第九章 波動(dòng)率

第九章波動(dòng)率

1.波動(dòng)率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價(jià)格反推波動(dòng)率：隱含波動(dòng)率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動(dòng)率5.檢測(cè)日波動(dòng)率6.波動(dòng)率模型的參數(shù)估計(jì)7.波動(dòng)率預(yù)測(cè)第九章波動(dòng)率假設(shè)Si為金融資產(chǎn)在第i日的價(jià)格，該資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率為：的波動(dòng)率用其標(biāo)準(zhǔn)差衡量。假設(shè)日對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布，則可以根據(jù)日波動(dòng)率計(jì)算該資產(chǎn)的T日波動(dòng)率：提問：年波動(dòng)率如何計(jì)算？波動(dòng)率的定義假設(shè)Si為金融資產(chǎn)在第i日的價(jià)格，該資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率為：的波動(dòng)率用其標(biāo)準(zhǔn)差衡量。假設(shè)日對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布，則可以根據(jù)日波動(dòng)率計(jì)算該資產(chǎn)的T日波動(dòng)率：提問：年波動(dòng)率如何計(jì)算？波動(dòng)率的定義假設(shè)Si為金融資產(chǎn)在第i日的價(jià)格，該資產(chǎn)的對(duì)數(shù)收益率為：的波動(dòng)率用其標(biāo)準(zhǔn)差衡量。假設(shè)日對(duì)數(shù)收益率服從正態(tài)分布，則可以根據(jù)日波動(dòng)率計(jì)算該資產(chǎn)的T日波動(dòng)率：提問：年波動(dòng)率如何計(jì)算？波動(dòng)率的定義在計(jì)算波動(dòng)率時(shí)，我們應(yīng)當(dāng)采用日歷天數(shù)還是交易天數(shù)？研究證明在交易所開盤交易時(shí)的波動(dòng)率比交易所關(guān)閉時(shí)的波動(dòng)率要大很多；因此，當(dāng)由歷史數(shù)據(jù)估計(jì)波動(dòng)率時(shí)，分析員常常忽略交易所關(guān)閉的天數(shù)。在計(jì)算時(shí)通常假定每年有252個(gè)交易日，因此年波動(dòng)率是日波動(dòng)率的倍。波動(dòng)率的定義1.波動(dòng)率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價(jià)格反推波動(dòng)率：隱含波動(dòng)率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動(dòng)率5.檢測(cè)日波動(dòng)率6.波動(dòng)率模型的參數(shù)估計(jì)7.波動(dòng)率預(yù)測(cè)第九章波動(dòng)率正態(tài)分布和厚尾分布正態(tài)分布和厚尾分布

（以中國(guó)短期利率的分布為例）現(xiàn)實(shí)當(dāng)中，股票收益率一般不服從正態(tài)分布，而是具有尖峰厚尾的特征：其尾部比（同期望同方差的）正態(tài)分布的尾部要肥大其峰值比（同期望同方差的）正態(tài)分布的峰值要高厚尾分布所對(duì)應(yīng)的極大及極小變化數(shù)量事件比在正態(tài)分布中相應(yīng)數(shù)量要多。很多市場(chǎng)變量都有這種被稱為厚尾的特性。厚尾性峰度系數(shù)（Kurtosis）是對(duì)數(shù)據(jù)分布平峰或尖峰程度的測(cè)度。若峰度系數(shù)為3，稱為正態(tài)分布；若峰度系數(shù)大于3，稱為尖峰分布；若峰度系數(shù)小于3，稱為扁平分布。峰度指標(biāo)冪律（powerlaw）：對(duì)于許多變量v而言，存在常數(shù)K及a

，使得當(dāng)x很大時(shí)，下式成立：

Prob(v>x)=Kx-a

在分析很多市場(chǎng)變量的收益行為時(shí)，利用冪律似乎要比利用正態(tài)分布更好。比如估計(jì)波動(dòng)率、計(jì)算VaR。正態(tài)分布的代替：冪律將冪率公式變形為：

ln[Prob(v>x)]=lnK-a

lnx可以通過畫ln[Prob(v>x)]與lnx的關(guān)系曲線來驗(yàn)證冪率的準(zhǔn)確性（即是否適用于特定研究對(duì)象）。見下面的例子。正態(tài)分布的代替：冪律匯率日收益率的例子：匯率日收益率的例子：1.當(dāng)x>3時(shí)，匯率的日收益率大于x個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的概率的對(duì)數(shù)與lnx近似呈線性關(guān)系；2.這說明可以借助冪率分析匯率的日收益率的分布特征。提問：如何得到常數(shù)K及a

