:當(dāng)A=45°時(shí),sinA=22成立.若當(dāng)A=135°時(shí),滿足sinA=22.所以,“A=45°”是“sinA=22”的充分不必要條件.故選A.32.橢圓x2+my2=1的焦點(diǎn)在y軸上,長軸長是短軸長的兩倍,則m的值為()

A.

B.

C.2

D.4答案:A33.已知復(fù)數(shù)w滿足w-4=(3-2w)i(i為虛數(shù)單位),z=5w+|w-2|,求一個(gè)以z為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程.答案:[解法一]∵復(fù)數(shù)w滿足w-4=(3-2w)i,∴w(1+2i)=4+3i,∴w(1+2i)(1-2i)=(4+3i)(1-2i),∴5w=10-5i,∴w=2-i.∴z=52-i+|2-i-2|=5(2+i)(2-i)(2+i)+1=2+i+1=3+i.若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根z=3+i,則必有共軛虛根.z=3-i.∵z+.z=6,z?.z=10,∴所求的一個(gè)一元二次方程可以是x2-6x+10=0.[解法二]設(shè)w=a+b,(a,b∈Z),∴a+bi-4=3i-2ai+2b,得a-4=2bb=3-2a解得a=2b=-1,∴w=2-i,以下解法同[解法一].34.命題:“如果ab=0,那么a、b中至少有一個(gè)等于0.”的逆否命題為______

______.答案:∵ab=0的否命題是ab≠0,a、b中至少有一個(gè)為零的否命題是a≠0,且b≠0,∴命題“若ab=0,則a、b中至少有一個(gè)為零”的逆否命題是“若a≠0,且b≠0,則ab≠0.”故:如果a、b都不為等于0.那么ab≠035.(本小題滿分10分)如圖,D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn),且不與頂點(diǎn)重合,已知為方程的兩根

(1)證明四點(diǎn)共圓

(2)若求四點(diǎn)所在圓的半徑答案:(1)見解析;(2)解析:解:(Ⅰ)如圖,連接DE,依題意在中,,由因?yàn)樗?,?四點(diǎn)C、B、D、E共圓。(Ⅱ)當(dāng)時(shí),方程的根因而,取CE中點(diǎn)G,BD中點(diǎn)F,分別過G,F做AC,AB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)H,連接DH,因?yàn)樗狞c(diǎn)C、B、D、E共圓,所以,H為圓心,半徑為DH.,,所以,,點(diǎn)評:此題考查平面幾何中的圓與相似三角形及方程等概念和性質(zhì)。注意把握判定與性質(zhì)的作用。36.如圖,在梯形ABCD中,對角線AC和BD交于點(diǎn)O,E、F分別是AC和BD的中點(diǎn),分別寫出

(1)圖中與EF、CO共線的向量;

(2)與EA相等的向量.答案:(1)由圖可知,與EF共線的向量有:CD、AB;與CO共線的向量有:CE、CA、OE、OA、EA;(2)由E為CA的中點(diǎn)可知,CE=EA,即與EA相等的向量為CE;37.在直角坐標(biāo)系中,畫出下列向量:

(1)|a|=2,a的方向與x軸正方向的夾角為60°,與y軸正方向的夾角為30°;

(2)|a|=4,a的方向與x軸正方向的夾角為30°,與y軸正方向的夾角為120°;

(3)|a|=42,a的方向與x軸正方向的夾角為135°,與y軸正方向的夾角為135°.答案:由題意作出向量a如右圖所示:(1)(2)(3)38.已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,則a2+4b2+9c2的最小值為______.答案:∵a+2b+3c=6,∴根據(jù)柯西不等式,得(a+2b+3c)2=(1×a+1×2b+1×3c)2≤(12+12+12)[a2+(2b)2+(3c)2]化簡得62≤3(a2+4b2+9c2),即36≤3(a2+4b2+9c2)∴a2+4b2+9c2≥12,當(dāng)且僅當(dāng)a:2b:3c=1:1:1時(shí),即a=2,b=1,c=23時(shí)等號成立由此可得:當(dāng)且僅當(dāng)a=2,b=1,c=23時(shí),a2+4b2+9c2的最小值為12故為:1239.一直線傾斜角的正切值為34,且過點(diǎn)P(1,2),則直線方程為______.答案:因?yàn)橹本€傾斜角的正切值為34,即k=3,又直線過點(diǎn)P(1,2),所以直線的點(diǎn)斜式方程為y-2=34(x-1),整理得,3x-4y+5=0.故為3x-4y+5=0.40.如圖,平面中兩條直線l1和l2相交于點(diǎn)O,對于平面上任意一點(diǎn)M,若p、q分別是M到直線l1和l2的距離,則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(p,q)是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”.已知常數(shù)p≥0,q≥0,給出下列命題:

