第三章-非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§3.1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念§3.2集總參數(shù)法的簡(jiǎn)化分析§3.3一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解§3.4二維三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的求解§3.5半無(wú)限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱１、重點(diǎn)內(nèi)容：

①非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念及特點(diǎn)；②集總參數(shù)法的基本原理及應(yīng)用；③一維及二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題。

2、掌握內(nèi)容：

①確定瞬時(shí)溫度場(chǎng)的方法；②確定在一時(shí)間間隔內(nèi)物體所傳導(dǎo)熱量的計(jì)算方法。

3、了解內(nèi)容：無(wú)限大物體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本特點(diǎn)。

§3-1非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念一、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程及其特點(diǎn)導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化的導(dǎo)熱過(guò)程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。溫度隨時(shí)間變化，熱流也隨時(shí)間變化。自然界和工程上許多導(dǎo)熱過(guò)程為非穩(wěn)態(tài)，t=f()例如：冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；鍋爐、內(nèi)燃機(jī)等裝置起動(dòng)、停機(jī)、變工況；自然環(huán)境溫度；供暖或停暖過(guò)程中墻內(nèi)與室內(nèi)空氣溫度2非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：物體的溫度隨時(shí)間而作周期性的變化

非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（瞬態(tài)導(dǎo)熱）：物體的溫度隨時(shí)間不斷地升高（加熱過(guò)程）或降低（冷卻過(guò)程），在經(jīng)歷相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，物體溫度逐漸趨近于周?chē)橘|(zhì)溫度，最終達(dá)到熱平衡．物體的溫度隨時(shí)間的推移逐漸趨近于恒定的值．著重討論瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

3溫度分布：4兩個(gè)不同的階段

非正規(guī)狀況階段(右側(cè)面不參與換熱)：溫度分布顯現(xiàn)出部分為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱規(guī)律控制區(qū)和部分為初始溫度區(qū)的混合分布，即：在此階段物體溫度分布受t分布的影響較大．環(huán)境的熱影響不斷向物體內(nèi)部擴(kuò)展的過(guò)程，即物體（或系統(tǒng)）有部分區(qū)域受到初始溫度分布控制的階段。必須用無(wú)窮級(jí)數(shù)描述．

兩類非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的區(qū)別：前者存在著有區(qū)別的兩個(gè)不同階段，而后者不存在。正規(guī)狀況階段(右側(cè)面參與換熱)：當(dāng)右側(cè)面參與換熱以后，物體中的溫度分布不受t0影響，主要取決于邊界條件及物性，此時(shí)，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程進(jìn)入到正規(guī)狀況階段。環(huán)境的熱影響已經(jīng)擴(kuò)展到整個(gè)物體內(nèi)部，即物體（或系統(tǒng)）不再受到初始溫度分布影響的階段。可以用初等函數(shù)描述。5熱量變化Φ1－－板左側(cè)導(dǎo)入的熱流量Φ2－－板右側(cè)導(dǎo)出的熱流量6學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的：(1)溫度分布和熱流量分布隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律(2)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的導(dǎo)熱微分方程式：(3)求解方法：分析解法、近似分析法、數(shù)值解法分析解法：分離變量法、積分變換、拉普拉斯變換近似分析法：集總參數(shù)法、積分法數(shù)值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動(dòng)力學(xué)模擬二、討論物體處于恒溫介質(zhì)中的第三類邊界條件問(wèn)題

在第三類邊界條件下，確定非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體中的溫度變化特征與邊界條件參數(shù)的關(guān)系。

已知：平板厚、初溫、表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h、平板導(dǎo)熱系數(shù)，將其突然置于溫度為的流體中冷卻。由于面積熱阻與的相對(duì)大小的不同，平板中溫度場(chǎng)的變化會(huì)出現(xiàn)以下三種情形：

（1）

這時(shí)，由于表面對(duì)流換熱熱阻幾乎可以忽略，因而過(guò)程一開(kāi)始平板的表面溫度就被冷卻到。并隨著時(shí)間的推移，整體地下降，逐漸趨近于。（2）

這時(shí)，平板內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻幾乎可以忽略，因而任一時(shí)刻平板中各點(diǎn)的溫度接近均勻，并隨著時(shí)間的推移，整體地下降，逐漸趨近于

