定值問題 趙鵬翔

√√×∠?°∽⊥⊙1234≠≤≥①②③④⑤∴∵⊕≌xyO□abcy=ax2+bx+c÷S△AOD：S△COB=1：9?∽→↑←??↖↗↘↙定值問題什么是定值問題？

在幾何問題中，當(dāng)一些幾何元素按照一定的規(guī)律在確定的范圍內(nèi)變化時(shí),與它相關(guān)另一些幾何元素的某些量或其數(shù)量關(guān)系保持不變，這種幾何問題稱之為幾何定值問題.

定值問題大致分為倆類：一類是定量問題（如定長(zhǎng)度、定角、定比······）;一類是定形問題（如定點(diǎn)、定線、定方向······）解決這類問題要通過(guò)題目中的元素動(dòng)靜結(jié)合，特殊與一般結(jié)合，數(shù)形結(jié)合去分析，把定值找出來(lái)，在進(jìn)行論證。

1、定量問題：關(guān)鍵在于探求定值，一旦定值被找出，轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何證明題。

2、定形問題：定形問題指點(diǎn)、直線、定方向等問題。在直角坐標(biāo)系平面上，定點(diǎn)有對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)。定值問題點(diǎn)為定點(diǎn)線段長(zhǎng)度或積為定值角度為定值面積為定值

例1已知（m+1）x-（m-1）y-2m=0為直線L的方程，求證：不論m取任何實(shí)數(shù)，直線L必過(guò)定點(diǎn)，求這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)。

證明：由直線的方程得mx-my-2m+x+y=0，即m（x-y-2）+x+y=0，當(dāng)x-y-2=0且x+y=0時(shí)，不論m取任何實(shí)數(shù)方程恒成立，故直線L必過(guò)定點(diǎn)。解方程組x-y-2=0x+y=0得x=1y=-1

即定點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）例2，AB為定直線上兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在AB的一側(cè)，連AC、BC并以這兩條線段為邊作正方形，DG和EF垂直AB的延長(zhǎng)線，試證無(wú)論C如何變化兩個(gè)正方形中，與C點(diǎn)相對(duì)的點(diǎn)的連線到定直線的距離和為定值，且其中點(diǎn)也為定點(diǎn)。MNH例2，AB為定直線上兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C在AB的一側(cè)，連AC、BC并以這兩條線段為邊作正方形，DG和EF垂直AB的延長(zhǎng)線，試證無(wú)論C如何變化兩個(gè)正方形中，與C點(diǎn)相對(duì)的點(diǎn)的連線到定直線的距離和為定值，且其中點(diǎn)也為定點(diǎn)。證:過(guò)C點(diǎn)向AB作垂線,垂足為m△CMA≌△DGA△CMB≌△BEFDG+EF=AB找AB的中點(diǎn)N，作直線NH垂直于AB，HN=（DG+EF）例5

如圖8,已知△ABC中，AC=BC，∠CAB=α（定值），⊙O的圓心O在AB上,并分別與AC、BC相切于點(diǎn)P、Q、M

.(1)求∠POQ的大小(用α表示);(2)設(shè)D是CA延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),DE與圓O相切于點(diǎn)M,點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上,求證:∠DOE的度數(shù)為定值.

分析：要求證∠DOE的度數(shù)為定值，只須證明∠ODE與∠OED和為定值,而OD、OE分別為∠CDE與∠CED的平分線,故只須證∠CDE與∠CED和為定值,由三角形的內(nèi)角和定理易證.解:(1)易得∠POQ=2α.(2)連結(jié)OM.由切線長(zhǎng)定理,EM=EQ.又∵OM=OQ,OE=OE,∴△OEM≌△OEQ,∴∠MOE=∠QOE.同理,∠MOD=∠POD.∴∠DOE=(∠POM+∠QOM)=(360°

-∠POQ)=180°

-α.∵α為定值,∴∠DOE的大小為定值.定值為180°

-α.例6如圖，已知∠POQ=90°，點(diǎn)A、B分別在射線OP,OQ上移動(dòng)，∠OAB的角平分線與OBA的外角平分線相交于點(diǎn)C,求證：∠ACB的大小是定值。證明：由于∠ACB是ABC的一個(gè)內(nèi)角，所以可利用三角形的內(nèi)角和定理以及內(nèi)外角平分線的定義直接計(jì)算∠ACB的大小∵∠ACB=180°－(∠BAC＋∠ABC)＝180°－(∠OAB+∠ABO+∠CBO)＝180°－[(∠OAB+∠ABO+(180°－∠OBA)]=180°－[∠OAB+∠ABO+90°－∠OBA]=180°－(45°+90°)=45°例3如圖1,在半徑為6,圓心角為90°的扇形OAB的AB上,有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,PH⊥OA,垂足為H,△OPH的重心為G.