①若p=q=0,則“距離坐標(biāo)”為(0,0)的點(diǎn)有且僅有1個(gè);

②若pq=0,且p+q≠0,則“距離坐標(biāo)”為(p,q)的點(diǎn)有且僅有2個(gè);

③若pq≠0,則“距離坐標(biāo)”為(p,q)的點(diǎn)有且僅有4個(gè).

上述命題中,正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案:①正確,此點(diǎn)為點(diǎn)O;②不正確,注意到p,q為常數(shù),由p,q中必有一個(gè)為零,另一個(gè)非零,從而可知有且僅有4個(gè)點(diǎn),這兩點(diǎn)在其中一條直線上,且到另一直線的距離為q(或p);③正確,四個(gè)交點(diǎn)為與直線l1相距為p的兩條平行線和與直線l2相距為q的兩條平行線的交點(diǎn);故選C.41.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)是虛數(shù),則a、b應(yīng)滿足的條件是()A.a(chǎn)=0,b≠0B.a(chǎn)≠0,b≠0C.a(chǎn)≠0,b∈RD.b≠0,a∈R答案:∵復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)是虛數(shù),∴根據(jù)虛數(shù)的定義得b≠0,a∈R,故選D.42.方程x2+(m-2)x+5-m=0的兩根都大于2,則m的取值范圍是()

A.(-5,-4]

B.(-∞,-4]

C.(-∞,-2]

D.(-∞,-5)∪(-5,-4]答案:A43.(幾何證明選講選做題)如圖,⊙O中,直徑AB和弦DE互相垂直,C是DE延長線上一點(diǎn),連接BC與圓0交于F,若∠CFE=α(α∈(0,π2)),則∠DEB______.答案:∵直徑AB和弦DE互相垂直∴AB平分DE∴BD=BE,∠D=∠BED∵DEFB四點(diǎn)共圓∴∠EFC=∠D=α∴∠DEB=α故為:α44.某項(xiàng)考試按科目A、科目B依次進(jìn)行,只有當(dāng)科目A成績合格時(shí),才可繼續(xù)參加科目B的考試.已知每個(gè)科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì),兩個(gè)科目成績均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這項(xiàng)考試,科目A每次考試成績合格的概率均為23,科目B每次考試成績合格的概率均為12.假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.

(Ⅰ)求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率;

(Ⅱ)在這項(xiàng)考試過程中,假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì),記他參加考試的次數(shù)為ξ,求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ.答案:設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件A1,“科目A補(bǔ)考合格”為事件A2;“科目B第一次考試合格”為事件B1,“科目B補(bǔ)考合格”為事件B2.(Ⅰ)不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件為A1?B1,注意到A1與B1相互獨(dú)立,根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率可得P(A1?B1)=P(A1)×P(B1)=23×12=13.即該考生不需要補(bǔ)考就獲得證書的概率為13.(Ⅱ)由已知得,ξ=2,3,4,注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性,根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率可得P(ξ=2)=P(A1?B1)+P(.A1?.A2)=23×12+13×13=13+19=49.P(ξ=3)=P(A1?.B1?B2)+P(A1?.B1?.B2)+P(.A1?A2?B2)=23×12×12+23×12×12+13×23×12=16+16+19=49,P(ξ=4)=P(.A1?A2?.B2?B2)+P(.A1?A2?.B1?.B2)=13×23×12×12+13×23×12×12=118+118=19,∴Eξ=2×49+3×49+4×19=83.即該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為83.45.若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,能使l∥α的是()A.a(chǎn)=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.a(chǎn)=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a(chǎn)=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.a(chǎn)=(1,-1,3),n=(0,3,1)答案:若l∥α,則a?n=0.而A中a?n=-2,B中a?n=1+5=6,C中a?n=-1,只有D選項(xiàng)中a?n=-3+3=0.故選D.46.用反證法證明命題:“若a,b∈N,ab能被3整除,那么a,b中至少有一個(gè)能被3整除”時(shí),假設(shè)應(yīng)為()

