重慶大學 工程力學l11

11彎曲變形§11-1工程中的彎曲變形問題一、為何要研究彎曲變形僅保證構件不會發(fā)生破壞，但如果構件的變形太大也不能正常工作。1、構件的變形限制在允許的范圍內。２、工程有時利用彎曲變形達到某種要求。汽車板簧應有較大的彎曲變形,才能更好的起到緩和減振的作用；案例1：安裝在工程機械駕駛室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的過程中有較大的變形吸收落物或碰撞能量，保證駕駛員的人身安全案例2：案例3：當今時代汽車工業(yè)飛速發(fā)展，道路越來越擁擠，一旦發(fā)生碰撞，你認為車身的變形是大好還是小好？案例4：蹦床要有大變形，才能積蓄能量，將人體彈射到一定高度。3、研究彎曲變形還廣泛應用于超靜定問題分析、穩(wěn)定性分析以及振動分析等方面。除了解決構件的剛度外，二、彎曲變形的物理量扭轉：

FF拉伸彎曲變形的物理量如何？1、撓曲線2、撓度ω向上為正3、轉角逆時針為正截面形心在力的方向的位移截面繞中性軸轉過的角度彎曲變形的物理量撓度ω彎曲變形的物理量轉角+§11-2梁的撓曲線近似微分方程2、撓曲線方程：1、建立坐標系Xoy平面就是梁的縱向對稱面；在平面彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為xoy面內的一條平面曲線；該曲線方程為：3、撓度、轉角物理意義①：撓度的物理意義：撓曲線在該點處的縱坐標；②：轉角的物理意義過撓曲線上點作撓曲線的切線該切線與水平線的夾角為撓曲線在該點處的切線斜率；撓曲線方程在該點處的一階導數(shù)；轉角的正方向：從x軸正向向切線旋轉，逆時針轉動為正。4、撓曲線微分方程中性層處曲率:

對于曲線y=f(x)在任一點處曲率

（瑞士科學家Jacobi.貝努利得到）正好為xoy平面內的一條曲線，平面彎曲的撓曲線所以曲線y=f(x)：從數(shù)學上講是一條普通的平面曲線，從力學上講就是梁發(fā)生彎曲變形的撓曲線。撓曲線微分方程由于沒有采用曲率的簡化式，且彈性模量E無定量結果，撓曲線微分方程故撓曲線微分方程沒有得到廣泛應用。該撓曲線微分方程是適用于彎曲變形的任何情況。非線性的，5、撓曲線近似微分方程在小變形的條件下，撓曲線是一條光滑平坦的曲線，，較小，轉角故得撓曲線近似微分方程：符號規(guī)定：MM撓曲線近似微分方程撓曲線為凹曲線撓曲線為凸曲線彎矩M與二階導數(shù)符號一致。適用范圍：xωxωMM線彈性、小變形;y軸向上，x軸向右；撓曲線的近似微分方程積分一次：轉角方程積分二次：撓曲線方程C、D為積分常數(shù)，由梁的約束條件決定?！?1-3用積分法求彎曲變形懸臂梁：xy梁的邊界條件L簡支梁：xωL梁的邊界條件連續(xù)性條件：CPABaLxy邊界條件光滑連續(xù)性條件連續(xù)性光滑性連續(xù)性條件：ABLaCMxy特別強調在中間鉸兩側轉角不同，但撓度卻是唯一的。連續(xù)不光滑例1：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：xykCPABaL邊界條件光滑連續(xù)性條件例2：寫出梁的邊界條件、連續(xù)性條件：hEACPABaL邊界條件光滑連續(xù)性條件討論：撓曲線分段（1）凡彎矩方程分段處，應作為分段點；（2）凡截面有變化處，或材料有變化處，應作為分段點；（3）中間鉸視為兩個梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系體現(xiàn)為兩部分之間的相互作用力，故應作為分段點；ABLaCM（4）凡分段點處應列出連續(xù)條件；根據(jù)梁的變形的連續(xù)性，對同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉角；ABLaCM討論：撓曲線分段在中間鉸兩側轉角不同，但撓度卻是唯一的。邊界條件連續(xù)性條件例1懸臂梁受力如圖所示。求和。xyx取參考坐標系1、列寫彎矩方程2、代入撓曲線近似微分方程中積分一次：積分二次：轉角方程撓曲線方程AqBL3、確定常數(shù)C、D.邊界條件：AqBLAqBL4、計算A截面的撓度和轉角A截面處CFABaLxy例2一簡支梁受力如圖所示。試求和。1、求支座反力2、分段列出梁的彎矩方程bBC段AC段xx3、代入各自的撓曲線近似微分方程中4、各自積分5、確定積分常數(shù)邊界條件：連續(xù)條件：FaLxωBC段AC段7、求轉角6、撓曲線方程8、求。求得的位置值x。代入得：若則：在簡支梁情況下，不管F作用在何處（支承除外），可用中間撓度代替，其誤差不大，不超過3%。§11-4用疊加法求彎曲變形

