數(shù)據(jù)、模型與決策第十講 案例分析

數(shù)據(jù)、模型與決策

第十講案例分析

主講：鄧旭東教授教學(xué)內(nèi)容李四企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營規(guī)劃問題1農(nóng)戶種植計劃的優(yōu)化問題2王五管理的科研課題經(jīng)費使用規(guī)劃問題3產(chǎn)品結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題4張三同學(xué)的自習(xí)時間分配方案規(guī)劃問題5教學(xué)內(nèi)容連續(xù)投資的優(yōu)化問題6人員需求規(guī)劃問題7飛行器能源裝置設(shè)置優(yōu)化方案問題8企業(yè)集團的經(jīng)營規(guī)劃問題9一、李四企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營規(guī)劃問題李四經(jīng)營著一個小企業(yè)，這個企業(yè)最近出現(xiàn)了一些問題，資金周轉(zhuǎn)出現(xiàn)困難。該企業(yè)一共生產(chǎn)經(jīng)營著三種產(chǎn)品，當前有兩種產(chǎn)品賠錢，一種產(chǎn)品賺錢。其中，第一種產(chǎn)品是每生產(chǎn)一件賠100元，第二種產(chǎn)品每生產(chǎn)一件賺300元，第三種產(chǎn)品每生產(chǎn)一件賠400元。

三種產(chǎn)品分別消耗(或附帶產(chǎn)出)三種原料，其中第一種產(chǎn)品每生產(chǎn)一件附帶產(chǎn)生100千克原料A，需要消耗100千克原料B和200千克原料C；第二種產(chǎn)品每生產(chǎn)一件需要消耗100千克原料A和100千克原料C，附帶產(chǎn)生100千克原料B；第三種產(chǎn)品每生產(chǎn)一件需要消耗原料A、B、C各100千克。由于生產(chǎn)第一種產(chǎn)品的設(shè)備已經(jīng)損壞，且企業(yè)也無能力籌集資金修復(fù)之，所以該企業(yè)現(xiàn)已無法組織生產(chǎn)第一種產(chǎn)品。

現(xiàn)在倉庫里還存有A原料40000千克，后續(xù)貨源供應(yīng)難以得到保證；庫存B原料20000千克，如果需要，后續(xù)容易從市一、李四企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營規(guī)劃問題場采購得到；庫存C原料30000千克，如果需要，后續(xù)容易從市場采購得到。

李四想轉(zhuǎn)行經(jīng)營其他業(yè)務(wù)，但苦于倉庫里還積壓著90000千克原料，如果直接出售原料，則比生產(chǎn)后出售成品賠得更多。沒有辦法，李四只好向運籌學(xué)專家咨詢，看看如何組織生產(chǎn)才能將損失降到最低。

請對李四企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營情況進行考查和分析，建立該問題的線性規(guī)劃模型，并使用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結(jié)果分析報告)。

一、李四企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營規(guī)劃問題設(shè)生產(chǎn)第一、第二、第三種產(chǎn)品的數(shù)量分別為x1、x2、x3，則可建立該問題的線性規(guī)劃模型如下：

目標函數(shù)maxz=-100x1+300x2-400x3

約束條件-100x1+100x2+100x3≤40000

100x1-100x2+100x3≥20000

200x1+100x2+100x3≥30000

x1=0,x2≥0,x3≥0

解得：x1*=0，x2*=50，x3*=250，z*=-85000。

不生產(chǎn)第一種產(chǎn)品，生產(chǎn)第二種產(chǎn)品50件，生產(chǎn)第三種產(chǎn)品250件，A原料余下10000千克予以轉(zhuǎn)讓，B、C原料剛好用完，生產(chǎn)性損失最小(虧損85000元)。二、農(nóng)戶種植計劃的優(yōu)化問題某農(nóng)戶共承包土地23畝，其中坡地10畝，旱地8畝，水田5畝。在這23畝土地上，可以種植的作物有6種。其中第一種作物適合于在坡地與旱地種植，第二種作物只適合于在旱地種植，第三種作物則三種類型的土地都適合于種植，第四種作物適合于在坡地和旱地種植，第五種和第六種作物只適合于在水田種植。

