第三章 運(yùn)動(dòng)的守恒定律

普通物理解題方法研究溫州大學(xué)主講教師：季永運(yùn)1質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理第三章運(yùn)動(dòng)的守恒定律3動(dòng)量守恒定律及意義5功能原理主要內(nèi)容:4質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理6

機(jī)械能守恒定律2質(zhì)心及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理1.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量及動(dòng)量定理動(dòng)量定理的微分形式?jīng)_量動(dòng)量定理的積分形式動(dòng)量1.2質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量及動(dòng)量定理由具有相互作用的若干個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)，稱之為質(zhì)點(diǎn)組.系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力稱之為內(nèi)力.系統(tǒng)外其它物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)任意一質(zhì)點(diǎn)的作用力稱之為外力.質(zhì)點(diǎn)組受的合外力質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量定理的積分形式1.3角動(dòng)量及角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量角動(dòng)量定理2質(zhì)心及質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理3動(dòng)量守恒定律及其意義動(dòng)量守恒的條件動(dòng)量守恒的內(nèi)容

1.實(shí)際中當(dāng)合內(nèi)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于合外力時(shí)，動(dòng)量守恒定律也可認(rèn)為成立.

2.某一方向上合外力為零，則該方向上動(dòng)量守恒定律.角動(dòng)量守恒定律4.動(dòng)量守恒定律是最普遍、最重要的定律之一。適用于宏觀和微觀領(lǐng)域。將動(dòng)量守恒看作是由牛頓定律推導(dǎo)出來的看法是片面的。直角坐標(biāo)系中的分量式：3.動(dòng)量守恒定律只適用于慣性參照系.例題分析逆風(fēng)行舟動(dòng)量分析帆帆FFIpp112p22p2航向分力pp11tIFX2p22p2I逆風(fēng)逆風(fēng)p1p1m空氣團(tuán)分子質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量m空氣團(tuán)分子質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量ababbFFcosXbb~~pp112p22p20812ab~~動(dòng)量分析逆風(fēng)行舟的動(dòng)量分析逆風(fēng)行舟的

1.如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為的小球,當(dāng)它以初速度射向桌面，撞擊桌面后以速度彈開.和與桌面法線方向之間的夾角分別為o

和o.（1）求小球所受到的沖量；（2）如果撞擊的時(shí)間為，試求桌面施于小球的平均沖擊力.解已知條件如圖所示。

2.如圖所示，在光滑的平面上，質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)以角速度沿半徑為的圓周勻速運(yùn)動(dòng).試分別用積分法和動(dòng)量定理，求出從到的過程中合外力的沖量.解用積分法求解如下：用動(dòng)量定理求解如下：4.1功1.功的定義4質(zhì)點(diǎn)及質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理2.在直角坐標(biāo)系中：元功可表示為功是標(biāo)量。只有大小，沒有方向。3.變力對(duì)它做功4.合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功合力的功等于各分力的功的代數(shù)和。4.2功率1.平均功率2.瞬時(shí)功率(簡(jiǎn)稱功率)3.功率的單位功率的單位為焦耳每秒（

）.作用在質(zhì)點(diǎn)上的合外力所做的功等于該質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量.4.3質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理若是N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)組,則4.4質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理動(dòng)量和動(dòng)能的相同點(diǎn)是：二者都是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)量.動(dòng)量和動(dòng)能的不同點(diǎn)是：

1、動(dòng)量是矢量，而動(dòng)能是標(biāo)量；

2、動(dòng)量取決于力對(duì)時(shí)間的積累（沖量）,

而動(dòng)能則取決于力對(duì)空間積累（功）；

3、質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量的改變僅與外力的沖量有關(guān)，質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能的改變不僅與外力有關(guān)而且還與內(nèi)力有關(guān)；