一、疊加原理在小變形，是線性的；

材料服從胡克定律的情況下，撓曲線的近似微分方程彎矩與載荷之間的關系對應于幾種不同的載荷，是線性的；彎矩可以疊加，近似微分方程的解也可以疊加。計算彎矩時，使用變形前的位置設彎矩

撓曲線分別滿足各自的近似微分方程將兩個微分方程疊加分別計算出每一載荷單獨引起的變形，將所得的變形疊加即為載荷共同作用下引起的變形——疊加原理?？偟慕莆⒎址匠蹋鹤C明二、疊加原理的限制條件疊加原理僅適用于線性函數(shù)，要求撓度、轉角是載荷的線性函數(shù)。(1)、彎矩與載荷成線性關系;梁發(fā)生小變形，忽略各載荷引起梁的水平位移；梁處于線彈性范圍內，滿足虎克定律；

(2)、曲率與彎矩成線性關系;(3)、撓曲線二階導數(shù)與成線性關系;即梁處于小變形條件下;幾種載荷共同作用下某截面的撓度和轉角，三、疊加原理的特征等于每種載荷單獨作用下引起的同一截面撓度、轉角的向量和。例1

已知：q、l、

EI，求：yC

,B

載荷疊加法（查表法）應用于多個載荷作用的情形yC

,B1、載荷分解qlql2qqlql2q2查表：單獨載荷作用下3、變形疊加例2抗彎剛度EI為常量，用疊加法確定C和yC

?L/2L/2qCBAqL/2L/2qCBAqqqqw

第二類疊加法1將梁的撓曲線分成幾段;逐段剛化法2首先分別計算各段梁的變形在需求位移處引起的位移（撓度和轉角）;3然后計算其總和（代數(shù)和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的變形在需求位移處引起的位移時，除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各段梁均視為剛體。例3

：用疊加法確定yC

?ABalFC1）考慮AB段變形引起的Ｃ截面的撓度(BC段看作剛體)外力向研究的ＡＢ段上簡化ABalCFFaF：作用在支座上，不產(chǎn)生變形。Fa：使AB梁產(chǎn)生變形。ABalCFFaFa引起梁的變形形狀為ＡＢ段上凸；2）考慮BC段變形引起C截面的撓度aABalFCAB段看作剛體FBCC截面的總撓度討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點？疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？彎曲變形的剛度條件：[y]——許用撓度，[]——許用轉角工程中，[y]常用梁的計算跨度l的若干分之一表示。對于橋式起重機梁：對于一般用途的軸：在安裝齒輪或滑動軸承處，許用轉角為：§11–5梁的剛度計算1、y’’=M(x)/EI在

條件下成立？A：小變形；B：材料服從虎克定律；C：撓曲線在XOY面內；D：同時滿足A、B、C；2、等直梁在彎曲變形時，撓曲線曲率在最大

處一定最大。A：撓度B：轉角；C：彎矩；3、在簡支梁中

，對于減少彎曲變形效果最明顯。

A：減小集中力P；

B：增加梁的跨度；

C：采用優(yōu)質鋼；

D：提高截面的慣性矩L/2P4、板條彎成1/4圓，設梁始終處于線彈性范圍內：①σ=My/IZ ,②y’’=M(x)/EIZ

哪一個會得到正確的計算結果？A：①正確、②正確；B：①正確、②錯誤；C：①錯誤、②正確；D：①錯誤、②錯誤；5、使梁變形后與剛性曲面重合，但不產(chǎn)生壓應力，應如何施加外載？R6、圓軸采用普通碳鋼制成，使用中發(fā)現(xiàn)彎曲剛度不夠，提高軸的抗彎剛度的有效措施是：

