第九章 波動率

第九章波動率

1.波動率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價格反推波動率：隱含波動率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動率5.檢測日波動率6.波動率模型的參數(shù)估計7.波動率預測第九章波動率假設Si為金融資產(chǎn)在第i日的價格，該資產(chǎn)的對數(shù)收益率為：的波動率用其標準差衡量。假設日對數(shù)收益率服從正態(tài)分布，則可以根據(jù)日波動率計算該資產(chǎn)的T日波動率：提問：年波動率如何計算？波動率的定義假設Si為金融資產(chǎn)在第i日的價格，該資產(chǎn)的對數(shù)收益率為：的波動率用其標準差衡量。假設日對數(shù)收益率服從正態(tài)分布，則可以根據(jù)日波動率計算該資產(chǎn)的T日波動率：提問：年波動率如何計算？波動率的定義假設Si為金融資產(chǎn)在第i日的價格，該資產(chǎn)的對數(shù)收益率為：的波動率用其標準差衡量。假設日對數(shù)收益率服從正態(tài)分布，則可以根據(jù)日波動率計算該資產(chǎn)的T日波動率：提問：年波動率如何計算？波動率的定義在計算波動率時，我們應當采用日歷天數(shù)還是交易天數(shù)？研究證明在交易所開盤交易時的波動率比交易所關閉時的波動率要大很多；因此，當由歷史數(shù)據(jù)估計波動率時，分析員常常忽略交易所關閉的天數(shù)。在計算時通常假定每年有252個交易日，因此年波動率是日波動率的倍。波動率的定義1.波動率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價格反推波動率：隱含波動率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動率5.檢測日波動率6.波動率模型的參數(shù)估計7.波動率預測第九章波動率正態(tài)分布和厚尾分布正態(tài)分布和厚尾分布

（以中國短期利率的分布為例）現(xiàn)實當中，股票收益率一般不服從正態(tài)分布，而是具有尖峰厚尾的特征：其尾部比（同期望同方差的）正態(tài)分布的尾部要肥大其峰值比（同期望同方差的）正態(tài)分布的峰值要高厚尾分布所對應的極大及極小變化數(shù)量事件比在正態(tài)分布中相應數(shù)量要多。很多市場變量都有這種被稱為厚尾的特性。厚尾性峰度系數(shù)（Kurtosis）是對數(shù)據(jù)分布平峰或尖峰程度的測度。若峰度系數(shù)為3，稱為正態(tài)分布；若峰度系數(shù)大于3，稱為尖峰分布；若峰度系數(shù)小于3，稱為扁平分布。峰度指標冪律（powerlaw）：對于許多變量v而言，存在常數(shù)K及a

，使得當x很大時，下式成立：

Prob(v>x)=Kx-a

在分析很多市場變量的收益行為時，利用冪律似乎要比利用正態(tài)分布更好。比如估計波動率、計算VaR。正態(tài)分布的代替：冪律將冪率公式變形為：

ln[Prob(v>x)]=lnK-a

lnx可以通過畫ln[Prob(v>x)]與lnx的關系曲線來驗證冪率的準確性（即是否適用于特定研究對象）。見下面的例子。正態(tài)分布的代替：冪律匯率日收益率的例子：匯率日收益率的例子：1.當x>3時，匯率的日收益率大于x個標準差的概率的對數(shù)與lnx近似呈線性關系；2.這說明可以借助冪率分析匯率的日收益率的分布特征。提問：如何得到常數(shù)K及a

？？匯率日收益率的例子：提問：如何得到常數(shù)K及a

？線性回歸。以上面匯率日收益率的例子為例：利用上表中x=3,4,5,6的數(shù)據(jù)對以下多元線性回歸模型進行回歸

ln[Prob(v>x)]=lnK-a

lnx+ε從而得到

lnK=1.06,a=5.51匯率日收益率的例子：1.波動率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價格反推波動率：隱含波動率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動率5.檢測日波動率6.波動率模型的參數(shù)估計7.波動率預測第九章波動率期權(quán)公式中唯一不能直接觀察到的一個參數(shù)就是股票價格的波動率。其中，

c表示期權(quán)的價格，S表示標的資產(chǎn)的價格、r表示無風險利率、T表示到期時間、t表示第t期，X表示期權(quán)的執(zhí)行價格，σ表示標的資產(chǎn)價格的波動率，

表示標準正態(tài)分布的分布函數(shù)。隱含波動率期權(quán)公式中唯一不能直接觀察到得一個參數(shù)就是股票價格的波動率。其中，隱含波動率是從期權(quán)價格隱含反推計算出的波動率?？梢圆捎脭?shù)值方法求解隱含波動率，也可以采用計量方法估計隱含波動率。隱含波動率VIX指數(shù)是S&P500指數(shù)的波動率指數(shù)VIX指數(shù)1.波動率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價格反推波動率：隱含波動率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動率5.檢測日波動率6.波動率模型的參數(shù)估計7.波動率預測第九章波動率假設S是某股票的價格；取過去的n+1個觀測值；單位時間間隔的長度為

