第三周(運動守恒定律)

普通物理學(xué)簡明教程合肥工業(yè)大學(xué)應(yīng)用物理系張玉剛1Createdbyhgdzyg@163.com第三章運動守恒定律Lawofconservation研究對象由質(zhì)點轉(zhuǎn)向質(zhì)點系統(tǒng)，重點研究系統(tǒng)的過程問題，從而確立和認(rèn)識運動的守恒定律。物體系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生的各種過程如果某物理量始終保持不變，該物理量就叫做守恒量。適用范圍：宏觀世界，微觀世界；物理過程，化學(xué)過程，生物過程等其他過程。守恒定律是自然規(guī)律最深刻最簡潔的陳述，比物理學(xué)中其他的規(guī)律更重要更基本。守恒的深刻原因：時空對稱性。2Createdbyhgdzyg@163.com3-1保守力勢能Conservativeforce&Potentialenergy萬有引力的功

Workofuniversalgravitation

以

為參考系，的位置矢量為一萬有引力、重力、彈性力作功的特點對

的萬有引力為由點移動到點時作功為3Createdbyhgdzyg@163.comdr可見，引力做功只和初末位置有關(guān)4Createdbyhgdzyg@163.com重力的功

Workofgravitationm在重力作用下由a運動到b，取地面為坐標(biāo)原點.初態(tài)量末態(tài)量可見，重力做功只和初末位置有關(guān)。5Createdbyhgdzyg@163.com彈力的功Workofelasticforce可見，彈性力做功只和初末位置有關(guān)初態(tài)量末態(tài)量XxbOxax6Createdbyhgdzyg@163.com保守力:力所作的功與具體路徑無關(guān)，僅決定于相互作用質(zhì)點的始末相對位置.二保守力和非保守力(Non)ConservativeForce重力功彈力功引力功7Createdbyhgdzyg@163.com非保守力:

力所作的功與路徑有關(guān).（例如摩擦力）物體沿閉合路徑運動一周時,保守力對它所作的功等于零.8Createdbyhgdzyg@163.com三勢能、勢函數(shù)Potentialenergy

在受保守力的作用下，質(zhì)點從A-B，所做的功與路徑無關(guān)，而只與這兩點的位置有關(guān)?？梢胍粋€只與位置有關(guān)的函數(shù)，A點的函數(shù)值減去B點的函數(shù)值，定義為從A-->B保守力所做的功，該函數(shù)就是勢能函數(shù)。AB定義了勢能差選參考點（勢能零點），設(shè)9Createdbyhgdzyg@163.com保守力做正功等于相應(yīng)勢能的減少；保守力做負(fù)功等于相應(yīng)勢能的增加。外力做正功等于相應(yīng)動能的增加；外力做負(fù)功等于相應(yīng)動能的減少。比較10Createdbyhgdzyg@163.com重力勢能（以地面為零勢能點）引力勢能（以無窮遠為零勢能點）彈性勢能（以彈簧原長為零勢能點）勢能只具有相對意義系統(tǒng)的機械能質(zhì)點在某一點的勢能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，由所在點移動到零勢能點時保守力所做的功。11Createdbyhgdzyg@163.com勢能和保守力的關(guān)系：勢能是保守力對路徑的線積分dllFlFBA保守力沿某一給定的l方向的分量等于與此保守力相應(yīng)的勢能函數(shù)沿l方向的空間變化率。保守力所做元功12Createdbyhgdzyg@163.com1、只要有保守力，就可引入相應(yīng)的勢能。2、計算勢能必須規(guī)定零勢能參考點。質(zhì)點在某一點的勢能大小等于在相應(yīng)的保守力的作用下，由所在點移動到零勢能點時保守力所做的功。3、勢能僅有相對意義，所以必須指出零勢能參考點。兩點間的勢能差是絕對的，即勢能是質(zhì)點間相對位置的單值函數(shù)。4、勢能是屬于具有保守力相互作用的質(zhì)點系統(tǒng)的。注意：13Createdbyhgdzyg@163.com幾種典型的勢能曲線（d）原子相互作用勢能曲線勢能曲線:勢能隨位置變化的曲線hEp（h）O（a）lEp（l）O（b）rEp（r）O（c）r0Ep（r）Or（d）（a）重力勢能曲線（b）彈性勢能曲線（c）引力勢能曲線勢能曲線14Createdbyhgdzyg@163.com勢能曲線提供的信息1、質(zhì)點在軌道上任意位置所具有的勢能值。2、勢能曲線上任意一點的斜率的負(fù)值，表示質(zhì)點在該處所受的保守力。3、勢能曲線有極值，質(zhì)點處于平衡位置。設(shè)系統(tǒng)機械能守恒，由此勢能曲線可分析系統(tǒng)狀態(tài)的變化。如圖的能量狀態(tài)下，質(zhì)點只能在勢阱中運動勢阱勢壘15Createdbyhgdzyg@163.com3-2質(zhì)點系的動能定理功能原理質(zhì)點系動能定理