。A：熱處理；B：選用優(yōu)質合金鋼；

C；增大直徑；D：提高表面光潔度；7、等直梁的最大彎矩處，局部增大直徑，

。A：僅提高強度；B：僅提高剛度；C：強度、剛度均有提高；PxabyP8、細長工件，加工完成后會變成什么形狀？

9、寫出邊界條件與連續(xù)性條件。xyqEI,LEA,a10、寫出邊界條件。11、梁上作用有外力偶，M1和M2，A點位于L/3處。使A點成為撓曲線的拐點，那么M1/M2=?M2M1AL/312、圖示中二個簡支梁的材料、截面形狀、承受的載荷均相同?？缍葹?：2。則二梁的最大撓度之比

。PLP2L§11–6靜不定梁1靜定結構或系統(tǒng)無多余約束的幾何不變的承載系統(tǒng);其全部約束反力與內力都可由靜力平衡方程求出。PP未知力的數(shù)目多于該系統(tǒng)能列出的獨立平衡方程的數(shù)目；2超靜定結構僅僅利用平衡方程不能解出全部未知力。未知力的數(shù)目與獨立平衡方程數(shù)目之差。3超靜定次數(shù)PP4多余約束靜不定結構中，超過維持靜力平衡所必須的約束；與多余約束相對應的反力；5多余約束反力①、提高構件的強度和剛度。

6超靜定系統(tǒng)的特點：PP②、各部分的內力分配與其各部分的剛度比相關。

③、可以產(chǎn)生裝配應力和溫度應力。

7超靜定問題分類結構外部和內部均存在多余約束，即支反力和內力是超靜定的。在結構外部存在多余約束，即支反力是靜不定的;僅在結構內部存在多余約束，即內力是靜不定的;第一類：外力超靜定系統(tǒng)。第二類：內力超靜定系統(tǒng)。第三類：混合超靜定系統(tǒng)；判斷下列結構屬于哪類超靜定外力超靜定內力超靜定混合超靜定8、基本靜定基解除超靜定結構的某些約束后得到的靜定結構；靜定基可根據(jù)需要方便選取，同一超靜定結構可有不同選擇?？扇∥岔斸樚帪槎嘤嗉s束，得到靜定基；也可以把卡盤處視為多余約束而解除，得到靜定基。9相當系統(tǒng)在外載和多余約束作用下的靜定基稱為相當系統(tǒng)。PPPRM10超靜定問題的分析方法以未知位移為基本未知量。2.力法：以未知力為基本未知量。1.位移法：列出用位移表示的力的平衡方程①變形比較法②力法正則方程③三彎矩方程變形比較法原理：比較原結構與其相當系統(tǒng)在多余約束處的變形，相當系統(tǒng)應滿足原結構的位移邊界條件。變形協(xié)調關系。4.利用莫爾積分如何用變形比較法求解超靜定問題？1.判定超靜定次數(shù)2.釋放多余約束,構造相當系統(tǒng)3.列寫變形協(xié)調方程變形協(xié)調關系未知力的方程解除多余約束1結構靜定化相當系統(tǒng)（以方便為準）超靜定結構的求解思想：建立2在未知力處變形協(xié)調條件莫爾積分3變形條件關于力的補充方程例1：如圖超靜定梁，梁的抗彎剛度為EI，跨度為L，受力如圖，求B處的支反力。ABq1、確定靜不定次數(shù)；2、確定多余約束；qAB4、列出變形協(xié)調條件。3、去掉多余約束，得到相當系統(tǒng)5、用疊加法或者莫爾積分計算多余約束處的相應位移；RB

5、用能量法計算梁的彎曲變形。莫爾積分法單位力作用下彎矩方程為：梁的彎矩方程：在B處加一單位力1.0qRBx進行莫爾積分

6、回代到協(xié)調方程中去，求解。ADBCEF例2、圖示懸臂梁AD和BE的抗彎剛度同為CD桿的長

BE=2AD=2米，由鋼桿CD連接。試求懸臂梁AD在D點的撓度。橫截面面積（1）、判定超靜定次數(shù)以CD桿的軸力為多余約束力；ADFNBCEFFNFNFNADBCEF一次內力超靜定問題。（2）、確定多余約束，得到相當系統(tǒng)。（3）、去掉多余約束代之以反力（4）、設兩梁的撓度以向下為正，則變形協(xié)調方程為（5）、用能量法求FFNxxADBCEF1.0x單位力作用下的內力方程：積分得到：ADBCEF（6）、回代到協(xié)調方程中，得到：求解得到：故：（4）、變形協(xié)調方程;（5）、利用能量法求多余約束處的位移或轉角;

