誤差理論與數(shù)據(jù)處理知識總結(jié)

誤差理論與數(shù)據(jù)處理知識總結(jié)誤差理論與數(shù)據(jù)處理知識總結(jié)14/14誤差理論與數(shù)據(jù)處理知識總結(jié)第一章緒論1.1探討誤差的意義探討誤差的意義為：1）正確相識誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的緣由，以消退或減小誤差2）正確處理測量和試驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果，以便在確定條件下得到更接近于真值的數(shù)據(jù)3）正確組織試驗(yàn)過程，合理設(shè)計(jì)儀器或選用儀器和測量方法，以便在最經(jīng)濟(jì)條件下，得到志向的結(jié)果。1.2誤差的基本概念誤差的定義：誤差是測得值及被測量的真值之間的差。確定誤差：某量值的測得值之差。相對誤差：確定誤差及被測量的真值之比值。引用誤差：以儀器儀表某一刻度點(diǎn)的示值誤差為分子，以測量范圍上限值或全量程為分母，所得比值為引用誤差。誤差來源：1）測量裝置誤差2）環(huán)境誤差3）方法誤差4）人員誤差誤差分類：依據(jù)誤差的特點(diǎn)，誤差可分為系統(tǒng)誤差,隨機(jī)誤差和粗大誤差三類。系統(tǒng)誤差：在同一條件下，多次測量同一量值時(shí)，確定值和符號保持不變，或在條件改變時(shí)，按確定規(guī)律變化的誤差為系統(tǒng)誤差。隨機(jī)誤差：在同一測量條件下，多次測量同一量值時(shí)，確定值和符號以不可預(yù)定方式變化的誤差稱為隨機(jī)誤差。粗大誤差：超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差。1.3精度精度：反映測量結(jié)果及真值接近程度的量，成為精度。精度可分為：1）精確度：反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度2）精密度：反映測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度3）精確度：反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合的影響程度，其定量特征可用測量的不確定度來表示。1.4有效數(shù)字及數(shù)據(jù)運(yùn)算有效數(shù)字：含有誤差的任何近似數(shù)，假如其確定誤差界是最末位數(shù)的半個(gè)單位，則從這個(gè)近似數(shù)左方起的第一個(gè)非零的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的全部數(shù)字，不論是零或非零的數(shù)字，都叫有效數(shù)字。測量結(jié)果應(yīng)保留的位數(shù)原則是：其最末一位數(shù)字是不牢靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字應(yīng)是牢靠的。數(shù)字舍入規(guī)則：保留的有效數(shù)字最末一位數(shù)字應(yīng)按下面的舍入規(guī)則進(jìn)行湊整：1）若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位加一2）若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位不變3）若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位湊成偶數(shù)。數(shù)據(jù)運(yùn)算規(guī)則：1）在近似數(shù)加減運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)2）在近似數(shù)乘除運(yùn)算,平方或開方運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)3）在對數(shù)運(yùn)算,三角函數(shù)運(yùn)算時(shí)，數(shù)據(jù)有效位數(shù)應(yīng)查表得到。第二章誤差的基本性質(zhì)及處理2.1隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差的產(chǎn)生緣由：1）測量裝置方面的因素2）環(huán)境方面的因素3）人員方面的因素。隨機(jī)誤差一般具有以下幾個(gè)特性：對稱性，單峰性，有界性，抵償性。正態(tài)分布：聽從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差均具有以上四個(gè)特征，由于多數(shù)隨機(jī)誤差都聽從正態(tài)分布，因而正態(tài)分布在誤差理論中占有非常重要的地位。算術(shù)平均值：在系列測量中，被測量的n個(gè)測得值的代數(shù)和除以n而得到的值稱為算術(shù)平均值。殘余誤差：一般狀況下，被測量的真值為未知，可用算術(shù)平均值代替被測量的真值進(jìn)行計(jì)算：,υi為li的殘余誤差。算術(shù)平均值的計(jì)算校核：算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和來校核。其規(guī)則為1）合殘余誤差代數(shù)和應(yīng)符：當(dāng)，求得的為非湊整的精確數(shù)時(shí)，為零；當(dāng)，求得的為湊整的非精確數(shù)時(shí)，為正，其大小為求是的余數(shù)；當(dāng)，求得的x為湊整的非精確數(shù)時(shí)，為負(fù)，其大小為求x是的虧數(shù)。2）殘余誤差代數(shù)和確定值應(yīng)符合：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，。測量的標(biāo)準(zhǔn)差：測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差簡稱為標(biāo)準(zhǔn)差，也可稱之為方均根誤差。單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差σ是表征同一被測量的n次測量的測得值的分散性的參數(shù)，可作為測量列中單次測量不牢靠性的評定標(biāo)準(zhǔn)。在等精度測量列中單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差按下式計(jì)算：貝塞爾公式：據(jù)此式可由殘余誤差求的單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。評定單次測量不牢靠性的參數(shù)還有或然誤差和平均誤差。