導(dǎo)體周圍電場(chǎng)的模擬

不對(duì)稱中的對(duì)稱

——導(dǎo)體周圍電場(chǎng)的模擬以及多極矩疊加應(yīng)用

化學(xué)物理系鄒思睿PB03206041指導(dǎo)老師：郝志東想必大家對(duì)《電場(chǎng)線之美》中那些點(diǎn)電荷系統(tǒng)優(yōu)美的電場(chǎng)線圖還記憶猶新吧，那導(dǎo)體周圍的電場(chǎng)又是什么樣的呢？其中又有什么內(nèi)在的規(guī)律呢？本文將對(duì)其進(jìn)行一番探索······引言一、導(dǎo)體周圍電場(chǎng)的模擬（精確法）

（一）介紹精確法畫電場(chǎng)線的方法

電勢(shì)

電場(chǎng)強(qiáng)度將電場(chǎng)強(qiáng)度所在的直角坐標(biāo)系（x，y）變換到相空間（

，

）列出微分方程利用MATHEMATICA?5.1軟件畫出相圖（即電場(chǎng)線圖）

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（二）導(dǎo)體周圍電場(chǎng)線的圖

1．帶電導(dǎo)體橢球面周圍的電場(chǎng)線圖圖12．接地導(dǎo)體球和點(diǎn)電荷相互作用時(shí)的電場(chǎng)線圖其中k=d/r，k=2d表示點(diǎn)電荷到球心的距離r

表示球的半徑

（后同）圖2

3、帶電導(dǎo)體球和點(diǎn)電荷相互作用時(shí)的電場(chǎng)線圖（s=Q/q;k=d/r取s=1;k=2）

Q表示導(dǎo)體所帶電荷q表示點(diǎn)電荷的電量

（后同）圖34、帶電直導(dǎo)線和帶電導(dǎo)體球作用的電場(chǎng)線圖（s=Q/q;k=d/r，取s=1;k=2）圖45、形如“A”字的均勻線帶電體周圍的電場(chǎng)線和等勢(shì)線圖（在“A”所在平面上的投影）圖5

6、圓環(huán)周圍的電場(chǎng)線和等勢(shì)線圖（在經(jīng)過(guò)軸線的平面上的投影）圖6二、多極矩疊加應(yīng)用（一）理論背景

電勢(shì)的展開(kāi)：

其中各項(xiàng)物理意義：

第一項(xiàng)是一個(gè)點(diǎn)電荷的電勢(shì)，相當(dāng)于V內(nèi)電荷都集中在O點(diǎn)時(shí)在P點(diǎn)所產(chǎn)生的勢(shì)；

第二項(xiàng)是偶極子的電勢(shì)，相當(dāng)于V內(nèi)電荷都集中在O點(diǎn)處偶極子時(shí)在P點(diǎn)所產(chǎn)生的勢(shì)；

第三項(xiàng)是體系的四極距的電勢(shì)，相當(dāng)于V內(nèi)電荷都集中在O點(diǎn)處四極距時(shí)在P點(diǎn)所產(chǎn)生的勢(shì)；

…………

第n項(xiàng)是體系的2n

極距的電勢(shì)，相當(dāng)于V內(nèi)電荷都集中在O點(diǎn)處2n

極距時(shí)在P點(diǎn)所產(chǎn)生的勢(shì)；

（表示前后張量完全縮并）（二）具體方法

點(diǎn)電荷電場(chǎng)線圖C×電偶極子電場(chǎng)線圖+D×四極距電場(chǎng)線圖+C，D表示不同電勢(shì)展開(kāi)時(shí)的系數(shù)（常數(shù)）=

導(dǎo)體周圍電場(chǎng)線圖

...（三）應(yīng)用舉例

1、模擬橢球面導(dǎo)體周圍的電場(chǎng)線圖

（疊加圖）

（精確圖）

從兩圖對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)它們之間存在驚人的相似之處。疊加圖在等勢(shì)面上的正交性如此之好，令人驚嘆！2、模擬帶電導(dǎo)體球和點(diǎn)電荷作用時(shí)的電場(chǎng)線圖