變形比較法計算超靜定的步驟（1）、判定超靜定次數(shù);（2）、確定多余約束；（3）、去掉多余約束代之以反力，得到相當系統(tǒng);此時多余約束反力作常量處理;一般情況下，多余約束反力為力的用能量法求線位移；多余約束反力為力偶的求角位移。即：將多余約束處的表示為多余約束反力的函數(shù)（6）、回代到協(xié)調方程中，求解多余約束反力。一旦多余約束得到，系統(tǒng)稱為靜定，用能量法求撓度用能量法求轉角可進行強度、剛度等方面的計算。＝常量轉角＝常量撓度多余約束處qy1、“所有支座反力均可由靜力平衡方程確定的結構均為靜定結構?！?、“用能量法求解超靜定問題時，只需考慮變形幾何條件?！庇懻搹椥泽w受拉力P作用，當P從零開始到終值緩慢加載時，力P在其作用方向上的相應位移也由零增至終值ΔL；一方面：力要做功；彈性體因變形而具有做功的能力，力的作用點沿力的方向有位移另一方面：表明桿件內儲存了應變能11-7

用莫爾定理計算梁的彎曲變形 P如果略去變形過程中的動能及其它能量的損失；功能原理V=W

若外力在由零緩慢加載到終值，變形中的每一瞬間，變形體均處于平衡狀態(tài)；由能量守恒原理，桿件的變形能V在數(shù)值上應等于外力做的功W；對變形體都適用的普遍原理因為變形體產(chǎn)生塑性變形時要消耗一部分能量，留下殘余變形。彈性固體變形是可逆的；當外力解除后，彈性體將恢復其原來形狀，釋放出變形能而做功。但當超出了彈性范圍，具有塑性變形的固體，變形能不能全部轉變?yōu)楣?，也是當今應用甚廣的有限元法求解力學問題的重要基礎。能量原理固體力學中運用功與能有關的基本原理；由能量原理發(fā)展出來的方法；能量法能量原理是在總體上從功與能的角度考察變形體的受力、應力與變形的原理與方法；是進一步學習固體力學的基礎能量法的用處能量法的優(yōu)點不管中間過程，只算最終狀態(tài)能量是標量，容易計算用于求位移一、桿件應變能的計算

線彈性條件下，通過外力功求應變能常力P沿其方向線位移l上所作的功

常力作功：變力作功：在線彈性范圍內，外力P與位移l

間呈線性關系。荷載由零緩慢加載到終值；變形也由零緩慢變化到終值1、軸向拉伸或壓縮LP桿的應變能P由拉壓桿件組成的桿系的應變能：受力復雜桿(軸力沿桿的軸線變化)的應變能P2PKBCD12345qLxdx2、圓截面桿的扭轉應變能圓截面桿的應變能

m受力復雜的圓截面桿(扭矩沿桿的軸線為變量)

xdxLtAB3、平面彎曲的應變能純彎曲梁的應變能：m橫力彎曲梁(彎矩沿梁的軸線為變量)的應變能Pm=PaACBaa一般實心截面的細長梁:剪切變形能遠小于其彎曲變形能，通常忽略不計。圓環(huán)形截面:k=2；4、剪切k由截面的幾何形狀決定:矩形截面:k=1.2；圓截面:k=10/9；一、克拉貝依隆原理二、應變能的普遍表達式廣義力P1，P2，…，Pn作用于物體，且設按同一比例系數(shù)β從零增長到終值。相應地物體產(chǎn)生變形δ1，δ2，…，δn，對于線性彈性材料，則變形也將按相同比例β增加；P2P1Pnδ1δ2δn外力對物體做功，功以應變能儲藏在物體內；如果外力在某一中間值βP1，βP2，…，βPn時各點處的廣義位移達到中間值βδ1，βδ

2，…，βδ

n時有一增量dβ

力在位移增量上做總功Piδi(δi

、Pi)βPiβδidβδi力在位移增量上做功β從0到1外力做功物體的應變能為克拉貝依隆原理組合變形時的變形能，，

注意以上計算公式僅適用于線彈性材料、在小變形下的應變能的計算3只有當桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不做功時，才可應用。2應變能為內力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在同種應變能計算中不能使用。4應變能是恒為正的標量，與坐標軸的選擇無關；在桿系結構中，各桿可獨立選取坐標系。設在梁上作用有外力,求梁軸線上任一點C處的撓度。

