生醫(yī)信號處理課件1隨機信號數(shù)字特征

信自學(xué)院生醫(yī)系生物醫(yī)學(xué)信號處理第一章隨機信號分析21.1隨機信號概述1.1.1信號的一般分類一、確定性信號和隨機信號1、確定性信號：2、隨機信號（隨機過程）：3圖中每一條曲線代表隨機信號的一個樣本隨機信號X(t)二、周期信號與非周期信號三、連續(xù)時間信號與離散時間信號41.1.2隨機過程的分類5一、按照隨機信號X（t）的時間和狀態(tài)是連續(xù)還是離散來分類：

1、連續(xù)型隨機過程

2、連續(xù)隨機序列63、離散隨機過程

4、離散隨機序列

7二、按照隨機信號的樣本函數(shù)形式的不同來分類：1、確定的隨機信號：2、不確定的隨機信號：8三、

按照隨機過程的分布函數(shù)（或概率密度）的不同特性進行分類9按照隨機過程的功率譜特性寬帶的和窄帶的白色的和有色的1.2單一隨機信號的基本特征10為了完整地描述隨機信號統(tǒng)計特征需要采用隨機信號各個時刻取值的高階概率密度函數(shù)，即每一時刻一階概率密度函數(shù)

每一時刻二階概率密度函數(shù)

每一時刻三階概率密度函數(shù)采用階數(shù)越高，描述越完整，但實際很難做到，處理計算太繁瑣，很少采用。通常用一階、二階統(tǒng)計特征描述，如均值、均方、自相關(guān)函數(shù)、功率譜等。1.2.1概率密度函數(shù)（概率分布）11概率密度函數(shù)是隨機變量分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，表示隨機變量取值的統(tǒng)計特性。隨機過程的概率分布函數(shù)一、

一維概率分布（一階概率密度）對于任意的時刻t，X(t)是一個一維隨機變量，設(shè)x為任意實數(shù)，定義為隨機過程X(t)的一維分布函數(shù)。12若的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則定義

為隨機過程X(t)的一維概率密度。13二、

二維概率分布（二階概率密度）對于隨機過程X(t)，在任意兩個時刻t1和t2可得到兩個隨機變量X(t1)和X(t2)，可構(gòu)成二維隨機變量{X(t1),X(t2)}，它的二維分布函數(shù)稱為隨機過程X(t)的二維概率分布函數(shù)。若對x1,x2的偏導(dǎo)數(shù)存在，則定義為隨機過程X(t)的二維概率密度。14三、n維概率分布（n階概率密度）對于任意的時刻t1,t2,…,tn，X(t1),X(t2),…,X(tn)是一組隨機變量，定義這組隨機變量的聯(lián)合分布為隨機過程X(t)的n維概率分布，即定義為隨機過程X(t)的n維概率分布函數(shù)。為隨機過程X(t)的n維概率密度。1.2.2隨機信號的數(shù)字特征15概率密度函數(shù)能完整地表現(xiàn)隨機變量和隨機信號的統(tǒng)計特性，但是實際中往往很難求其概率密度函數(shù)。處理后信號也并不需要了解其全部統(tǒng)計特性，這時只需了解隨機過程在某一時刻的平均值和實際值相對于這個平均值的分散程度，所以可以引用隨機變量的均值、方差等數(shù)字特征。隨機變量常用數(shù)字特征：隨機信號常用數(shù)字特征：一、

數(shù)學(xué)期望（均值）：反映隨機過程在各時刻的平均值16對于任意的時刻t，X(t)是一個隨機變量，將這個隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義為隨機過程的數(shù)學(xué)期望，記為mX(t)，即二、均方值（方差）17均方對于任意的時刻t，X(t)是一個隨機變量，該隨機變量X(t)的二階原點矩稱為隨機過程的均方。方差對于任意的時刻t，X(t)是一個隨機變量，該隨機變量X(t)的二階中心矩稱為隨機過程的方差，記為D[X(t)]，即1819

