第2章質(zhì)點動力學(xué)

1牛頓第二章質(zhì)點動力學(xué)

前言§2-1牛頓運動定律*§2-2非慣性系慣性力§2-3動量動量守恒定律

質(zhì)心運動定律

§2-4功動能勢能機械能守恒定律

*§2-5理想流體的伯努利方程2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇2

前言運動和物體相互作用的關(guān)系是人類幾千年來不斷探索的課題。力的作用既有瞬時效應(yīng)，又有積累效應(yīng)：前者由牛頓定律描述，后者則由三大守恒律所描述；在深一層次上，人們還發(fā)現(xiàn)，反映力在時、空過程中積累效應(yīng)的三大守恒律是與時、空的某種對稱性相聯(lián)系的。原來物體作何種運動，既與物體間的相互作用有關(guān)，又與物體自身的性質(zhì)有關(guān)。當(dāng)物體內(nèi)部出現(xiàn)某種非線性因素時，在一定條件下即可能導(dǎo)致混沌。從17世紀(jì)開始，以牛頓定律為基礎(chǔ)建立起來的經(jīng)典力學(xué)體系，一直被認(rèn)為是“確定論”的。但廿世紀(jì)80年代，人們發(fā)現(xiàn)了在“確定論”系統(tǒng)中，卻可能出現(xiàn)“隨機行為”。在力學(xué)中，物體與物體間的相互作用稱之為力。為什么？2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇3§2－1牛頓運動定律2.1.1慣性定律慣性參照系在運動的描述中，各種參考系都是等價的。但實驗表明，動力學(xué)規(guī)律并非是在任何參考系中都成立。這就引出了慣性參考系的問題。1、慣性定律“孤立質(zhì)點”的模型：不受其它物體作用或離其他物體都足夠遠(yuǎn)的質(zhì)點。例如，太空中一遠(yuǎn)離所有星體的飛船。慣性定律：一孤立質(zhì)點將永遠(yuǎn)保持其原來靜止或勻速直線運動狀態(tài)。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇4BA靜止時AB慣性和慣性運動慣性運動：物體不受外力作用時所作的運動。問題的提出：慣性定律是否在任何參照系中都成立？慣性：任何物體都有保持其原有運動狀態(tài)的特性，慣性是物質(zhì)固有的屬性。慣性和第一定律的發(fā)現(xiàn)，使人們最終把運動和力分離開來。２、慣性系和非慣性系左圖中，地面觀察者和車中觀察者對于慣性定律運用的認(rèn)知相同嗎？2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇5

什么是慣性系：孤立物體相對于某參照系為靜止或作勻速直線運動時，該參照系為慣性系。如何確定慣性系──只有通過力學(xué)實驗。*1地球是一個近似程度很好的慣性系但相對于已知慣性系作勻速直線運動的參照系也是慣性系。一切相對于已知慣性系作加速運動的參照系為非慣性系。*2太陽是一個精度很高的慣性系

太陽對銀河系核心的加速度為馬赫認(rèn)為：所謂慣性系，其實質(zhì)應(yīng)是相對于整個宇宙的平均加速度為零的參照系──因此，慣性系只能無限逼近，而無最終的慣性系。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇6※牛頓第二定律：物體受到外力作用時，它所獲得加速度的大小與合外力的大小成正比；與物體的質(zhì)量成反比；加速度的方向與合外力F

的方向相同。比例系數(shù)k與單位制有關(guān)，在國際單位制中k=1。2.1.2牛頓第二定律慣性質(zhì)量引力質(zhì)量其數(shù)學(xué)形式為２o物體之間的四種基本相互作用；1、關(guān)于力的概念１o力是物體與物體間的相互作用，這種作用可使物體產(chǎn)生形變，也可使物體獲得加速度。力的概念是物質(zhì)的相互作用在經(jīng)典物理中的一種表述。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇73o

力的疊加原理若一個物體同時受到幾個力作用，則合力產(chǎn)生的加速度，等于這些力單獨存在時所產(chǎn)生的加速度之矢量和。力的疊加原理的成立，不能自動地導(dǎo)致運動的疊加。2、關(guān)于質(zhì)量的概念3、牛頓第二定律給出了力、質(zhì)量、加速度三者間瞬時的定量關(guān)系１o質(zhì)量是物體慣性大小的量度：２o引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量的問題：調(diào)節(jié)引力常數(shù)Ｇ，使m引，m慣的比值為1。慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量等價是廣義相對論的出發(fā)點之一。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇82.1.3牛頓第三定律1o作用力與反作用力是分別作用在兩個物體上的，不是一對平衡力。2o作用力與反作用力是同一性質(zhì)的力。3o若A給B一個作用，則A受到的反作用只能是B給予的。*：牛頓第三定律只在實物物體之間，且運動速度遠(yuǎn)小于光速時才成立。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇92.1.4牛頓定律的應(yīng)用1、牛頓定律只適用于慣性系；在平面直角坐標(biāo)系在平面自然坐標(biāo)系2、牛頓定律只適用于質(zhì)點模型；3、具體應(yīng)用時，要寫成坐標(biāo)分量式。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇10若F=常量，則若F=F(v)

，則

若F=F(r)

，則

４、要根據(jù)力函數(shù)的形式選用不同的方程形式運用舉例：2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇11※牛頓定律只適用于慣性系例2.1一細(xì)繩跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為

和的物體(

＜

)，如圖2.2所示.設(shè)滑輪和繩的質(zhì)量可忽略不計，繩不能伸長，試求物體的加速度以及懸掛滑輪的繩中張力.解分別以，定滑輪為研究對象，其隔離體受力如圖2.2所示.對

，它在繩子拉力

及重力

的作用下以加速度

向上運動，取向上為正向，則有對

，它在繩子拉力

及重力

作用下以加速度

向下運動，以向下為正方向，則有2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇12由于定滑輪軸承光滑，滑輪和繩的質(zhì)量可以略去，所以繩上各部分的張力都相等；又因為繩不能伸長，所以

和的加速度大小相等，即有解①和②兩式得由牛頓第三定律知：，又考慮到定滑輪質(zhì)量不計，所以有容易證明2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇13設(shè)x軸正向沿斜面向下，y軸正向垂直斜面向上，則對m應(yīng)用牛頓定律列方程如下：例2.2升降機內(nèi)有一光滑斜面，固定在底板上，斜面傾角為θ.當(dāng)升降機以勻加速度