4、質(zhì)點(diǎn)間機(jī)械運(yùn)動(dòng)的傳遞用動(dòng)量來描述，機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它形式運(yùn)動(dòng)的傳遞用動(dòng)能來描述.動(dòng)量和動(dòng)能的異同點(diǎn)5.1保守力及保守力的功1.萬有引力的功5功能原理2.重力的功3.彈性力的功若某種力做功僅與起末位置有關(guān)而與路徑無關(guān)，則這種力稱之為保守力；若某種力做功不僅與起末位置有關(guān)而且還與路徑有關(guān)，則這種力稱之為非保守力.保守力和非保守力屬于系統(tǒng)（質(zhì)點(diǎn)組）的內(nèi)力.保守力與非保守力的區(qū)分:保守力：重力、彈性力、萬有引力、靜電力非保守力：摩擦力、爆炸力物體沿閉合路徑繞行一周，這些力所做的功恒為零，具有這種特性的力統(tǒng)稱為保守力。沒有這種特性的力，統(tǒng)稱為非保守力。5.2勢(shì)能討論：1.勢(shì)能為系統(tǒng)所有。2.對(duì)于非保守力不能引入勢(shì)能的概念。3.勢(shì)能是系統(tǒng)內(nèi)各物體位置坐標(biāo)的單值函數(shù)。4.引入勢(shì)能的一個(gè)重要目的是為了簡(jiǎn)化保守力功的計(jì)算。5.a點(diǎn)的勢(shì)能在數(shù)值上等于將物體從該點(diǎn)移到無窮遠(yuǎn)處保守力所作的功。5.3功能原理6機(jī)械能和機(jī)械能守恒定律若外力和非保守內(nèi)力均不做功，或質(zhì)點(diǎn)組在只有保守內(nèi)力做功的條件下，質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)部的機(jī)械能相互轉(zhuǎn)化，但總的機(jī)械能守恒.這就是機(jī)械能轉(zhuǎn)化和機(jī)械能守恒定律.

（1）前提:只有保守內(nèi)力做功，其它內(nèi)力和外力不做功，或它們的代數(shù)和為零，或可以忽略不計(jì)；（2）只適用于慣性參考系。因?yàn)樵诜菓T性參考系中，即使?jié)M足上述條件，機(jī)械能不一定守恒。（3）與慣性參考系的選擇有關(guān)。因?yàn)橥饬ψ龉﹄m然與選取參考系無關(guān)，但非保守內(nèi)力做功是否為零,則決定于參考系的選擇。機(jī)械能守恒的幾點(diǎn)說明:7能量轉(zhuǎn)化和能量守恒定律能量既不能消滅，也不能產(chǎn)生；它只能從一個(gè)物體傳遞給另一個(gè)物體，或物體的一部分傳遞給另一部分，由一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式.這稱之為能量轉(zhuǎn)化和能量守恒定律.

3.一輛裝煤車以的速率從煤斗下面通過，如圖所示.每秒鐘落入車廂的煤為，如果使車廂的速率保持不變，應(yīng)加多大的牽引力拉車廂？（車廂與鋼軌間的摩擦忽略不計(jì)）.例題分析解以m表示在t時(shí)刻煤車和已落入煤車的煤的總質(zhì)量.在此后時(shí)間內(nèi)又有質(zhì)量為的煤落入車廂.取m和為研究對(duì)象，則對(duì)這一系統(tǒng)在時(shí)刻t的水平方向總動(dòng)量為在時(shí)刻的水平方向總動(dòng)量為在時(shí)間內(nèi)水平方向總動(dòng)量的增量為此系統(tǒng)所受的水平牽引力F，由動(dòng)量定律可得所以

4.

礦砂從傳送帶A落入傳送帶B，其速度v1=4m/s,方向與豎直方向成300角，而傳送帶B與水平方向成150角，其速度v2=2m/s。傳送帶的運(yùn)送量為k=20kg/s.求：落到傳送帶B上的礦砂所受到的力。150300ABv1v2返回結(jié)mvΔ1()=mv2mv47520cos××+=mvΔ()2224m=3.98m

()=3.98k

tΔm/s1503002mv1mvmvΔ()150300ABv1v2解：在Δt內(nèi)落在傳送帶上的礦砂質(zhì)量為：這些礦砂的動(dòng)量增量為：m=kΔt

，返回Ft=ΔmvΔ()Ft=ΔmvΔ()=3.98k

tΔtΔ=3.98k

=79.6N由動(dòng)量原理：1503002mv1mvmvΔ()600q返回結(jié)束150300ABv1v21503002mv1mvxyo解二：對(duì)礦砂m(m=kΔt)應(yīng)用動(dòng)量原理sincos=2v1501v300()Δtk1.36(N)=2024××=cos150sin300)(FxsincosΔt=2mv1501mv300()sincos=2v1501v300()kFx返回結(jié)束Δt()cossin=2v1501v300+k+2024××=sin150cos300)(=79.63(N)+=ij1.3679.6379.631.36=aarctg=8901503002mv1mvxyoFaFycossint=2mv1501mv300()Δ()cossin=2v1501v300+kFy+=FyFxijF=F+FyFx22=79.64(N)返回結(jié)束

5.一質(zhì)量均勻的柔軟細(xì)繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好觸到水平桌面上。如果把繩的上端放開，繩將落到桌面上。試證明，在繩下落的過程中任意時(shí)刻作用于桌面上的壓力等于已落到桌面上繩重量的三倍。證：

