大學(xué)物理剛體(老師課件)

第5章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體

rigidbody

：在外力（無論多大）作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。1、剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)元之間的相對(duì)距離保持不變。2、剛體是一種理想模型。視作特殊質(zhì)點(diǎn)組。一、剛體的平動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，體內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的方向始終保持不變。剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式平動(dòng)

translation

轉(zhuǎn)動(dòng)

rotation

平動(dòng)的特點(diǎn)：1)剛體中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況相同2)剛體的平動(dòng)可歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

剛體平動(dòng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)實(shí)際:

對(duì)質(zhì)心有“質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理”5.1剛體運(yùn)動(dòng)的描述二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

當(dāng)剛體內(nèi)所有點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)。

若轉(zhuǎn)軸的位置和方向是固定不動(dòng)的，此時(shí)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和角加速度。－－剛體上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律。

剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述1.各點(diǎn)都在自己的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)描述的物理量剛體上某點(diǎn)的線量與角量的關(guān)系：對(duì)剛體不存在整體的線速度！

就是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角位置、…、角加速度2.各點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑不同線速度不同ωrv例：已知：求：解：1、在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，角速度和角加速度均沿軸向。其指向可用正負(fù)表示。說明3、角加速度的方向與角速度增量的方向一致，當(dāng)與同號(hào)時(shí)，加速轉(zhuǎn)動(dòng)；與異號(hào)時(shí)，減速轉(zhuǎn)動(dòng)。方向:右手螺旋方向2、4、剛體定軸勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)方程與同形一、轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體內(nèi)任一質(zhì)元i，其轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為ri

,所受合外力為Fi，—?jiǎng)傮w對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量5.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)定律即：內(nèi)力為fi

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律該轉(zhuǎn)動(dòng)定律在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題中的地位相當(dāng)于牛頓第二定律在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中的地位應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題步驟與用牛頓第二定律時(shí)相同。剛體所受的對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積②剛體的重力矩等于剛體全部質(zhì)量集中于質(zhì)心時(shí)所產(chǎn)生的重力矩.重力矩大?。杭?xì)桿質(zhì)量m,長L①Notes:

方向與角加速度方向一致為正，相反為負(fù).例：幾個(gè)力同時(shí)作用在一個(gè)具有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，如果這幾個(gè)力的矢量和為零，則此剛體(A)必然不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)．(B)轉(zhuǎn)速必然不變．(C)轉(zhuǎn)速必然改變．(D)轉(zhuǎn)速可能不變，也可能改變．答案：(D)若矢量和不為零，結(jié)果？[思考]二、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（momentofinertia）——反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量。

1.定義：例：如圖對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：質(zhì)量線密度：質(zhì)量面密度：質(zhì)量體密度md1）總質(zhì)量m越大，J越大;2）質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)，J越大；3）軸位置不同，J不同。2.決定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素：Om,RRm,ROO3.平行軸定理（parallelaxistheorem）zLCMz'C點(diǎn)是剛體的質(zhì)心M,L例：有兩個(gè)半徑相同、質(zhì)量相等的細(xì)圓環(huán)A和B，A環(huán)的質(zhì)量分布均勻，B環(huán)不均勻，它們對(duì)通過環(huán)心并與環(huán)面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為JA和JB，則(A)JA>JB(B)JA<JB(C)JA=JB(D)不能確定答案：(C)若是兩個(gè)圓盤呢？[思考]竿子長些還是短些較安全？

飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？思考【例】已知圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，初角速度0阻力矩M=-k(k為正的常量)求:角速度從0變?yōu)?/2所需的時(shí)間解：轉(zhuǎn)動(dòng)定律：【例】飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，初角速度0，阻力矩的大小與角速度的平方成正比，比例系數(shù)為k(k為正的常量)求：⑴當(dāng)=0/3時(shí)，角加速度=？⑵從開始制動(dòng)到=0/3時(shí)所轉(zhuǎn)過的角度．解：⑴按題意M=-k2⑵轉(zhuǎn)動(dòng)定律：[思考]所經(jīng)過的時(shí)間?解：以m1

、m2和彈簧、地球?yàn)檠芯肯到y(tǒng)，施加壓力F時(shí)，彈簧被壓縮x0，由平衡條件得撤F后，m2離開地面的條件為:系統(tǒng)機(jī)械能守恒例習(xí)4.3用彈簧連接兩個(gè)木板m1、m2

，彈簧壓縮。求:給m1上加多大的壓力能使m2

離開桌面？

三.轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用解題要點(diǎn)3)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度例5.1已知:定滑輪解:受力圖輕繩不伸長無相對(duì)滑動(dòng)求：1）物體加速度a2）繩子的張力T>設(shè)得解。T1≠T2

