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第九章多邊形§9.3用正多邊形拼地板2/5/202311.用相同的正多邊形拼地板探索:
使用給定的某種正多邊形,它能否拼成一個平面圖形,既不留下一絲空白,又不相互重疊?2/5/202321.用相同的正多邊形拼地板1概括
當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的相同幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角時,就拼成一個平面圖形.
(n-2)180°(n-2)180°/n540°108°720°120°900°900°/72/5/202331.用相同的正多邊形拼地板如正六邊形的每個內(nèi)角為120°,三個120°拼在一起恰好組成周角,所以全用正六邊形瓷磚就可以鋪滿地面.正三角形和正方形能鋪滿平面正五邊形不能鋪滿平面,正八邊形也不能鋪滿平面.2/5/202342/5/20235用正n(n大于等于3)邊形拼地板,當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個內(nèi)角和加在一起恰好組成一個周角度時,就能拼成一個平面圖形。每個內(nèi)角為多少度時能拼成符合以上條件的平面圖形呢?2/5/202362.用多種正多邊形拼地板1.概括
1)當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角時,就可能拼成一個平面圖形.(必備條件,不是充分條件)(1).用正三角形和正六邊形也能鋪滿地面2/5/202372.用多種正多邊形拼地板(2).正十二邊形的一個內(nèi)角為,正六邊形的一個內(nèi)角為120°,正方形的一個內(nèi)角為90°,三者之和恰為一個周角360°,實際上這三種正多邊形結(jié)合在一起恰好能鋪滿地面.2/5/202382.用多種正多邊形拼地板(3).二個正八邊形和一個正方形三者之和恰為一個周角360°,實際上這三種正多邊形結(jié)合在一起恰好能鋪滿地面.2/5/202392.用多種正多邊形拼地板正五邊形和正十邊形為例,說明即使?jié)M足“圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾種正多邊形的內(nèi)角之和為一個圓周”的條件,也不一定能鋪滿地面.2/5/202310正五邊形內(nèi)角108o。正十邊形內(nèi)角144o。只有2×108o+144o=360o
一個頂點(diǎn)只能鄰接兩個正五邊形和一個正十邊形,看一個正五邊ABCDE.
B點(diǎn)鄰接兩個正五邊形:設(shè)BA是這兩個正五邊形的公共邊,則BC、AE都是一個正十邊形的邊。從而CD兩側(cè)都是正五邊形。從而DE,EA都鄰接正十邊形。E點(diǎn)鄰接兩個正十邊形。不可。BACDE2/5/202311所有的方法:
用1種:(3,3,3,3,3,3)(4,4,4,4)(6,6,6);
用2種:(4,8,8)(3,12,12)(3,3,6,6)(3,3,3,3,6)(3,3,3,4,4)(*5,5,10)
用3種:(3,4,4,6)(4,6,12)(3,3,4,12)(3,10,15)(3,9,18)(3,8,24)(*3,7,42)(4,5,20)
其中的數(shù)字分別代表正多邊形的邊數(shù)。共有17種。
證明不能用3種以上的多邊形鑲嵌:
因為若用4種,則內(nèi)角和最小為60+90+108+120=378>360.另外其中帶星號的的兩個(5,5,10)(3,7,42)是只能在一個點(diǎn)鑲嵌,而不能在整個平面鑲嵌。不帶這兩個,則是有15種方法。
2/5/202312(5,5,10)(3,7,42)是只能在一個點(diǎn)鑲嵌,而不能在整個平面鑲嵌2/5/202313例題1.若鋪滿地面的瓷磚每一頂點(diǎn)處由6塊相同的正多邊形組成,此時的正多邊形只能是()A.正三角形B.正四邊形C.正六邊形D.正八邊形A2/5/2023142下列多邊形的組合中,能夠鋪滿地面的是()
A.正方形與正六邊形B.正八邊形和正方形C.正五邊形和正八邊形D.正五邊形和正十邊形B2/5/202315課后思考用任意一種四邊形能鋪滿地
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