工程力學(xué)第五章 空間力系

第三章空間力系§3-1 回顧

1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影

xyzXiZiYiFiXiZiYiFiX=FsinγcosφY=FsinγsinφZ=Fcosγβαγφxyzγ

X=FcosαY=Fcosβ

Z=Fcosγ2、力的分解3、空間力偶（F,F’)的力偶矩矢力偶矩矢的三要素：

大小、方位和轉(zhuǎn)向ndFF’BAMnMM為自由矢M為自由矢M為自由矢M為自由矢O就是力偶矩的大小?？梢?，與矩心無關(guān)。如圖力偶（F，F(xiàn)’）對(duì)O點(diǎn)的矩為：4、匯交力系、力偶系的合成與平衡

合成結(jié)果：

R=ΣFi，M=ΣMi

平衡條件

ΣFi

=0，ΣMi=0§3-2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩

1.回顧力對(duì)點(diǎn)的矩

力F

對(duì)點(diǎn)O的矩的矢量MO(F

)，大小為：|MO(F)|=Fh=2△OAB式中△OAB為圖中陰影部分的面積。

MO(F)=r×F力對(duì)點(diǎn)的矩矢等于矩心到力的作用點(diǎn)的矢徑與該力的的矢量積。nhrFOABzxyMO(F)力對(duì)點(diǎn)的矩矢為定位矢量若以O(shè)

點(diǎn)為原點(diǎn),令

i、j、k分別為坐標(biāo)軸

x、y、z

方向的單位矢量，設(shè)力在三坐標(biāo)軸的投影為

X、Y、Z，則有

r=xi+yj+zk F=Xi+Yj+Zk=(yZ

－zY)i+(zX

－xZ)j+(xY

－yX)k2.力對(duì)軸的矩為了度量力對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體作用效果，必須了解力對(duì)軸的矩。以一個(gè)門為例：門上作用一個(gè)力F假定門繞z

軸旋轉(zhuǎn)將力F

向z

軸和xy

面分解成兩個(gè)分力Fz

和Fxy，顯然力Fxy

使門繞z

軸旋轉(zhuǎn)。FFxyFzzxyOz力對(duì)軸的矩之定義 力對(duì)軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量，是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于該力在垂直于該軸的平面上的投影對(duì)于此平面與該軸的交點(diǎn)的矩的大小。頂著坐標(biāo)軸看力使物體繞軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。FFxyFzABh即

Mz(F

)=MO(

Fxy)=±

Fxyh=±2△OAB力對(duì)軸的矩等于零的情形：①力與軸相交(h=0)②力與軸平行(Fxy=0)一句話:只要力與軸在同一平面內(nèi),力對(duì)軸的矩等于零。FxyFxyFzFxyFxyFzFxy力對(duì)軸的矩之解析表達(dá)式設(shè)空間中有一個(gè)力FyxyxOzXYFxyXYZFA(x,y,z)力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為x，y，z;力F

在三坐標(biāo)軸的投影分別為X，Y，Z;A(x,y,z)A(x,y,z)根據(jù)合力矩定理，得Mz(F)=M

O(Fxy)=MO(X)+MO(Y)=xY

－yX將上式與按同類方法求得的其他兩式合并寫成：M

x

(F)=yZ－zY

My

(F)=zX－xZM

z(F)=xY－yXXYZXYZ手柄ABCE在平面Axy內(nèi)，在D處作用一個(gè)力F，它垂直y軸，偏離鉛垂線的角度為α，若CD=a，BC∥x軸，CE∥y軸，AB=BC=l。求力F對(duì)x、y和z三軸的矩。例3-1CDEAxzyαFB顯然，

