第5章 概率與概率分布

隨機事件的幾個基本概念

試驗在相同條件下，對事物或現(xiàn)象所進行的觀察例如：擲一枚骰子，觀察其出現(xiàn)的點數試驗的特點可以在相同的條件下重復進行每次試驗的可能結果可能不止一個，但試驗的所有可能結果在試驗之前是確切知道的在試驗結束之前，不能確定該次試驗的確切結果事件的概念事件(event)：隨機試驗的每一個可能結果(任何樣本點集合)例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點數為3隨機事件(randomevent)：每次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件例如：擲一枚骰子可能出現(xiàn)的點數必然事件(certainevent)：每次試驗一定出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點數小于7不可能事件(impossibleevent)：每次試驗一定不出現(xiàn)的事件，用表示例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點數大于6事件與樣本空間基本事件(elementaryevent)一個不可能再分的隨機事件例如：擲一枚骰子出現(xiàn)的點數樣本空間(samplespace)一個試驗中所有基本事件的集合，用表示例如：在擲枚骰子的試驗中，{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗中，{正面，反面}事件的概率事件的概率

(probability)事件A的概率是對事件A在試驗中出現(xiàn)的可能性大小的一種度量表示事件A出現(xiàn)可能性大小的數值事件A的概率表示為P(A)概率的定義有：古典定義、統(tǒng)計定義和主觀概率定義概率的古典定義如果某一隨機試驗的結果有限，而且各個結果在每次試驗中出現(xiàn)的可能性相同，則事件A發(fā)生的概率為該事件所包含的基本事件個數m與樣本空間中所包含的基本事件個數n

的比值，記為概率的統(tǒng)計定義在相同條件下進行n次隨機試驗，事件A出現(xiàn)m次，則比值m/n稱為事件A發(fā)生的頻率。隨著n的增大，該頻率圍繞某一常數P上下擺動，且波動的幅度逐漸減小，取向于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值即為事件A的概率，記為主觀概率定義對一些無法重復的試驗，確定其結果的概率只能根據以往的經驗人為確定概率是一個決策者對某事件是否發(fā)生，根據個人掌握的信息對該事件發(fā)生可能性的判斷例如，我認為2003年的中國股市是一個盤整年概率的性質非負性對任意事件A，有0P(A)1規(guī)范性必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P()=1；P()=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)推廣到多個兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有P

(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)概率的加法法則

(additiverule)法則一兩個互斥事件之和的概率，等于兩個事件概率之和。設A和B為兩個互斥事件，則

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)概率的加法法則

(additiverule)法則二

對任意兩個隨機事件A和B，它們和的概率為兩個事件分別概率的和減去兩個事件交的概率，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

條件概率

(conditionalprobability)在事件B已經發(fā)生的條件下，求事件A發(fā)生的概率，稱這種概率為事件B發(fā)生條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為

P(B)P(AB)P(A|B)=概率的乘法公式

(multiplicativerule)用來計算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎設A、B為兩個事件，若P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)事件的獨立性

(independence)一個事件的發(fā)生與否并不影響另一個事件發(fā)生的概率，則稱兩個事件獨立若事件A與B獨立，則P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)此時概率的乘法公式可簡化為

P(AB)=P(A)·P(B)推廣到n個獨立事件，有

P(A1A2

…An)=P(A1)P(A2)…P(An)全概公式設事件A1，A2，…，An

兩兩互斥，A1+A2+…+

An=（滿足這兩個條件的事件組稱為一個完備事件組），且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，則對任意事件B，有我們把事件A1，A2，…，An

看作是引起事件B發(fā)生的所有可能原因，事件B能且只能在原有A1，A2，…，An

之一發(fā)生的條件下發(fā)生，求事件B

的概率就是上面的全概公式貝葉斯公式

(逆概公式)與全概公式解決的問題相反，貝葉斯公式是建立在條件概率的基礎上尋找事件發(fā)生的原因設n個事件A1，A2，…，An

兩兩互斥，A1+A2+…+

An=(滿足這兩個條件的事件組稱為一個完備事件組)，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n)，則隨機變量

(randomvariables)一次試驗的結果的數值性描述（更好的解釋）一般用X、Y、Z來表示例如:投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數量根據取值情況的不同分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量

(discreterandomvariables)隨機變量X

取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來X1,X2，…以確定的概率取這些不同的值離散型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查100個產品一家餐館營業(yè)一天電腦公司一個月的銷售銷售一輛汽車取到次品的個數顧客數銷售量顧客性別0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性為0,女性為1連續(xù)型隨機變量

(continuousrandomvariables)隨機變量X

取無限個值所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數軸上某一區(qū)間內的任意點連續(xù)型隨機變量的一些例子試驗隨機變量可能的取值抽查一批電子元件新建一座住宅樓測量一個產品的長度使用壽命(小時)半年后工程完成的百分比測量誤差(cm)X00

