第10章 單因素方差分析

第10章單因素方差分析One-factoranalysisofvariance用6種培養(yǎng)液培養(yǎng)紅苜蓿，每一種培養(yǎng)液做5次重復(fù)，測(cè)定5盆苜蓿的含氮量，結(jié)果如下表（單位:mg）．問(wèn)用6種不同培養(yǎng)液培養(yǎng)的紅苜蓿含氮量差異是否顯著？盆號(hào)培養(yǎng)方法ⅠⅡⅢⅣⅤⅥ1234519.432.627.032.133.017.724.827.925.224.317.019.49.111.915.820.721.020.518.818.614.314.411.811.614.217.319.419.116.920.8方差分析(analysisofvariance－ANOVA)

是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的。方差分析是一種特殊的假設(shè)檢驗(yàn)，是用來(lái)判斷多組數(shù)據(jù)之間平均數(shù)差異顯著性的．

它不同于t檢驗(yàn)之處在于：它把所有數(shù)據(jù)放在一起，一次比較就對(duì)所有各組間是否有差異做出判斷，如果沒(méi)有顯著性差異，則認(rèn)為各組平均數(shù)相同；如果發(fā)現(xiàn)有差異，再進(jìn)一步比較是哪組數(shù)據(jù)與其它數(shù)據(jù)不同．在多組數(shù)據(jù)的平均數(shù)之間做比較時(shí)，可以在平均數(shù)的所有對(duì)之間做t檢驗(yàn)，但這樣做會(huì)提高犯I型錯(cuò)誤的概率，因而是不可取的。方差分析可以防止該問(wèn)題的出現(xiàn)。如對(duì)5個(gè)平均數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，若做t檢驗(yàn)，則需做10次，假設(shè)每一次檢驗(yàn)接受零假設(shè)的概率為0.95，那么10次都接受零假設(shè)的概率為（0.95）10=0.60，（至少有1次）拒絕零假設(shè)的概率為0.40，犯I型錯(cuò)誤的概率明顯平加方差分析中常用基本概念（一）試驗(yàn)指標(biāo)(experimentalindex)

為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測(cè)定的性狀或觀測(cè)的項(xiàng)目。（二）試驗(yàn)因素

(experimentalfactor)

試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素叫試驗(yàn)因素。當(dāng)試驗(yàn)中考察的因素只有一個(gè)時(shí)，稱(chēng)為單因素試驗(yàn)；

若同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上的因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響時(shí)，則稱(chēng)為兩因素或多因素試驗(yàn)。按是否可控制因素可分為：固定因素和隨機(jī)因素．

固定因素：可準(zhǔn)確控制且其水平固定后效應(yīng)也固定，比如：溫度、化學(xué)藥物濃度等．隨機(jī)因素：因素水平不能?chē)?yán)格控制或者說(shuō)即使其水平可控制但其效應(yīng)也不固定．比如：動(dòng)物的窩別、農(nóng)家肥的效果等．試驗(yàn)因素常用大寫(xiě)字母A、B、C、…等表示。（三）因素水平(leveloffactor)

試驗(yàn)因素所處的某些特定狀態(tài)或數(shù)量等級(jí)稱(chēng)為因素水平，簡(jiǎn)稱(chēng)水平。比如：不同的溫度；溶液不同濃度等．（四）重復(fù)

(repeat)

在試驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上，稱(chēng)為處理有重復(fù)；一處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)稱(chēng)為處理的重復(fù)數(shù)。第一節(jié)單因素方差分析的基本原理一、線性模型二、固定線性模型三、隨機(jī)線性模型四、多重比較五、基本假定（一）線性模型

假設(shè)某單因素試驗(yàn)有a個(gè)處理，每個(gè)處理有n次重復(fù)，共有na

個(gè)觀測(cè)值。這類(lèi)試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)模式如表7-1所示。一、線性模型表7-1單因素方差分析的典型數(shù)據(jù)模式

