第6講穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

3-6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

對于一個(gè)穩(wěn)定的控制系統(tǒng)而言，穩(wěn)態(tài)誤差是反映其控制精度的一種度量，通常又稱為穩(wěn)態(tài)性能。研究表明：穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、輸入信號的形式有很大關(guān)系?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)的任務(wù)之一就是要保證系統(tǒng)在穩(wěn)定的前提下，盡量地減小仍至消除穩(wěn)態(tài)誤差。2/5/20231

一、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差定義⑴誤差的兩種定義：

a.從輸出端定義：等于系統(tǒng)輸出量的實(shí)際值與希望值之差。這種方法在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但在實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)無法測量。因此，一般只具有數(shù)學(xué)意義。

b.從輸入端定義：等于系統(tǒng)的輸入信號與主反饋信號之差?；蛟O(shè)

4.2.1誤差的基本概念2/5/20232若設(shè)

式中——系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。得到

這種方法定義的誤差，在實(shí)際系統(tǒng)中是可測量的，故具有一定的物理意義。以后我們均采用從系統(tǒng)輸入端定義的誤差來進(jìn)行計(jì)算和分析。誤差本身是時(shí)間的函數(shù)，其時(shí)域表達(dá)式為：式中：——?jiǎng)討B(tài)分量，此分量隨時(shí)間增長而消失

——穩(wěn)態(tài)分量。2/5/20233⑵穩(wěn)態(tài)誤差

對穩(wěn)定系統(tǒng)而言，隨著時(shí)間趨于無窮，系統(tǒng)的動態(tài)過程結(jié)束，將趨于零。根據(jù)拉氏變換終值定理，穩(wěn)定的非單位反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為由上式可知，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號的形式和開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。當(dāng)輸入信號形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差就取決于以開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。2/5/20234

例:

一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

求：r(t)=1(t)及t時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差

解:r(t)=1(t)時(shí),R(s)=1/sr(t)=t時(shí),R(s)=1/s22/5/20235例:設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求當(dāng)輸入信號分別為和時(shí)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差值.解1:2/5/20236解2:此題如果直接用終值定理做，則但實(shí)際上正弦函數(shù)的拉氏變換在虛軸上不解析，此式不能用終值定理做，而要：2/5/202372.系統(tǒng)類型上式中K叫系統(tǒng)的開環(huán)增益(也叫系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)).v為開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標(biāo)原點(diǎn)上的極點(diǎn)個(gè)數(shù),因1/s是理想積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),所以v也表示了系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中串接的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù).規(guī)定:v=0,叫0型系統(tǒng)；

v=1,叫

1型系統(tǒng)；

v=2,叫2型系統(tǒng),依此類推.

控制系統(tǒng)按積分環(huán)節(jié)數(shù)分類2/5/20238由上式可見,與系統(tǒng)的型號v﹑開環(huán)增益K及輸入信號的形式及大小有關(guān)，由于工程實(shí)際上的輸入信號多為階躍信號﹑斜坡信號(即等速度信號)﹑拋物線信號(即等加速度信號)或者為這三種信號的組合,所以下面只討論這三種信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差問題.2/5/20239則3.階躍輸入下的靜態(tài)位置誤差系數(shù)設(shè)定義:因?yàn)樗?/5/202310

0型系統(tǒng)對階躍信號的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，大小基本上與開環(huán)放大系數(shù)成反比，越大，越小，但總有誤差，除非為無窮大。所以0型系統(tǒng)又稱為有差系統(tǒng)。為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，在穩(wěn)定條件允許的前提下，可增大開環(huán)放大系數(shù)。2/5/202311設(shè)則4.斜坡輸入下的靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv2/5/202312設(shè)則5.加速度輸入下的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka2/5/202313三種輸入狀態(tài)下的穩(wěn)態(tài)誤差

1.穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號有關(guān)；與開環(huán)增益有關(guān)；與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)。2.減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法：

a、增加開環(huán)放大系數(shù)K；

b、提高系統(tǒng)的型號數(shù);