A.b都能被3整除

B.b都不能被3整除

C.b不都能被3整除

D.a(chǎn)不能被3整除答案:B47.設(shè)集合A={(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N},使用列舉法表示集合A.答案:集合A中的元素是點(diǎn),點(diǎn)的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)都是自然數(shù),且滿足條件x+y=6.所以用列舉法表示為:A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)}.48.下列隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布的是()

①隨機(jī)變量ξ表示重復(fù)拋擲一枚骰子n次中出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù);

②某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9,從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)ξ;

③有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用有放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M<N);

④有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)(M<N).

A.②③

B.①④

C.③④

D.①③答案:D49.設(shè)a=log132,b=log1213,c=(12)0.3,則()A.a(chǎn)<b<cB.a(chǎn)<c<bC.b<c<aD.b<a<c答案:解;∵a=log132<log131=0,b=log1213>log1212=1,c=(12)0.3∈(0,1)∴b>c>a.故選B.50.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽+,若f(x+y)=f(x)+f(y),f(8)=3,則f(2)=()A.54B.34C.12D.14答案:∵f(x+y)=f(x)+f(y),f(8)=3,∴令x=y=4,則f(8)=2f(4)=3,∴f(4)=32,令x=y=2,f(4)=2f(2)=32,∴f(2)=34.故選B.第3卷一.綜合題(共50題)1.設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),求證:aabbcc≥(abc)a+b+c3.答案:證明:不妨設(shè)a≥b≥c>0,則lga≥lgb≥lgc.據(jù)排序不等式有:alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algcalga+blgb+clgc≥clga+algb+blgcalga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc上述三式相加得:3(alga+blgb+clgc)≥(a+b+c)(lga+lgb+lgc)即lg(aabbcc)≥a+b+c3lg(abc)故aabbcc≥(abc)a+b+c3.2.①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③相等向量一定共線;④共線向量一定相等;⑤長度相等的向量是相等向量;⑥平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線向量,其中正確的命題是______.答案:∵平行向量即為共線向量其定義是方向相同或相反;相等向量的定義是模相等、方向相同;①平行向量不一定相等;故錯(cuò);②不相等的向量也可能不平行;故錯(cuò);③相等向量一定共線;正確;④共線向量不一定相等;故錯(cuò);⑤長度相等的向量方向相反時(shí)不是相等向量;故錯(cuò);⑥平行于零向量的兩個(gè)向量是不一定是共線向量,故錯(cuò).其中正確的命題是③.故為:③.3.某超市推出如下優(yōu)惠方案:

(1)一次性購物不超過100元不享受優(yōu)惠;

(2)一次性購物超過100元但不超過300元的一律九折;

(3)一次性購物超過300元的一律八折,有人兩次購物分別付款80元,252元.

如果他一次性購買與上兩次相同的商品,則應(yīng)付款______.答案:該人一次性購物付款80元,據(jù)條件(1)、(2)知他沒有享受優(yōu)惠,故實(shí)際購物款為80元;另一次購物付款252元,有兩種可能,其一購物超過300元按八折計(jì),則實(shí)際購物款為2520.8=315元.其二購物超過100元但不超過300元按九折計(jì)算,則實(shí)際購物款為2520.9=280元.故該人兩次購物總價(jià)值為395元或360元,若一次性購買這些商品應(yīng)付款316元或288元.故為316元或288元.4.已知,,且與垂直,則實(shí)數(shù)λ的值為()