X1X2X3…

Xi…

Xa

合計(jì)1

χ11χ21χ31χi1χa1

2χ12χ22χ32χi2χa23χ13χ23χ33χi3χa3………………jχ1jχ2jχ3jχij

χajnχ1nχ2nχ3nχinχan合計(jì)平均數(shù)總體均數(shù)處理效應(yīng)符號(hào)文字表述an因素水平數(shù)每一水平的重復(fù)數(shù)第i水平的第j次觀察值第i水平所有觀察值的和第i水平均值全部觀察值的和總平均值第i水平上的子樣方差各處理總和、平均數(shù)、大總和、總平均數(shù)是計(jì)算的一級(jí)數(shù)據(jù)，在本章我們采用了黑點(diǎn)符號(hào)體系法表示，要注意熟悉和掌握?？梢苑纸鉃?/p>

表示第i個(gè)處理觀測(cè)值總體的平均數(shù)。為了看出各處理的影響大小，將再進(jìn)行分解，

其中μ表示全試驗(yàn)觀測(cè)值的總體平均數(shù)(overallmean)，是第i個(gè)處理的效應(yīng)(treatmenteffect),表示處理i對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響。是試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布N（0，σ2）。上式就稱(chēng)為單因素試驗(yàn)的線性統(tǒng)計(jì)模型（linearstatisticalmodel）亦稱(chēng)數(shù)學(xué)模型。

方差分析的目的就是要檢驗(yàn)處理效應(yīng)的大小和有無(wú)。（二）方差分析的基本思路

將總的變差分解為構(gòu)成總變差的各個(gè)部分。即將a個(gè)處理的觀測(cè)值作為一個(gè)整體看待，把觀察值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來(lái)源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來(lái)源的總體方差估計(jì)值；通過(guò)這些估計(jì)值的適當(dāng)比值，就能檢驗(yàn)各樣本所屬總體均值是否相等。

方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測(cè)值變異原因的數(shù)量分析。二固定模型fixedmodel:

因素固定、效應(yīng)也固定反應(yīng)到線性模型中即為常數(shù)．可要求1.假設(shè)

固定模型的零假設(shè)為：備擇假設(shè)為：

故an個(gè)觀察值的總變異可分解為處理間的變異和處理內(nèi)的變異兩部分。全部觀察值的總變異可以用總均方來(lái)度量，處理間變異和處理內(nèi)變異分別用處理間均方和處理內(nèi)均方來(lái)度量。

2.

平方和與自由度的剖分總均方的拆分是通過(guò)將總均方的分子──稱(chēng)為總離均差平方和，簡(jiǎn)稱(chēng)為總平方和(totalsumofsquares，SST)

，剖分成處理間平方和(sumofsquaresbetweentreatments，SSA)與處理內(nèi)平方和(sumofsquareswithintreatment，SSe)兩部分；將總均方的分母──稱(chēng)為總自由度，剖分成處理間自由度與處理內(nèi)自由度兩部分來(lái)實(shí)現(xiàn)的。處理間均方（處理均方，MSA

）

處理內(nèi)均方（誤差均方，MSe

）總平方和的拆分三種平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算公式如下：①等重復(fù)時(shí)：②不等重復(fù)時(shí)：在計(jì)算總平方和時(shí)，資料中的各個(gè)觀察值要受這一條件約束，總自由度等于資料中觀察值的總個(gè)數(shù)減1，即an-1。

總自由度記為dfT，則

dfT

=an-1

。在計(jì)算處理間平方和時(shí)，各處理均數(shù)要受這一條件的約束，故處理間自由度為處理數(shù)減1，即a-1。

處理間自由度記為dfA，則dfA=a-1?？傋杂啥鹊牟鸱衷谟?jì)算處理內(nèi)平方和時(shí)，要受a個(gè)條件的約束，即，i=1,2,...a。故處理內(nèi)自由度為資料中觀察值的總個(gè)數(shù)減a，即an-a。

處理內(nèi)自由度記為dfe，則dfe=an-a=a(n-1)。因?yàn)?/p>

na-1=(a-1)+(na-a)=(a-1)+a(n-1)