X100X0離散型隨機變量的概率分布列出離散型隨機變量X的所有可能取值列出隨機變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi稱為離散型隨機變量的概率函數pi0離散型隨機變量的概率分布

(0—1分布)

一個離散型隨機變量X只取兩個可能的值例如，男性用1表示，女性用0表示；合格品用1表示，不合格品用0表示列出隨機變量取這兩個值的概率離散型隨機變量的概率分布

(均勻分布)

一個離散型隨機變量取各個值的概率相同列出隨機變量取值及其取值的概率例如，投擲一枚骰子，出現(xiàn)的點數及其出現(xiàn)各點的概率離散型隨機變量的數學期望

(expectedvalue)在離散型隨機變量X的一切可能取值的完備組中，各可能取值xi與其取相對應的概率pi乘積之和描述離散型隨機變量取值的集中程度計算公式為離散型隨機變量的方差

(variance)隨機變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的數學期望，記為D(X)描述離散型隨機變量取值的分散程度計算公式為二項試驗

(貝努里試驗)

二項分布與貝努里試驗有關貝努里試驗具有如下屬性試驗包含了n

個相同的試驗每次試驗只有兩個可能的結果，即“成功”和“失敗”出現(xiàn)“成功”的概率p對每次試驗結果是相同的；“失敗”的概率q也相同，且p+q=1試驗是相互獨立的試驗“成功”或“失敗”可以計數二項分布

(Binomialdistribution)進行

n

次重復試驗，出現(xiàn)“成功”的次數的概率分布稱為二項分布設X為n次重復試驗中事件A出現(xiàn)的次數，X取x

的概率為二項分布顯然，對于P{X=x}0，x=1,2,…,n，有同樣有當

n=1時，二項分布化簡為二項分布的數學期望和方差二項分布的數學期望為

E(X)＝np方差為

D(X)＝npq泊松分布

(Poissondistribution)用于描述在一指定時間范圍內或在一定的長度、面積、體積之內每一事件出現(xiàn)次數的分布泊松分布的例子一個城市在一個月內發(fā)生的交通事故次數消費者協(xié)會一個星期內收到的消費者投訴次數人壽保險公司每天收到的死亡聲明的人數泊松概率分布函數—給定的時間間隔、長度、面積、體積內“成功”的平均數e=2.71828x—給定的時間間隔、長度、面積、體積內“成功”的次數泊松概率分布的期望和方差泊松分布的數學期望為

E(X)=方差為

D(X)=

泊松分布

(作為二項分布的近似)當試驗的次數n

很大，成功的概率p

很小時，可用泊松分布來近似地計算二項分布的概率，即實際應用中，當P0.25，n>20，np5時，近似效果良好，連續(xù)型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量可以取某一區(qū)間或整個實數軸上的任意一個值它取任何一個特定的值的概率都等于0不能列出每一個值及其相應的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率用數學函數的形式和分布函數的形式來描述概率密度函數

(probabilitydensityfunction)設X為一連續(xù)型隨機變量，x

為任意實數，X的概率密度函數記為f(x)，它滿足條件

f(x)不是概率概率密度函數在平面直角坐標系中畫出f(x)的圖形，則對于任何實數x1

<x2，P(x1<Xx2)是該曲線下從x1

到x2的面積f(x)xab分布函數

(distributionfunction)連續(xù)型隨機變量的概率也可以用分布函數F(x)來表示分布函數定義為根據分布函數，P(a<X<b)可以寫為分布函數與密度函數的圖示密度函數曲線下的面積等于1分布函數是曲線下小于

x0

的面積f(x)xx0F(x0

)連續(xù)型隨機變量的期望和方差連續(xù)型隨機變量的數學期望為方差為均勻分布

(uniformdistribution)若隨機變量X的概率密度函數為

稱X在區(qū)間[a,b]上均勻分布數學期望和方差分別為正態(tài)分布

(normaldistribution)1. 描述連續(xù)型隨機變量的最重要的分布2. 可用于近似離散型隨機變量的分布例如:二項分布3. 經典統(tǒng)計推斷的基礎xf(x)概率密度函數f(x)=隨機變量X的頻數

=總體方差

=3.14159;e=2.71828x=隨機變量的取值(-<x<+)

=總體均值正態(tài)分布函數的性質概率密度函數在x

的上方，即f(x)>0正態(tài)曲線的最高點在均值，它也是分布的中位數和眾數正態(tài)分布是一個分布族，每一特定正態(tài)分布通過均值和標準差來區(qū)分。決定了圖形的中心位置,決定曲線的平緩程度，即寬度曲線f(x)相對于均值對稱，尾端向兩個方向無限延伸，且理論上永遠不會與橫