Fx=Fsinα

Fz

=Fcosα由合力矩定理可得：CDEAxzyαFB解法1將力F沿坐標(biāo)軸分解為Fx

和Fz。FxFzMx(F)=M

x(Fz

)=-F

z(AB+CD)=-F(l+a)cosαM

y(F)=M

y(Fz)=-F

z(BC)=-FlcosαM

z(F

)=M

z(Fx)=-F

x(AB+CD)=-F(l+a)sinαFxFzFxFz解法2直接套用力對(duì)軸之矩的解析表達(dá)式：力在x、y、z軸的投影為X=FsinαY=0Z=-F

cosαCDEAxzyαFBFxFzM

x(F)=yZ

－zY=(l+a)(-Fcosα)-0=-F(l+a)cosαM

y

(

F)=zX

－xZ=0-(-l)(-Fcosα)=-FlcosαM

z

(F)=xY

－yX=0-(l+a)(Fsinα)=-F(l+a)sinα3.力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩的關(guān)系力對(duì)點(diǎn)的矩矢量可以寫成：可得

[MO(

F)]x

=Mx(F)[MO(

F)]y

=M

y

(F)[MO(

F)]z

=M

z(F)MO(

F)=[MO(

F)]x

i

+[MO(

F)]y

j+[MO(

F)]z

k=(yZ

－zY)i+(zX

－

xZ)j+(xY

－yX)k

而

Mx(F)=yZ

－zY

M

y(

F)=zX

－xZ

M

z

(F)=xY

－yX

結(jié)論：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩的關(guān)系（續(xù)）如果力對(duì)通過O點(diǎn)的直角坐標(biāo)軸x、y、z的矩是已知的，則力對(duì)點(diǎn)O的矩的大小和方向余弦為：圖中力F的大小為10kN，求的力F在x、y、z三坐標(biāo)軸的投影，以及對(duì)三坐標(biāo)軸的矩和對(duì)O點(diǎn)的矩。(長度單位為m)OxyzA(4,9,5)534例3-2Fijk解：1、先求F的三個(gè)方向余弦FF見后續(xù)2、求力的投影（F

=10kN）例3-2（續(xù)1）OxyzA(4,9,5)534FijkFF已算得：見后續(xù)（求力對(duì)軸的矩也完全可以先將力F分解為三個(gè)分力，再由合力矩定理分別求出力對(duì)軸的矩）例4-2（續(xù)4）4、求力F對(duì)O點(diǎn)的矩由

MO(F)=Mx

i+My

j+Mz

k

得：也可以按如下方法求解：§4-3空間力系向一點(diǎn)簡化

O點(diǎn)稱為簡化中心；R’=F1’+F2’+F3’;M

=M1+M2+M3;對(duì)于力的數(shù)目為n

的空間任意力系，推廣為：——

力系的主矢——

力系對(duì)簡化中心的主矩仍設(shè)物體上只作用三個(gè)力F1、F2

和F3，它們組成空間任意力系，在空間內(nèi)任意取一O

點(diǎn)，分別將三力向此點(diǎn)簡化。右擊三按鈕功能相同結(jié)論空間任意力系向一點(diǎn)簡化，可得一力和一個(gè)力偶。這個(gè)力的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O；這個(gè)力偶的矩矢等于該力系對(duì)簡化中心的主矩矢。主矢與簡化中心無關(guān)；主矩一般情況下與簡化中心的位置有關(guān)。合力矩定理R=∑Fi

，d=|MO|/R∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R對(duì)O點(diǎn)的矩，即

MO

=MO(R)，而又有MO=∑MO(F)∴得關(guān)系式 MO(R)=∑MO(F)即：空間任意力系的合力對(duì)于任意一點(diǎn)的矩等于各分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的矢量和。將上式向任意軸投影（如z

軸）得：

Mz

(R)=∑M

z(F

)OdOdOMOR’R’RR”RMOMOMO主矢R’≠0；主矩MO≠0且MO與R’即不平行也不正交

。M”O(jiān)=MOsinα；M’O=MOcosα

M’O和R’組成力螺旋，其中心軸距O點(diǎn)的距離為：OOOαR’MOR’R’M”O(jiān)M’OM’OdMOMOMO4、空間力系簡化為平衡的情形主矢R’=0；主矩M