所以dfT=dfA+dfe綜合以上各式得：各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方（誤差均方）,分別記為：

MST(或ST2)、MSA(或SA2)和MSe(或Se2),即

MST=ST2=SST/dfT;

MSt=St2=SSt/dft;

MSe=Se2=SSe/dfe

注意：在方差分析中不涉及總均方的數(shù)值，所以一般不必計(jì)算；總均方一般不等于處理間均方加處理內(nèi)均方。3.期望均方(expectedmeansquares

EMS）若A是B的無(wú)偏估計(jì)，則稱(chēng)B是A的數(shù)學(xué)期望。處理內(nèi)均方MSe是誤差方差2的無(wú)偏估計(jì)值，即2稱(chēng)為MSe

的數(shù)學(xué)期望。4.統(tǒng)計(jì)量當(dāng)零假設(shè)成立時(shí)，處理效應(yīng)的方差為零，亦即各處理觀察值總體均數(shù)i(i=1，2，…，a)

相等時(shí)，處理間均方MSA與處理內(nèi)均方一樣，也是誤差方差2的估計(jì)值。

方差分析就是通過(guò)MSA與MSe的比較來(lái)推斷各處理平均數(shù)間差異的大?。?/p>

F=MSA/MSeF具有兩個(gè)自由度：df1=dfA=a-1;df2=dfe=a(n-1)。查附表7:若F＜，即P＞0.05，不能否定H0，可認(rèn)為各處理間差異不顯著；若≤F＜，即0.01＜P≤0.05,否定H0，接受HA，認(rèn)為各處理間差異顯著，標(biāo)記“*”

;若F≥

，即P≤0.01，否定H0，接受HA，認(rèn)為各處理間差異極顯著，標(biāo)記“**”?！纠?0.2】

某試驗(yàn)研究不同藥物對(duì)腹水癌的治療效果，將患腹水癌的25只小白鼠隨機(jī)分為5組，每組5只。其中A1組不用藥作為對(duì)照，A2、A3為兩個(gè)不同的用中藥組，A4、A5為兩個(gè)不同的西藥組。各組小白鼠的存活天數(shù)如表7—2所示。表10—2

用不同藥物治療腹水癌小白鼠的結(jié)果藥物各小鼠存活天數(shù)（xij）合計(jì)xi.平均A11516151718816561

1319A2454250383921445796

9254A3303529313516025600

5152A4312820253013417956

3670A5403531323016828224

5710合計(jì)x..=75712413725105這是一個(gè)單因素試驗(yàn)，處理數(shù)a=5,重復(fù)數(shù)n=5。第一步：計(jì)算一級(jí)數(shù)據(jù)（見(jiàn)表）；第二步：計(jì)算SSe、SSA、

dfe

、dfA

矯正項(xiàng)

C=x2../an總平方和處理間平方和

=248274-2291.96=1905.44處理內(nèi)平方和SSe=SST-SSA=2183.04-1905.44=277.60總自由度dfT

=an-1=25-1=24處理間自由度dfA=a-1=5-1=4處理內(nèi)自由度dfe=dfT-dfA=24-4=20

處理間均方MSA=SSt

/dfA

=1905.44

/4=476.36

處理內(nèi)均方MSe=SSe

/dfe

=

277.60

/20=13.88

第三步：提出假設(shè)零假設(shè)為：H0:各處理組小鼠存活天數(shù)差異不顯著

備擇假設(shè)為：HA:各處理組小鼠存活天數(shù)差異顯著第四步：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

F=MSA/MSe=476.36/13.88=34.32**第五步：查表根據(jù)df1=dft=4，df2=dfe=20查附表7，得F0.01(4,20)=4.43第六步：做出推斷及生物學(xué)解釋?zhuān)?/p>

F＞F0.01(4,20)=4.43，P＜0.01。說(shuō)明五個(gè)處理小白鼠存活天數(shù)差異極顯著，用不同藥物治療小白鼠腹水癌的療效是不同的。在方差分析中，通常將變異來(lái)源、平方和、自由度、均方和F值歸納成一張方差分析表。表10—3