在外力作用下，梁的應變能為莫爾積分CF1FnFi一方面：從外力的功看總應變能外載全部卸掉，支座保持不變，在求撓度的點沿撓度方向加一單位力；外載在梁上作的功仍等于在單位力的作用下，梁的應變能為再將原來一組載荷作用于梁上。由于材料服從胡克定律,且變形很小,1.0CF1FnFi1.0fc由于外載的作用，在C點發(fā)生的撓度即為所求。所以梁的總應變能：而單位力在外載

產(chǎn)生的過程中一直保持為常量，故單位力在上做功如果載荷與單位力同時加在梁上，梁截面上的彎矩為

梁的總應變能為CF1FnFi1.0δc另一方面：從內力方程看總應變能兩種情況都是構件的總應變能：單位載荷引起的彎矩。——莫爾積分法又稱單位載荷法。M(x)

：實際載荷引起的彎矩；求轉角的莫爾積分在欲求截面處施加一單位力偶拉壓變形的莫爾積分扭轉變形的莫爾積分如果桿件同時產(chǎn)生拉壓、扭轉和彎曲變形，要求在某一方向的廣義位移

;

可在此方向上加一單位力，以莫爾積分求出該方向的廣義位移；注意幾點1、施加單位力時所有的外載卸掉，支座保持不動；2、外載作用下的內力方程與單位力作用下的內力方程要求正方向與積分區(qū)間的嚴格一致；3、求位移施加力，求轉角施加單位力偶4、結果為正，說明廣義位移與單位力同向；5、外載作用下分段，單位載荷作用下也必須分成相應的段數(shù)；6、欲求的位移和施加的單位力應理解為廣義力和廣義位移。7、若為兩點間的相對線位移，則單位力是施加在兩點上的方向相反的一對單位力，其作用線與兩點的連線重合。注意幾點8、若為兩截面間的相對轉角，則單位力是施加在兩截面上的方向相反的一對單位力偶；一個力一個力偶一對力一對力偶一個線位移一個角位移相對線位移相對角位移廣義力與廣義位移的對應關系1、在應用莫爾積分時，第一項表示什麼意思？1.0CABDPA：C點的總位移；B：C點沿CD方向的位移；C：C點鉛垂位移；D：CD桿縮短引起B(yǎng)點的鉛垂位移；2、受力如左圖，施加單位力如右圖，利用莫爾積分求得位移為：

。A：A截面的轉角；B：B截面的轉角；C：A、B兩截面的相對轉角；D：AB段單位長度扭轉角；1.01.0ABA：結構上的最大位移；B：單位力作用點處的總位移；C：單位力作用處的豎直位移；D：單位力作用處沿單位力方向上的位移；3、用莫爾積分ｆ＝求得的位移ｆ是：

。4、應用莫爾積分計算撓度時，結果為正，說明撓度的方向為：

。A：向上；B：向下；C：與單位力方向一致；D：與單位力方向反向；設在某彈性體上作用有外力，在支承約束下，在相應的力方向產(chǎn)生的位移為，(i=1,2,…,n)?？梢宰C明：卡氏定理

注意：只有當彈性系統(tǒng)為線性，即其位移與載荷成線性關系時，才能應用卡氏定理。應用卡氏定理求出為正時，表示該廣義位移與其相應的廣義力作用的方向一致；若為負值，則表示方向相反。證明：再加增量，則變形能U的增量dU為梁的總變形能為：(a)考慮兩種不同的加載次序。(1)先加，此時彈性體的變形能為U：(2)

先加，然后再加，此時彈性體的變形能由三部分組成：梁的總變形能為：(b)(a)

在相應的位移上所作的功

(b)在相應位移上所作的功：(c)原先作用在梁上的對位移所作的功根據(jù)彈性體的變形能只決定于外力的最終值，而與加載的次序無關。(a)(b)兩式相等：略去二階微量，化簡后得：卡氏定理的特殊形式(1)橫力彎曲的梁：對于剛架，若忽略軸力和剪力對于變形的影響，則也可應用上式計算變形。(2)小曲率的平面曲桿式中s—沿曲桿軸線的曲線長度。(3)桁架(4)產(chǎn)生拉(壓)、扭轉與彎曲的組合變形的圓截面等直桿練習：結構受力如圖所示,F=2KN,L=3m,設AB桿的抗彎剛度為EI,CD桿的抗拉剛度為EA,不計剪力的影響.試用卡氏定理求B端的豎直位移。ALFCL/2B2L/3D

在所求位移處沿所求位移的方向上加上一個虛設的集中力或集中力偶；或一對力或一對力偶，此時應變能為：或若所得位移為正，則表示與附加力的方向一致；若為負值，則表示與虛