豎直上升時，質(zhì)量為m的物體從斜面頂端沿斜面開始下滑，如圖2.3所示.已知斜面長為l，求物體對斜面的壓力，物體從斜面頂點滑到底部所需的時間.解以物體m為研究對象.其受到斜面的正壓力N和重力mg.以地為參考系，設(shè)物體m相對于斜面的加速度為，方向沿斜面向下，則物體相對于地的加速度為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇14解方程，得由牛頓第三定律可知，物體對斜面的壓力N′與斜面對物體的壓力N大小相等，方向相反，即物體對斜面的壓力為垂直指向斜面.因為m相對于斜面以加速度沿斜面向下作勻變速直線運動，所以得2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇15解跳傘員的運動方程為改寫運動方程為例2.3跳傘運動員在張傘前的俯沖階段，由于受到隨速度增加而增大的空氣阻力，其速度不會像自由落體那樣增大.當(dāng)空氣阻力增大到與重力相等時，跳傘員就達到其下落的最大速度，稱為終極速度.一般在跳離飛機大約10s，下落約300～400m左右時，就會達到此速度(約50m/s).設(shè)跳傘員以鷹展姿態(tài)下落，受到的空氣阻力為

(k為常量)，如圖2.4(a)所示.試求跳傘員在任一時刻的下落速度.顯然，在

的條件下對應(yīng)的速度即為終極速度，并用

表示：2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇16因t＝0時，v＝0；并設(shè)t時，速度為v，對上式兩邊取定積分：由基本積分公式得最后解得當(dāng)時，

.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇17設(shè)運動員質(zhì)量m＝70kg，測得終極速度

＝54m/s，則可推算出以此值代入v(t)的公式，可得到如圖2.4(b)所示的v-t函數(shù)曲線.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇181、

單位制：基本量、導(dǎo)出量

單位制的任務(wù)是：規(guī)定哪些物理量是基本量及所使用的基本量的數(shù)量級。

七個基本量為

長度、質(zhì)量、時間、電流、溫度、物質(zhì)的量和發(fā)光強度2、SI制中三個基本量的操作型定義長度時間

1秒=銫-133原子基態(tài)的兩個超精細(xì)能級之間躍遷時對應(yīng)輻射的9，192，631，770個周期。從基本量導(dǎo)出的量稱為導(dǎo)出量，相應(yīng)的單位稱為導(dǎo)出單位。*

2.1.5國際單位制和量綱（自學(xué)提綱）2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇193、量綱：

因為導(dǎo)出量是由基本量導(dǎo)出的，所以導(dǎo)出量可用基本量的某種組合(乘、除、冪等)表示。這種由基本量的組合來表示物理量的式子稱為該物理量的量綱式，例如：在SI制中通過物理定律、定理、定義等將某個物理量表示成某種單位制中基本物理量的方次。質(zhì)量

千克質(zhì)量2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇20*§2-2非慣性系慣性力

我們知道牛頓定律只在慣性系中成立，可是，在實際問題中，有時我們又必須在非慣性系中去觀察和處理問題。那么物理上如何解決這個問題的呢？

通過本節(jié)的討論，我們將會看到，如果引入一個慣性力的概念，那么我們在非慣性系中將仍可沿用牛頓定律的形式而使問題得到簡化。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇211、慣性力的提出

設(shè)有一質(zhì)量為m的小球，放在一小車光滑的水平面上，平面上除小球(小球的線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于小車的橫向線度）之外別無他物，即小球水平方向合外力為零。然后突然使小車向右對地作加速運動，這時小球?qū)⑷绾芜\動呢？(1)地面上的觀察者：小球?qū)㈧o止在原地，符合牛頓第一定律；(2)車上的觀察者：小球以－as

相對于小車作加速運動；2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇22注意：此時小車是非慣性系，那么小車上的觀察者如何解釋呢？

我們假設(shè)車上的人熟知牛頓定律，尤其對加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何場合下，他都強烈地要求保留這一認(rèn)知，于是車上的人說：小球之所以對小車有-as的加速度，是因為受到了一個指向左方的作用力，且力的大小為-mas；但他同時又熟知，力是物體與物體之間的相互作用，而小球在水平方向不受其它物體的作用,因此，物理上把這個力命名為慣性力。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇23(2)慣性力的大小等于研究對象的質(zhì)量m與非慣性系的加速度as的乘積，——而方向與as相反，即

注意式中m是研究對象的質(zhì)量，即在同一非慣性系中若選取的研究對象不同，其質(zhì)量不同，則f﹡不同；2、慣性力的特點

(1)慣性力不是物體間的相互作用。因此，沒有反作用。

另外f﹡與as有關(guān)，非慣性系相對于慣性系的加速度的形式不同，則f﹡也不同。后面將從三個方面加以說明。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇24

3、非慣性系中的運動定律的形式

設(shè)有慣性系O和非慣性系O，O系以加速度as相對于O系運動，現(xiàn)在O系中有一質(zhì)點，其質(zhì)量為m，且相對于O系以相對加速度a/運動，于是質(zhì)點m相對慣性系的加速度a=as+a/

現(xiàn)在慣性系O中運用牛頓定律得因為我們已引入慣性力 ，所以上式為這就是在非慣性系中運動定律的形式.

即：在非慣性系中運用牛頓定律時，對研究對象除了分析其受到的真實力以外，還必須加上其受到的慣性力；而等式右邊則只考慮研究對象相對于非慣性系的相對加速度a/。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇25作直線加速運動的非慣性系中的慣性力1）此時的慣性力具有最簡形式，2）若非慣性系（即牽連運動）是恒加速運動，

這時慣性力僅與牽連運動有關(guān)，即僅與非慣性系相對于慣性系的加速度有關(guān)。慣性力將具有與重力相類似的特性，即與慣性質(zhì)量正比。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇26勻角速轉(zhuǎn)動的非慣性系中的——慣性離心力*慣性離心力的引入：

如圖所示，在光滑水平圓盤上，用一輕彈簧栓一小球，圓盤以角速勻速轉(zhuǎn)動，這時彈簧被拉伸后而靜止。

地面觀察者：小球受到彈性力，且指向圓心，作圓周運動；

圓盤上觀察者：小球受到彈簧拉力，且指向圓心，但小球仍處于靜止?fàn)顟B(tài)，為解釋這一現(xiàn)象引入此時即稱為慣性離心力。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇27*地球自轉(zhuǎn)對重力的影響支持力N、引力F引、慣性離性力?*c作用下處于平衡態(tài)，

而地面上的觀察者通?？偸前训孛嫔系奈矬w作二力平衡來處理，即認(rèn)為物體在重力W和支持力N作用下達到平衡態(tài)，因此重力W實際上應(yīng)是F引和?*c的合力，即：由是得