τ

；S表示第i個時間段結(jié)束時的觀測值，i=0,1,…,n；第i個區(qū)間的收益率為：

的波動率如何估計？采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動率假設S是某股票的價格；取過去的n+1個觀測值；單位時間間隔的長度為

τ

；S表示第i個時間段結(jié)束時的觀測值，i=0,1,…,n；第i個區(qū)間的收益率為：

的波動率如何估計？無偏估計：或采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動率1.波動率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價格反推波動率：隱含波動率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動率5.檢測日波動率標準方法ARCH模型EWMA模型（指數(shù)加權(quán)移動平均模型）GARCH（1,1）模型6.波動率模型的參數(shù)估計7.波動率預測第九章波動率條件異方差的估計和檢測定義Si為市場變量在第i天末的價格；定義sn為第n-1天所估計的市場變量在第n天的波動率（即假設標準差是隨時間變化的）；定義利用有關的m天觀測數(shù)據(jù)（從第n天開始往前推），得出：估計波動率的標準方法當時間間隔很小時，對數(shù)收益率可以用百分比收益率替代定義：假定的均值為0m-1被m代替于是方差公式簡化為簡化形式對等權(quán)重進行改進其中加權(quán)權(quán)重的格式在ARCH（m）模型中，我們給長期平均方差設定權(quán)重：其中

這一模型最早由Engle提出。ARCH（m）模型在指數(shù)加權(quán)移動平均模型中，其權(quán)重隨著回望時間加長而按指數(shù)速度遞減，于是可以推得這個式子說明，第n天波動率是由第n-1天波動率及最近一天變化率的數(shù)據(jù)來決定的。指數(shù)加權(quán)移動平均（EWMA）模型

以下式子說明，

的權(quán)重隨著回望時間的加長而以指數(shù)速度下降。指數(shù)加權(quán)移動平均（EWMA）模型需要的數(shù)據(jù)相對較少對于任一時刻，僅需記憶對當前波動率的估計以及市場變量的最新觀察值。當?shù)玫绞袌鲎兞康淖钚掠^測值后，可以計算每天價格變化的比例，然后采用前面的公式更新方差估計。對波動率進行跟蹤監(jiān)測。數(shù)值λ決定了每天波動率估計對于最新市場價格百分比變化的反應速度。RiskMetrics采用λ=0.94來更新每天波動率的估計EWMA的誘人之處在GARCH（1，1）中，我們賦予長期平均方差一定的權(quán)重因為權(quán)重之和為1，故有（1,1）表示每天的由最近的u的觀測值以及最新的方差而估算所得。

GARCH（1,1）令，可以將GARCH（1,1）模型寫成其中GARCH（p,q）許多其它的GARCH模型已被提出比如，我們可以設計一個GARCH模型，使其賦予的權(quán)重依賴于的正負值其它模型1.波動率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價格反推波動率：隱含波動率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動率5.檢測日波動率6.波動率模型的參數(shù)估計7.波動率預測第九章波動率一種估計GARCH（1,1）參數(shù)的很好方法是所謂的方差目標將長期平均方差設定為由數(shù)據(jù)計算出的抽樣方差模型只需要估計兩個參數(shù)方差目標選擇合適的參數(shù)使得數(shù)據(jù)發(fā)生的幾率達到最大最大似然估計法隨機抽取某一天10只股票的價格，我們發(fā)現(xiàn)一只股票價格在這一天價格下降了，而其它9只股票的價格有所增加或至少沒有下跌，將任意股票價格下降的概率計為p。那么，一只股票價格下降的概率的最好估計為多少？概率為使上式取最大值，觀察其最大似然估計：p=0.1例1估計一個變量服從均值為0的正態(tài)分布的方差對求導，并令導數(shù)為0，得：例2選擇參數(shù)，最大化下式GARCH（1,1）的應用日元匯率數(shù)據(jù)的計算DaySiuivi=si2-lnvi-ui2/vi10.00772820.0077790.00659930.007746-0.0042420.000043559.628340.0078160.0090370.000041988.132950.0078370.0026870.000044559.8568….24230.0084950.0001440.000084179.382422063.5833日元日波動率：1988-19971.波動率的定義2.金融資產(chǎn)的收益率是否服從正態(tài)分布3.從期權(quán)價格反推波動率：隱含波動率4.采用歷史數(shù)據(jù)來估算波動率