三、自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)20數(shù)字特征表示單一時刻隨機變量的特征，自相關(guān)函數(shù)表征信號在不同時刻取值間的關(guān)聯(lián)程度。21

1、自相關(guān)函數(shù)——t1時刻隨機變量X(t1)和t2時刻隨機變量X(t2)乘積的統(tǒng)計均值。

222、自協(xié)方差函數(shù)——把均值（直流分量）除去后做剩余部分的相關(guān)函數(shù)。

設(shè)X(t1)和X(t2)是隨機過程X(t)在t1和t2二個任意時刻的狀態(tài)，稱X(t1)和X(t2)的二階聯(lián)合中心矩為X(t)的自協(xié)方差函數(shù)233、二者關(guān)系補充定理241、求極限與求數(shù)學(xué)期望次序可換2、隨機信號的積分運算與數(shù)學(xué)期望運算次序可換3、隨機信號導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于其數(shù)學(xué)期望的導(dǎo)數(shù)4、隨機信號導(dǎo)數(shù)的自相關(guān)函數(shù)，等于可微隨機信號自相關(guān)函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)5、隨機信號積分運算與數(shù)學(xué)期望運算次序可換6、求隨機信號積分的相關(guān)函數(shù)，只要對隨機信號的相關(guān)函數(shù)作兩次積分即可1.3平穩(wěn)隨機過程和遍歷性過程

1.3.1平穩(wěn)隨機過程25一、嚴平穩(wěn)隨機過程及其數(shù)字特征1、嚴平穩(wěn)隨機過程的定義：2、嚴平穩(wěn)隨機過程的一、二階概率密度函數(shù)及數(shù)字特征26二、寬平穩(wěn)隨機信號

1.3.2遍歷性過程27為了求X（t）的統(tǒng)計特性，需要知道X（t）無窮多個樣本，這在實際工作中顯然是不現(xiàn)實的。因為我們在實際工作中能得到的往往是一次實驗記錄，也即一個樣本函數(shù)。既然平穩(wěn)隨機信號的均值與時間無關(guān)，自相關(guān)函數(shù)又與時間選取的位置無關(guān)，那么，能否用一次的實驗記錄代替一族記錄來計算的均值和自相關(guān)函數(shù)呢？對一部分平穩(wěn)信號，答案是肯定的。一、遍歷性過程的定義1、隨機過程的兩種時間平均-----時間均值和時間相關(guān)函數(shù)2、嚴遍歷性過程的定義：各種時間平均依概率1收斂于相應(yīng)的集合平均28

293、寬遍歷性過程的定義30

其中滿足①稱X（t）的均值具有遍歷性；滿足②稱X（t）的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。31隨機信號的各態(tài)遍歷特性(ergodicity)，使我們能由單一樣本函數(shù)的時間平均來代替集合（ensemble）平均。隨機信號的平穩(wěn)特性可使我們能從任意時間原點開始求取統(tǒng)計特征，使得在實際工作中，估計統(tǒng)計平均量成為可實現(xiàn)。思考題信號的取值在+1與-1之間均勻分布，但對每一個樣本，信號的值不隨時間變化。求：總體均值？時間均值？32思考題信號的取值是二值的（0或A)，每隔T秒變一次，但每次的具體取值是隨機且相互獨立的，取0和取A的概率各為1/2。問其均值意義下是否平穩(wěn)？是否各態(tài)遍歷？331.3.3平穩(wěn)隨機過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)34（4）（5）（6）35（7）（8）361.4隨機過程的聯(lián)合概率分布和互相關(guān)函數(shù)