A.±

B.1

C.-

D.答案:D5.設(shè)集合A={0,1,2,3},B={1,2,3,4},則集合A∩B的真子集的個(gè)數(shù)為()A.32個(gè)B.16個(gè)C.8個(gè)D.7個(gè)答案:∵A={0,1,2,3},B={1,2,3,4},∴集合A∩B={1,2,3}.集合的真子集為{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},?.共有7個(gè).故選D.6.經(jīng)過點(diǎn)M(1,1)且在兩軸上截距相等的直線是______.答案:①當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距不為0時(shí),設(shè)該直線的方程為x+y=a,把(1,1)代入所設(shè)的方程得:a=2,則所求直線的方程為x+y=2;②當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距為0時(shí),設(shè)該直線的方程為y=kx,把(1,1)代入所求的方程得:k=1,則所求直線的方程為y=x.綜上,所求直線的方程為:x+y=2或y=x.故為:x+y=2或y=x7.已知復(fù)數(shù)(m2-5m+6)+(m2-3m)i是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m=______.答案:當(dāng)m2-5m+6=0m2-3m≠0時(shí),即m=2或m=3m≠0且m≠3?m=2時(shí)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).故為:2.8.某研究小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組數(shù)據(jù),將其整理得到如圖所示的散點(diǎn)圖,下列函數(shù)中,最能近似刻畫y與t之間關(guān)系的是()

A.y=2t

B.y=2t2

C.y=t3

D.y=log2t

答案:D9.例3.設(shè)a>0,b>0,解關(guān)于x的不等式:|ax-2|≥bx.答案:原不等式|ax-2|≥bx可化為ax-2≥bx或ax-2≤-bx,(1)對于不等式ax-2≤-bx,即(a+b)x≤2

因?yàn)閍>0,b>0即:x≤2a+b.(2)對于不等式ax-2≥bx,即(a-b)x≥2①當(dāng)a>b>0時(shí),由①得x≥2a-b,∴此時(shí),原不等式解為:x≥2a-b或x≤2a+b;當(dāng)a=b>0時(shí),由①得x∈?,∴此時(shí),原不等式解為:x≤2a+b;當(dāng)0<a<b時(shí),由①得x≤2a-b,∴此時(shí),原不等式解為:x≤2a+b.綜上可得,當(dāng)a>b>0時(shí),原不等式解集為(-∞,2a+b]∪[2a-b,+∞),當(dāng)0<a≤b時(shí),原不等式解集為(-∞,2a+b].10.設(shè)雙曲線C:x2a2-y2=1(a>0)與直線l:x+y=1相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.

(I)求雙曲線C的離心率e的取值范圍:

(II)設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P,且PA=512PB.求a的值.答案:(I)由C與l相交于兩個(gè)不同的點(diǎn),故知方程組x2a2-y2=1x+y=1.有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.①所以1-a2≠0.4a4+8a2(1-a2)>0.解得0<a<2且a≠1.雙曲線的離心率e=1+a2a=1a2+1.∵0<a<2且a≠1,∴e>62且e≠2即離心率e的取值范圍為(62,2)∪(2,+∞).(II)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1)∵PA=512PB,∴(x1,y1-1)=512(x2,y2-1).由此得x1=512x2.由于x1和x2都是方程①的根,且1-a2≠0,所以1712x2=-2a21-a2.x1?x2=512x22=-2a21-a2.消去x2,得-2a21-a2=28960由a>0,所以a=1713.11.點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則a的取值范圍是(

A.-1<a<1

B.0<a<1

C.a(chǎn)<-1或a>1

D.a(chǎn)=±1答案:A12.在空間坐標(biāo)中,點(diǎn)B是A(1,2,3)在yOz坐標(biāo)平面內(nèi)的射影,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|OB|等于()

A.

B.

C.2

D.答案:B13.如圖,在△ABC中,設(shè)AB=a,AC=b,AP的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)恰為P.

