2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步1.5第1課時(shí)兩點(diǎn)間的距離公式學(xué)案2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第1課時(shí)兩點(diǎn)間的距離公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握兩點(diǎn)間距離公式，并能簡單應(yīng)用.2.初步體會(huì)解析法研究幾何問題。3。會(huì)解決簡單的對(duì)稱問題．知識(shí)點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離公式已知平面上兩點(diǎn)P1（x1，y1)，P2(x2，y2)，思考1當(dāng)x1≠x2，y1＝y(tǒng)2時(shí),｜P1P2｜＝？思考2當(dāng)x1＝x2,y1≠y2時(shí),｜P1P2｜＝?思考3當(dāng)x1≠x2,y1≠y2時(shí)，｜P1P2｜＝?梳理兩點(diǎn)間的距離公式如圖，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2｜＝eq\r（x2－x12＋y2－y12).即兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2,y2）間的距離|P1P2｜＝eq\r(x2－x12＋y2－y12）。類型一兩點(diǎn)間的距離問題例1如圖，已知△ABC的三頂點(diǎn)A(－3，1），B(3,－3)，C(1,7),(1)判斷△ABC的形狀；（2）求△ABC的面積．反思與感悟（1）判斷三角形的形狀,要采用數(shù)形結(jié)合的方法，大致明確三角形的形狀,以確定證明的方向．（2）在分析三角形的形狀時(shí)，要從兩方面考慮：一是要考慮角的特征，主要考察是否為直角或等角;二是要考慮三角形的長度特征，主要考察邊是否相等或是否滿足勾股定理．跟蹤訓(xùn)練1已知點(diǎn)A(－1,2),B(2，eq\r（7）),在x軸上求一點(diǎn)P,使|PA｜＝|PB|，并求｜PA|的值．類型二對(duì)稱問題eq\x（命題角度1關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題)例2（1)求點(diǎn)P(x0,y0)關(guān)于點(diǎn)A（a，b）的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo);（2)求直線3x－y－4＝0關(guān)于點(diǎn)(2,－1)的對(duì)稱直線l的方程．反思與感悟（1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題：若兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2）關(guān)于點(diǎn)P(x0，y0）對(duì)稱，則點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，并且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f（x1＋x2,2)，,y0＝\f(y1＋y2,2).))（2）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題:若兩條直線l1，l2關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，則:①l1上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)必在l2上，反過來,l2上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)必在l1上;②若l1∥l2，則點(diǎn)P到直線l1，l2的距離相等;③過點(diǎn)P作一直線與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，則點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練2與直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(diǎn)（1,－1）對(duì)稱的直線方程是()A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0eq\x(命題角度2關(guān)于軸對(duì)稱問題）例3點(diǎn)P(－3,4）關(guān)于直線x＋y－2＝0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（)A．（－2，1) B．(－2，5)C．(2，－5) D．（4,－3)反思與感悟(1）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題求點(diǎn)P（x0,y0）關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0的對(duì)稱點(diǎn)P′(x，y)時(shí)，利用eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（y－y0，x－x0）·－\f（A，B）＝－1，,A·\f(x0＋x,2)＋B·\f（y0＋y，2）＋C＝0））可以求P′點(diǎn)的坐標(biāo)．(2）直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題:若兩條直線l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱，①l1上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在l2上，反過來，l2上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在l1上；②過直線l上的一點(diǎn)P且垂直于直線l作一直線與l1，l2分別交于點(diǎn)A，B，則點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練3一束光線從原點(diǎn)O（0，0)出發(fā)，經(jīng)過直線l：8x＋6y＝25反射后通過點(diǎn)P（－4,3)，求反射光線的方程．類型三運(yùn)用坐標(biāo)法解決平面幾何問題例4在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：｜AB|2＋|AC｜2＝2（｜AD｜2＋|DC｜2)．反思與感悟利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟(1）建立坐標(biāo)系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上．(2）用坐標(biāo)表示有關(guān)的量．（3）將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算．(4）把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練4已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對(duì)角線為AC和BD。求證:｜AC|＝｜BD｜。1．已知點(diǎn)A(－2，－1),B(a，3),且|AB|＝5，則a的值為（）A．1B．－5C．1或－5D．－1或52．已知點(diǎn)A（x，5)關(guān)于點(diǎn)（1,y)的對(duì)稱點(diǎn)為(－2，－3），則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是(）A．2B．4C．5D.eq\r（17）3．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A（－a,0)、B（a，0)和C（eq\f（a,2)，eq\f（\r（3），2）a)，則△ABC的形狀是()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．