O=0

§4-5空間力系的平衡方程空間力系平衡的充分必要條件：所有力在三個(gè)坐標(biāo)軸中的每一個(gè)軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對(duì)于每一個(gè)坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也為零。除了上述的基本方程，還有所謂的4力矩、5力矩和6力矩式。由：得：幾種特殊情形平衡規(guī)律[Ⅰ] 匯交力系∵所有的力矩方程恒等于0∴匯交力系有三個(gè)平衡方程：

∑X=0，∑Y=0，∑Z=0[Ⅱ] 平行力系（假定力的作用線平行z軸） ∵∑X≡0，∑Y≡0，∑Mz≡0 ∴平行力系有三個(gè)平衡方程：

∑Z=0，∑M

x

=0，∑M

y

=0[Ⅲ] 平面一般力系（假定力的作用面為Oxy面）∵∑Z≡0，∑Mx

≡0，∑My

≡0∴平面一般力系有三個(gè)平衡方程：

∑X=0，∑Y=0，∑M

z=0§4-6空間約束的類型及其約束反力約束反力未知量約束類型AFAAFAzFAyA徑向軸承圓柱鉸鏈鐵軌蝶鉸鏈空間約束的類型及其約束反力(2)約束反力未知量約束類型AFAyFAxFAzAFAyFAxFAzMAyMAzFAyFAzAMAy球形鉸鏈止推軸承導(dǎo)向軸承萬向接頭空間約束的類型及其約束反力(3)約束反力未知量約束類型AFAyFAxFAzMAyMAzMAxAFAyFAxFAzMAzMAxFAyFAzMAzMAxAMAy帶有銷子的夾板導(dǎo)軌空間的固定端支座§4-7空間力系平衡問題舉例例4-3均質(zhì)長方形薄板重W=200N，用球形鉸鏈A和蝶形鉸鏈B固定在墻上，并用二力桿EC將板維持水平。求EC桿的拉力和鉸鏈的反力。WZBXBZAYAXAT解：受力分析如圖CADBabyxzE30°60°ZAYAXAZAYAXAZBXBTZBXBT空間任意力系的平衡方程有六個(gè)，所以對(duì)于空間任意力系作用下平衡的物體，只能求解六個(gè)未知量。本節(jié)基本目的：①受力分析②平衡方程的建立③解題技巧例4-3(續(xù)）∑X=0，XA+XB－Tcos30osin30o=0∑Y=0，YA

－Tcos30ocos30o=0∑Z=0，ZA

+ZB－W+Tsin30o=0WZBXBZAYAXATCADBabyxzE30°60°ZAYAXAZAYAXAZAYAXAZBXBTZBXBTZBXBT∑Mz

(F

)=0，X

B·

a=0∑Mx

(F)=0，Z

B·a+Tsin30°·a

－

W·a/2=0∑My

(F

)=0，W·b/2－

Tsin30

°

·b

=0

解之得：XA=86.6N，YA=150N，ZA

=100N

X

B

=0，ZB=0，T=200NW=200N圖示三輪小車，自重P=8kN，作用于點(diǎn)E，載荷P1=10N，作用于點(diǎn)C。求小車靜止時(shí)地面對(duì)車輪的反力。例4-4P1PFBFAFD解：以小車為研究對(duì)象，受力分析如圖FBFAFDFBFAFD0.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACP10.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACFBFDFBFDFBFDFBFDP例4-4(續(xù)）zxyO∑M

x

(F)=0，2FD

－1.2P

－0.2P1=0FD=5.8kN∑My

(F)=0，1.2FB

－0.8P1－0.6P+0.6FD=0FB

=7.8kN∑Z=0，

FA+FB

+FD

－P1

－P=0FA=4.4kN適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)軸對(duì)簡化計(jì)算非常重要。FAFAFAFA選取坐標(biāo)軸如圖在圖中，皮帶的拉力F2=2F1，曲柄上作用有鉛垂力F=2000N。已知皮帶輪的直徑

D=400mm，曲柄長R=300mm，α=30o，β=60o。求皮帶拉力和軸承反力。例4-5200mm200mm200mmDRFF2βF1αAB例4-5(2)