例10.2資料的方差分析表變異來(lái)源平方和自由度均方F值處理間SSA

1905.44dfA

4MSA

476.3634.22**處理內(nèi)SSe

277.60dfe

20MSe

13.88總變異SST2183.04

dfT

24F值應(yīng)與相應(yīng)的被檢驗(yàn)因素齊行;在表的左下方注出顯著水平α。應(yīng)用舉例：例4

調(diào)查了5個(gè)不同小麥品系的株高，結(jié)果見(jiàn)下表，問(wèn)該5個(gè)小麥品系株高間的差異是否顯著？株號(hào)品

系IIIIIIIVV164.664.567.871.869.2265.365.366.372.168.2364.864.667.170.069.8466.063.766.869.168.3565.863.968.571.067.5平均數(shù)65.364.467.370.868.6為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將每一個(gè)原始數(shù)據(jù)均減去65，列成下表

株號(hào)品

系IIIIIIIVV1-0.4-0.52.86.84.220.30.31.37.13.23-0.2-0.42.15.04.841.0-1.31.84.13.350.8-1.13.56.02.5總和xi·1.5-3.011.529.018.057.0xi·22.259.00132.25841.00324.001308.5Σxij21.933.429.43174.4668.06277.281.提出假設(shè)：H0：HA：2．計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F：

=147.32=131.74SSe

＝SST－SSA

＝15.58MSA＝SSA／(a-1)＝32.72MSe＝SSe／(an-a)＝0.78F＝MSA／MSe＝41.953．查附表3得：F4,20,0.05＝2.87，F(xiàn)4,20,0.01＝4.43。F＞F4,20,0.01，拒絕H0，說(shuō)明5個(gè)不同小麥品系的株高差異極顯著。將以上結(jié)果列為方差分析表：

變差來(lái)源平方和自由度均方F處理間131.74432.7241.95**誤差15.58200.78總和147.3224三、隨機(jī)模型Randommodel:因素隨機(jī)、效應(yīng)不固定

是試驗(yàn)誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布不再為常數(shù)，且服從正態(tài)分布1.假設(shè)

隨機(jī)模型的零假設(shè)為：備擇假設(shè)為：

2.總平方和與總自由度的剖分：同固定模型3.數(shù)學(xué)期望：4.統(tǒng)計(jì)量F:注意：在做生物學(xué)解釋時(shí)，固定模型中的結(jié)論只適用于檢查的那幾個(gè)因素水平；隨機(jī)模型中的結(jié)論可推廣到這一因素的各個(gè)水平四、多重比較(multiplecomparisons)（一）為什么要進(jìn)行多重比較？

F值顯著或極顯著，否定了無(wú)效假Ho，表明試驗(yàn)的總變異主要來(lái)源于處理間的變異，試驗(yàn)中各處理平均數(shù)間存在顯著或極顯著差異。但并不意味著每?jī)蓚€(gè)處理平均數(shù)間的差異都顯著或極顯著，也不能具體說(shuō)明哪些處理平均數(shù)間有顯著或極顯著差異，哪些沒(méi)有顯著差異。因而，有必要進(jìn)行兩兩處理平均數(shù)間的比較，以具體判斷兩兩處理平均數(shù)間的差異顯著性。（二）概念統(tǒng)計(jì)上把多個(gè)平均數(shù)兩兩間的相互比較稱(chēng)為多重比較。（三）常用的多重比較方法

多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)。

1、最小顯著差數(shù)法(LSD法，Leastsignificantdifference)