設(shè)t=0

時(shí)刻，繩的上端為

x軸的原點(diǎn)O，向下為正方向，繩長為l,總質(zhì)量為M。

則t時(shí)刻，已落到桌面上的繩長為x

，質(zhì)量為m=Mx/l，以此為研究對(duì)象。受力如圖所示：將（2）式代入（1）式得

練習(xí)：人與船質(zhì)量分別為m及M，船長為L，若人從船尾走到船首。試求船相對(duì)于岸的位移。人行走的速度變化，位移如何變？mML設(shè)人相對(duì)于船的速度為u船相對(duì)于岸的速度為v由動(dòng)量守恒:mMxLulv()vMu+mv=0Mvum=m+òudtMm=m+=Mmm+Lx=òvdtΔ注意不管人的行走速度如何變化。結(jié)果是相同的。解：練習(xí)：半徑為R的均勻半圓形鐵絲的質(zhì)心ddL=RdRyxy6.從10米深的井中把10千克的水勻速上提，若每升高1米漏去0.2千克的水.(1)畫出示意圖，設(shè)置坐標(biāo)軸后，寫出力所作元功的表達(dá)式.

(2)計(jì)算把水從井下勻速提到井口外力所作的功.解(1)建立坐標(biāo)并作示意圖如下：(2)

7.一質(zhì)量為10kg的質(zhì)點(diǎn)，沿x軸無摩擦的運(yùn)動(dòng).設(shè)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)，速度為零（即初始條件為：）.問：（1）設(shè)質(zhì)點(diǎn)在F=3+4t牛頓力的作用下運(yùn)動(dòng)了3秒（t以秒計(jì)），它的速度和加速度增為多大？（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)在F=3+4x牛頓力的作用下移動(dòng)了3米（x以米計(jì)），它的速度和加速度增為多大？解（1）設(shè)t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)速度為v,則由動(dòng)量定理得代入數(shù)據(jù)t=3s、m=10kg可得速度和加速度分別為（2）設(shè)移動(dòng)到x位置時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度為v，則由動(dòng)能定理，得代入數(shù)據(jù)x=3m、m=10kg可得速度和加速度分別為

8.一球形容器落入水中，剛接觸水面時(shí)，其速度為。設(shè)此容器在水中所受的浮力與重力相等，水的阻力為f=-kv,求（1）阻力所做的功；（2）下落距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。

解：（一）如圖，取坐標(biāo)Ox

向下為正。由功的定義，水的阻力做的功為由題意：兩邊積分即得即將（2）式代入（1）式得（二）由（2）式得

兩邊積分：得練習(xí)：

作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為在下列情況下求質(zhì)點(diǎn)從處運(yùn)動(dòng)到處該力作的功：1.

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為拋物線2.

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道為直線XYO（下一頁）做功與路徑有關(guān)沿拋物線沿直線XYO（2）如果和交換位置，結(jié)果如何？（1）對(duì)上面的木板必須施加多大的正壓力以便在力突然撤去而上面的木板跳起來時(shí)，恰好使下面的木板提離地面？

9.如圖所示，用一彈簧把質(zhì)量分別為和的兩塊木板連接在一起，放在地面上，彈簧的質(zhì)量可忽略不計(jì)，且.問：解設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為k,上面的木板處于最低狀態(tài)時(shí)的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧處于自然長度時(shí)的位置為彈性勢(shì)能零點(diǎn),如圖所示.則上跳使彈簧必須伸長才能使下面的木板恰能提起，正壓力壓上面的木板時(shí)，彈簧壓縮量突然撤去外力后，上面的木板由這一位置從靜止開始向上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橄到y(tǒng)（兩塊木板、彈簧、地球）只有重力、彈性力做功，所以系統(tǒng)遵守機(jī)械能守恒定律.若上面的木板運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧恰能伸長，則以上各量必須滿足把和代入上式，化簡(jiǎn)可得因?yàn)椴皇菈毫?，故舍?所得結(jié)果具有對(duì)稱性，因此和交換位置結(jié)果是不會(huì)改變的.

10：在平面兩相同的球做完全彈性碰撞，其中一球開始時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，另一球速度

v。求證：碰撞后兩球速度總互相垂直。解：設(shè)碰撞后兩球速度由動(dòng)量守恒兩邊平方由機(jī)械能守恒（勢(shì)能無變化）兩球速度總互相垂直

11.如圖是打樁的示意圖.設(shè)錘和樁的質(zhì)量分別為和，錘的下落高度為h，假定地基的阻力恒定不變，落錘一次，木樁打進(jìn)土中的深度為d，求地基的阻力f等于多大？解以錘為研究對(duì)象，錘打擊樁前作自由落體運(yùn)動(dòng),則以錘和樁為研究對(duì)象，則錘與樁構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量守恒.設(shè)錘打擊樁后不回跳，錘和樁以共同的速度v進(jìn)入土中，則以錘、樁和地球構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)組為研究對(duì)象由功能原理可得聯(lián)立以上各式，并求解可得

12.一質(zhì)量為m

=3500kg鋁制人造地球衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，軌道高度為h

=100km，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，由于空氣阻力，它將逐漸減速，最后撞回到地面.（1）求衛(wèi)星在正常軌道時(shí)的總能量和落回到地面后的總能量.

