第三章poisson過程與更新過程

第三章泊松過程與更新過程教師

徐鳳xdiao_3@1第二章Poission過程及更新過程23.0計數過程定義稱一個隨機過程是一個計數過程(pointprocess),若N(t)滿足:1)N(t)取非負整數值；2）若s<t,則N(t)-N(s)等于區(qū)間(s,t]中“事件”發(fā)生的次數.33.1Poission過程的定義背景:考慮在時間間隔(0,t]中某保險公司收到的某類保險的理賠次數N(t),它是一個計數過程.此類過程有如下特點:(1)零初值性：N（0）=0；(2)獨立增量性：在不同的時間區(qū)段內的理賠次數彼此獨立；(3)平穩(wěn)增量性:在同樣長的時間區(qū)段內理賠次數的概率規(guī)律是一樣的;(4)普通性:在非常短的時間區(qū)段Δt內的理賠次數幾乎不可能超過1次,且發(fā)生1次理賠的概率近似與Δt成正比.(稀有事件)4定義3.1.1計數過程{N(t),t0}稱為具有參數(或強度)

的Poission過程(或Poission

流)，如果1）N(0)=0;2）具有獨立增量性;3）滿足增量平穩(wěn)性;4）對于任意t>0和充分小的，有

其中為的高階無窮小。λ又稱為Poission過程的強度系數5定理3.1.1

若{N(t),t0}為Poission過程，則利用定理3.1.1,可得到Poission過程的等價定義:即定義3.1.2

計數過程{N(t),t0}稱為具有參數(或強度)λ

的Poission過程，如果1）N(0)=0，2）具有獨立增量性，3）此即注：泊松過程的數字特征與特征函數

泊松過程的均值函數泊松過程的方差函數泊松過程的均方值函數泊松過程的自相關函數泊松過程的自協(xié)方差函數8例

3.1.1（Poisson過程在排隊論中的應用）設某火車站售票從早上8:00開始，此售票處連續(xù)售票，乘客以10人/小時的速率到達，求以下（1）9:00-10:00間最多有5名乘客來此購票的概率（2）10:00-11:00沒有人來買票的概率（3）若已知8:00-11:00有10個人來買票，則9:00-10:00間有5名乘客買票的概率。例

3.1.2（事故發(fā)生次數及保險公司接到的索賠數）設保險公司接到的索賠請求為以Poisson過程{N(t)},又假設每次的賠付都是1，每月平均接到索賠要求為4次，則一年中保險公司要支付的金額平均是多少？9例

3.1.3設N(t)表示[0,t]時段內事件A的發(fā)生次數,且{N(t),t0}形成強度為λ的Poisson過程.如果每次事件A發(fā)生時以概率p能夠被記錄下來,并以M(t)表示到t時刻記錄下來的事件總數,試證明{M(t),t0}形成強度為λp的Poisson過程.解：對照Poisson過程的定義3.1.21){M(t),t0}是一計數過程,且M(0)=0;2)每次事件發(fā)生時，對它的記錄與對其它事件的記錄獨立，故{M(t),t0}具有獨立增量性；只需驗證3)10由全概率公式，11例

3.1.4若每條蠶的產卵數服從Poisson分布，強度為λ，而每個卵變成為成蟲的概率為p，且每條卵是否變?yōu)槌上x彼此之間沒有關系，求在時間[0,t]內每條蠶養(yǎng)活k只小蠶的概率。例

3.1.5觀察資料表明，天空中星體數服從Poisson分布，其參數為λV,這里V是被觀察區(qū)域的體積。若每個星球上有生命體存在的概率為p,則在體積為V的宇宙空間中有生命體存在的星球數的分布是怎樣的？3.2泊松過程的性質

3.2.1到達時間間隔與到達時刻的分布12設{N(t),t0}為泊松過程，N(t)表示在[0,t]內事件發(fā)生的次數，令，表示第k個事件發(fā)生的時刻;表示第k-1個事件與第k個事件發(fā)生的時間間隔，即先討論到達時間間隔的Tk分布.13定理3.2.1到達時間間隔序列相互獨立同分布，且服從參數為λ的指數分布.定理3.2.1

提供了Poisson過程的參數估計方法.設事件的發(fā)生過程{N(t),t0}為Poisson過程.某日從0點開始,記錄到事件發(fā)生時刻為0:33,1:00,2:27,3:05,3:36的取值:t1<t2<,…,<tnT.試用極大似然法估計該過程的強度λ.練習14參數λ的極大似然估計:一般地,若從0時刻開始,觀察到Poisson過程{N(t),t0}的一段樣本軌道:τ1,…,τn的取值:t1<t2<,…,<tn,由于,τ1,τ2-τ1,…,τ