此法的基本原理是：在處理間F檢驗(yàn)顯著的前提下,先計(jì)算出顯著水平為α的最小顯著差數(shù)LSDα,然后將任意兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對(duì)值與其比較，作出結(jié)論。最小顯著差數(shù)由下式計(jì)算：式中為在F檢驗(yàn)中誤差自由度下，顯著水平為α的臨界t值,均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤則下式算得。其中MSe為F檢驗(yàn)中的誤差均方，n為各處理內(nèi)的重復(fù)數(shù)。顯著水平取0.05和0.01時(shí)，從t值表查出代入，即可求得LSD0.05和LSD0.01利用LSD法進(jìn)行多重比較時(shí)，步驟如下:列出平數(shù)的多重比較表，比較表中各處理按其平均數(shù)從大到小自上而下排列；計(jì)算最小顯著差數(shù)LSD0.05和LSD0.01;將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與計(jì)算出的LSD0.05

、LSD0.01

比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。

【例10.2】dfe=20,n=5,MSe=13.88查t值表得t0.05(dfe)=t0.05(20)=2.086，t0.01(dfe)=t0.01(20)=2.845

所以顯著水平為0.05與0.01的最小的顯著差數(shù)為：

表10-4五個(gè)處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表(LSD法))處理平均數(shù)

-16.2

-26.8

-32.0

-33.6A542.826.6**16.0**10.8**9.2**A433.617.4**6.8**1.6A332.015.8**5.2*A226.810.6**A116.2將表10—4中的10個(gè)差數(shù)與LSD0.05

、LSD0.01比較：小于LSD0.05者不顯著；介于LSD0.05與LSD0.01之間者顯著，標(biāo)記“*”；大于LSD0.01者極顯著，標(biāo)記“**”。檢驗(yàn)結(jié)果除差數(shù)1.6不顯著、5.2顯著外，其余各差數(shù)極顯著。表明所用的藥物不論中西藥對(duì)小白鼠腹水癌都有一定療效，除中藥A3與西藥A4的療效差異不顯著外，其余藥物間的療效都有顯著或極顯著差異。說(shuō)明：

LSD實(shí)質(zhì)上就是t檢驗(yàn)法：它是將t檢驗(yàn)中由所求得的t的絕對(duì)值與臨界值的比較轉(zhuǎn)化為將各對(duì)均數(shù)差值的絕對(duì)值與最小顯著差數(shù)的比較，從而做出統(tǒng)計(jì)推斷的．2、最小顯著極差法(LSR法，Leastsignificantranges)LSR

法的特點(diǎn)：把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)(稱(chēng)為秩次距)k的不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度，以克服LSD法的不足。這些在顯著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗(yàn)尺度叫做最小顯著極差。因此，若有k個(gè)平均數(shù)相互比較，就有k-1種秩次距(k,k-1,k-2,…,2)，因而需求得k-1

個(gè)最小顯著極差R(α,k

），以作為判斷各秩次距(k)平均數(shù)的極差是否顯著的標(biāo)準(zhǔn)。常用的LSR法為Duncan法。檢驗(yàn)步驟：列出平均數(shù)多重比較表；由自由度dfe、秩次距k查“多重比較中的Duncan表”（附表7），計(jì)算最小顯著極差R0.05,k

和R0.01,k

；

將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應(yīng)的最小顯著極差R0.05,k

和R0.01,k比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。對(duì)于【例10.1】，已算出=1.67，依dfe=20,k=2,3,4,5，由附表6查臨界r0.05(20,k)和r0.01(20,k)值，乘以，求得各最小顯著極差。所得結(jié)果列于表10—5。表10—5r值與R值dfe秩次距kr0.05r0.01R0.05R0.012022.954.024.96.733.104.225.27.043.184.335.37.253.254.405.47.3處理平均數(shù)-16.2

-26.8

-32.0

-33.6A542.826.0**16.0**10.8**9.2**A433.617.4**6.8*1.6nsA332.015.8**5.2*A226.810.6**A116.2

表10-6五個(gè)處理小鼠平均存活天數(shù)多重比較表(Duncan

法))五、基本假定①效應(yīng)的可加性（additivity）②分布的正態(tài)性（normality）③方差的同質(zhì)性（homogeneity）方差分析的基本步驟1.計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度。2.列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)。3.若F檢驗(yàn)顯著，則進(jìn)行多重比較。多重比較的方法有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)。第二節(jié)單因素方差分析的基本步驟一、各處理重復(fù)數(shù)相等的方差分析【例10.2】