算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是表征同一被測量的各個(gè)獨(dú)立測量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不牢靠性的評定標(biāo)準(zhǔn)。在n此測量的等精度測量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測量標(biāo)準(zhǔn)差的，當(dāng)測量次數(shù)n愈大時(shí)，測量精度越高。標(biāo)準(zhǔn)差的其他計(jì)算方法：1）別捷爾斯法2）極差法3）最大誤差法極限誤差：測量的極限誤差是極端誤差，測量結(jié)果的誤差不超過該極端誤差的概率為P。單次測量的極限誤差：。算術(shù)平均值的極限誤差：正態(tài)分布：；t分布：。不等精度測量：不同的測量條件,不同的儀器,不同的測量方法,不同的測量次數(shù)和不同的測量者。權(quán)：各測量結(jié)果的牢靠程度可用一數(shù)值來表示，這個(gè)數(shù)值即為權(quán)。單位權(quán)化：使權(quán)數(shù)不同的不等精度測量列轉(zhuǎn)化為具有單位權(quán)的等精度測量列。隨機(jī)誤差的其他分布：勻稱分布,反正弦分布,三角形分布,x分布,t分布,F分布等。2.2系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生緣由：系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素所造成的。這些因素可以是1）測量裝置方面的因素2）環(huán)境方面的因素3）測量方法的因素4）人員方面的因素。系統(tǒng)誤差的特征：在同一條件下，多次測量同一量值時(shí)，誤差的確定值和符號保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按確定的規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差的種類：不變的系統(tǒng)誤差，線性變化的系統(tǒng)誤差，周期性變化的系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的發(fā)覺：單次測量多次測量試驗(yàn)對比法改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件進(jìn)行不同條件的測量，用于發(fā)覺不變的系統(tǒng)誤差計(jì)算數(shù)據(jù)比較法若，則兩組結(jié)果之間不存在系統(tǒng)誤差殘余誤差視察法依據(jù)測量列殘余誤差大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或曲線圖形來推斷系統(tǒng)誤差，用于發(fā)覺有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差秩和檢驗(yàn)法將獨(dú)立測得的兩組數(shù)據(jù)，混合后按大小依次重新排列，取測量次數(shù)較少的一組，數(shù)出它的測得值混合后的次序，相加的秩和T。查表推斷是否存在系統(tǒng)誤差。殘余誤差校核法馬利科夫準(zhǔn)則用于發(fā)覺線性系統(tǒng)誤差：若顯著不為零，則有理由認(rèn)為測量列存在線性系統(tǒng)誤差t檢驗(yàn)法查表，若則無依據(jù)懷疑兩組間由系統(tǒng)誤差。阿卑-赫梅特準(zhǔn)則用于發(fā)覺周期性系統(tǒng)誤差：若，則認(rèn)為測量列存在周期性系統(tǒng)誤差不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法4），若，則懷疑測量列存在系統(tǒng)誤差。2.3粗大誤差粗大誤差的產(chǎn)生緣由：測量人員的主觀緣由，客觀外界條件的緣由。判別粗大誤差的準(zhǔn)則3σ準(zhǔn)則（萊以特準(zhǔn)則）假如在測量列中發(fā)覺有大于3σ的殘余誤差測得值，則可認(rèn)為它含有粗大誤差。羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則首先剔除一個(gè)可疑的測得值，然后按t分布檢驗(yàn)被剔除的測量值是否含有粗大誤差。若，則剔除正確。格羅布斯準(zhǔn)則當(dāng)x聽從正態(tài)分布時(shí)，將按大小依次排列，得到，，若，則判別該測得值含有粗大誤差。狄克松準(zhǔn)則的統(tǒng)計(jì)量，，，及及各統(tǒng)計(jì)量的臨界值比較（查表），若大于臨界量，則認(rèn)為含有粗大誤差。第三章誤差的合成及安排3.1函數(shù)誤差函數(shù)誤差概念：間接測量的量是直接測量所得到的各個(gè)測量值的函數(shù)，而間接測量誤差則是各個(gè)直接測得值誤差的函數(shù)，稱為函數(shù)誤差。函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算公式：函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算公式：相關(guān)系數(shù)：誤差間的線性相關(guān)關(guān)系是指它們具有線性依靠的關(guān)系，，這種關(guān)系的強(qiáng)弱有相關(guān)系數(shù)ρ來反映。相關(guān)系數(shù)的確定方法：直接推斷法，試驗(yàn)視察和簡略計(jì)算法，理論計(jì)算法。3.2隨機(jī)誤差的合成標(biāo)準(zhǔn)差的合成：極限誤差的合成：3.3系統(tǒng)誤差的合成已定系統(tǒng)誤差的合成：未定系統(tǒng)誤差的合成：1）標(biāo)準(zhǔn)差的合成：2）極限誤差的合成：3.4系統(tǒng)誤差及隨機(jī)誤差的合成按極限誤差合成：按標(biāo)準(zhǔn)差合成：3.5誤差安排誤差安排步驟：1）按等作用原則安排誤差即或2）按可能性調(diào)整誤差3）驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差3.6微小誤差的取舍準(zhǔn)則對于隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍去準(zhǔn)則是被舍去的誤差必需小于或等于測量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差的1/3-1/10。3.7最佳測量方案的確定選擇最佳函數(shù)誤差公式：選取包含直接測量值最少的公式。使誤差傳遞系數(shù)等于零或?yàn)樽钚。河珊瘮?shù)誤差公式可知，若使各個(gè)測量值對函數(shù)的誤差傳遞系數(shù)為零或最小，則函數(shù)誤差可相應(yīng)減小。