(Ⅰ)若AP=λa+μb,求λ和μ的值;

(Ⅱ)以AB,AC為鄰邊,AP為對角線,作平行四邊形ANPM,求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比S平行四邊形ANPMS△ABC.答案:(Ⅰ)∵在△ABC中,設(shè)AB=a,AC=b,AP的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)恰為P.AP=AR+AC2,AR=AQ+AB2,AQ=12AP,消去AR,AQ∵AP=λa+μb,可得AP=12(AQ+AB2)+12AC=14×12AP+14AB+12AC,可得AP=27AB+47AC=λa+μb,∴λ=27μ=47;(Ⅱ)以AB,AC為鄰邊,AP為對角線,作平行四邊形ANPM,∵得AP=27AB+47AC,∴S平行四邊形ANPMS平行四邊形ABC=|AN|?|AM|?sin∠CAB12|AB|?|AC|?sin∠CAB=2?|AN||AB|?|AM||AC|=2×27×47=1649;14.用長為4、寬為2的矩形做側(cè)面圍成一個(gè)高為2的圓柱,此圓柱的軸截面面積為()A.8B.8πC.4πD.2π答案:∵用長為4、寬為2的矩形做側(cè)面圍成一個(gè)圓柱,且圓柱高為h=2∴底面圓周由長為4的線段圍成,可得底面圓直徑2r=4π∴此圓柱的軸截面矩形的面積為S=2r×h=8π故選:B15.已知四邊形ABCD中,AB=12DC,且|AD|=|BC|,則四邊形ABCD的形狀是______.答案:∵AB=12DC,∴AB∥DC,且|AB|=12|DC|,即線段AB平行于線段CD,且線段AB長度是線段CD長度的一半∴四邊形ABCD為以AB為上底、CD為下底的梯形,又∵|AD|=|BC|,∴梯形ABCD的兩腰相等,因此四邊形ABCD是等腰梯形.故為:等腰梯形16.在極坐標(biāo)系中,曲線ρ=4cosθ圍成的圖形面積為()

A.π

B.4

C.4π

D.16答案:C17.已知:如圖,⊙O1與⊙O2外切于C點(diǎn),AB一條外公切線,A、B分別為切點(diǎn),連接AC、BC.設(shè)⊙O1的半徑為R,⊙O2的半徑為r,若tan∠ABC=,則的值為()

A.

B.

C.2

D.3

答案:C18.已知圓C:x2+y2=12,直線l:4x+3y=25.

(1)圓C的圓心到直線l的距離為______;

(2)圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率為______.答案:(1)由題意知圓x2+y2=12的圓心是(0,0),圓心到直線的距離是d=2532+42=5,(2)由題意知本題是一個(gè)幾何概型,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從這個(gè)圓上隨機(jī)的取一個(gè)點(diǎn),對應(yīng)的圓上整個(gè)圓周的弧長,滿足條件的事件是到直線l的距離小于2,過圓心做一條直線交直線l與一點(diǎn),根據(jù)上一問可知圓心到直線的距離是5,在這條垂直于直線l的半徑上找到圓心的距離為3的點(diǎn)做半徑的垂線,根據(jù)弦心距,半徑,弦長之間組成的直角三角形得到符合條件的弧長對應(yīng)的圓心角是60°根據(jù)幾何概型的概率公式得到P=60°360°=16故為:5;1619.在下面的圖示中,結(jié)構(gòu)圖是()

A.

B.

C.

D.

答案:B20.下列語句不屬于基本算法語句的是()

A.賦值語句

B.運(yùn)算語句

C.條件語句

D.循環(huán)語句答案:B21.用演繹法證明y=x2是增函數(shù)時(shí)的大前提是______.答案:∵證明y=x2是增函數(shù)時(shí),依據(jù)的原理就是增函數(shù)的定義,∴用演繹法證明y=x2是增函數(shù)時(shí)的大前提是:增函數(shù)的定義故填增函數(shù)的定義22.3i(1+i)2的虛部等于______.答案:3i(1+i)2=2,所以其虛部等于0,故為023.設(shè)i為虛數(shù)單位,若(x+i)(1-i)=y,則實(shí)數(shù)x,y滿足()

A.x=-1,y=1

B.x=-1,y=2

C.x=1,y=2

D.x=1,y=1答案:C24.已知平面上的向量PA、PB滿足|PA|2+|PB|2=4,|AB|=2,設(shè)向量PC=2PA+PB,則|PC|的最小值是

______.答案:|PA|2+|PB|2=4,|AB|=2∴|PA|2+|PB|2=|AB|2∴PA?PB=0∴PC2=4PA2+4PA?PB+PB2=3PA2+4≥4∴|PC|≥2故為2.25.(本小題滿分10分)如圖,D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn),且不與頂點(diǎn)重合,已知為方程的兩根