NF引?*cW

以地球為參照系，考慮地球的自轉(zhuǎn),于是地面上任何一個物體都是在三個力：2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇28我們知道，在地球的兩極，地球自轉(zhuǎn)半徑為零，故物體重力不受自轉(zhuǎn)影響，該處重力=引力，設(shè)該處重力加速度為g0,則F=mgo,于是，式中是物體所在處的緯度，F(xiàn)引?*cWrRN2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇29略去高階無窮小量

得即 是一個無窮小量，利用二項式定理再次略去高階無窮小，得2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇30可見地面上物體的重力大小隨緯度而變化，其方向也不嚴(yán)格指向地心，——故常說重力方向為鉛垂方向，但由結(jié)果看出，重力隨緯度變化并不明顯，通?？梢院雎?。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇31在轉(zhuǎn)動的非慣性系中，研究對象相對于非慣性系還有相對運動時，慣性離心力：其與牽連運動有關(guān)，與對象在非慣性系中的位置有關(guān)?？评飱W利力：其與牽連運動有關(guān)，還與對象對非慣性系的相對 運動有關(guān)， 則研究對象受到的慣性力有：2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇32科氏力的引入

一圓盤繞鉛直軸以角速轉(zhuǎn)動，盤心有一光滑小孔，沿半徑方向有一光滑槽，槽中有一小球被穿過小孔的細(xì)線所控制，使其只能沿槽做勻速運動，現(xiàn)小球沿槽以v相向外運動。

從圓盤上觀察，則小球僅有徑向勻速運動，即小球處于平衡態(tài)，徑向：慣性離心力，牽引張力平衡；橫向：必需有一力與槽的側(cè)向推力N平衡，這個力即為科里奧利力

顯然，科里奧利力不屬于相互作用的范疇，是在非慣性系中觀察到的，其既與牽連運動有關(guān)，又與物體對牽連參照系的相對運動有關(guān)。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇33傅科擺；fk*v

落體偏東；

江岸的沖刷（北半球）；vvfk*fk**科氏力在一些自然現(xiàn)象中的作用2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇34

信風(fēng)；

據(jù)歷史記載，第一次世界大戰(zhàn)期間，英、德在阿根廷附近馬爾維納斯島的洋面上進行了一次大戰(zhàn)。當(dāng)?shù)聡娕炍挥谟娕灡狈酱蠹s6-7km時，英艦炮手瞄準(zhǔn)德艦開炮，奇怪的是炮彈全都落在德艦的左側(cè)大約100多米以外的地方。怪就怪在英艦炮手都是經(jīng)過嚴(yán)格訓(xùn)練的富有作戰(zhàn)經(jīng)驗的好炮手，不應(yīng)發(fā)生如此大的偏差。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇35

后經(jīng)查實，人們才知道這是科里奧利力在作怪！即瞄準(zhǔn)器的設(shè)計者是按照海戰(zhàn)發(fā)生在英國本土（約北緯500）附近來考慮科氏力的作用，即當(dāng)向北發(fā)射炮彈時應(yīng)向左校正（因此時科氏力是向右的）。現(xiàn)在海戰(zhàn)發(fā)生在南半球的馬島（約南緯500）附近，此時科氏力向左，因此應(yīng)向右校正，但瞄準(zhǔn)器依然按原設(shè)計向左校正，結(jié)果就產(chǎn)生了雙倍的向左偏差。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇362.3.1質(zhì)點的動量定理１、動量的引入在牛頓力學(xué)中，物體的質(zhì)量可視為常數(shù)故即§2-3動量動量守恒定律力的瞬時效應(yīng)→力的積累效應(yīng)──加速度：牛頓定律2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇37１）式中 叫做動量，是物體運動量的量度。２）動量 是矢量，方向與 同；動量是相對量，與參照系的選擇有關(guān)。

２、沖量的概念

１）恒力的沖量

２）變力的沖量

此時沖量的方向不能由某瞬時力的方向來決定。

指兩個物體相互作用持續(xù)一段時間的過程中，在物體間傳遞著的物理量。力在某一段時間間隔內(nèi)的沖量沖量的方向與力的方向相同。

作用力F＝恒量，作用時間t1t2，力對質(zhì)點的沖量，2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇38即其表示：物體所受外力的沖量等于物體動量的增量。3、質(zhì)點的動量定理在直角坐標(biāo)系中的分量式2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇39平均沖力概念１）峰值沖力的估算ff0tt+△tt

３）當(dāng)相互作用時間極短，相互間沖力極大，此時某些有限主動外力（如重力等）可忽略不計。

４、動量定理的應(yīng)用２）當(dāng)動量的變化是常量時，有2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇402.3.2質(zhì)點系的動量定理1、內(nèi)力與外力

i質(zhì)點所受的內(nèi)力i質(zhì)點所受合力2、i質(zhì)點動量定理2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇413、質(zhì)點系的動量定理（對i求和）因為內(nèi)力成對出現(xiàn)這說明內(nèi)力對系統(tǒng)的總動量無貢獻，但對每個質(zhì)點動量的增減是有影響的。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇42質(zhì)點系合外力的沖量=質(zhì)點系動量的增量。于是有或2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇432.3.3質(zhì)點系的動量守恒定律若系統(tǒng)所受的合外力系統(tǒng)總動量守恒

一個孤立的力學(xué)系統(tǒng)（即無外力作用的系統(tǒng)）或合外力為零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點動量可以交換，但系統(tǒng)的總動量保持不變。這就是動量守恒定律。

注意：動量守恒式是矢量式(1)守恒條件是而不是2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇44

若，但若某一方向的合外力零，則該方向上 動量守恒；

(3)必須把系統(tǒng)內(nèi)各量統(tǒng)一到同一慣性系中；

(4)若作用時間極短，而系統(tǒng)又只受重力作用，則可略去重力，運用動量守恒。(2)若

表示系統(tǒng)與外界無動量交換，表示系統(tǒng)與外界的動量交換為零。則系統(tǒng)無論沿那個方向的動量都守恒；2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇45例2.5一彈性球，質(zhì)量m＝0.20kg，速度v＝5m/s，與墻碰撞后彈回.設(shè)彈回時速度大小不變，碰撞前后的運動方向和墻的法線所夾的角都是α(圖2.12)，設(shè)球和墻碰撞的時間Δt＝0.05s，α＝60°，求在碰撞時間內(nèi)，球和墻的平均相互作用力.解以球為研究對象.設(shè)墻對球的平均作用力為f，球在碰撞前后的速度為和，由動量定理可得將沖量和動量分別沿圖中N和x兩方向分解得：解方程得按牛頓第三定律，球?qū)Φ钠骄饔昧偷姆较蛳喾炊戎?，即垂直于墻面向?2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇46例2.6如圖2.13所示，一輛裝礦砂的車廂以v＝4m/s的速率從漏斗下通過，每秒落入車廂的礦砂為k＝200kg/s，如欲使車廂保持速率不變，須施與車廂多大的牽引力(忽略車廂與地面的摩擦).解設(shè)t時刻已落入車廂的礦砂質(zhì)量為m，經(jīng)過dt后又有dm＝kdt的礦砂落入車廂.取m和dm為研究對象，則系統(tǒng)沿x方向的動量定理為Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm·0)＝vdm＝kdt