n-τn-1獨立同指數分布,于是似然函數為令得λ的極大似然估計為:15定理3.2.2

到達時間的概率密度函數為證明注：1）的特征函數為分布函數為：16例3.2.2

設一系統(tǒng)在[0,t]內承受的沖擊數{N(t),t0}是參數為λ的泊松過程，第i次受沖擊的損失為Di.設{Di,i1}獨立同分布,且與{N(t),t0}獨立,且損失隨時間按負指數衰減,即t=0時損失為D,在t時損失為,設損失是可加的,那么到系統(tǒng)在[0,t]內受到沖擊的損失之和為其中τi為第i次沖擊到達的時刻,求17定理3.2.3若計數過程{N(t),t0}的到達時間間隔序列是相互獨立同參數為λ的指數分布，則{N(t),t0}是參數為λ的泊松過程.定理3.2.3提供了對泊松過程進行計算機模擬及其統(tǒng)計檢驗的理論基礎與方法，只需產生n個同指數分布的隨機數,將其作為Ti,i=1,…即可得到Poisson過程的一條樣本軌道.18要檢驗{N(t),t0}是否為Poisson過程,可轉化為檢驗相鄰兩次跳躍間隔時間{Tn=tn–tn-1,n1}是否為指數分布總體的i.i.d樣本.課外練習設觀察到某記數過程{N(t),t0}的一段樣本軌道τ1,…,τ50的取值如下,檢驗{N(t),t0}是否為Poisson過程.

0.03,0.76,1.01,1.37,1.43,1.56,1.95,3.95,4.05,4.45,4.70,4.81,4.85,5.00,5.87,6.32,6.36,6.40,6.85,6.90,8.33,8.85,8.95,11.26,12.25,13.04,13.85,14.11,14.76,15.56,17.65,17.80,18.20,18.24,18.62,19.06,19.14,19.46,20.26,20.46,20.55,22.51,22.70,23.19,23.28,23.63,23.80,24.22,24.81,25.6519設有n位顧客在0時刻排隊進入僅有一個服務員的系統(tǒng).假定每位顧客的服務時間獨立,均服從參數為λ的指數分布.以N(t)表示到t時刻為止已被服務過的顧客人數.求（1）E[N(t)];（2）第n位顧客等候服務時間的數學期望;

(3)第n位顧客能在t時刻之前完成服務的概率.提示:的分布函數是練習20解:（1）由定理3.2.3,{N(t),t≥0}為強度λ的possion過程，故E[N(t)]=λt；（2）記第n位顧客完成服務的時間為，根據定理3.2.2,第n位顧客等候服務時間為(3)根據定理3.2.2,或3.2.2到達時刻的條件分布21本節(jié)討論在給定N(t)=n的條件下，的條件分布及其有關性質。這個定理說明，由于泊松過程具有平穩(wěn)獨立增量性，從而在已知[0,t]上有1個事件發(fā)生的條件下,事件發(fā)生的時間τ1應該服從[0，t]上的均勻分布。對此我們自然要問：(1)這個性質是否可推廣到的情形？(2)這個性質是否是泊松過程特有的？換言之，其逆命題是否成立？定理3.2.4

設是泊松過程，則對有22為回答(1),需要如下關于順序統(tǒng)計量的性質:若{Ui,1in}在[0,t]上獨立同均勻分布,則其順序統(tǒng)計量的聯合密度函數為定理3.2.5設{N(t),t≥0}為參數(或強度)λ的泊松過程，若在[0,t)內有n個事件相繼到達，則n個到達時刻的聯合分布和n個[0,t)上獨立同均勻分布的隨機變量的順序統(tǒng)計量的聯合分布相同.23設一系統(tǒng)在[0,t]內承受的沖擊數{N(t),t0}是參數為λ的泊松過程，第i次受沖擊的損失為Di.設{Di,i1}獨立同分布,且與{N(t),t0}獨立,且損失隨時間按負指數衰減,即t=0時損失為D,在t時損失為,設損失是可加的,那么到系統(tǒng)在[0,t]內受到沖擊的損失之和為其中τi為第i次沖擊到達的時刻,求用定理3.2.5解例3.2.2練習：24則{N(t),t≥0}為泊松過程.……證略.定理3.2.6

設{N(t),t≥0}為計數過程，Tn為第n個事件與第n-1個事件的時間間隔，獨立同分布且分布函數為F(x),若F(0)=0，且對,都有對問題(2),即逆命題,有如下定理:定理3.2.7

設{N(t),t≥0}為躍度為1的計數過程，滿足，t>0,N(t)P(λt),且在N(t)=n條件下，的條件概率密度是則{N(t),t≥0}為泊松過程.

……證略3.3泊松過程的疊加與分解1.泊松過程的疊加定理3.3.1

：設與為相互獨立且強度分別為，的泊松過程，則仍為泊松過程。且其強度為二泊松過程的強度之和。（即兩個相互獨立的泊松過程的疊加仍為泊松過程）例3.3.1：設乘客從南北兩個方向在[0,t)時段內到達同一飛機場的人數為，,分別服從強度為與的泊松過程，試求在時段內到達機場的人數的平均值。解：依題意，(k=1,2)，且相互獨立，到達機場的總人數即為,服從強度為的泊松過程，故在[0,t)時段內到達機場的人數均值為2.泊松過程的分解定理3.3.2：設，是強度為λ的泊松過程。為進入子系統(tǒng)A的質點數;為進入系統(tǒng)B的質點數.則的分解過程與相互獨立，分別是強度為與的泊松過程。例3.3.2