根據(jù)經(jīng)驗，在坡地種植第一種獲得100元收入所需要的面積是0.4畝，在旱地種植第一種作物獲得100元收入所需要的面積是0.3畝；在旱地種植第二種作物獲得100元收入所需要的面積是0.25畝；在坡地種植第三種作物獲得100元收入所需要的面積是0.2畝，在旱地種植第三種作物獲得100元收入所需要的面積是0.15畝，在水田種植第三種作物獲得100元收入所需要的面積是0.4畝；在坡地種植第四種作物獲得100元收入所需要的面積是0.18二、農(nóng)戶種植計劃的優(yōu)化問題畝，在旱地種植第四種作物獲得100元收入所需要的面積是0.1畝；在水田種植第五種作物獲得100元收入所需要的面積是0.15畝，在水田種植第六種作物獲得100元收入所需要的面積是0.1畝。

問題是：如何安排種植計劃，才能獲得最大的收益？

請建立該問題的線性規(guī)劃模型，并用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結(jié)果分析報告)。

二、農(nóng)戶種植計劃的優(yōu)化問題設(shè)選擇種植第一、第二、第三、第四、第五、第六種作物的份數(shù)(1份對應(yīng)于獲得100元收入所需要的畝數(shù))分別為x1、x2、x3、x4、x5、x6，則可建立該問題的線性規(guī)劃模型如下：

目標函數(shù)maxz=100x1+100x2+100x3+100x4+100x5+100x6

約束條件0.4x1+0.2x3+0.18x4

≤10

0.3x1+0.25x2+0.15x3+0.1x4

≤8

0.4x3+0.15x5+0.1x6≤5

x1，x2，x3，x4，x5，x6≥0

解得：x1*=0,x2*=9.777778,x3*=0,x4*=55.55556,x5*=0,x6*=50。

全部的5畝水田都用來種植第六種作物；在旱地中拿出2.45畝地種植第二種作物，其余的5.55畝旱地全部種植第四種作物；10畝坡地全部用于種植第四種作物，其他的三種作物不安排種植。按照這樣的方案種植，可以獲得最大收入為：z*=11533.33(元)。三、王五管理的科研課題經(jīng)費使用規(guī)劃問題

王五管理著一個科研課題，根據(jù)課題進展情況看，不久就要結(jié)題了。由于課題的管理采用經(jīng)費與任務(wù)包干制，所以可以通過節(jié)約開支來預(yù)留課題完成后的產(chǎn)業(yè)推廣經(jīng)費?，F(xiàn)王五需要制訂出這樣的一個方案：既按期完成科研任務(wù)，又要盡可能多地節(jié)省費用，人員的收入還不能減少。同時他還想知道這筆可節(jié)省的費用究竟是多少？

課題組的費用構(gòu)成有兩個部分：一是人員經(jīng)費開支，二是試驗消耗與器材采購費用開支。其中，由于出臺了增收節(jié)支激勵政策，所以人員經(jīng)費開支與原計劃相比每月可節(jié)省1萬元，試驗消耗與器材采購費用開支每月可節(jié)省4萬元。

該課題由兩個子課題構(gòu)成。其中第一個子課題的開支情況為：每月人員經(jīng)費為1萬元，每月試驗與器材經(jīng)費的開支為10萬元；第二個子課題的開支情況為：人員經(jīng)費計劃為1萬元，實際上該子課題每月可通過邊研制邊推廣應(yīng)用的方式三、王五管理的科研課題經(jīng)費使用規(guī)劃問題獲得凈收入1萬元，這樣就可以保證每月正常的人員經(jīng)費開支，所節(jié)余的1萬元可向課題組上繳，同時該子課題的試驗與器材經(jīng)費開支需求是每月8萬元。

第一個子課題的總經(jīng)費還剩20萬元，但如果申請，還可以增加；第二個子課題的經(jīng)費還有40萬元，但即使申請也不可能再增加。

課題組研究后一致決定采用如下原則進行決策：

(1)所節(jié)余的人員經(jīng)費用于獎勵，不計入節(jié)省費用的總額當中。

(2)在保證圓滿完成課題任務(wù)的前提下，最大限度地積累課題應(yīng)用性推廣經(jīng)費。

請建立該問題的線性規(guī)劃模型，幫助王五制訂最合理的科研結(jié)題周期以及可節(jié)省的費用(要求使用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題，并附帶結(jié)果分析報告)。三、王五管理的科研課題經(jīng)費使用規(guī)劃問題設(shè)第一個、第二個費用科目節(jié)省經(jīng)費的月數(shù)分別為x1、x2，則可建立該問題的線性規(guī)劃模型如下：

目標函數(shù)maxz=x1+4x2

約束條件x1+10x2≥20

-x1+8x2≤40

x1=0，x2≥0

解得：x1*=0，x2*=5，z*=20。

得到的結(jié)論是：在給定的決策原則下，從節(jié)省費用最大化的角度看，最合理的科研結(jié)題周期是5個月，最多可從中節(jié)省出20萬元的產(chǎn)業(yè)化推廣經(jīng)費。

