導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用重修

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（續(xù)）二、函數(shù)的極值一、函數(shù)的單調(diào)性四、曲線的凹凸與拐點(diǎn)三、函數(shù)的最值五、曲線的漸近線定理一、函數(shù)的單調(diào)性1、單調(diào)性的判別法2、單調(diào)區(qū)間的求法導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:（1）

求連續(xù)函數(shù)f(x)的定義域例1.

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得列表討論3、利用單調(diào)性證明不等式例2證明例3分析證明證法二4、利用單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)定理可以研究方程根（函數(shù)的零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)及范圍方法

(1)先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間。(2)判別每個(gè)單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)的函數(shù)值（或極限）的符號(hào)。(3)根據(jù)零點(diǎn)定理：若兩端點(diǎn)的值一正一負(fù)，則在此區(qū)間內(nèi)有唯一實(shí)根，其余則無實(shí)根。解注：零點(diǎn)定理的推廣二、函數(shù)的極值及其求法1

函數(shù)的極值的定義定義:在其中當(dāng)(1)則稱為的極大值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)

.注：極值是一局部概念，而最大最小是整體概念。定理1(必要條件)定義注意:例如,2

函數(shù)的極值的必要條件但x=0處導(dǎo)數(shù)不存在。(2)極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn).(3)可能極值點(diǎn)：駐點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)。3

函數(shù)的極值的第一充分條件定理2(第一充分條件)4求極值的步驟:例1.

求函數(shù)的極值.解:令得駐點(diǎn)列表討論是極大值點(diǎn)，其極大值為是極小值點(diǎn)，其極小值為定理3(第二充分條件)例2解例3解三、

函數(shù)的最大最小值1

函數(shù)的最值的求法則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)

最大值最小值特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)(小)例12應(yīng)用舉例解計(jì)算比較得例3

作一個(gè)上下都有底的圓柱形鐵桶，容積為V0（常數(shù)），問底半徑r=？時(shí)表面積最小。解：V0=πr2h

，目標(biāo)函數(shù)由問題的實(shí)際意義知S(r)的最小值一定存在，而在(0，+∞)內(nèi)有唯一駐點(diǎn)，

注：利用最值可以證明不等式四、曲線的凹凸與拐點(diǎn)

1．

曲線凹凸的概念問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方定義

2．

判定方法定理1例1解注意到,定義：連續(xù)曲線凹凸的分界點(diǎn)稱為曲線拐點(diǎn)。3曲線的拐點(diǎn)凹凸性及其求法設(shè)f(x)在[a，b]內(nèi)連續(xù)，(或求出連續(xù)區(qū)間）(2)求在(a,b)二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(3)在（2）中解出的每一個(gè)點(diǎn)x0把定義區(qū)間分成幾部分例2解凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)五、曲線的漸近線1.鉛直漸近線定義:例如有鉛直漸近線兩條:2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:3.斜漸近線斜漸近線求法:例1解總結(jié)1、求函數(shù)的單