v則2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇47例2.7如圖2.14所示，一質(zhì)量為m的球在質(zhì)量為M的1/4圓弧形滑槽中從靜止滑下.設(shè)圓弧形槽的半徑為R，如所有摩擦都可忽略，求當(dāng)小球m滑到槽底時，M滑槽在水平上移動的距離.解以m和M為研究系統(tǒng)，其在水平方向不受外力(圖中所畫是m和M所受的豎直方向的外力)，故水平方向動量守恒.設(shè)在下滑過程中，m相對于M的滑動速度為v，M對地速度為V，并以水平向右為x軸正向，則在水平方向上有解得設(shè)m在弧形槽上運動的時間為t，而m相對于M在水平方向移動距離為R，故有于是滑槽在水平面上移動的距離2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇48*

2.3.4

質(zhì)心和質(zhì)心運動定理1.問題的提出2.質(zhì)心運動定理3.質(zhì)心的含義及其計算2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇492.4.1功功率1、恒力的功

即某力的功等于力與質(zhì)點在該力作用下位移的標(biāo)積。

(中學(xué)）力在位移方向上的投影與該物體位移大小的乘積。

由矢量標(biāo)積定義式，有§2-４功動能勢能機械能守恒定律2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇50功值的圖示法2、

變力的功１）力的元功

XYZObaL設(shè)質(zhì)點沿X軸運動，則力Ｆ在區(qū)間x1,x2內(nèi)做的功，即為圖中有陰影部分的面積。

物體在變力的作用下從a運動到b

b2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇512)

dA

在F-S圖上的幾何意義0absF(s)dA3）變力在一段有限位移上的功功的直角坐標(biāo)系表示式因為功是標(biāo)量，所以總功等于各方向上的分量之代數(shù)和。

dA=F（s）ds

，其在F－s圖上即為有陰影的小方塊的面積。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇52★一對作用力與反作用力的功只與相對位移有關(guān)0所以一般情況下

式中drij為相對位移2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇53３、功率

單位時間內(nèi)所作的功稱為功率

功率的單位：在SI制中為瓦特（w）

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇54

重力的功力函數(shù)

元位移

4、保守力的功12y2y12023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇55彈簧彈性力的功力函數(shù)元位移oXo2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇56萬有引力的功

由圖知元位移

力函數(shù)

Mm2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇571)保守力

如重力、彈簧彈性力、萬有引力、靜電力、分子作用力等均為保守力。即保守力沿任一閉合路徑的功為零。abcc/

如果某力的功只與始末位置有關(guān)而與具體路徑無關(guān)，則該力謂之保守力。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇58LmS+保守力的共同特征：a、力函數(shù)或為常數(shù)，或者僅為位置的函數(shù)；

b、保守力的功總是“原函數(shù)”增量的負(fù)值。

2)非保守力若力的功值與具體路徑有關(guān),則為非保守力，如摩擦力、爆炸力等。

如在一水平面上2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇59解由題知，雖然力的大小不變，但其方向在不斷變化，故仍然是變力做功.如題圖所示，以岸邊為坐標(biāo)原點，向左為x軸正向，則力F在坐標(biāo)為x處的任一小段元位移dx上所做元功為即

例2.8在離水面高為H的岸上，有人用大小不變的力F拉繩使船靠岸，如圖2.21所示，求船從離岸

處移到

處的過程中，力F對船所做的功.由于，所以F做正功.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇60解(1)由點(0,0)沿x軸到(2,0)，此時y＝0，dy＝0，所以例2.9質(zhì)點所受外力，求質(zhì)點由點(0,0)運動到點(2,4)的過程中力F所做的功：(1)先沿x軸由點(0,0)運動到點(2,0)，再平行y軸由點(2,0)運動到點(2,4)；(2)沿連接(0,0)，(2,4)兩點的直線；(3)沿拋物線由點(0,0)到點(2,4)(單位為國際單位制).由點(2,0)平行y軸到點(2,4)，此時x＝2，dx＝0，故2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇61(2)因為由原點到點(2,4)的直線方程為y＝2x，所以(3)因為，所以可見題中所示力是非保守力.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇622.4.2動能定理1、動能是一個獨立的物理量，與力在空間上的積累效應(yīng)對應(yīng)?！镞@說明又，m為常數(shù)2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇63★是質(zhì)點作機械運動時所具有的運動量的量度，稱之為動能；★是狀態(tài)量，相對量，與參照系的選取有關(guān)。

2、動能定理或即，作用于物體上合外力的功等于物體動能的增量。

合力對質(zhì)點作用一段距離所產(chǎn)生的積累作用，從而導(dǎo)致動能的有限變化。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇64動能與動量的區(qū)別引入兩種度量作用2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇65例2.10一質(zhì)量為10kg的物體沿x軸無摩擦地滑動，t＝0時物體靜止于原點，(1)若物體在力F＝3＋4tN的作用下運動了3s，它的速度增為多大？(2)物體在力F＝3＋4xN的作用下移動了3m，它的速度增為多大？解(1)由動量定理

，得(2)由動能定理，得2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇662.4.3勢能描述機械運動的狀態(tài)參量是

對應(yīng)于：

彈簧彈性力的功

萬有引力的功重力的功

1、勢函數(shù)為此我們回顧一下保守力的功2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇67

由上所列保守力的功的特點可知，其功值僅取決于物體初、終態(tài)的相對位置，故可引入一個由相對位置決定的函數(shù)；由定積分轉(zhuǎn)換成不定積分，則是

式中c為積分常數(shù)，在此處是一個與勢能零點的選取相關(guān)的量。

又由于功是體系能量改變量的量度。因此，這個函數(shù)必定具有能量的性質(zhì)；而這個具有能量性質(zhì)的函數(shù)又是由物體相對位置所決定，故把這種能量稱之為勢能（或曰位能），用ＥＰ表示。則有：2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇682、已知保守力求勢能函數(shù)