四、產(chǎn)品結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題

某企業(yè)可以生產(chǎn)兩種產(chǎn)品(分別記為A、B產(chǎn)品)，這兩種產(chǎn)品都既可以按標準狀態(tài)出廠，也可以按不同的部件組合方案或者標準產(chǎn)品加部件的組合方案配套出廠。標準A產(chǎn)品由兩種部件(分別記為A1、A2)構(gòu)成，標準B產(chǎn)品有三種部件(分別記為B1、B2、B3)構(gòu)成。

今年的市場分析表明，客戶甲需要的產(chǎn)品由A、B兩種產(chǎn)品組成，以標準狀態(tài)作為出廠狀態(tài)；客戶乙需要的產(chǎn)品需要由A產(chǎn)品加B1部件組合這種非標準狀態(tài)作為出廠狀態(tài)；客戶丙需要的產(chǎn)品需要由A2部件加B2部件組合這種非標準狀態(tài)作為出廠狀態(tài)。

其中，客戶甲需要的產(chǎn)品每套使用5個A1部件，7個A2部件，6個B1部件，4個B2部件，7個B3部件；客戶乙需要的產(chǎn)品每套使用10個A1部件，9個A2部件，8個B1部件；客戶丙需要的產(chǎn)品每套使用12個A2部件，11個B2部件。四、產(chǎn)品結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題

在以上技術(shù)狀態(tài)約束下，經(jīng)測算，提供給甲客戶產(chǎn)品的單套利潤為48萬元，提供給乙客戶產(chǎn)品的單套利潤為46萬元，提供給丙客戶產(chǎn)品的單套利潤為36萬元。

經(jīng)生產(chǎn)能力平衡測算，各種部件產(chǎn)品的年生產(chǎn)能力上限分別為：A1部件年產(chǎn)624個，A2部件年產(chǎn)920個，B1部件年產(chǎn)412個，B2部件年產(chǎn)770個，B3部件年產(chǎn)350個。

問題：如何組織生產(chǎn)和銷售才能獲得最大利潤？最大獲利為多少？

請建立該問題的線性規(guī)劃模型，并用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結(jié)果分析報告)。

四、產(chǎn)品結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題

設(shè)客戶甲、乙、丙需要的產(chǎn)品套數(shù)分別為x1、x2、x3，則可建立該問題的線性規(guī)劃模型如下：

目標函數(shù)maxz=48x1+46x2+36x3

約束條件5x1+10x2

≤624

7x1+9x2+12x3

≤920

6x1+8x2

≤412

4x1++11x3

≤770

7x1

≤350

x1，x2，x3≥0

解得：x1*=50，x2*=14，x3*=37，z*=4376

得到的結(jié)論是：從銷售角度來看，客戶甲需要的產(chǎn)品銷售50套，客戶乙需要的產(chǎn)品銷售14套，客戶丙需要的產(chǎn)品銷售37套；從生產(chǎn)角度來看，A1部件生產(chǎn)390個，A2部件生產(chǎn)920個，B1部件生產(chǎn)412個，B2部件生產(chǎn)607個，B3部件生產(chǎn)350個；最大獲利為4376萬元。五、張三同學(xué)的自習(xí)時間分配方案規(guī)劃問題張三念大學(xué)一年級，半年后他的學(xué)習(xí)情況如下：必修課平均成績85分，選修課中自然科學(xué)類學(xué)科的平均考試成績?yōu)?0分，而人文科學(xué)類學(xué)科的平均考試成績?yōu)?0分。他認為自己的學(xué)習(xí)成績還不是十分理想，準備增加自修時間(從每天的6小時增加到7小時——即下午和晚上各增加半個小時)來提高成績，但是，他不知道在哪類功課上增加自修時間對提高成績最有利。他請輔導(dǎo)老師幫他認真分析和總結(jié)了自己的自修時間分配與各類課程成績之間的關(guān)系，并列出了一張關(guān)系表：

必修課自然科學(xué)類選修課人文科學(xué)類選修課總自修時間上午1001下午1102晚上1113平均成績85%60%50%五、張三同學(xué)的自習(xí)時間分配方案規(guī)劃問題請幫助張三制定一個關(guān)于自習(xí)時間優(yōu)化分配的線性規(guī)劃模型，并使用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結(jié)果分析報告)