類似橢球面中的疊加法，只是偶極子中p與x軸的交角取=（橢球面中?。?/p>

（疊加圖）（精確圖）此圖也有很好的相似性，但可看出疊加法在模擬（2，0）處點(diǎn)電荷時(shí)，沒(méi)有收斂到（2，0）點(diǎn)，原因在于此處只疊加到了四極距；但是很明顯它已經(jīng)有了收斂回正x

軸上某個(gè)點(diǎn)的趨勢(shì)。我們可以樂(lè)觀的估計(jì)疊加上八極距后模擬的精確度會(huì)大大提高。三、精確法和疊加法求導(dǎo)體周圍的電場(chǎng)的比較優(yōu)勢(shì)精確法1、較精確地計(jì)算出每一點(diǎn)的電勢(shì)、電場(chǎng)2、模擬出來(lái)的電場(chǎng)線較光滑一般情況下無(wú)法通過(guò)計(jì)算積分得到電勢(shì)的解析表達(dá)式，從而限制了它的使用疊加法1、當(dāng)導(dǎo)體電荷分布的對(duì)稱性不理想（無(wú)法得到電勢(shì)解析表達(dá)式——精確法的局限性）時(shí)，它可以發(fā)揮巨大作用2、能大致表示出電場(chǎng)變化的趨勢(shì)，把一些原本較復(fù)雜的導(dǎo)體周圍電場(chǎng)問(wèn)題簡(jiǎn)化表示電場(chǎng)線較粗略，存在一定誤差局限性四、深刻意義—— 不對(duì)稱之中常蘊(yùn)含著對(duì)稱之美

1、鏡像法

接地導(dǎo)體球A和點(diǎn)電荷Q相互作用時(shí)，導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷是不均勻分布的，但它的電荷可以通過(guò)一個(gè)與Q關(guān)于A對(duì)稱的點(diǎn)電荷來(lái)等效AQ

2、傅立葉分析變換

一般情況下，很多信號(hào)都是非周期、沒(méi)有明顯規(guī)則的，但是可以通過(guò)Fourier分析用一些周期函數(shù)疊加得到。作Fourier展開(kāi)（取前300項(xiàng)近似）完美再現(xiàn)！五、構(gòu)想和展望

1.如能加上八極距、十六極距等近似效果會(huì)更好2.平面圖在很大程度上限制了電場(chǎng)線的完整表達(dá)，如能用三維立體圖來(lái)展現(xiàn)電場(chǎng)線會(huì)更好3.還可以繪制電介質(zhì)在電場(chǎng)中極化時(shí)的電場(chǎng)線圖，或磁場(chǎng)的磁力線圖等

4.EquationTrekker是Wolfram公司2004年11月推出的新版本

MATHEMATICA?

5.1

中新功能，故對(duì)其使用和功能不是很熟悉，做出的圖不是很美觀、很對(duì)稱1．《經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)》蔡圣善科大天文與應(yīng)用物理系2．《電動(dòng)力學(xué)》虞福春北京大學(xué)出版社3．《符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)mathematica教程》張韻華科學(xué)出版社4．《電磁學(xué)》張玉民中國(guó)科技大學(xué)出版社科學(xué)出版社5．《電磁學(xué)千題解》張之翔科學(xué)出版社六、參考資料七、感謝

謝謝沈激，陳子瑜老師熱情地為我提供場(chǎng)所，是你們使我有了寫下去的動(dòng)力！謝謝郝軼聃，沈明民師兄為我出謀劃策，耐心地給我講解一些高深的理論，是你們讓我對(duì)物理和數(shù)學(xué)有了更濃厚的興趣！

謝謝郝志東，葉邦角，程福臻老師指點(diǎn)論文，是你們使我的論文更上一層樓！謝謝廖瞻迪，虞堂清，周磊，劉妍的幫助和鼓勵(lì)，是你們讓我感到科大的溫暖和人情味！

八、結(jié)語(yǔ)

潮隨暗浪雪山傾，遠(yuǎn)浦漁舟釣月明。

橋?qū)λ麻T松徑小，

巷當(dāng)泉眼石波清。

迢迢遠(yuǎn)樹(shù)江天曉，

藹藹紅霞晚日晴。