彈性勢能：

保守力的力函數(shù)若取坐標(biāo)原點，即彈簧原長處，為勢能零點，則c=0于是

重力勢能保守力的力函數(shù)若取坐標(biāo)原點為勢能零點，則c=0

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇69引力勢能保守力的力函數(shù)

若取無窮遠(yuǎn)處為引力勢能零點，則

勢能函數(shù)的一般特點rij1)對應(yīng)于每一種保守力都可引進一種相關(guān)的勢能；2)勢能大小是相對量，與所選取的勢能零點有關(guān)；3)一對保守力的功等于相關(guān)勢能增量的負(fù)值；4)勢能是彼此以保守力作用的系統(tǒng)所共有。

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇70３、已知勢能函數(shù)求保守力若保持y，z不變，則dy＝dz＝0同理則2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇71例：求保守力函數(shù)2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇722.4.4勢能曲線

將勢能隨相對位置變化的函數(shù)關(guān)系用一條曲線描繪出來，就是勢能曲線。Ep(h)0(a)h重力勢能曲線Ep(r)r0(c）引力勢能曲線0(b)lEp(l)彈性勢能曲線2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇731、勢能曲線能說明質(zhì)點在軌道上任一位置時，質(zhì)點系所具有的勢能值。2、勢能曲線上任一位置處的鈄率（dEP/dl

）的負(fù)值，表示質(zhì)點在該處所受的保守力。

設(shè)有一保守系統(tǒng)，其中一質(zhì)點沿x方向作一維運動，則有

由教材中之圖可知，凡勢能曲線有極值時，即曲線鈄率為零處，其受力為零。這些位置點稱為平衡位置。

勢能曲線有極大值的位置點是不穩(wěn)定平衡位置，勢能曲線有極小值的位置點是穩(wěn)定平衡位置。

由勢能曲線所獲得的信息2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇742.4.5質(zhì)點系的功能定理與功能原理1、質(zhì)點系的動能定理

質(zhì)點系的內(nèi)力和外力

對于單個質(zhì)點

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇75

對i

求和—質(zhì)點系的動能定理

質(zhì)點系總動能的增量等于外力的功與質(zhì)點系內(nèi)部保守力的功、非保守力的功三者之和。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇76若引入(機械能）則可得

系統(tǒng)機械能的增量等于外力的功與內(nèi)部非保守力功之和。2、功能原理由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，而對每一對內(nèi)部保守力均有

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇77２）功能原理只適用于慣性系（從牛頓定律導(dǎo)出；3)具體應(yīng)用時，一是要指明系統(tǒng)，二是要交待相關(guān)的勢能零點；注意的問題：１）功能原理是屬于質(zhì)點系的規(guī)律（因涉及ＥP），與質(zhì)點系的動能定理不同；質(zhì)點系動能定理質(zhì)點功能原理4）當(dāng)質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點有相對運動時，注意將各量統(tǒng)一到同一慣性系中。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇78例2.12一輕彈簧一端系于固定斜面的上端，另一端連著質(zhì)量為m的物塊，物塊與斜面的摩擦系數(shù)為μ，彈簧的勁度系數(shù)為k，斜面傾角為θ，今將物塊由彈簧的自然長度拉伸l后由靜止釋放，物塊第一次靜止在什么位置上？(如圖2.25)解以彈簧、物體、地球為系統(tǒng)，取彈簧自然伸長處為原點，沿斜面向下為x軸正向，且以原點為彈性勢能和重力勢能零點，則由功能原理式(2.46)，在物塊向上滑至x處時，有物塊靜止位置與v＝0對應(yīng)，故有解此二次方程，得另一根x＝l，即初始位置，舍去.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇792.4.6機械能守恒定律由功能原理可知機械能守恒的條件：系統(tǒng)與外界無機械能的交換；系統(tǒng)內(nèi)部無機械能與其他能量形式的轉(zhuǎn)換。

當(dāng)系統(tǒng)機械能守恒時，應(yīng)有

即系統(tǒng)內(nèi)，動能的增量＝勢能增量的負(fù)值若和,則系統(tǒng)的機械能保持不變。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇802.4.7能量轉(zhuǎn)換與守恒定律

在一個孤立的系統(tǒng)內(nèi)，各種形態(tài)的能量可以相互轉(zhuǎn)換，但無能怎樣轉(zhuǎn)換，這個系統(tǒng)的總能量將始終保持不變。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇81解如圖2.26所示，設(shè)子彈對沙箱作用力為f′，沙箱位移為s；沙箱對子彈作用力為f，子彈的位移為s＋l，f＝－f′.A＝－f(s＋l)＋f′s＝－fl≠0說明沙箱對子彈做功－f(s＋l)與子彈對沙箱做的功f′s＝－f

s兩者不相等；而這一對內(nèi)力做功之和不為零，它等于子彈與沙箱組成的系統(tǒng)的機械能的損失.損失的機械能轉(zhuǎn)化為熱能.則這一對內(nèi)力的功例2.13在光滑的水平臺面上放有質(zhì)量為M的沙箱，一顆從左方飛來質(zhì)量為m的彈丸從箱左側(cè)擊入，在沙箱中前進一段距離l后停止.在這段時間內(nèi)沙箱向右運動的距離為s，此后沙箱帶著彈丸以勻速運動.求此過程中內(nèi)力所做的功.(假定子彈所受阻力為一恒力)2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇82例2.14如圖2.28所示，一質(zhì)量為M的平頂小車，在光滑的水平軌道上以速度v作直線運動.今在車頂前緣放上一質(zhì)量為m的物體，物體相對于地面的初速度為零.設(shè)物體與車頂之間的摩擦系數(shù)為μ，為使物體不致從車頂上跌下去，問車頂?shù)拈L度l最短應(yīng)為多少？解由于摩擦力做功的結(jié)果，最后使得物體與小車具有相同的速度，這時物體相對于小車為靜止而不會跌下.在這一過程中，以物體和小球為一系統(tǒng)，水平方向動量守恒，有而m相對于M的位移為l，如圖2.28所示，則一對摩擦力的功為聯(lián)立以上兩式即可解得車頂?shù)淖钚￠L度為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇83例2.15試分析航天器的三種宇宙速度.解(1)第一宇宙速度.航天器繞地球運動所需的最小速度稱為第一宇宙速度.以地心為原點，航天器在距地心為r處繞地球作圓周運動的速度為