斜三角形4．點(diǎn)A在第四象限，點(diǎn)A到x軸的距離為3,到原點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為____________．5．已知點(diǎn)P(3，2）與點(diǎn)Q(1,4)關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為____________________．1．兩點(diǎn)P1(x1，y1),P2(x2，y2)間的距離公式｜P1P2｜＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān),其反映了把幾何問題代數(shù)化的思想．2．有關(guān)對(duì)稱問題的兩種主要類型（1)中心對(duì)稱：①點(diǎn)P(x，y）關(guān)于O（a，b）的對(duì)稱點(diǎn)P′（x′，y′）滿足eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝2a－x，，y′＝2b－y。））②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決．(2)軸對(duì)稱：①點(diǎn)A（a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0（B≠0）的對(duì)稱點(diǎn)為A′(m，n），則有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（n－b，m－a）·－\f(A,B）＝－1，，A·\f(a＋m，2）＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.））②直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決．答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1|P1P2｜＝|x2－x1｜.思考2｜P1P2|＝|y2－y1｜.思考3|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)題型探究例1解(1)方法一∵｜AB｜＝eq\r(3＋32＋－3－12）＝eq\r（52)，｜AC｜＝eq\r（1＋32＋7－12)＝eq\r(52)，又|BC｜＝eq\r（1－32＋7＋32）＝eq\r(104），∴｜AB｜2＋|AC｜2＝｜BC｜2，且|AB｜＝｜AC｜，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵kAC＝eq\f(7－1，1－－3）＝eq\f（3，2)，kAB＝eq\f（－3－1，3－－3）＝－eq\f（2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又｜AC｜＝eq\r（1＋32＋7－12)＝eq\r(52），｜AB｜＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)，∴｜AC|＝|AB|,∴△ABC是等腰直角三角形．（2)S△ABC＝eq\f(1，2）|AC|·|AB|＝eq\f（1，2）(eq\r(52）)2＝26，∴△ABC的面積為26.跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)P（x，0)，|PA｜＝eq\r(x＋12＋－22),｜PB｜＝eq\r(x－22＋－\r(7)2），∵｜PA|＝|PB｜,∴eq\r（x＋12＋4）＝eq\r（x－22＋7），得x＝1,∴P（1,0）,∴｜PA|＝eq\r（1＋12＋4）＝2eq\r（2).例2解(1）根據(jù)題意可知，點(diǎn)A(a，b)為線段PP′的中點(diǎn),設(shè)P′點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y)，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\f(x＋x0，2）,,b＝\f（y＋y0,2），）)所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2a－x0，，y＝2b－y0.)）所以點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（2a－x0，2b－y0）．（2)方法一設(shè)直線l上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則M點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2,－1）的對(duì)稱點(diǎn)為M1（4－x，－2－y)，且M1在直線3x－y－4＝0上,所以3（4－x）－（－2－y）－4＝0，即3x－y－10＝0。所以所求直線l的方程為3x－y－10＝0。方法二在直線3x－y－4＝0上取兩點(diǎn)A（0，－4)，B(1，－1），則點(diǎn)A(0,－4)關(guān)于點(diǎn)（2,－1）的對(duì)稱點(diǎn)為A1（4,2），點(diǎn)B（1,－1)關(guān)于點(diǎn)（2，－1)的對(duì)稱點(diǎn)為B1(3，－1）．可得直線A1B1的方程為3x－y－10＝0，即所求直線l的方程為3x－y－10＝0。跟蹤訓(xùn)練2D例3B［設(shè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b)，由題意，得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(a－3，2)＋\f（b＋4，2)－2＝0，,\f（b－4,a＋3）＝1，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－2,,b＝5，）)即Q(－2，5)．]跟蹤訓(xùn)練3解設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，b）,由直線OA與l垂直和線段AO的中點(diǎn)在直線l上,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（b,a）×－\f（4,3)＝－1，,8×\f(a,2)＋6×\f（b，2)＝25,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，，b＝3，）)∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3）．∵反射光線的反向延長線過點(diǎn)A（4，3)，又反射光線過點(diǎn)P(－4,3），兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等,故反射光線所在直線方程為y＝3.由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3，，8x＋6y＝25，）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（7,8),,y＝3，）)由于反射光線為射線，故反射光線的方程為y＝3（x≤eq\f（7,8）)．例4證明設(shè)BC所在邊為x軸,以D為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)A（b，c），C(a，0)，則B（－a,0）．∵|AB｜2＝（a＋b）2＋c2，|AC|2＝（a－b）2＋c2，|AD｜2＝b2＋c2，|DC｜2＝a2,∴｜AB｜2＋|AC|2＝2（a2＋b2＋c2），|AD｜2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，∴|AB|2＋|AC|2＝2（|AD|2＋｜DC|2)．跟蹤訓(xùn)練4證明如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（0，0），B(a，0)，