。五、張三同學(xué)的自習(xí)時間分配方案規(guī)劃問題以每天在各類課程自修方面所花的時間為背景，設(shè)x1表示優(yōu)化后在必修課方面所需投入時間與現(xiàn)在投入時間相比的倍數(shù)，x2表示優(yōu)化后在自然科學(xué)類選修課方面所需投入時間與現(xiàn)在投入時間相比的倍數(shù)，x3表示優(yōu)化后在人文科學(xué)類選修課方面所需投入時間與現(xiàn)在投入時間相比的倍數(shù)，則可建立該問題的線性規(guī)劃模型如下：

目標函數(shù)maxz=0.85x1+0.6x2+0.5x3

約束條件x1

≤1

x1+x2

≤2.5

x1+x2+x3

≤3.5

x1，x2，x3

≥0

解得：x1*=1，x2*=1.5，x3*=1，z*=2.25。

顯然，最優(yōu)的選擇是自然科學(xué)類選修課自修時間與當前自修時間的比值為1.5，即下午和晚上各增加半個小時。三類功課的平均分總分將從當前的195分上升到225分。博弈的分類

某企業(yè)在今后五年內(nèi)考慮對下列項目投資，已知：項目A，從第一年到第四年每年年初需要投資，并于次年末回收本利115%。項目B，第三年初需要投資，到第五年末能回收本利125%，但規(guī)定最大投資額不超過40萬元。項目C，第二年初需要投資，到第五年末能回收本利140%，但規(guī)定最大投資額不超過30萬元。項目D，五年內(nèi)每年初可購買公債，于當年末歸還，并加息6%。該企業(yè)5年內(nèi)可用于投資的資金總額100萬元，問它應(yīng)如何確定給這些項目每年的投資額，使得到第五年末獲得的投資本利總額為最大？請建立該問題的線性規(guī)劃模型，并用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結(jié)果分析報告)。六、連續(xù)投資的優(yōu)化問題

設(shè)xiA、xiB、xiC、xiD(i=1,2,…,5)分別表示第i年年初給項目A、B、C、D的投資額，它們都是待定的未知變量。根據(jù)給定的條件，將變量列于下表中：六、連續(xù)投資的優(yōu)化問題年份項目12345Ax1Ax2Ax3Ax4ABx3BCx2CDx1Dx2Dx3Dx4Dx5D

則可建立該問題的線性規(guī)劃模型如下：目標函數(shù)maxz=1.15x4A+1.25x3B+1.40x2C+1.06x5D約束條件x1A+x1D=1000000-1.06x1D+x2A+x2C+x2D=0-1.15x1A-1.06x2D+x3A+x3B+x3D=0

-1.15x2A-1.06x3D+x4A+x4D=0-1.15x3A-1.06x4D+x5D=0x2C

≤300000x3B

≤400000x1A,x1D,x2A,x2C,x2D,x3A,x3B,x3D,x4A,x4D,x5D≥0

六、連續(xù)投資的優(yōu)化問題按下述方案進行組合投資，可獲本利的總額是1437500元，五年總獲利率為43.75%：x1A=347826.1，x1D=652173.9，x2A=391304.3，x2C=300000，x3B=400000，x4A=450000，即第一年：A項目投資347826.1元,D項目投資652173.9元；第二年：A項目投資391304.3元，C項目投資300000元；第三年：B項目投資400000元；第四年：A項目投資450000元；第五年：不進行任何新的投資活動。六、連續(xù)投資的優(yōu)化問題

某生產(chǎn)線需要24小時連續(xù)不斷地運轉(zhuǎn)，生產(chǎn)線上的工人每工作4小時后需要進餐和休息2小時，然后再上班工作4小時，合計工作8小時后下班，休息14小時后再上班。已知生產(chǎn)線上各個時段需要完成的工作時間數(shù)量為：早上8:00到中午12:00需要596(人·小時)；中午12:00到下午2:00需要304(人·小時)；下午2:00到下午6:00需要492(人·小時)；下午6:00到晚上10:00需要366(人·小時)；晚上10:00到晚上12:00需要202(人·小時)；晚上12:00到早上4:00需要412(人·小時)；早上4:00到早上8:00需要404(人·小時)。為了保持生產(chǎn)的連續(xù)性，每個時段都至少要有一個班組的人員要留下來跟蹤關(guān)鍵工藝流程2個小時。七、人員需求規(guī)劃問題規(guī)劃的總目標是，在不同的時間段，根據(jù)需要安排最低限度的人力資源，既保證生產(chǎn)線的正常運轉(zhuǎn)，又不至于出現(xiàn)冗員。問這個生產(chǎn)線至少需要配備多少名工人？每班次各需要配備多少名工人？請建立該問題的線性規(guī)劃模型，并用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結(jié)果分析報告)。七、人員需求規(guī)劃問題根據(jù)已知條件，這條生產(chǎn)線的運轉(zhuǎn)每天有7個不同的時段，每個時段都需要一個新的工作班次人員加入，各個時段都需要至少2個以上的班次人員并行工作，不同班次的(人·小時)數(shù)相加等于本工作時段的總(人·小時)數(shù)，就可以構(gòu)成7個約束條件；把每個班次所需人數(shù)相加并使其最小化，就可以構(gòu)成問題的目標函數(shù)；由于人數(shù)不可能為負數(shù)，所以所有的決策變量均大于或等于零。于是有：

minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x78:00～12:004x1+2x2+4x6+2x7=59612:00～14:002x2+2x3+2x7=30414:00～18:004x1+2x2+2x3+2x7=49218:00～22:002x2+4x3+2x4=36622:00～24:002x4+2x5=2020:00～4:004x4+2x5+2x6=4124:00～8:004x5+2x6+2x7=404x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0七、人員需求規(guī)劃問題

規(guī)劃的結(jié)果是，這個企業(yè)至少需要347人才能保證生產(chǎn)線正常運轉(zhuǎn)。其中，第一班次需要工人數(shù)為47，第二班次需要工人數(shù)為41，第三班次需要工人數(shù)為42，第四班次需要工人數(shù)為58，第五班次需要工人數(shù)為43，第六班次需要工人數(shù)為47，第七班次需要工人數(shù)為69。七、人員需求規(guī)劃問題某飛行器需要使用電源的設(shè)備主要包括導(dǎo)航設(shè)備、控制儀器設(shè)備、伺服機構(gòu)三個部分。該飛行器的能源裝置為化學(xué)電池，一共需要使用三組電池為上述三種設(shè)備進行分類供電(第一組為三種設(shè)備的大功率部件供電，第二組為三類設(shè)備的中功率部件供電，第三組為三類設(shè)備的小功率部件供電)。三組電池可選擇三種電池單元進行組合，以便在獲得足夠輸出功率的同時實現(xiàn)電池質(zhì)量最小化的目標。其中，導(dǎo)航設(shè)備需要的總額定能量為≥200(A·h)，控制儀器設(shè)備需要的總額定能量為≥220(A·h)，伺服機構(gòu)需要的總額定能量為≥580(A·h)。再其中，針對導(dǎo)航設(shè)備而言，第一種電池單元對大功率部件的有效出功系數(shù)(A·h/單元)為5.5，第二種電池單元對中功率部件的有效出功系數(shù)(A·h/單元)為8，第三種電池單元對小功率部件的有效出功系數(shù)(A·h/單元)為9.1。八、飛行器能源裝置設(shè)置優(yōu)化方案問題針對控制儀器設(shè)備而言，第一種電池單元對大功率部件的有效出功系數(shù)(A·h/單元)為5.6，第二種電池單元對中功率部件的有效出功系數(shù)(A·h/單元)為8.2，第三種電池單元對小功率部件的有效出功系數(shù)(A·h/單元)為9.2。針對伺服機構(gòu)而言，第一種電池單元對大功率部件的有效出功系數(shù)(A·h/單元)為5.47，第二種電池單元對中功率部件的有效出功系數(shù)(A·h/單元)為7.9，第三種電池單元對小功率部件的有效出功系數(shù)(A·h/單元)為8.7。已知每個電池單元的質(zhì)量分別為2千克、1.5千克和1千克。由于工藝與結(jié)構(gòu)尺寸的限制，每組電池所包含的單元數(shù)不能大于30個。請建立該問題的線性規(guī)劃模型，確定需要每種電池單元的數(shù)量，并使用Excel軟件和LINDO軟件求解該問題(要求附帶結(jié)果分析報告)。八、飛行器能源裝置設(shè)置優(yōu)化方案問題設(shè)優(yōu)化后的第一種、第二種、第三種電池單元數(shù)分別為x1、x2、x3，則可建立該問題的線性規(guī)劃模型如下：目標函數(shù)maxz=2x1+1.5x2+x3約束條件5.5x1+8x2+9.1x3

≥2005.6x1+8.2x2+9.2x3≥220

5.47x1+7.9x2+8.7x3

≥580

x1

≤30

x2

≤30

x3

≤30

x1，x2，x3

≥0解得：x1*=15，x2*=30，x3*=30，z*=105。得到的結(jié)論是：第一組電池使用單元數(shù)為15個，第二組電