數(shù)列的函數(shù)特性

數(shù)列的概念北師大版高中數(shù)學(xué)必修5第一章《數(shù)列》一、數(shù)列的概念1.定義按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.2.數(shù)列是特殊的函數(shù)

從函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列,對于定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數(shù)來說,數(shù)列就是這個(gè)函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一系列函數(shù)值,其圖象是無限個(gè)或有限個(gè)孤立的點(diǎn).

注:依據(jù)此觀點(diǎn)可以用函數(shù)的思想方法來解決有關(guān)數(shù)列的問題.復(fù)習(xí)回顧二、數(shù)列的表示1.列舉法2.圖象法3.通項(xiàng)公式法

若數(shù)列的每一項(xiàng)

an

與項(xiàng)數(shù)

n

之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式來表達(dá),即

an=f(n),則

an=f(n)

叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、數(shù)列的分類1.按項(xiàng)數(shù)：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；2.按

an

的增減性：遞增、遞減、常數(shù)、擺動(dòng)數(shù)列；

a1,a2,a3,……an,…….簡記為：{an}數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn).1.據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需仔細(xì)觀察分析，

抓住以下幾方面的特征：

(1)分式中分子、分母的特征；

(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；

(3)拆項(xiàng)后的特征；

(4)各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對此進(jìn)行歸納、聯(lián)想.練習(xí)1：寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3,5,9,17,33，…；(2)，2，，8，，…；(3)，2，…；(4)1,0,1,0，….問題8：如果一個(gè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)等于它的前一項(xiàng)的2倍再加1，即an=2an-1+1（n∈N，n>1），（※）你能寫出這個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)嗎？像上述問題中給出數(shù)列的方法叫做遞推法，其中an=2an-1+1(n>1)稱為遞推公式。遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法。遞推公式是數(shù)列所特有的表示法，它包含兩個(gè)部分，一是遞推關(guān)系，一是初始條件，二者缺一不可．

數(shù)列的表示1.列舉法2.圖象法3.通項(xiàng)公式法

若數(shù)列的每一項(xiàng)

an

與項(xiàng)數(shù)

n

之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式來表達(dá),即

an=f(n),則

an=f(n)

叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式.4.遞推公式法

如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),

且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示,

這個(gè)公式就叫做數(shù)列的遞推公式.注:遞推公式有兩要素:遞推關(guān)系與初始條件.例1

設(shè)數(shù)列滿足

寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。練習(xí)2：根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出它的前5項(xiàng)。5，8，11，14，172，4，8，16，323，6，3，-3，-61，2，5/2，29/10，941/2903.已知數(shù)列

{an}

滿足

a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2).(1)求

a2,

a3;(2)證明:an=.3n-12(1)解:

∵a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),∴a2=32-1+a1=3+1=4,∴a3=33-1+a2=9+4=13.故

a2,

a3的值分別為

4,13.(2)證:

∵a1=1,an=3n-1+an-1,∴an-an-1=3n-1.∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+32+…+3n-1

3n-12故

an=.3n-123n-13-13-1==.分析：數(shù)列的增減性遞增數(shù)列——an

＜an+1遞減數(shù)列——an

＞an+1常數(shù)列:an=an+1擺動(dòng)數(shù)列:an－1

＜an

且an

＞an+1方法：作差比較解:例4：求數(shù)列中的數(shù)值最大的項(xiàng).3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4.(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？

(2)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.解：(1)由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴數(shù)列中有兩項(xiàng)a2，a3是負(fù)數(shù).(2)∵an＝n2－5n＋4＝n(n-)2-的對稱軸方程為n＝又n∈N*，∴n＝2或n＝3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2.5.已知數(shù)列

{an}

的通項(xiàng)

an=(n+1)()n(nN*),試問該數(shù)列{an}

有沒有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若沒有,說明理由.1110∴當(dāng)

n<9

時(shí),an+1-an>0,即

an+1>an;當(dāng)

n>9

時(shí),an+1-an<0,即

an+1<an.∴數(shù)列

{an}

有最大項(xiàng),其項(xiàng)數(shù)為

9

或

10,其值為解:∵

an+1-an=(n+2)(

)n+1-(n+1)(

)n

11101110=(

)n?

.1110119-n

當(dāng)

n=9

時(shí),an+1-an=0,即

a10=a9;10?(

)9.1110解法二:由

an≥an+1an≥an-1(n+1)(

)n≥n(

)n-111101110(n+1)(

)n≥(n+2)(

)n+111101110(n+1)(

)≥n

1110n+1≥(n+2)(

)11109≤n≤10.∴數(shù)列

{an}

有最大項(xiàng),其項(xiàng)數(shù)為