內(nèi)力可以改變質(zhì)點系的動能注意內(nèi)力功外力功對質(zhì)點系，有對第個質(zhì)點，有一質(zhì)點系的動能定理16Createdbyhgdzyg@163.com*補充：一對作用力和反作用力的功or1r2r21

m1m2dr1dr2f2f1m1、m2組成一個封閉系統(tǒng)在dt

時間內(nèi)17Createdbyhgdzyg@163.com機械能質(zhì)點系動能定理非保守力的功二質(zhì)點系的功能原理質(zhì)點系的功能原理：質(zhì)點系從初態(tài)變化到終態(tài)過程中，機械能的增量等于外力和非保守內(nèi)力作功之和.

18Createdbyhgdzyg@163.com在應(yīng)用“功能原理”時，若左方計入保守力的功，則右方就不再考慮對應(yīng)的勢能；若右方計入勢能，則左方就不再考慮對應(yīng)的保守力的功。因為功能原理是在質(zhì)點系的動能定理中引入勢能而得出的，所以它和質(zhì)點系動能定理一樣也是在慣性參考系中才成立。注意：在應(yīng)用“功能原理”時，應(yīng)選擇合適的系統(tǒng)為研究對象19Createdbyhgdzyg@163.com例一雪橇從高度為50m

的山頂上點A沿冰道由靜止下滑,山頂?shù)缴较碌钠碌篱L為500m.雪橇滑至山下點B后,又沿水平冰道繼續(xù)滑行,滑行若干米后停止在C處.若摩擦因數(shù)為0.050.求此雪橇沿水平冰道滑行的路程.(點B附近可視為連續(xù)彎曲的滑道.忽略空氣阻力.)20Createdbyhgdzyg@163.com已知求解

以雪橇、冰道和地球為一系統(tǒng)，由功能原理得又21Createdbyhgdzyg@163.com可得由功能原理代入已知數(shù)據(jù)有22Createdbyhgdzyg@163.com當(dāng)時，有功能原理3-3機械能守恒定律宇宙速度只有保守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)點系的機械能保持不變.守恒定律的意義不究過程細(xì)節(jié)而能對系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，這是各個守恒定律的特點和優(yōu)點

一機械能守恒定律23Createdbyhgdzyg@163.com

亥姆霍茲（1821—1894），德國物理學(xué)家和生理學(xué)家.于1874年發(fā)表了《論力（現(xiàn)稱能量）守恒》的演講，首先系統(tǒng)地以數(shù)學(xué)方式闡述了自然界各種運動形式之間都遵守能量守恒這條規(guī)律.所以說亥姆霍茲是能量守恒定律的創(chuàng)立者之一.二能量守恒24Createdbyhgdzyg@163.com對與一個與自然界無任何聯(lián)系的系統(tǒng)來說,系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量是可以相互轉(zhuǎn)換的，但是不論如何轉(zhuǎn)換，能量既不能產(chǎn)生，也不能消滅，這一結(jié)論叫做能量守恒定律

.1）生產(chǎn)斗爭和科學(xué)實驗的經(jīng)驗總結(jié)；2）能量是系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)；3）系統(tǒng)能量不變,但各種能量形式可以互相轉(zhuǎn)化；4）能量的變化常用功來量度.25Createdbyhgdzyg@163.com例

有一輕彈簧,其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點P,另一端系一質(zhì)量為m的小球,小球穿過圓環(huán)并在圓環(huán)上運動(不計摩擦).開始小球靜止于點A,彈簧處于自然狀態(tài),其長度為圓環(huán)半徑R;當(dāng)小球運動到圓環(huán)的底端點B時,小球?qū)A環(huán)沒有壓力.求彈簧的勁度系數(shù).解

以彈簧、小球和地球為一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)機械能守恒取圖中點為重力勢能零點26Createdbyhgdzyg@163.com又所以即系統(tǒng)機械能守恒,圖中點為重力勢能零點27Createdbyhgdzyg@163.com三宇宙速度牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》插圖，拋體的運動軌跡取決于拋體的初速度28Createdbyhgdzyg@163.com設(shè)

地球質(zhì)量,拋體質(zhì)量

,地球半徑

.``````解

取拋體和地球為一系統(tǒng)，系統(tǒng)的機械能E守恒

.人造地球衛(wèi)星第一宇宙速度第一宇宙速度，是在地面上發(fā)射人造地球衛(wèi)星所需的最小速度.29Createdbyhgdzyg@163.com解得由牛頓第二定律和萬有引力定律得``````30Createdbyhgdzyg@163.com地球表面附近故計算得第一宇宙速度``````31Createdbyhgdzyg@163.com人造行星第二宇宙速度``````第二宇宙速度，是拋體脫離地球引力所需的最小發(fā)射速度.設(shè)

地球質(zhì)量,拋體質(zhì)量

,地球半徑

.