？？匯率日收益率的例子：提問：如何得到常數(shù)K及a

？線性回歸。以上面匯率日收益率的例子為例：利用上表中x=3,4,5,6的數(shù)據(jù)對(duì)以下多元線性回歸模型進(jìn)行回歸

ln[Prob(v>x)]=lnK-a

lnx+ε從而得到

lnK=1.06,a=5.51匯率日收益率的例子：1.波動(dòng)率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價(jià)格反推波動(dòng)率：隱含波動(dòng)率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動(dòng)率5.檢測(cè)日波動(dòng)率6.波動(dòng)率模型的參數(shù)估計(jì)7.波動(dòng)率預(yù)測(cè)第九章波動(dòng)率期權(quán)公式中唯一不能直接觀察到的一個(gè)參數(shù)就是股票價(jià)格的波動(dòng)率。其中，

c表示期權(quán)的價(jià)格，S表示標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格、r表示無風(fēng)險(xiǎn)利率、T表示到期時(shí)間、t表示第t期，X表示期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，σ表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率，

表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。隱含波動(dòng)率期權(quán)公式中唯一不能直接觀察到得一個(gè)參數(shù)就是股票價(jià)格的波動(dòng)率。其中，隱含波動(dòng)率是從期權(quán)價(jià)格隱含反推計(jì)算出的波動(dòng)率。可以采用數(shù)值方法求解隱含波動(dòng)率，也可以采用計(jì)量方法估計(jì)隱含波動(dòng)率。隱含波動(dòng)率VIX指數(shù)是S&P500指數(shù)的波動(dòng)率指數(shù)VIX指數(shù)1.波動(dòng)率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價(jià)格反推波動(dòng)率：隱含波動(dòng)率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動(dòng)率5.檢測(cè)日波動(dòng)率6.波動(dòng)率模型的參數(shù)估計(jì)7.波動(dòng)率預(yù)測(cè)第九章波動(dòng)率假設(shè)S是某股票的價(jià)格；取過去的n+1個(gè)觀測(cè)值；單位時(shí)間間隔的長(zhǎng)度為

τ

；S表示第i個(gè)時(shí)間段結(jié)束時(shí)的觀測(cè)值，i=0,1,…,n；第i個(gè)區(qū)間的收益率為：

的波動(dòng)率如何估計(jì)？采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動(dòng)率假設(shè)S是某股票的價(jià)格；取過去的n+1個(gè)觀測(cè)值；單位時(shí)間間隔的長(zhǎng)度為

τ

；S表示第i個(gè)時(shí)間段結(jié)束時(shí)的觀測(cè)值，i=0,1,…,n；第i個(gè)區(qū)間的收益率為：

的波動(dòng)率如何估計(jì)？無偏估計(jì)：或采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動(dòng)率1.波動(dòng)率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價(jià)格反推波動(dòng)率：隱含波動(dòng)率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動(dòng)率5.檢測(cè)日波動(dòng)率標(biāo)準(zhǔn)方法ARCH模型EWMA模型（指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均模型）GARCH（1,1）模型6.波動(dòng)率模型的參數(shù)估計(jì)7.波動(dòng)率預(yù)測(cè)第九章波動(dòng)率條件異方差的估計(jì)和檢測(cè)定義Si為市場(chǎng)變量在第i天末的價(jià)格；定義sn為第n-1天所估計(jì)的市場(chǎng)變量在第n天的波動(dòng)率（即假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差是隨時(shí)間變化的）；定義利用有關(guān)的m天觀測(cè)數(shù)據(jù)（從第n天開始往前推），得出：估計(jì)波動(dòng)率的標(biāo)準(zhǔn)方法當(dāng)時(shí)間間隔很小時(shí)，對(duì)數(shù)收益率可以用百分比收益率替代定義：假定的均值為0m-1被m代替于是方差公式簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化形式對(duì)等權(quán)重進(jìn)行改進(jìn)其中加權(quán)權(quán)重的格式在ARCH（m）模型中，我們給長(zhǎng)期平均方差設(shè)定權(quán)重：其中