，則有式中為地球表面處的重力加速度.若r＝R時，則這就是第一宇宙速度.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇84這就是第二宇宙速度.(2)第二宇宙速度.在地球表面處的航天器要脫離地球引力范圍而必須具有的最小速度，稱為第二宇宙速度.以地球和航天器為一系統(tǒng)，航天器在地球表面處的引力勢能為，動能為，航天器能脫離地球時，地球的引力可忽略不計，系統(tǒng)勢能為零，動能的最小量為零，由機械能守恒定律，有2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇85(3)第三宇宙速度.在地球表面發(fā)射的航天器，能逃逸出太陽系所必須的最小速度，稱為第三宇宙速度.作為近似處理可分兩步進行：第一步，從地球表面把航天器送出地球引力圈，在此過程中略去太陽引力，這一步的計算方法與分析第二宇宙速度類似，所不同的是航天器還必須有剩余動能

，因此有由前討論知：，代入上式有第二步，航天器由脫離地球引力圈的地點(近似為地球相對于太陽的軌道上)出發(fā)，繼續(xù)運動，逃離太陽系，在此過程中，忽略地球的引力.以太陽為參考系，地球繞太陽的公轉(zhuǎn)速度(相當(dāng)于計算地球相對于太陽的第一宇宙速度)為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇86為了充分利用地球的公轉(zhuǎn)速度，使航天器在第二步開始時的速度沿公轉(zhuǎn)方向，這樣，在第二步開始時，航天器所需的相對地球速度為這就是第一步航天器所需的剩余動能所對應(yīng)的速度.因此式中

為太陽的質(zhì)量，為太陽中心到地球中心的距離.以太陽參考系計算，逃離太陽引力范圍所需的速度(相當(dāng)于計算地球相對于太陽的第二宇宙速度)，即這就是第三宇宙速度.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇87力矩1、力對固定點的力矩

1）定義：作用于質(zhì)點的力對慣性系中某參考點的力矩，等于力的作用點對該點的位矢與力的矢積，即

力矩是矢量，M

的方向垂直于r和F所決定的平面，其指向用右手螺旋法則確定。2）力矩的單位、?！っ?N·m)om§2-５角動量定理角動量守恒定律2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇883）力矩的計算：

M的大小、方向均與參考點的選擇有關(guān)※在直角坐標(biāo)系中，其表示式為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇89

力矩在x,y,z軸的分量式，稱力對軸的矩。例如上面所列Ｍx,My,Mz

,即為力對Ｘ軸、Ｙ軸、Ｚ軸的矩。

２、力對軸的矩：

設(shè)力Ｆ的作用線就在Z軸的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，作用點到Ｚ軸的位矢為r，則力對Ｚ軸的力矩為·式中為力F到軸的距離若力的作用線不在轉(zhuǎn)動在平面內(nèi)，則只需將力分解為與軸垂直、平行的兩個分力即可。rF2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇90力對固定點的力矩為零的情況：

力F等于零，力F的作用線與矢徑r共線（力F的作用線穿過0點,即，有心 力對力心的力矩恒為零）。力對固定軸的力矩為零的情況：

有兩種情況,B）力的方向沿矢徑的方向（）有心力的力矩為零A）2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇91質(zhì)點系內(nèi)一對內(nèi)力對任一點的力矩之矢量和為零2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇922.5.1質(zhì)點的角動量

在質(zhì)點的勻速圓周運動中，動量mv

不守恒，但角動量的引入：開普勒行星運動定律的面積定律

許多實例都說明是一個獨立的物理量，再考慮到行星的質(zhì)量m為恒量，2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇93

在描述行星的軌道運動，自轉(zhuǎn)運動，衛(wèi)星的軌道運動及微觀粒子的運動中都具有獨特作用。因此必須引入一個新的物理量－－角動量L，來描述這一現(xiàn)象。

衛(wèi)星地球+2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇94１、質(zhì)點對固定點的角動量

動量為mv

的質(zhì)點，對慣性系內(nèi)某參考點0的角動量，等于質(zhì)點對該參考點的位矢r與其動量mv

的矢積。

角動量是矢量，角動量L

的方向垂直于r和mv

所組成的平面，其指向可用右手螺旋法則確定。★在直角坐標(biāo)系中注意：為表示是對哪個參考點的角動量，通常將角動量L畫在參考點上。L的大小為·L2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇95★角動量的單位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)。

★當(dāng)質(zhì)點作圓周運動時,有v=r,且r與v互相垂直，故有★是相對量：與參照系的選擇有關(guān)，與參考點的選擇有關(guān)L＝rmv=mr2★角動量的定義并沒有限定質(zhì)點只能作曲線運動而不能作直線運動。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇962、質(zhì)點對軸的角動量☆假定質(zhì)點的動量就在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，且質(zhì)點對軸的矢徑為r，則質(zhì)點對z軸的角動量為，方向沿z軸，可正、可負(fù)☆質(zhì)點動量不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，則只需考慮動量在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分量；或運用坐標(biāo)分量式求得：2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇972.5.2質(zhì)點的角動量定理１、對點的角動量定理（微分形式）若用r叉乘牛頓定律即式中r是質(zhì)點對參考點o的位矢。

又于是有或

即：作用在質(zhì)點上的力矩等于質(zhì)點角動量對時間的變化率。此即質(zhì)點對固定點的角動量定理。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇98２、角動量定理的積分形式：

叫沖量矩*：M和L必須是對同一點而言a、對點的角動量守恒律若，則

質(zhì)點所受外力對某參考點的力矩為零，則質(zhì)點對該參考點的角動量守恒。這就是質(zhì)點的角動量守恒定律。

外力距對某固定點的沖量距等于質(zhì)點對該點的角動量的增量。＊若質(zhì)點受有心力作用，則該質(zhì)點對力心的角動量一定守恒。2.5.3質(zhì)點角動量守恒定律2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇99b、對軸的角動量守恒律：

若Mz=0，則Lz=常數(shù)，即若力矩在某軸上的分量為零（或力對某軸的力矩為零），則質(zhì)點對該軸的角動量守恒。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇100在由A→B的過程中，子彈、木塊系統(tǒng)機械能守恒例2.16在光滑的水平桌面上，放有質(zhì)量為M的木塊，木塊與一彈簧相連，彈簧的另一端固定在O點，彈簧的勁度系數(shù)為k，設(shè)有一質(zhì)量為m的子彈以初速垂直于OA射向M并嵌在木塊內(nèi)，如圖2.31所示.彈簧原長，子彈擊中木塊后，木塊M運動到B點時刻，彈簧長度變?yōu)閘，此時OB垂直于OA，求在B點時，木塊的運動速度.解擊中瞬間，在水平面內(nèi)，子彈與木塊組成的系統(tǒng)沿

