第二章24 初等積分法

第二章初等積分法2.4初等變換一、變量變換與可化為變量分離的方程(2.1)—齊次方程解法：作變量代換：代入原式，得可分離變量的方程例6求微分方程解原微分方程的通解為：例7拋物線的光學(xué)性質(zhì)實(shí)例:探照燈反射鏡面的形狀.在制造探照燈的反射鏡面時(shí)，總是要求將光源射出的光線平行地反射出去，以保證探照燈有良好的方向性，試求反射鏡面的幾何形狀.解繞x軸旋轉(zhuǎn)而成.則求反射鏡面的問題歸結(jié)為：求xOy面上的由光的反射定律：PSx∴得微分方程PSx①①式化為變量代回，得旋轉(zhuǎn)拋物面：為齊次方程.（其中h和k是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程.解法：類型2′(2.1)′——準(zhǔn)齊次方程有唯一一組解.求其通解，再變量代回xyo齊次方程即可得到原方程(2.1)′的通解.上述方法不能用.(2.1)為可分離變量的微分方程.可分離變量的微分方程.可分離變量的微分方程.解代入原方程得例8分離變量法得得原方程的通解方程變?yōu)槔?利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為例10例11傳染病SI模型.1.建立模型假設(shè)：在疾病傳播期內(nèi)，所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N

不變，且時(shí)間以天為單位；(2)人群分為易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)兩類，簡(jiǎn)稱健康者和病人：(3)每個(gè)染病者每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)，稱為日接觸率.由假設(shè)，每個(gè)病人每天可使s(t)個(gè)健康者變成病人于是2.求解變量分離方程3.解釋與預(yù)測(cè)iotioio當(dāng)t=tM時(shí)，病人增加得最快，預(yù)示著傳染病高潮的到來，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關(guān)注的時(shí)刻.由圖可知：

tM與成反比.tioio由于日接觸率表示該地區(qū)的衛(wèi)生水平，越小衛(wèi)生水平越高.所以改善保健設(shè)施、提高衛(wèi)生水平可以推遲傳染病高潮的到來.

這表明：所有人終將被傳染，全變?yōu)椴∪?這顯然不符合實(shí)際情況.原因：該模型沒有考慮病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，而病人不會(huì)再變成健康者.可修改SI模型如下：在SI模型的假設(shè)(1)、(2)、(3)下,再增加一條假設(shè)：易得到修改的模型(SIS

模型)：(4)病人每天被治愈的占病人總數(shù)的比例為，稱為日治愈率.病人治愈后成為仍可被感染的健康者.補(bǔ)(習(xí)題)常數(shù)變易法齊次線性方程的通解為：1o齊次線性方程：分離變量：2o非齊次線性方程：作變換變量分離方程積分得一階非齊次線性微分方程(3.1)的通解為:2.常數(shù)變易公式1

常數(shù)變易法的實(shí)質(zhì):注未知函數(shù)的變量代換法，通過變量代換將原方程化為可分離變量的方程.2在常數(shù)變易公式(3.3)中，應(yīng)將積分解PQ得例3例4解一階線性方程解關(guān)于y非線性關(guān)于x為線性方程例5通解：方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.求解法:

用變量代換化為線性微分方程.二、可化為線性方程的方程———伯努利(Bernoulli)方程代入上式，得——關(guān)于z的線性方程通解：解例6用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為例7解分離變量法得所求通解為解代入原式分離變量法得所求通解為另解：———黎卡提(Riccati)方程一般地，黎卡提方程不能用初等積分法求解.如：1841年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Liouville證明了黎卡提方程：不能用初等積分法求解.然而，在某些特殊情形下也可用初等積分法求解.定理證——n=2時(shí)的伯努利方程注1o到目前為止，關(guān)于黎卡提方程在何種條件下可用初等積分法求解的研究仍在繼續(xù)進(jìn)行中.2o黎卡提方程在歷史上和近代都有重要的應(yīng)用.例如：它曾用于證明貝塞爾方程的解不是初等函數(shù)；此外，它還出現(xiàn)在現(xiàn)代控制論和向量場(chǎng)分支理論的一些問題中.例8解易觀察出，代入原方程代入此方程變