取拋體和地球為一系統(tǒng)系統(tǒng)機械能守恒.當(dāng)若此時則32Createdbyhgdzyg@163.com第二宇宙速度``````計算得33Createdbyhgdzyg@163.com飛出太陽系第三宇宙速度第三宇宙速度，是拋體脫離太陽引力所需的最小發(fā)射速度.太陽質(zhì)量,拋體與太陽相距

.

設(shè)

地球質(zhì)量,拋體質(zhì)量

,地球半徑34Createdbyhgdzyg@163.com取地球為參考系,由機械能守恒得取拋體和地球為一系統(tǒng)，拋體首先要脫離地球引力的束縛,其相對于地球的速率為.取太陽為參考系,拋體相對于太陽的速度為，地球相對于太陽的速度則如與同向,有35Createdbyhgdzyg@163.com要脫離太陽引力，機械能至少為零則則拋體與太陽的距離即為地球軌道半徑設(shè)地球繞太陽軌道近似為一圓，由于與同向,則36Createdbyhgdzyg@163.com計算得第三宇宙速度取地球為參照系計算得37Createdbyhgdzyg@163.com拋體的軌跡與能量的關(guān)系

橢圓(包括圓)

拋物線

雙曲線38Createdbyhgdzyg@163.com質(zhì)點系3-4質(zhì)點系的動量定理動量守恒質(zhì)點系動量定理

系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量.因為內(nèi)力則39Createdbyhgdzyg@163.com注意內(nèi)力不改變質(zhì)點系的動量初始速度則推開后速度且方向相反則推開前后系統(tǒng)動量不變40Createdbyhgdzyg@163.com例

一柔軟鏈條長為l,單位長度的質(zhì)量為.鏈條放在桌上,桌上有一小孔,鏈條一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小孔周圍.由于某種擾動,鏈條因自身重量開始落下.求鏈條下落速度與落下距離之間的關(guān)系.設(shè)鏈與各處的摩擦均略去不計,且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開.解以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統(tǒng),建立如圖坐標(biāo)由質(zhì)點系動量定理得m1m2Oyy則41Createdbyhgdzyg@163.com則兩邊同乘以則m1m2Oyy又42Createdbyhgdzyg@163.com質(zhì)點系動量定理若質(zhì)點系所受的合外力為零，則系統(tǒng)的總動量守恒，即保持不變.動量守恒定律力的瞬時作用規(guī)律1）系統(tǒng)的動量守恒是指系統(tǒng)的總動量不變，系統(tǒng)內(nèi)任一物體的動量是可變的,各物體的動量必須相對于同一慣性參考系

.43Createdbyhgdzyg@163.com3）若某一方向合外力為零,則此方向動量守恒.4）動量守恒定律只在慣性參考系中成立,是自然界最普遍，最基本的定律之一.2）守恒條件

合外力為零當(dāng)

時，可略去外力的作用,近似地認(rèn)為系統(tǒng)動量守恒.例如在碰撞,打擊,爆炸等問題中.44Createdbyhgdzyg@163.com例設(shè)有一靜止的原子核,衰變輻射出一個電子和一個中微子后成為一個新的原子核.已知電子和中微子的運動方向互相垂直,且電子動量為1.210-22kg·m·s-1,中微子的動量為6.410-23kg·m·s-1.問新的原子核的動量的值和方向如何?解即恒矢量45Createdbyhgdzyg@163.com又因為代入數(shù)據(jù)計算得系統(tǒng)動量守恒,即46Createdbyhgdzyg@163.com

例

一枚返回式火箭以2.5103m·s-1的速率相對地面沿水平方向飛行.設(shè)空氣阻力不計.現(xiàn)由控制系統(tǒng)使火箭分離為兩部分,前方部分是質(zhì)量為100kg的儀器艙,后方部分是質(zhì)量為200kg的火箭容器.若儀器艙相對火箭容器的水平速率為1.0103m·s-1.求儀器艙和火箭容器相對地面的速度.47Createdbyhgdzyg@163.com已知求