方向動量守恒，即有在由A→B的過程中木塊在水平面內(nèi)只受指向O點的彈性有心力，故木塊對O點的角動量守恒，設(shè)

與OB方向成θ角，則有2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇101由①、②式聯(lián)立求得

的大小為由③式求得

與OB的夾角為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇102例2.17一質(zhì)點m被一長為l的輕線懸于天花板上的B點，質(zhì)點m在水平面內(nèi)作勻角速ω的圓周運動，設(shè)圓軌道半徑為

.試計算(1)質(zhì)點m對圓心O和懸點B的角動量

和

；(2)作用在質(zhì)點m上的重力mg和張力T對圓心O和懸點B的力矩

和

；(3)試討論m對O點或B點的角動量是否守恒(如圖2.32所示).解(1)在圖(a)中由圓心O點向質(zhì)量m引矢量

，則其方向垂直于軌道平面沿OB方向向上，因為

⊥mv，故即圓錐擺對圓心O點的角動量

是個沿OB向上的大小和方向都不變的恒矢量.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇103在圖(b)中，由懸點B向在某位置P處的質(zhì)點m引矢徑

，則(2)如圖(c)，質(zhì)點m所在位置對于圓心O，張力T的力矩為因在豎直方向有Tcosθ＝mg，所以即的方向垂直于與mv所組成的平面.顯然，質(zhì)點m在不同的位置處，例如在p′點處，其矢徑和動量mv′各不相同，因此，其矢積也不相同.即的方向是不斷地變化著的.這時的大小為其方向垂直于紙面向外，大小為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇104此時重力對圓心O的力矩為由上面計算可以得出，作用在質(zhì)點m上的張力T，重力mg對圓心O的合力矩為其方向垂直于紙面向里.因mg始終垂直于軌道平面，所以

⊥mg，故

的大小為同樣，如圖(c)質(zhì)點所在位置，對于懸點B，張力T因與

始終共線，故T對B點的力矩為零.而重力mg對B點的力矩為其方向始終垂直于

與重力作用線mg所組成的平面.由于

的方向在不斷地變化，所以的方向也在不斷地變化，如圖(c)所在位置，的方向垂直于紙面向里.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇105(3)由(2)中的討論可知，重力mg和張力T對O點的合力矩為零(實際上mg與T的合力構(gòu)成了m作圓周運動的向心力，為有心力，其對O點合力矩必定為零)，所以質(zhì)點m對O點的角動量守恒，這與(1)中討論一致.同樣，由(2)中討論知，因mg對B點的力矩方向始終變化，即對B點的力矩不為零，故質(zhì)點m對B點的角動量不守恒.這與前面結(jié)果也是一致的.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇106

§2-6剛體的定軸轉(zhuǎn)動

剛體是指在任何情況下，都沒有形變的物體。

當(dāng)物體自身線度l與所研究的物體運動的空間范圍r相比不可以忽略；物體又不作平動而作轉(zhuǎn)動時，即必須考慮物體的空間方位時，我們可以引入剛體模型。

剛體也是一個各質(zhì)點之間無相對位置變化且質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點系。質(zhì)點模型基本上只能表征物體的平動特征。平動和轉(zhuǎn)動是剛體的兩種基本運動形式。剛體的任何復(fù)雜運動都可以看成平動與轉(zhuǎn)動的合成。本節(jié)討論轉(zhuǎn)動中最簡單的運動－定軸轉(zhuǎn)動。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1072.6.1剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述

若物體在運動過程中，其所有的質(zhì)元都繞某一直線作圓周運動，這種運動稱之為轉(zhuǎn)動。該直線稱為轉(zhuǎn)軸。

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇108

若轉(zhuǎn)動軸固定不動，即既不能改變方向又不能平移，這個轉(zhuǎn)軸為固定軸，這種轉(zhuǎn)動稱為定軸轉(zhuǎn)動。

我們只討論定軸轉(zhuǎn)動。OZ１、轉(zhuǎn)動瞬軸、定軸轉(zhuǎn)動

若轉(zhuǎn)軸的方向或位置在運動過程中變化，這個軸在某個時刻的位置稱為該時刻的轉(zhuǎn)動瞬軸。

2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇109垂直于轉(zhuǎn)動軸的平面為轉(zhuǎn)動平面。

１）角量描述：角位移角速度角加速度

由于這時組成剛體的各質(zhì)點均在各自的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)繞軸作圓周運動，因此前面關(guān)于質(zhì)點圓周運動的全套描述方法，此處全部可用。

以轉(zhuǎn)動平面與軸的交點為原點，任引一射線為極軸，原點引向考察點的矢徑與極軸的夾角為角位置，并引入0x2、定軸轉(zhuǎn)動的角量描述2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇110２)剛體定軸轉(zhuǎn)動的特點所有質(zhì)點的角量都相同

；質(zhì)點的線量與該質(zhì)點的軸矢徑大小成正比

。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1112.6.2質(zhì)點系的角動量定理1、質(zhì)點系對固定點的角動量定理i質(zhì)點對固定點O的角動量定理設(shè)有一質(zhì)點系，共有n個質(zhì)點，其第i個質(zhì)點受力為則i質(zhì)點對固定點o的角動量定理為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇112對i求和——質(zhì)點系對固定點O的角動量定理由于內(nèi)力成對出現(xiàn)，每對內(nèi)力對O的力矩之和為零，因此內(nèi)力矩之總和為零，于是有（i)內(nèi)力矩對系統(tǒng)的總角動量無貢獻，（與質(zhì)點系的動量定理相似）2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇113(iii)質(zhì)點系對固定點的角動量定理的物理意義：質(zhì)點系對o點的角動量隨時間的變化率等于外力對該點力矩的矢量和。(ii)在質(zhì)點系的情況下，求外力對固定點的力矩之和時，不能先求合力，再求合力矩。只能說外力矩之和不能說合外力之矩。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1142、質(zhì)點系對軸的角動量定理如果將作用于質(zhì)點系上的外力矩之矢量和及質(zhì)點系的角動量分別向給定軸投影，即可得質(zhì)點系對軸的角動量定理。

式中ri

為i質(zhì)點到z軸的距離，i

是vi與ri

間的夾角。若質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點均繞同一軸、并以相同角速度作圓周運動，則這時則有