這一模型最早由Engle提出。ARCH（m）模型在指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均模型中，其權(quán)重隨著回望時(shí)間加長(zhǎng)而按指數(shù)速度遞減，于是可以推得這個(gè)式子說明，第n天波動(dòng)率是由第n-1天波動(dòng)率及最近一天變化率的數(shù)據(jù)來決定的。指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均（EWMA）模型

以下式子說明，

的權(quán)重隨著回望時(shí)間的加長(zhǎng)而以指數(shù)速度下降。指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均（EWMA）模型需要的數(shù)據(jù)相對(duì)較少對(duì)于任一時(shí)刻，僅需記憶對(duì)當(dāng)前波動(dòng)率的估計(jì)以及市場(chǎng)變量的最新觀察值。當(dāng)?shù)玫绞袌?chǎng)變量的最新觀測(cè)值后，可以計(jì)算每天價(jià)格變化的比例，然后采用前面的公式更新方差估計(jì)。對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行跟蹤監(jiān)測(cè)。數(shù)值λ決定了每天波動(dòng)率估計(jì)對(duì)于最新市場(chǎng)價(jià)格百分比變化的反應(yīng)速度。RiskMetrics采用λ=0.94來更新每天波動(dòng)率的估計(jì)EWMA的誘人之處在GARCH（1，1）中，我們賦予長(zhǎng)期平均方差一定的權(quán)重因?yàn)闄?quán)重之和為1，故有（1,1）表示每天的由最近的u的觀測(cè)值以及最新的方差而估算所得。

GARCH（1,1）令，可以將GARCH（1,1）模型寫成其中GARCH（p,q）許多其它的GARCH模型已被提出比如，我們可以設(shè)計(jì)一個(gè)GARCH模型，使其賦予的權(quán)重依賴于的正負(fù)值其它模型1.波動(dòng)率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價(jià)格反推波動(dòng)率：隱含波動(dòng)率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動(dòng)率5.檢測(cè)日波動(dòng)率6.波動(dòng)率模型的參數(shù)估計(jì)7.波動(dòng)率預(yù)測(cè)第九章波動(dòng)率一種估計(jì)GARCH（1,1）參數(shù)的很好方法是所謂的方差目標(biāo)將長(zhǎng)期平均方差設(shè)定為由數(shù)據(jù)計(jì)算出的抽樣方差模型只需要估計(jì)兩個(gè)參數(shù)方差目標(biāo)選擇合適的參數(shù)使得數(shù)據(jù)發(fā)生的幾率達(dá)到最大最大似然估計(jì)法隨機(jī)抽取某一天10只股票的價(jià)格，我們發(fā)現(xiàn)一只股票價(jià)格在這一天價(jià)格下降了，而其它9只股票的價(jià)格有所增加或至少?zèng)]有下跌，將任意股票價(jià)格下降的概率計(jì)為p。那么，一只股票價(jià)格下降的概率的最好估計(jì)為多少？概率為使上式取最大值，觀察其最大似然估計(jì)：p=0.1例1估計(jì)一個(gè)變量服從均值為0的正態(tài)分布的方差對(duì)求導(dǎo)，并令導(dǎo)數(shù)為0，得：例2選擇參數(shù)，最大化下式GARCH（1,1）的應(yīng)用日元匯率數(shù)據(jù)的計(jì)算DaySiuivi=si2-lnvi-ui2/vi10.00772820.0077790.00659930.007746-0.0042420.000043559.628340.0078160.0090370.000041988.132950.0078370.0026870.000044559.8568….24230.0084950.0001440.000084179.382422063.5833日元日波動(dòng)率：1988-19971.波動(dòng)率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價(jià)格反推波動(dòng)率：隱含波動(dòng)率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動(dòng)率