(α=30o，β=60o)解:選坐標(biāo)軸如圖∑X=0，F(xiàn)1sin30o+F2sin60o+XA+XB=0∑Y=0，0=0∑Z=0，ZA+ZB-F-

F1cos30o-F2cos60o=0zyxzxFRDβαF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB以整個(gè)軸為對(duì)象，受力分析如圖200mm200mmαβ200mmAB(α=30o，β=60o)解:選坐標(biāo)軸如圖∑M

x

(F)=0，400ZB-200F+200F1cos30o+200F2cos60o=0∑M

y

(F)=0，F(xiàn)·R-(F2-F1)·D/2=0∑M

z(F)=0，200F1sin30o+200F2sin60o-400XB=0又有：F2=2F1(由于∑Y≡0，所以只有在題設(shè)條件下可解）解得：F1=3000N，F(xiàn)2=6000N，

XA=-1004N，ZA=9397N，XB

=3348N，ZB

=-1700NzyxzxFRDβαF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB200mm200mmαβ200mmABα=30o，β=60o例4-5(3)水平均質(zhì)板重P，6根直桿用球鉸將板和地面連接，結(jié)構(gòu)如圖。求由板重引起得各桿內(nèi)力。例4-6解：給各桿編號(hào)①②③④⑤⑥受力分析，假定各桿均受拉力S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6∑MAB=0∑MAE

=0S5=0∑MAC=0S4=0∑MBF

=0S1=0∑MEG=0S3=0∑MFG=0PaBHbADCFGE§4-8重心1.重心的概念及其坐標(biāo)公式

重力是一個(gè)分布力系，可足夠精確地視為空間平行力系。一般所謂重力，就是空間平行力系地合力。可以證明不變形的物體（剛體）在地表面無論怎樣放置，其平行分布重力的合力作用線都通過此物體上的一個(gè)確定的點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為物體的重心重心的坐標(biāo)公式為了求坐標(biāo)

zC，將物體連同直角坐標(biāo)系Oxyz

一起繞x軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°重力的方向并無改變對(duì)有x軸取矩，有PzC

=(P1z1+P2z2+…+Pnzn)=∑Pizi△ViMiCPPiyizixizCxCyCxzyOxzyO△ViMiCPiPzizC體積的重心如果物體是均質(zhì)的，單位體積的重量為γ=常量，以△Vi表示微小體積，物體總體積為V=∑△Vi。將

Pi=γ△Vi代入重心公式，得上式的極限為體積重心與比重?zé)o關(guān)，只與物體的體積有關(guān)面積的重心工程中常采用薄殼結(jié)構(gòu)，其厚度與其表面積S相比是很小的，若薄殼均質(zhì)等厚的，則重心公式為PPiyizixizCxCyCxzyOCds線段的重心如果物體是均質(zhì)等截面的細(xì)長線段，其截面尺寸與其長度l相比是很小的，則重心公式為yizixizCxCyCxzyOPPiC重心公式（1）重心公式（2）重心公式（3）重心公式（4）2.確定重心的常用方法當(dāng)物體具有對(duì)稱軸、對(duì)稱面或?qū)ΨQ中心時(shí)，它的重心一定在對(duì)稱軸、對(duì)稱面或?qū)ΨQ中心上。對(duì)于幾何形狀較復(fù)雜的均質(zhì)物體，往往采用分割法和負(fù)面積法分割法負(fù)面積法3.確定重心的常用實(shí)驗(yàn)方法實(shí)驗(yàn)方法多種多樣，但最常見的是懸掛法。CCCC稱重法為了確定具有對(duì)稱軸的圖示連桿的重心xC，線先稱出連桿重量

P

。然后將其一端支承于A點(diǎn)，另一端放在磅稱B上，測得兩點(diǎn)的水平距離

l及

B

處的約束反力FB,假定為

G,

由∑MA(F)=0，PxC

－FB

l=0本章小結(jié)1、力在直角坐標(biāo)軸上的投影

X=FsinγcosφY=FsinβsinφZ=FcosγXiZiYiFiφxyz