系統(tǒng)型號

誤差系數(shù)Kp

KvKa

單位階躍輸入

單位速度輸入單位加速度輸入

2/5/202314當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號由位置，速度和加速度分量組成時(shí)，即小結(jié)：1.只有穩(wěn)定的系統(tǒng)才有穩(wěn)態(tài)誤差可談，一個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定，所有極點(diǎn)除原點(diǎn)可以有極點(diǎn)外(1/s的項(xiàng)，拉氏反變換是一個(gè)常數(shù)，不影響穩(wěn)定，此種情況稱為隨遇穩(wěn)定)都在s平面的左半開平面.2.給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與外作用有關(guān)。對同一系統(tǒng)加入不同的輸入，穩(wěn)態(tài)誤差不同。3.與時(shí)間常數(shù)形式的開環(huán)增益有關(guān)；對有差系統(tǒng)，K↑，穩(wěn)態(tài)誤差↓，但同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性變差。4.與積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)。積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)↑，穩(wěn)態(tài)誤差↓，但同時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)特性變差。2/5/202315例1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，當(dāng)輸入信號為單位斜坡函數(shù)時(shí)，求系統(tǒng)在斜坡輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；調(diào)整K值能使穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1嗎？-解：只有穩(wěn)定的系統(tǒng)計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義；所以先判穩(wěn)系統(tǒng)特征方程為由勞斯判據(jù)知穩(wěn)定的條件為：由穩(wěn)定的條件知：不能滿足的要求G2/5/202316例2:單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為及,求時(shí)的解:當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)為時(shí)系統(tǒng)為1型,對于中的輸入分量的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)所以當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)為時(shí)系統(tǒng)為2型,對于中和輸入分量的靜態(tài)位置誤差系數(shù)和靜態(tài)速度誤差系數(shù)均為無窮大,對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差值為0而對于中的輸入分量的靜態(tài)加速度誤差系數(shù),所以注意：開環(huán)傳函要化成：的形式2/5/2023176、擾動輸入作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差通常，給定輸入作用產(chǎn)生的誤差為系統(tǒng)的給定誤差(E=R-HC)，擾動作用產(chǎn)生的誤差為擾動誤差。認(rèn)為擾動輸入時(shí)系統(tǒng)的理想輸出為零，故從輸出端的誤差信號為：-+2/5/202318小結(jié)：穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算-+-①給定作用下的誤差傳遞函數(shù)2/5/202319②擾動作用下的偏差傳遞函數(shù)③給定和擾動同時(shí)作用下的偏差表達(dá)式++2/5/202320④對穩(wěn)定的系統(tǒng)，可利用拉氏變換的終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，才可計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差。2/5/202321例1：如下系統(tǒng)，求r(t)=t及n(t)=－1(t)時(shí)的ess解：(1)控制信號作用（令N(s)=0）改錯(cuò)：應(yīng)該是essr2/5/202322(2)擾動信號作用（令R(s)＝0）系統(tǒng)總誤差：2/5/202323例3-13設(shè)系統(tǒng)如下圖所示,系統(tǒng)為1型系統(tǒng),當(dāng)時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零,但當(dāng)時(shí),由得由上面計(jì)算可見,系統(tǒng)雖為1型,但在階躍干擾信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差并不為零.為克服干擾對控制精度的影響,可增大K1的值.此外，單靠調(diào)整系統(tǒng)本身的參數(shù)不能同時(shí)滿足各項(xiàng)性能的要求.改進(jìn)的方法是須對系統(tǒng)增加一些裝置。2/5/2023247.減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的措施（1）增大系統(tǒng)開環(huán)增益可減少系統(tǒng)對輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差；增大擾動點(diǎn)之前系統(tǒng)的前向通道增益可減少系統(tǒng)對階躍擾動的穩(wěn)態(tài)誤差。2/5/202325-+a.H中不含s分量。設(shè)則系統(tǒng)對輸入信號的誤差傳遞函數(shù)為：式中v=v1+v2（2）在系統(tǒng)的前向通道或主反饋通道加串聯(lián)積分環(huán)節(jié)2/5/202326因?yàn)閚=1,2,3，分別為位移、速度和加速度輸入R(S)分母中的s與分子的s相消后再與分子中的s相消，如分子上還有s，則穩(wěn)態(tài)誤差一定為零。2/5/202327因此下面結(jié)論成立：1）傳遞函數(shù)分子中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)v正好就是系統(tǒng)前向通道中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，也就是系統(tǒng)的型別。2）如果系統(tǒng)輸入信號為只要在前向通道中設(shè)置(2+1=)3個(gè)積分環(huán)節(jié)即可（輸入信號的最高次項(xiàng)+1）2/5/202328b.H中含有積分環(huán)節(jié)，前向通道情況與上同，則系統(tǒng)對擾動作用的誤差傳函為：式中v=v1+v2+v3因此下面結(jié)論成立：1）擾動作用點(diǎn)之前的前向通道積分環(huán)節(jié)數(shù)v1與主反饋通道積分環(huán)節(jié)數(shù)v3之和(v1+v3)正好就是系統(tǒng)對擾動作用的型別，與擾動作用點(diǎn)之后前向通道積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)無關(guān)。2）如果系統(tǒng)擾動輸入信號為只要在擾動點(diǎn)作用前的前向通道中或是主反饋通道中設(shè)置(2+1=)3個(gè)積分環(huán)節(jié)即可（擾動輸入信號的最高次項(xiàng)+1）2/5/202329

[例1]：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。當(dāng)時(shí)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；若要求穩(wěn)態(tài)誤差為零，如何改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。解：該系統(tǒng)對給定輸入而言屬于Ⅰ型系統(tǒng)。所以當(dāng)給定輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差但該系統(tǒng)所以對于擾動輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差并不等于零。根據(jù)前面的分析知，穩(wěn)態(tài)誤差與G1中的增益和積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)。此時(shí)因G1無積分環(huán)節(jié)，所以-+也可這樣求2/5/202330若想使穩(wěn)態(tài)誤差為零，則要求G1中有積分環(huán)節(jié)，令此時(shí)-+但此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性遭到破壞，可能成為不穩(wěn)定系統(tǒng)。若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，還必須在原G1中引入比例+微分環(huán)節(jié)-+當(dāng)K1>0，K2>0，τ>0時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定2/5/202331為了減少給定誤差，可以增加前向通道上的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)或增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。為了減小擾動誤差，可以增加偏差點(diǎn)到擾動作用點(diǎn)之間積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)或放大系數(shù)，或者增加主反饋回路積分環(huán)節(jié)。放大系數(shù)不能任意放大，積分環(huán)節(jié)也不能太多（一般2個(gè)），否則系統(tǒng)將會不穩(wěn)定。七、減