這時(shí)，平板中不同時(shí)刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。（3）與的數(shù)值比較接近

由此可見(jiàn)，上述兩個(gè)熱阻的相對(duì)大小對(duì)于物體中非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的溫度場(chǎng)的變化具有重要影響。為此，我們引入表征這兩個(gè)熱阻比值的無(wú)量綱數(shù)畢渥（Biot）數(shù)：1）畢渥數(shù)的定義：畢渥數(shù)屬特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）。

2）Bi數(shù)的物理意義：

Bi的大小反映了物體在非穩(wěn)態(tài)條件下內(nèi)部溫度場(chǎng)的分布規(guī)律。3）特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）：表征某一物理現(xiàn)象或過(guò)程特征的無(wú)量綱數(shù)。4）特征長(zhǎng)度：是指特征數(shù)定義式中的幾何尺度?！?-2集總參數(shù)法的簡(jiǎn)化分析1定義：忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻、認(rèn)為物體溫度均勻一致的分析方法。此時(shí)，，溫度分布只與時(shí)間有關(guān)，即，與空間位置無(wú)關(guān)，因此，也稱為零維問(wèn)題。一、集總系統(tǒng)的能量平衡方程和溫度分布

h,t0AQcΔΕρ,c,V,t0一個(gè)集總參數(shù)系統(tǒng)，其體積為V、表面積為A、密度為、比熱為c以及初始溫度為t0，突然放入溫度為t、換熱系數(shù)為h的環(huán)境中。

熱平衡關(guān)系為：內(nèi)熱能隨時(shí)間的變化率ΔΕ＝通過(guò)表面與外界交換的熱流量Qc

當(dāng)物體被冷卻時(shí)（t>t）,由能量守恒可知方程式改寫(xiě)為：初始條件控制方程

積分過(guò)余溫度比其中的指數(shù)：應(yīng)用集總參數(shù)法時(shí)，物體過(guò)余溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系是一條負(fù)自然指數(shù)曲線，或者無(wú)因次溫度的對(duì)數(shù)與時(shí)間的關(guān)系是一條負(fù)斜率直線

是傅立葉數(shù)物體中的溫度呈指數(shù)分布方程中指數(shù)的量綱：即與的量綱相同，當(dāng)時(shí)，則此時(shí)，上式表明：當(dāng)傳熱時(shí)間等于時(shí)，物體的過(guò)余溫度已經(jīng)達(dá)到了初始過(guò)余溫度的36.8％。稱為時(shí)間常數(shù)，用表示。二、時(shí)間常數(shù)

稱為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，記為s，也稱弛豫時(shí)間。

如果導(dǎo)熱體的熱容量（Vc

）小、換熱條件好（hA大），那么單位時(shí)間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時(shí)間常數(shù)(Vc/hA)小反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現(xiàn)出來(lái)的傳熱動(dòng)態(tài)特征，與其幾何形狀、密度及比熱有關(guān)，還與環(huán)境的換熱情況相關(guān)?？梢?jiàn)，同一物質(zhì)不同的形狀其時(shí)間常數(shù)不同，同一物體在不同的環(huán)境下時(shí)間常數(shù)也是不相同。θ/θ0τ/τs0.386101當(dāng)物體冷卻或加熱過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間等于其時(shí)間常數(shù)時(shí)，即τ=τs

，τ=4τs，工程上認(rèn)為=4τs時(shí)導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài)3瞬態(tài)熱流量：導(dǎo)熱體在時(shí)間0-內(nèi)傳給流體的總熱量：當(dāng)物體被加熱時(shí)(t<t)，計(jì)算式相同（為什么？）4物理意義無(wú)量綱熱阻無(wú)量綱時(shí)間Fo越大，熱擾動(dòng)就能越深入地傳播到物體內(nèi)部，因而，物體各點(diǎn)地溫度就越接近周?chē)橘|(zhì)的溫度。5、集總參數(shù)系統(tǒng)的判定