,解

則48Createdbyhgdzyg@163.com例

在宇宙中有密度為的塵埃,這些塵埃相對慣性參考系是靜止的.有一質(zhì)量為的宇宙飛船以初速穿過宇宙塵埃,由于塵埃粘貼到飛船上,致使飛船的速度發(fā)生改變.求飛船的速度與其在塵埃中飛行時間的關(guān)系.(設(shè)想飛船的外形是面積為S的圓柱體)解

塵埃與飛船作完全非彈性碰撞,把它們作為一個系統(tǒng),則動量守恒.即得49Createdbyhgdzyg@163.com已知求與的關(guān)系.解50Createdbyhgdzyg@163.com碰撞過程的特點：1、各個物體的動量明顯改變。

2、系統(tǒng)的總動量(總角動量)守恒。彈性碰撞：Ek=0碰撞過程中兩球的機械能（動能）完全沒有損失。非彈性碰撞：Ek<0

碰撞過程中兩球的機械能（動能）要損失一部分。完全非彈性碰撞：Ek<0且絕對值最大兩球碰后合為一體，以共同的速度運動。物體在短時間內(nèi)發(fā)生相互作用的過程。自學(xué)：兩球碰撞問題51Createdbyhgdzyg@163.com完全彈性碰撞（五個小球質(zhì)量全同）52Createdbyhgdzyg@163.com兩個質(zhì)子在盛有液態(tài)氫的容器中發(fā)生彈性碰撞.一個質(zhì)子從左向右運動,與另一個靜止質(zhì)子相碰撞,碰撞后,兩個質(zhì)子的運動方向相互垂直.磁感強度的方向垂直紙面向里.兩個質(zhì)子發(fā)生二維的完全彈性碰撞53Createdbyhgdzyg@163.com則燃?xì)鈩恿孔兓鸺屏Φ挠嬎?經(jīng)過dt時間,

火箭向后噴出質(zhì)量為dm的燃?xì)庠趖+dt時刻,

火箭質(zhì)量減為M-dm,速度增為則燃?xì)鈱Φ厮俣葹橛蓜恿慷ɡ?火箭受到的推力為:設(shè)在t時刻,

火箭的質(zhì)量為M,速度為其噴出速度相對于火箭為自學(xué)：火箭飛行原理54Createdbyhgdzyg@163.com火箭速度公式化簡得:由于噴出燃?xì)獾馁|(zhì)量dm等于火箭質(zhì)量的減小,即,所以上式變?yōu)樵O(shè)開始發(fā)射時,火箭質(zhì)量為,初速為0,則:忽略重力和阻力,則系統(tǒng)動量守恒55Createdbyhgdzyg@163.com設(shè)各級火箭工作時，并設(shè)各級火箭的噴氣速度分別為火箭的質(zhì)量比分別為最后火箭達到的速度為：56Createdbyhgdzyg@163.com一質(zhì)點角動量矢量方向大小(方向用右手螺旋法確定)1.垂直于構(gòu)成的平面。2.

必須指明對那一固定點.單位：J?s(kg?m2/s)平面圓周運動對圓心直線運動mrOv3-5角動量定理角動量守恒注意57Createdbyhgdzyg@163.com例一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿著一條空間曲線運動，該曲線在直角坐標(biāo)下的矢徑為：其中a、b、皆為常數(shù)，求該質(zhì)點對原點的角動量。解：已知58Createdbyhgdzyg@163.com二力矩(方向用右手螺旋法規(guī)定)矢量方向大小1.垂直于構(gòu)成的平面。2.必須指明對那一固定點.單位：N·m3.可能為零oa注意59Createdbyhgdzyg@163.com三質(zhì)點的角動量定理0角動量定理1.必須對同一點2.—合外力矩3.慣性系成立角動量守恒定律注意60Createdbyhgdzyg@163.com例：光滑水平桌面上，小球作圓周運動。初始r0,v0，當(dāng)半徑減小為r時v=?解：繩的拉力通過圓心對圓心的力矩為零角動量守恒圓周運動對圓心61Createdbyhgdzyg@163.com例:行星運動方向:大小:

L=

rmvsin=常量

r遠

v遠=r近

v近o

r

v在近日點與遠日點sin=1r遠>

r近v遠<v近軌道面是平面62Createdbyhgdzyg@163.com質(zhì)點系0四質(zhì)點系的角動量定理一對內(nèi)力矩之和一對內(nèi)力對某固定點的力矩之和為零63Createdbyhgdzyg@163.com角動量守恒定律1.內(nèi)力矩不改變質(zhì)點系的總角動量，但可以改變各質(zhì)點的角動量。2.必須對同一點。3.但不一定為零但可以為零注意64Createdbyhgdzyg@163.com狀態(tài)量狀態(tài)量與系統(tǒng)經(jīng)歷的過程無關(guān)。狀態(tài)量是系統(tǒng)自身所具有的物理量，與外界無關(guān)。過程量過程量與系統(tǒng)自身沒有必然的聯(lián)系，過程量是由外界對系統(tǒng)過程產(chǎn)生作用的物理量。動量、角動量、能量沖量、功小結(jié)：狀態(tài)量和過程量65Createdbyhgdzyg@163.com狀態(tài)量動能勢能動量角動量66Createdbyhgdzyg@163.com功一對作用力和反作用力的功過程量沖量角沖量67Createdbyhgdzyg@163.com動能定理

狀態(tài)量與過程量的關(guān)系保守力做功功能原理動量定理角動量定理68Createdbyhgdzyg@163.com機械能守恒定律守恒定律動量守恒定律角動量守恒定律69Createdbyhgdzyg@163.com對稱性與守恒定律問題的提出守恒定律是與宇宙中某些對稱性相聯(lián)系的。對稱性是統(tǒng)治物理規(guī)律的規(guī)律。守恒定律具有比力學(xué)理論更深厚的基礎(chǔ)嗎？經(jīng)典力學(xué)理論的局限性守恒定律的普適性宏觀低速宏觀、微觀、低速、高速70Createdbyhgdzyg@163.com對稱性定義:某一研究對象(體系、事物;物理規(guī)律)對其狀態(tài)進行某種操作,使其狀態(tài)由A到B。若兩狀態(tài)等價(相同)，就說該研究對象對該操作具有對稱性。例對中心對稱操作繞中心旋任意角狀態(tài)A狀態(tài)B狀態(tài)A與狀態(tài)B相同或等價71Createdbyhgdzyg@163.com幾種對稱操作1、空間對稱操作---空間變換

1)平移2)旋轉(zhuǎn)3)鏡象反射4)空間反演2、時間變換

1)時間平移2)時間反演3、時空聯(lián)合操作伽利略變換---力學(xué)定律具有不變性洛侖茲變換---物理定律具有不變性72Createdbyhgdzyg@163.com對稱性與守恒定律時間平移的對稱性意味著時間的均勻性，這將導(dǎo)致能量守恒。空間平移對稱性意味著空間的均勻性，這將導(dǎo)致動量守恒。旋轉(zhuǎn)對稱性意味著空間的各向同性，這將導(dǎo)致角動量守恒。73Createdbyhgdzyg@163.com物理矢量的鏡面反射

極矢量軸矢量平行于鏡面的分量方向相同，垂直于鏡面的分量方向相反。平行于鏡面的分量方向相反，垂直于鏡面的分量方向相同。74Createdbyhgdzyg@163.com時間反演

(t→-t)

相當(dāng)于時間倒流物理上:運動方向反向即:速度對時間反演變號牛頓第二定律對保守系統(tǒng)--時間反演不變?nèi)鐭o阻尼的單擺75Createdbyhgdzyg@163.com武打片動作的真實性緊身衣大袍非保守系統(tǒng)不具有時間反演不變性不真實真實陰陽圖聯(lián)合操作76Createdbyhgdzyg@163.com物理學(xué)大廈的基石三大守恒定律動量守恒定律動能轉(zhuǎn)換與守恒定律角動量守恒定律77Createdbyhgdzyg@163.com下列各物理量中，與參照系有關(guān)的物理量是哪些？（不考慮相對論效應(yīng)）

1）質(zhì)量2）動量3）沖量

4）動能5）勢能6）功答：動量、動能、功.討論78Createdbyhgdzyg@163.com如圖的系統(tǒng)，物體A，B置于光滑的桌面上，物體A和C,B和D之間摩擦因數(shù)均不為零，首先用外力沿水平方向相向推壓A和B，使彈簧壓縮，后拆除外力，則A和B彈開過程中，對A、B、C、D組成的系統(tǒng)討論（A）動量守恒，機械能守恒.（B）動量不守恒，機械能守恒.（C）動量不守恒，機械能不守恒.（D）動量守恒，機械能不一定守恒.DBCADBCA79Createdbyhgdzyg@163.com完全非彈性碰撞兩物體碰撞后,以同一速度運動.碰撞兩物體互相接觸時間極短而互作用力較大的相互作用.完全彈性碰撞兩物體碰撞之后，它們的動能之和不變.非彈性碰撞由于非保守力的作用，兩物體碰撞后，使機械能轉(zhuǎn)換為熱能、聲能，化學(xué)能等其他形式的能量.80Cre