為了研究小白鼠患白血病后脾組織中DNA含量的變化，測(cè)定四組，每組各8只（即a=4,n=8）小白鼠脾組織中DNA的含量；第1組為正常脾，第2組為患自發(fā)性白血病的脾；第3組為患移植性白血病AK4的脾；第4組為患移植性白血病9421的脾。測(cè)定結(jié)果見(jiàn)表10—7。試檢驗(yàn)各組DNA含量差異是否顯著。表10—7四組小白鼠脾組織中DNA含量1.

計(jì)算各項(xiàng)平方和與自由度

C=x2../an=398.12/(4×8)=4952.61組別DNA含量（mg/g）xi.xi.2112.313.213.715.215.816.917.315.4119.814.981815.9614352.04210.811.612.312.713.513.514.813.6102.812.851332.2810567.843

9.310.311.111.711.712.012.312.490.811.351038.628244.644

9.510.310.510.5

10.510.911.011.584.710.59899.157174.09合計(jì)x..=398.1

5086.0140338.61

SSe=SST–SSA=133.40-89.72=43.68

dfT=an-1=4×8-1=31

dfA=a-1=4-1=3

dfe=dfT-dfA=31-3=28

2.

列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)，見(jiàn)表(10—8)。表10—8

四組小白鼠脾中DNA含量方差分析表變異來(lái)源平方和自由度均方F值組間89.72329.9119.17**組內(nèi)43.68281.56總變異133.4031根據(jù)df1=dfA=3,df2=dfe=28查臨界F值得：

F0.05(3,28)=2.95,F0.01(3,28)=4.57

因?yàn)镕＞F0.01(3,28),即P＜0.01，表明處理間DNA含量的差異達(dá)到1％顯著水平。3.

多重比較采用Duncan法。各處理平均數(shù)多重比較表，見(jiàn)表10—9。因?yàn)镸Se=1.56,n=8,所以根據(jù)dfe=28，秩次距k=2,3,4由附表9查出α=0.05和α=0.01的各臨界r值,各r值乘以,即得各最小顯著極差。所得結(jié)果列于表10—9。

表10—9

r值及LSR值表10—10

各組DNA含量平均數(shù)多重比較表(Duncun法)dfe秩次距kr0.05r0.01R0.05R0.012822.903.911.2821.72833.044.081.34421.80343.134.181.38331.848組別平均數(shù)

-10.59

-11.35

-12.85114.984.39**3.63**2.13**212.852.26**1.50*311.350.76410.59檢驗(yàn)結(jié)果表明：

正常脾中DNA含量極顯著高于患有各類(lèi)白血病脾中DNA含量；患自發(fā)性白血病脾中DNA含量極顯著高于患移植性白血病9421，顯著高于患移植性白血病AK4；第三組第四組之間差異不顯著。四組中以正常脾DNA含量最高，第二組次之，第三、四組最低。也就是說(shuō)各類(lèi)白血病都將導(dǎo)致小白鼠脾中DNA含量明顯降低。組別平均數(shù)

4

3

2114.984.39**3.63**2.13**212.852.26**1.50*311.350.76410.59二、各處理重復(fù)數(shù)不相等的方差分析這種情況下方差分析步驟與各處理重復(fù)數(shù)相等的情況相同，只是在有關(guān)計(jì)算公式上略有差異。設(shè)處理數(shù)為a；各處理重復(fù)數(shù)為n1,n2,…,na

；試驗(yàn)觀察值總數(shù)為N=Σni。則【例10.3】五個(gè)不同品種豬的育肥試驗(yàn)，30天后增重(kg)如表10—11所示。試比較品種間增重有無(wú)差異。表10—11五個(gè)品種豬30天增重品種增重（kg）nixi.xi.2/niB121.519.520.022.018.020.06121.02440.1720.22450.5B216.018.517.015.520.016.06103.01768.1717.21783.5B