如何去判定一個(gè)任意的系統(tǒng)是集總參數(shù)系統(tǒng)？V/A具有長(zhǎng)度的因次，稱為集總參數(shù)系統(tǒng)的定型尺寸。為判定系統(tǒng)是否為集總參數(shù)系統(tǒng)。

采用此判據(jù)時(shí)，物體中各點(diǎn)過(guò)余溫度的差別小于5%對(duì)厚為2δ的無(wú)限大平板對(duì)半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)圓柱對(duì)半徑為R的球其他無(wú)規(guī)則形狀的物體，定型尺寸V/A例題3-2將一個(gè)初始溫度為20℃、直徑為100mm的鋼球投入1000℃的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h=50W/(m2·K)。已知鋼球的密度為7790kg/m3，比熱容為470J/(kg·K)，導(dǎo)熱系數(shù)為43.2W/(m·K)。試求鋼球中心溫度達(dá)到800℃所需要的時(shí)間。解：首先判斷能否用集總參數(shù)法求解：畢渥數(shù)為可以用集總參數(shù)法求解。

可解得Fov=83.6例題3-2一溫度計(jì)的水銀泡呈圓柱狀,長(zhǎng)20mm,內(nèi)徑為4mm,初始溫度為t0,今將其插入到溫度較高的儲(chǔ)氣罐中測(cè)量氣體溫度.設(shè)水銀泡同氣體間的對(duì)流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h=11.63W/(m2.K),水銀泡一層薄玻璃的作用可忽略不計(jì),試計(jì)算此條件下溫度計(jì)的時(shí)間常數(shù),并確定插入5min后溫度計(jì)讀數(shù)的過(guò)余溫度為初始溫度的百分之幾?水銀的物性參數(shù)如下:解:首先檢驗(yàn)是否可用集總參數(shù)法.考慮到水銀泡柱體的上端面不直接受熱,故可以用集總參數(shù)法.時(shí)間常數(shù)為即經(jīng)5min后溫度計(jì)讀數(shù)的過(guò)余溫度的確13.3%.也就是說(shuō),在這段時(shí)間內(nèi)溫度計(jì)的讀數(shù)上升了這次測(cè)量中溫度躍升的86.7%§3.2一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程分析一、無(wú)限大平板加熱（冷卻）過(guò)程分析厚度2

的無(wú)限大平壁，、a為已知常數(shù)；=0時(shí)溫度為t0;突然把兩側(cè)介質(zhì)溫度降低為t并保持不變；壁表面與介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。兩側(cè)冷卻情況相同、溫度分布對(duì)稱。中心為原點(diǎn)。導(dǎo)熱微分方程：初始條件：邊界條件：(第三類)采用分離變量法求解：取只能為常數(shù)：只為的函數(shù)只為x的函數(shù)對(duì)積分得到式中C1是積分常數(shù)，常數(shù)值的正負(fù)可以從物理概念上加以確定。當(dāng)時(shí)間τ趨于無(wú)窮大時(shí)，過(guò)程達(dá)到穩(wěn)態(tài)，物體達(dá)到周?chē)h(huán)境溫度，所以必須為負(fù)值，否則物體溫度將無(wú)窮增大。令則有以及以上兩式的通解為：于是常數(shù)A、B和ε可由邊界條件確定。(1)(2)(3)由邊界條件（2）得B=0（a）將右端整理成：注意，這里Bi數(shù)的尺度為平板厚度的一半。解題過(guò)程參看書(shū)P58至此，我們獲得了無(wú)窮個(gè)特解：….將無(wú)窮個(gè)解疊加：利用初始條件求An解的最后形式為：傅里葉準(zhǔn)則Fo：稱之為傅里葉準(zhǔn)則或傅里葉數(shù)，其物理意義表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)的導(dǎo)熱性能與其貯熱（貯存熱能）性能的對(duì)比關(guān)系，是給定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特征量