（2）如果衛(wèi)星落地后減少的能量全部以熱量的形式被衛(wèi)星所吸收，它能被全部熔化嗎？它能被全部蒸發(fā)嗎？已知鋁的熔解熱是，鋁的蒸發(fā)熱為解（1）衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，地球?qū)πl(wèi)星的引力提供衛(wèi)星做圓運(yùn)動(dòng)的向心力，則因此衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的總能量為衛(wèi)星落回到地面（v=0，h=0）時(shí)的總能量為

（2）衛(wèi)星由軌道上落回到地面后，能量的減少為衛(wèi)星全部熔化所需要的熱量為如果衛(wèi)星落地后減少的能量全部以熱量的形式被衛(wèi)星所吸收，則衛(wèi)星將被全部熔化.衛(wèi)星全部被蒸發(fā)所需要的熱量為

13：在光滑的水平桌面上，平放有如圖所示的固定半圓屏障，質(zhì)量為m的滑塊以初速度v0沿切線方向進(jìn)入屏障，滑塊與屏之間的摩擦系數(shù)為，試證明當(dāng)滑塊從另一端滑出時(shí)，摩擦力作的功為解由式（1）代入上式得：ONfS俯視圖

14.一條均勻鏈條，質(zhì)量為m，總長為l，成直線狀放在桌面上，設(shè)桌面與鏈條間摩擦系數(shù)為μ?，F(xiàn)已知鏈條下垂長度為a

時(shí)，鏈條開始下滑。用動(dòng)能定理，功能原理計(jì)算鏈條剛好全部離開桌面時(shí)速率。對(duì)下垂部分a：解:(一)由動(dòng)能定理：對(duì)桌面上部分l-a:將（2）式和（3）式代入（1）式得有（二）以鏈條、地球?yàn)檠芯繉?duì)象，由功能原理設(shè)O為零勢(shì)能點(diǎn)將（2）式和（3）式代入（1）式得——結(jié)果相同

例

15

宇宙速度

由地面處發(fā)射使物體繞地球運(yùn)動(dòng)（人造地球衛(wèi)星）所需的最小速度，稱為第一宇宙速度。使物體脫離地球的引力范圍所需的最小速度，稱為第二宇宙速度。使物體脫離太陽系所需的最小速度，稱為第三宇宙速度。試計(jì)算這三種宇宙速度。解：第一宇宙速度地球?qū)πl(wèi)星的引力為引力為衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力衛(wèi)星在地面上時(shí)或化簡(jiǎn)得代入（1）式得這就是衛(wèi)星在半徑為r

的圓軌道上運(yùn)轉(zhuǎn)所需的速度，稱為環(huán)繞速度。得第一宇宙速度解：第二宇宙速度

以物體和地球?yàn)檠芯肯到y(tǒng)。忽略空氣阻力，只有保守力做功，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)

為物體離開地面時(shí)的速度，為物體遠(yuǎn)離地球時(shí)的速度。并選取無窮遠(yuǎn)處為萬有引力勢(shì)能的零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律上述速度稱為第二宇宙速度或稱為脫離地球的逃逸速度。解：第三宇宙速度

物體飛出太陽系去，必須滿足圓橢圓拋物線雙曲線

從地面發(fā)射的物體，飛出太陽系時(shí)，既要脫離太陽的引力作用，也要脫離地球的引力作用，發(fā)射時(shí)的能量必須滿足所以

這就是從地面發(fā)射使星體飛離太陽系的最小速度，即第三宇宙速度。

16.如圖所示，質(zhì)量為m的物塊從離平板高為h的位置下落，落在質(zhì)量為m的平板上.已知輕質(zhì)彈簧的彈性系數(shù)為k，物塊與平板的碰撞為完全非彈性碰撞，求碰撞后彈簧的最大壓縮量.解該問題可分解為三個(gè)過程加以處理，即物塊下落的過程、物快與平板碰撞的過程、物塊與平板碰撞后彈簧繼續(xù)被壓縮的過程.在物塊下落的過程中，物塊是自由下落，所以到達(dá)物塊與平板碰撞前，物塊的速度為在物塊與平板碰撞過程中，由于碰撞過程時(shí)間極為短促，此時(shí)重力、彈性力比碰撞時(shí)相互作用的沖力小得多，可以忽略不計(jì)，若