：設某個汽車站有A，B兩輛跑同一路線的長途汽車。設到達該站的旅客數是一泊松過程，平均每10分鐘到達15位旅客，而每個旅客進入A車或B車的概率分別為2/3與1/3。試求進入A車與進入B車的旅客數的概率分布。

解：由平均10分鐘內到達車站15位旅客知，到達旅客的強度=15/10=1.5（人/分）故在[0,t)時段內進入該汽車站的旅客數N(t)的分布為由定理3.3.2知，在[0,t)時段內進入A車的旅客數也是一個泊松過程，且其強度為p=1.5*(2/3)=1（人/分）。因此同理進入B車的旅客數也是一個泊松過程且有3.4Poission過程的推廣31(3)若,則定理3.4.1

(1){X(t),t0}是平穩(wěn)獨立增量過程;(2)其特征函數為定義3.4.1

設{N(t),t0}為強度為λ

Poission過程,{Yi,i1}是獨立同分布的隨機變量序列,且{Yi,i1}與{N(t),t0}獨立,記稱{X(t),t0}為復合Poission過程(compoundpoissonprocesses).32例3.4.1設保險公司在[0,t]時段內接到的索賠次數N(t)形成強度為λ的Poisson流,且設保險公司第i次賠償額是Yi,{Yi,i=1,2,…}獨立同正態(tài)分布,則每月要付出的賠償額服從什么分布？一年中它要付出的平均金額是多少?解：[0，t]內賠償額形成復合Poission過程，每月要付出的賠償額特征函數為一年中它要付出的平均金額是33條件Poisson過程定義3.4.2

設Λ是一個正的隨機變量,分布函數為G(x),x0,設{N(t),t0}是一計數過程,且當給定Λ=λ時,{N(t),t0}是一Poisson過程,即

,有稱{N(t),t0}是條件Poisson過程.定理3.4.2

設{N(t),t0}是條件Poisson過程,且則(2)E[N(t)]=tEΛ(3)34例3.4.2

設意外事故的發(fā)生頻率受某種未知因素影響,有兩種可能λ1,λ2,且0<p<1為已知.且當給定Λ=λi時,[0,t]時段內事故次數N(t)形成一強度為λiPoisson流.已知到時刻t為止已發(fā)生了n次事故,求[t,t+s]時段內無事故的概率.解：在Λ=λi的條件下，N(t)是強度為λi

的Poisson流.P{[t,t+s]時段內無事故|N(t)=n}3536非齊次Poisson過程當Poisson過程的強度λ隨時間t變化時,Poisson過程被推廣成為非齊次Poisson過程.在實際中,非齊次Poisson過程也是比較常用的.例如在考慮設備故障率時,由于設備使用年限的變化,出故障的可能性會隨之變化;放射性物質的衰變速度,會因各種外部條件的變化而隨之變化;昆蟲產卵的平均數量隨年齡和季節(jié)的變化而變化等.定義3.4.3

隨機過程{N(t),t0}稱為具有強度函數λ(t)

的非齊次Poisson過程，如果1）是一計數過程,且N(0)=0，2）具有獨立增量性，3）對任意實數t0,s>0,N(t+s)-N(t)為具有參數的Poisson分布.37

設某設備的使用期限為10年,在前5年內它平均2.5年需要維修一次,后5年平均2年需要維修一次.試求它在使用期內只維修過一次的概率練習383.5更新過程一個計數過程,若它們相鄰事件到達時間間隔Tn是指數分布,則此過程為Poisson流.若是一般分布,則此過程為更新過程(renewalprocesses).

更新機器零件問題是更新過程的典型例子.某機器上有一個零件是易損件,每當它損壞時,就要換上新的零件.t=0時開始裝上一個零件,機器持續(xù)地運轉一段時間T1,該零件損壞,立即用壽命T2的零件來更換,這樣不斷地進行下去,關于這一列{Tn}的更新過程{N(t),t0}就表示到t時刻為止更換的零件數.393.5.1更新過程的定義

則稱{N(t),t0}為更新過程。顯然,更新過程是一個計數過程.在更新過程中,我們將事件發(fā)生一次叫作一次更新,從而定義中Tn就是第n-1次和第n次更新相距的時間,τn是第n次更新發(fā)生的時刻.N(t)就是t時刻之前發(fā)生的總的更新次數.定義3.5.1

設為獨立同分布的非負隨機變量序列，分布函數為F(x),且F(0)<1。令τ0=0，記40?更新過程一定是獨立增量過程嗎?設更新過程的基本結論：

過程的統(tǒng)計特性可由序列的共同分布完全刻畫；N(t)是關于t的單調遞增階梯函數，對于固定的t，N(t)為取非負整數值的隨機變量；的分布函數為41

,即在有限時間內不可能進行無窮次更新.N(t)的概率分布為42例3.5.1

設更新過程的更新間距服從參數為m,λ

的Gamma分布，即的概率密度函數為

求注：1）的特征函數為分布函數為：3.5.2更新函數

43令,稱為過程{N(t),t0}的