第四章測量不確定度4.1測量不確定度的基本概念測量不確定度定義：測量不確定度是指測量結(jié)果變化的不愿定，是表征被測值的真值在某個(gè)量值范圍的一個(gè)估計(jì)，是測量結(jié)果含有的一個(gè)參數(shù)，用以表示被測量值的分散性。測量不確定度及誤差的聯(lián)系：誤差是不確定度的基礎(chǔ)，只有對誤差的分布規(guī)律,性質(zhì),相互聯(lián)系及對測量結(jié)果的誤差傳遞關(guān)系等有了充分的相識和了解，才能更好的估計(jì)各不確定度重量，正確得到測量結(jié)果的不確定度。用不確定度代替誤差表示測量結(jié)果，易于理解便于評定，具有合理性和好用性。測量不確定度及誤差的區(qū)分：1）從定義上，誤差是測量結(jié)果及真值之差，它以真值或約定真值為中心；而測量不確定度是以被測量的估計(jì)值為中心，因此誤差是一個(gè)志向概念，難以定量；而測量不確定度是反映人們對測量相識不足的程度，是可以定量評定的。2）從分類上，誤差按自身特征和性質(zhì)分為系統(tǒng)誤差,隨機(jī)誤差和粗大誤差，并可實(shí)行不同的措施來減小或消退各類誤差對測量的影響。但各類誤差之間并不存在確定的界限，故在分類判別和誤差計(jì)算時(shí)不易精確駕馭；測量不確定度不按性質(zhì)分類，而是按評定方法分為A類評定和B類評定，不考慮不確定度因素的來源和性質(zhì)，從而簡化了分類，便于評定和計(jì)算。4.2標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評定標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用標(biāo)準(zhǔn)差表征的不確定度。4.2.2A類評定：A類評定用統(tǒng)計(jì)分析法評定，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u等同于由系列觀測值獲得的標(biāo)準(zhǔn)差來評定標(biāo)準(zhǔn)差并得到標(biāo)準(zhǔn)不B類評定：B類評定不用統(tǒng)計(jì)分析法，而是基于其他方法估計(jì)概率分布或分布假設(shè)確定度。。自由度：將不確定度計(jì)算表達(dá)式中總和所包含的項(xiàng)數(shù)減去各項(xiàng)之間存在的約束條件數(shù)，所得差值稱為不確定度的自由度。自由度的確定：A類：依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算方法和n，查表可獲得自由度。B類：。4.3測量不確定度的合成合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：當(dāng)測量結(jié)果受多重因素影響形成了若干個(gè)不確定度重量時(shí)，測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不確定度用各標(biāo)準(zhǔn)不確定度重量合成后所得的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示。展伸不確定度：展伸不確定度由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以包含因子k得到，記為U。其中k由t分布的臨界值給出，是合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度。不確定度的報(bào)告：當(dāng)測量不確定度用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示時(shí)，應(yīng)給出合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及其自由度；當(dāng)測量不確定度用展伸不確定度表示時(shí)，除給出展伸不確定度U外，還應(yīng)說明計(jì)算式所依據(jù)的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度,自由度,置信概率P和包含因子k。第五章線性參數(shù)的最小二乘法處理5.1最小二乘法原理最小二乘法原理：測量結(jié)果的最可信任值應(yīng)在殘余誤差平方和為最小的條件下求出。線性參數(shù)的誤差方程式：5.2正規(guī)方程最小二乘法可以將誤差方程轉(zhuǎn)化為有確定解的代數(shù)方程組，這些有確定解得代數(shù)方程組成為最小二乘法估計(jì)的正規(guī)方程。等精度測量線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程：可表示為矩陣形式：，則：，。不等精度測量線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程：可表示為矩陣形式：，則：，。最小二乘原理及算術(shù)平均值原理的關(guān)系：最小二乘原理及算術(shù)平均值原理是一樣的，算術(shù)平均值原理可以看作是最小二原理的特例。5.3精度估計(jì)測量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)：等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)：，不等精度測量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)：最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)：等精度測量：，不等精度測量：5.4組合測量的最小二乘法處理組合測量是通過直接測量待測參數(shù)的各種組合量，然后對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而求的待測參數(shù)的估計(jì)量，并給出其精度估計(jì)。第六章回來分析6.1回來分析的基本概念人們通過實(shí)踐，發(fā)覺變量之間的關(guān)系分為兩類：函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系，二者并無嚴(yán)格的界限。回來分析：回來分析就是應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法，對大量的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而得出比較符合事物內(nèi)部規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式?；貋矸治黾白钚《朔ǖ漠愅郝?lián)系：回來分析是基于最小二乘法原理，回來方程系數(shù)的求解及最小二乘法有確定的相像性。區(qū)分：最小二乘法只對閱歷公式待求參數(shù)的估計(jì)量的精