為簡單記只討論沿z軸的角動量定理——這時組成質(zhì)點系的n個質(zhì)點位于z軸的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，于是有2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇115將其與線動量 相比若令

m

表示物體的平動慣性，則I表示轉(zhuǎn)動慣性，故將命名為對軸的轉(zhuǎn)動慣量，（式中ri

為mi

到軸的距離）3、轉(zhuǎn)動慣量的引入即：若質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點均繞同一軸、并以相同角速度作圓周運動，則這時系統(tǒng)對軸的角動量為此時質(zhì)點系對軸的角動量定理為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇116

轉(zhuǎn)動慣量計算舉例：轉(zhuǎn)動慣量的單位：千克·米2（kg·m2）4、轉(zhuǎn)動慣量的計算對于單個質(zhì)點質(zhì)點系若物體質(zhì)量連續(xù)分布，2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇117解(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直例2.18如圖2.35所示，求質(zhì)量為m，長為l的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直；(2)轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直.在棒上任取一質(zhì)元，其長度為dx，距軸O的距離為x，設(shè)棒的線密度(即單位長度上的質(zhì)量)為

，則該質(zhì)元的質(zhì)量dm＝λdx.該質(zhì)元對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為整個棒對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇118(2)轉(zhuǎn)軸通過棒一端并與棒垂直時，整個棒對該軸的轉(zhuǎn)動慣量為由此看出，同一均勻細(xì)棒，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動慣量不同.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇119解(1)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量.如圖2.36(a)所示，在環(huán)上任取一質(zhì)元，其質(zhì)量為dm，該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離為R，則該質(zhì)元對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為考慮到所有質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離均為R，所以細(xì)圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為例2.19設(shè)質(zhì)量為m，半徑為R的細(xì)圓環(huán)和均勻圓盤分別繞通過各自中心并與圓面垂直的軸轉(zhuǎn)動，求圓環(huán)和圓盤的轉(zhuǎn)動慣量.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇120則整個圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為(2)求質(zhì)量為m，半徑為R的圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量.整個圓盤可以看成許多半徑不同的同心圓環(huán)構(gòu)成.為此，在離轉(zhuǎn)軸的距離為r處取一小圓環(huán)，如圖2.36(b)所示，其面積為dS＝2πrdr，設(shè)圓盤的面密度(單位面積上的質(zhì)量)

，則小圓環(huán)的質(zhì)量dm＝σdS＝σ2πrdr，該小圓環(huán)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為以上計算表明，質(zhì)量相同，轉(zhuǎn)軸位置相同的剛體，由于質(zhì)量分布不同，轉(zhuǎn)動慣量不同.2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇121(2)質(zhì)量元的選?。壕€分布面分布

體分布(1)剛體的轉(zhuǎn)動慣量

以上各例說明：線分布體分布面分布與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)，與軸的位置有關(guān)。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇122(3)由于剛體是一個特殊質(zhì)點系，即各質(zhì)點之間無相對位移，對于給定的剛體其質(zhì)量分布不隨時間變化，故對于

定軸而言，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是一個常數(shù)。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1232.6.3剛體的轉(zhuǎn)動定律1、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理：當(dāng)剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，所有質(zhì)點均在各自的轉(zhuǎn)動平面內(nèi)以相同角速度繞軸作圓周運動，故有即剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體對軸的角動量為剛體對軸的角動量故剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1242、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理

由于剛體是一個特殊質(zhì)點系，即剛體對給定軸的轉(zhuǎn)動慣量是常數(shù)，故有

即：作定軸轉(zhuǎn)動的剛體，其轉(zhuǎn)動角加速度與外力對該軸的力矩之和成正比，與剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比。其在定軸轉(zhuǎn)動中的地位與牛頓定律在質(zhì)點運動中地位相當(dāng)。

轉(zhuǎn)動定律說明了I

是物體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度。因為：2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇125即I越大的物體，保持原來轉(zhuǎn)動狀態(tài)的性質(zhì)就越強，轉(zhuǎn)動慣性就越大；反之，I

越小，越容易改變其轉(zhuǎn)動狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱，或者說轉(zhuǎn)動慣性越小。

如一個外徑和質(zhì)量相同的實心圓柱與空心圓筒，若受力和力矩一樣，誰轉(zhuǎn)動得快些呢？MM2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇126例2.20如圖2.37(a)所示，質(zhì)量均為m的兩物體A，B.A放在傾角為α的光滑斜面上，通過定滑輪由不可伸長的輕繩與B相連.定滑輪是半徑為R的圓盤，其質(zhì)量也為m.物體運動時，繩與滑輪無相對滑動.求繩中張力和及物體的加速度a(輪軸光滑).解物體A，B，定滑輪受力圖見圖2.37(b).對于作平動的物體A，B，分別由牛頓定律得對定滑輪，由轉(zhuǎn)動定律得2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇127由于繩不可伸長，所以聯(lián)立式①，②，③，④，⑤得2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇128例2.21轉(zhuǎn)動著的飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為I，在t＝0時角速度為.此后飛輪經(jīng)歷制動過程，阻力矩M的大小與角速度ω的平方成正比，比例系數(shù)為k(k為大于零的常數(shù))，當(dāng)ω＝

時，飛輪的角加速度是多少？從開始制動到現(xiàn)在經(jīng)歷的時間是多少？解(1)由題知，故由轉(zhuǎn)動定律有即將代入，求得這時飛輪的角加速度為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇129(2)為求經(jīng)歷的時間t，將轉(zhuǎn)動定律寫成微分方程的形式，即分離變量，并考慮到t＝0時，

，兩邊積分故當(dāng)時，制動經(jīng)歷的時間為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1301、轉(zhuǎn)動動能

可見，剛體的轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角速度平方乘積的一半。注意比較轉(zhuǎn)動動能平動動能i質(zhì)點的動能

整個剛體的動能—對i求和2.6.4定軸轉(zhuǎn)動的動能定理2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1312、力矩的功對于i質(zhì)點其受外力為Fi，對i求和，當(dāng)整個剛體轉(zhuǎn)動d

，則力矩的元功

式中M為作用于剛體上外力矩之和---其表明：力矩的元功等于力矩與角位移之乘積（∵內(nèi)力矩之和為零）

∴當(dāng)剛體轉(zhuǎn)過有限角時，力矩的功為2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1323、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：力矩對剛體所做的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇1334、剛體的勢能其中m為剛體的總質(zhì)量,yc為剛體質(zhì)心的高度。

質(zhì)量分布均勻而有一定幾何形狀的剛體，質(zhì)心的位置為它的幾何中心。OXYmiMC2023/2/5徐州工程學(xué)院大學(xué)物理滕紹勇134例2.22如圖2.39所示，一根質(zhì)量為m，長為l的均勻細(xì)棒OA，可繞固定點O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.今使棒從水平位置開始自由