—

無(wú)量綱距離2.非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況

對(duì)無(wú)限大平板當(dāng)取級(jí)數(shù)的首項(xiàng)，板中心溫度，誤差小于1%

與時(shí)間無(wú)關(guān)3正規(guī)熱狀況的實(shí)用計(jì)算方法－線算圖法諾謨圖以無(wú)限大平板為例，F(xiàn)0>0.2時(shí)，取其級(jí)數(shù)首項(xiàng)即可P61圖3-5P62圖3-6經(jīng)過(guò)秒鐘、每平方米平壁放出或吸收的熱量：P62圖3-7解的應(yīng)用范圍書(shū)中的諾謨圖及擬合函數(shù)僅適用恒溫介質(zhì)的第三類邊界條件或第一類邊界條件的加熱及冷卻過(guò)程，并且F0>0.2多維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的圖解法應(yīng)用上面討論的海斯勒線算圖可以求出厚度為2的大平板、半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體、及半徑為R的球體的溫度分布和傳導(dǎo)的熱量。對(duì)非一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，我們能不能利用上面的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱線算圖來(lái)進(jìn)行求解呢？用一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)矩形柱為例來(lái)回答這一問(wèn)題。

0xy2δ12δ2一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)矩形柱，可以看成是由兩個(gè)無(wú)限大平板正交而組成，它們的厚度分別為21和22。

無(wú)限長(zhǎng)矩形柱的導(dǎo)熱微分方程式為：

假定,將其代入微分方程中

一個(gè)二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的解可以用兩個(gè)導(dǎo)熱方向相互垂直的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題解的乘積來(lái)表示。

同理，一個(gè)三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的解可以用三個(gè)相互垂直的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題解的乘積來(lái)表示。2δ2yx02δ1例如：1.矩形截面的長(zhǎng)棱柱（正四棱柱）：可由兩個(gè)大平板正交構(gòu)成，因而溫度分布為兩個(gè)大平板對(duì)應(yīng)的溫度分布的乘積yzx2.矩形塊體(立方體)可由三個(gè)大平板正交構(gòu)成，因而溫度分布為三個(gè)大平板對(duì)應(yīng)的溫度分布的乘積2δxrR03.短圓柱體可由一個(gè)長(zhǎng)圓柱體和一個(gè)大平板正交構(gòu)成，因而溫度分布為一個(gè)長(zhǎng)圓柱體和一個(gè)大平板對(duì)應(yīng)的溫度分布的乘積rx04.半長(zhǎng)圓柱體可由一個(gè)長(zhǎng)圓柱體和一個(gè)半無(wú)限大固體正交構(gòu)成，因而溫度分布為一個(gè)長(zhǎng)圓柱體和一個(gè)半無(wú)限大固體對(duì)應(yīng)的溫度分布的乘積需要強(qiáng)調(diào)的是，我們要確定某一點(diǎn)的溫度時(shí)，一定要首先確定該點(diǎn)在對(duì)應(yīng)的幾個(gè)一維空間上的位置，再去確定相應(yīng)的一維溫度值，最終乘積得出物體在該點(diǎn)的溫度值。

例題3-1一塊厚200mm的大鋼板，鋼材的密度為ρ=7790kg/m3，比熱容cp=170J/(kg·K)，導(dǎo)熱系數(shù)為43.2W/(m·K)，鋼板的初始溫度為20℃，放入1000℃的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h=300W/(m2·K)。試求加熱40分鐘時(shí)鋼板的中心溫度。解：

根據(jù)題意，δ=100mm=0.1m。鋼材的熱擴(kuò)散率為

傅里葉數(shù)為

畢渥數(shù)為

查圖可得

§3-5半無(wú)限大的物體半無(wú)限大系統(tǒng)指的是一個(gè)半無(wú)限大的空間，也就是一個(gè)從其表面可以向其深度方向無(wú)限延展的物體系統(tǒng)。很多實(shí)際的物體在加熱或冷卻過(guò)程的初期都可以視為是一個(gè)半無(wú)限大固體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程。誤差函數(shù)：令

無(wú)量綱坐標(biāo)引入過(guò)余溫度問(wèn)題的解為

誤差函數(shù)無(wú)量綱變量說(shuō)明：(1)無(wú)量綱溫度僅與無(wú)量綱坐標(biāo)

有關(guān).(2)一旦物體表面發(fā)生了一個(gè)熱擾動(dòng)，無(wú)論經(jīng)歷多么短的時(shí)間無(wú)論x有多么大，該處總能感受到溫度的化。(3)

但解釋Fo,a