1.4.1兩個隨機過程的聯(lián)合概率分布設(shè)兩個隨機過程X(t)和Y(t)，它們的概率密度分別為：則它們的n+m維聯(lián)合概率密度函數(shù)為3738隨機過程X(t)和Y(t)的四維聯(lián)合概率密度1.4.2互相關(guān)函數(shù)設(shè)有兩個隨機過程X(t)和Y(t)，它們在任意兩個時刻t1、t2取值為隨機變量X(t1)和Y(t2)，則它們的互相關(guān)函數(shù)為：39互協(xié)方差函數(shù)設(shè)有兩個隨機過程X(t)和Y(t)，它們在任意兩個時刻t1、t2取值為隨機變量X(t1)和Y(t2)，則它們的互協(xié)方差函數(shù)為：40兩個隨機過程的幾種關(guān)系414、5、兩個寬平穩(wěn)隨機過程X(t)和Y(t)聯(lián)合寬平穩(wěn)（或稱寬平穩(wěn)相依）的條件：421.4.3聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機過程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)43當(dāng)兩個隨機過程聯(lián)合平穩(wěn)，時間互相關(guān)函數(shù)等于集合互相關(guān)函數(shù)時，稱兩者具有聯(lián)合寬遍歷性。441.5離散時間隨機過程

隨機信號的采樣定理：如果隨機信號x(t)的功率譜是限帶的，其最高頻率成分為fmax，當(dāng)采樣間隔Ts<1/(2fmax)時，則采樣值的加權(quán)和45可以保證：即在均方誤差意義下收斂于x(t)。1.6.1離散時間隨機過程的定義和概率分布一、定義：若參量t取離散值t1，t2，t3，…，tn時，這種隨機過程稱為離散時間隨機過程。二、概率分布4647數(shù)學(xué)特征是時間n的函數(shù)一、均值（數(shù)學(xué)期望）二、均方與方差1.6.2離散時間隨機過程的數(shù)字特征48三、自相關(guān)函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)若隨機過程是平穩(wěn)的，則定義49廣義平穩(wěn)離散時間隨機過程滿足：50四、遍歷性與時間平均量實離散時間隨機過程的時間均值為時間自相關(guān)函數(shù)為以上兩個時間平均量一般都是隨機變量51寬遍歷隨機序列：設(shè)X(n)是一個平穩(wěn)隨機序列，如果皆依概率1成立，則稱X(n)為寬遍歷隨機序列。5253實際中往往求均值和自相關(guān)函數(shù)的估值54兩個隨機序列具有聯(lián)合寬遍歷性的條件：1.6平穩(wěn)隨機過程的譜分析

1.6.1隨機過程的譜分析一、隨機過程的功率譜密度對于隨機過程來說，由于它的持續(xù)期為無限長，因而它的任何一個非零樣本函數(shù)都不滿足絕對可積與能量可積條件，所以它的傅立葉變換不存在。但是樣本函數(shù)的功率是有限的，即有因此研究隨機過程的功率譜是有意義的55令x(t)表示隨機過程X(t)的任一樣本函數(shù)，在x(t)中任意截取長為2T的一段，記為56當(dāng)T為有限值時，截取函數(shù)滿足絕對可積的條件，因此其傅立葉變換存在，有定義隨機過程的功率譜密度為：57兩個結(jié)論1、一般隨機過程平穩(wěn)隨機過程2、功率譜描述了隨機過程的功率在各個不同頻率上的分布。581.6.2平穩(wěn)隨機過程功率譜密度的性質(zhì)591.6.3功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系確定性信號與它的頻譜函數(shù)之間構(gòu)成傅立葉變換對。一般隨機信號：廣義平穩(wěn)隨機過程：60常見確定性信號的傅立葉變換611.6.4聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程的互譜密度62二、互譜密度與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系631、一般隨機信號：各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)的隨機過程：三、互譜密度的性質(zhì)641.6.5離散時間隨機信號的功率譜密度651.7幾種典型的隨機信號

1.7.1正態(tài)（高斯）隨機過程66一、正態(tài)（高斯）隨機過程的一般概念二、正態(tài)過程的性質(zhì)671.7.2白噪過程一、理想白噪