若

M=0，則T1=T2討論：無相對(duì)滑動(dòng)例5.2固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對(duì)稱軸OO轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)大小圓柱體的半徑分別為R和r，質(zhì)量分別為M和m，繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體m1和物體m2相連，m1和m2分別掛在圓柱體的兩側(cè)。求：OOm2m1MmrR1)柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；2)兩側(cè)細(xì)繩的張力。rRO解：解得m1,m2的平動(dòng)方程和柱體轉(zhuǎn)動(dòng)方程為T2T1T2T1m2gm1ga2a1討論：(1)若只求柱體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度，可將柱體和m1,m2選作一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)受的合外力矩M=m1gRm2gr，則根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得角加速度為(2)若考慮繩與圓柱體的總摩擦力矩為Mμ,

則以式(5)取代式(3),再求解即可。一、角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（對(duì)軸）：剛體：因各質(zhì)元對(duì)軸的角動(dòng)量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加，則其中角動(dòng)量定理5.3剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理（質(zhì)點(diǎn)系）二、角動(dòng)量守恒定律◆

M外和L

須是對(duì)慣性系中的同一點(diǎn)或同一軸。角動(dòng)量守恒定律剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量或?qū)憺閷?duì)比質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量微分形式積分形式mmω許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來說明花樣滑冰跳水茹可夫斯基凳圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能不守恒.角動(dòng)量守恒；動(dòng)量不守恒？；以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能不守恒.圓錐擺系統(tǒng)動(dòng)量不守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能守恒.關(guān)于系統(tǒng)守恒的討論子彈擊入沙袋細(xì)繩質(zhì)量不計(jì)非彈性碰撞例5.3一雜技演員M由距水平蹺板高為h處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一端的演員N彈了起來。設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為l，質(zhì)量為

，蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，演員的質(zhì)量均為m。假定演員M落在蹺板上與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞。問演員N可彈起多高?ll/2CABMNh解碰撞前M落在A點(diǎn)的速度

碰撞后的瞬間,M、N具有相同的線速度

把M、N和蹺板作為一個(gè)系統(tǒng),解得演員N以u(píng)起跳,達(dá)到的高度ll/2CABMNhm'gmgNmg角動(dòng)量守恒一、動(dòng)能定理5.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的能量關(guān)系力矩的功：用角量表示力作的功O.oF┴(垂直于轉(zhuǎn)軸的截面)2.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理二、重力場(chǎng)中剛體的機(jī)械能系統(tǒng)--剛體+地球：剛體的質(zhì)心相對(duì)勢(shì)能零點(diǎn)的高度轉(zhuǎn)動(dòng)定律：合外力矩的功剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：解：過程1：質(zhì)點(diǎn)與細(xì)棒相碰撞

碰撞過程中系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的合力矩為零例5.4質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量均勻的細(xì)棒相撞(如圖)設(shè)是完全非彈性碰撞求：棒擺起的最大角度∴系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒,得細(xì)棒勢(shì)能質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能過程2：質(zhì)點(diǎn)、細(xì)棒上擺二者+地球的

系統(tǒng)中只有保守內(nèi)力（重力）作功，所以機(jī)械能守恒。兩式聯(lián)立得解

以上擺前為勢(shì)能零點(diǎn)例5.5勻質(zhì)細(xì)棒長l，質(zhì)量m，可繞通過其端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，在豎直位置與放在地面上、質(zhì)量也為m的物體相撞（物體與地面的摩擦系數(shù)為）。撞后，物體沿地面滑行距離s而停止。求相撞后棒的質(zhì)心離地面的最大高度h。CO解1.棒擺落過程棒+地球

外力軸處支承力不做功機(jī)械能守恒（1）

以豎直時(shí)質(zhì)心位置處為勢(shì)能零點(diǎn)3.撞后物體滑行過程勻減速直線運(yùn)動(dòng)（3）（4）（5）′為正值表示碰后棒向左擺；反之向右擺。2.碰撞過程棒+物體

軸處支承力、重力無力矩角動(dòng)量守恒（2）棒質(zhì)心C上升機(jī)械能守恒解得：

例5.6如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.01kg·m2，半徑為7cm，物體質(zhì)量為5kg，由一繩與倔強(qiáng)系數(shù)k=200N/m的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)，求：(1)當(dāng)繩拉直，彈簧無伸長時(shí)，使物體由靜止而下落的最大距離；(2)物體速度達(dá)到最大值的位置及最大速率。解：(1)分析知，機(jī)械能守恒,

設(shè)物體下落最大距離為h，開始時(shí)物體所在位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則：質(zhì)量角動(dòng)量動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)照表質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力力矩第二定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律動(dòng)量角動(dòng)量守恒力的功力矩的功動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理習(xí)5.1工程上常用摩擦嚙合器使兩飛輪以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JA=10kgm2，B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JB=20kgm2

。開始時(shí)A輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？AACBACB式中為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，于是解：以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，后者對(duì)轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。按角動(dòng)量守恒定律可得或共同轉(zhuǎn)速為在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損失的機(jī)械能為以各量的數(shù)值代入得