（1）求證:線段GH長(zhǎng)度為定值

分析:解決此題時(shí),首先要根據(jù)線段GH的特征,添出輔助線,找出與其有關(guān)的長(zhǎng)度為定值的線段間的聯(lián)系,從而獲得問題的解決.解:(1)延長(zhǎng)HG交OP于點(diǎn)E.∵G是△OPH的重心,∴GH=2HE=2.∴GH的長(zhǎng)度為定值,其定值為2.圓冪定義過(guò)任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA×PB=PC×PD割線定理從圓外一點(diǎn)L引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D則有LA·LB=LC·LD=LT^2。如下圖所示。(LT為切線）例4如圖6，已知：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位每/秒的速度x軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從O點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng).B(4,2),以BE為直徑作⊙O1.

若點(diǎn)E提前2秒出發(fā),點(diǎn)F再出發(fā).當(dāng)點(diǎn)F出發(fā)后,E點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí),設(shè)BA⊥x軸于A點(diǎn),連接AF交⊙O1于點(diǎn)P,求證:AP?AF為定值.分析:要求證AP?AF為定值,在擁有圓與割線的背景下,應(yīng)優(yōu)先考慮圓冪定理,但于本道題無(wú)濟(jì)于事.于是想到構(gòu)造相似三角形來(lái)求解.由于要求的是AP與AF的積,故AB與AF不能是所構(gòu)造的相似的對(duì)應(yīng)邊.而AP與AE是△PAE的兩條邊,故作∠HFA=∠PEA交x軸于H.易證△HFA∽△PEA,△FHO∽△EBA,從而使問題獲證.H證明：連結(jié)PE,作∠HFA=∠PEA交x軸于H,∵∠FAH=∠EAP,∴△HFA∽△PEA,∴∠FHO=∠EPA.∵P、E、A、B四點(diǎn)共圓，∴∠EPA=∠B，∴∠FHO=∠B，∵BE為直徑,∴∠BAE=900=∠FOH，∴△HFO∽△BEA.∴設(shè)OE=2+t,則OF=2t,∵OA=4，∴AE=4-（2+t）=2-t,∴OH×(2-t)=2t×2,∴OH=,∴AH=OH+OA=4+

∵

△HFA∽△PEA

∴AP?AF=AE?AH=(2-t)×=8.∴AP?AF為定值,定值為8.

例7

如圖9，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，O是正方形A‘B’C‘O的一個(gè)頂點(diǎn),如果兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為a,求證：正方形A’B’C’O繞點(diǎn)O無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，倆個(gè)正方形重疊部分的面積總為定值。分析:由于重疊部分圖形形狀的不確定性,要求證這重疊部分面積為定值,關(guān)鍵是探明這個(gè)定值為何值,這可用特殊位置法獲得.如圖,把正方形旋轉(zhuǎn)到特殊位置圖10,易得其面積的定值為,然后,設(shè)法證明兩種情形下的面積相等.證明:如圖9，在正方形ABCD與正方形A'B'C'O中,∵OB=OC,∠EBO=∠FCO=45°,,∠EOF=∠BOC=90°,∴∠EOB=∠FOC,∴△OBE≌△OCF,∴S△OBE=S△OCF,∴S四邊形OEBF=S△OBC,∵S△OBC=∴S四邊形OEBF=所以不論正方形A‘B’C‘O繞點(diǎn)O怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)正方形重疊部分的面積總是一個(gè)定值.定值為

..例8倆圓⊙O1、⊙O2內(nèi)切于半徑分別為R、r(R>r),任作一直線垂直于連心線所在的直線，并使其在連心線一側(cè)，分別交⊙O1、⊙O2于B、C,求證：△ABC的外接圓的面積為定值。依題意作圖，如圖，因⊙O1、⊙O2內(nèi)切于A，故連心線O1O2必過(guò)A點(diǎn)，設(shè)O1O2分別與⊙O1、⊙O2交于E、F，與BC交于D，連接BE、CF、AC,設(shè)△ABC的外接圓半徑為，由正弦定理，有又在Rt