(1)證明四點(diǎn)共圓

(2)若求四點(diǎn)所在圓的半徑答案:(1)見解析;(2)解析:解:(Ⅰ)如圖,連接DE,依題意在中,,由因?yàn)樗?,?四點(diǎn)C、B、D、E共圓。(Ⅱ)當(dāng)時(shí),方程的根因而,取CE中點(diǎn)G,BD中點(diǎn)F,分別過G,F做AC,AB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)H,連接DH,因?yàn)樗狞c(diǎn)C、B、D、E共圓,所以,H為圓心,半徑為DH.,,所以,,點(diǎn)評:此題考查平面幾何中的圓與相似三角形及方程等概念和性質(zhì)。注意把握判定與性質(zhì)的作用。26.若f(x)=ax(a>0且a≠1)的反函數(shù)g(x)滿足:g()<0,則函數(shù)f(x)的圖象向左平移一個(gè)單位后的圖象大致是下圖中的()

A.

B.

C.

D.

答案:B27.讀下面的程序:

上面的程序在執(zhí)行時(shí)如果輸入6,那么輸出的結(jié)果為()

A.6

B.720

C.120

D.1答案:B28.O是正六邊形ABCDE的中心,且OA=a,OB=b,AB=c,在以A,B,C,D,E,O為端點(diǎn)的向量中:

(1)與a相等的向量有

______;

(2)與b相等的向量有

______;

(3)與c相等的向量有

______.答案:如圖,在O是正六邊形ABCDE的中心,以A,B,C,D,E,O為端點(diǎn)的向量中(1)與a相等的向量有EF,DO,CB;(2)與b相等的向量有DC,EO,F(xiàn)A;(3)與c相等的向量有FO,OC,ED.故三個(gè)空依次應(yīng)填EF,DO,CB;DC,EO,F(xiàn)A;FO,OC,ED.29.直線y=1與直線y=3x+3的夾角為______答案:l1與l2表示的圖象為(如下圖所示)y=1與x軸平行,y=3x+3與x軸傾斜角為60°,所以y=1與y=3x+3的夾角為60°.故為60°30.函數(shù)f(x)=8xx2+2(x>0)()A.當(dāng)x=2時(shí),取得最小值83B.當(dāng)x=2時(shí),取得最大值83C.當(dāng)x=2時(shí),取得最小值22D.當(dāng)x=2時(shí),取得最大值22答案:f(x)=8xx2+2=8x+2x≤822(x>0)=22當(dāng)且僅當(dāng)x=2x即x=2時(shí),取得最大值22故選D.31.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列各式中正確的是()A.z1>z2B.z1<z2C.|z1|>|z2|D.|z1|<|z2|答案:∵z1=5+3i,z2=5+4i,∴z1與z2為虛數(shù),故不能比較大小,可排除A,B;又|z1|=34,|z2|=52+42=41,∴|z1|<|z2|,可排除C.故選D.32.已知點(diǎn)A(-3,8),B(2,4),若y軸上的點(diǎn)P滿足PA的斜率是PB斜率的2倍,則P點(diǎn)的坐標(biāo)為______.答案:設(shè)P(0,y),則∵點(diǎn)P滿足PA的斜率是PB斜率的2倍,∴y-80+3=2?y-40-2∴y=5∴P(0,5)故為:(0,5)33.若向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),則a?(b+c)=33.答案:∵b+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2,5),∴a?(b+c)=(2,-3,1)?(2,2,5)=4-6+5=3.故為:3.34.已知集合A={(x,y)|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=x,x∈R},則集合A∩B中的元素個(gè)數(shù)為(

)

A.0個(gè)

B.1個(gè)

C.2個(gè)

D.無窮多個(gè)答案:C35.已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為,下列所給四個(gè)坐標(biāo)中能表示點(diǎn)M的坐標(biāo)是()

A.

B.

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