2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何1從平面向量到空間向量學(xué)案2-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1從平面向量到空間向量學(xué)習(xí)目標1.理解空間向量的概念。2。了解空間向量的表示法，了解自由向量的概念。3。理解空間向量的夾角.4。理解直線的方向向量與平面的法向量的概念。知識點一空間向量的概念思考1類比平面向量的概念，給出空間向量的概念。思考2若表示兩個相等空間向量的有向線段的起點相同，則終點也一定相同嗎？梳理空間向量的有關(guān)概念(1)定義：在空間中，把既有______又有______的量，叫作空間向量.(2）長度：空間向量的大小叫作向量的______或____.（3)表示法eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(①幾何表示法：空間向量用表示.，②字母表示法:用字母表示,若向量a的，起點是A，終點是B，則向量a也可以，記作\o(AB，\s\up6（→)),其模記為或。))(4)自由向量：與向量的起點無關(guān)的向量.知識點二空間向量的夾角思考在平面內(nèi)，若非零向量a與b共線，則它們的夾角是多少？梳理空間向量的夾角（1）文字敘述：a,b是空間中兩個非零向量，過空間任意一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB，\s\up6(→）)＝b，則________叫作向量a與向量b的夾角，記作______________。(2)圖形表示:角度表示<a，b〉＝____〈a，b>是____〈a，b〉是____<a,b〉是____〈a,b>＝____(3)范圍：____≤<a，b>≤____.(4)空間向量的垂直：如果〈a，b〉＝______，那么稱a與b互相垂直,記作________.知識點三向量與直線、平面1.向量與直線與平面向量一樣，也可用空間向量描述空間直線的方向.如圖所示。l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點，則稱eq\o(AB，\s\up6（→））為直線l的______向量，顯然,與eq\o（AB，\s\up6(→））平行的任意非零向量a也是直線l的方向向量，直線的方向向量______于該直線。2。向量與平面如圖,如果直線l垂直于平面α，那么把直線l的方向向量a叫作平面α的________。類型一有關(guān)空間向量的概念的理解例1給出以下結(jié)論：①兩個空間向量相等，則它們的起點和終點分別相同；②若空間向量a,b滿足|a|＝｜b|，則a＝b；③在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o（AC,\s\up6（→））＝eq\o(A1C1，\s\up6（→)）;④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p.其中不正確的個數(shù)是（)A.1B。2C.3D.4反思與感悟在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個向量的方向相同,模相等。兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反.跟蹤訓(xùn)練1（1）在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中,下列四對向量：①eq\o(AB，\s\up6(→）)與eq\o(C1D1,\s\up6(→)）;②eq\o(AC1,\s\up6（→））與eq\o（BD1，\s\up6(→)）；③eq\o（AD1,\s\up6（→))與eq\o(C1B，\s\up6（→））;④eq\o（A1D,\s\up6（→)）與eq\o（B1C，\s\up6(→））。其中互為相反向量的有n對，則n等于(）A。1 B.2C.3 D.4（2）如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1,則分別以長方體的頂點為起點和終點的向量中：①單位向量共有多少個?②試寫出模為eq\r(5）的所有向量；③試寫出與向量eq\o(AB，\s\up6(→）)相等的所有向量；④試寫出向量eq\o(AA′，\s\up6（→）)的所有相反向量。類型二求空間向量的夾角例2如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,求下列各對向量的夾角:（1)〈eq\o（AB,\s\up6(→）)，eq\o(A1C1，\s\up6（→))〉；（2)<eq\o(AB,\s\up6(→）），eq\o(C1A1，\s\up6(→）)〉；（3)〈eq\o（AB，\s\up6(→）），eq\o(A1D1,\s\up6（→)）〉.引申探究在本例中，求<eq\o（AB1，\s\up6（→)）,eq\o（DA1，\s\up6(→））〉。反思與感悟求解空間向量的夾角，要充分利用原幾何圖形的性質(zhì)，把空間向量的夾角轉(zhuǎn)化為平面向量的夾角，要注意向量方向。跟蹤訓(xùn)練2在正四面體ABCD中，〈eq\o(AB，\s\up6(→）),eq\o（CD，\s\up6(→）)〉的大小為(）A。eq\f（π,4） B。eq\f（π，3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,6）類型三直線的方向向量與平面法向量的理解例3已知正四面體A－BCD.（1）過點A作出方向向量為eq\o(BC，\s\up6(→））的空間直線；（2)過點A作出平面BCD的一個法向量.反思與感悟直線的方向向量有無數(shù)個,但一定為非零向量；平面的法向量也有無數(shù)個，它們互相平行.給定空間中任意一點A和非零向量a，可以確定:(1)唯一一條過點A且平行于向量a的直線；(2)唯一一個過點A且垂直于向量a的平面.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,P是DD1的中點，以C1為起點,指出直線AP的一個方向向量.1。下列命題中，正確的是（）A。若|a|＝｜b|，則a與b共線B.若｜a｜＞|b|,則a＞bC.若a＝b,則｜a｜＝｜b｜D.若a≠b，則a與b不共線2.以長方體ABCD－A1B1C1D1的任意兩個頂點為起點和終點的向量中，能作為直線BB1的方向向量的個數(shù)為（)A.8B.7C.6D.53.若把空間中所有單位向量的起點放置于同一點，則這些向量的終點構(gòu)成的圖形為________.4.在長方體中，從同一頂點出發(fā)的三條棱的長分別為1,2,3,在分別以長方體的任意兩個頂點為起點和終點的向量中,模為1的向量個數(shù)為________.5。在直三棱柱ABC－A1B1C1中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是________。(填序號）①eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o（AA1，\s\up6（→)）；③eq\o（B1B,\s\up6（→）)；④eq\o（A1C1,\s\up6（→）).在空間中，一個向量成為某直線的方向向量的條件包含兩個方面：一是該向量為非零向量；二是該向量與直線平行或重合.二者缺一不可.給定空間中任意一點A和非零向量a，就可以確定唯一一條過點A且平行于向量a的直線.提醒：完成作業(yè)第二章§1

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1在空間中，把具有大小和方向的量叫作空間向量。思考2一定相同.因為相等向量的方向相同，長度相等，所以表示相等向量的有向線段的起點相同,終點也相同.梳理(1)大小方向（2)長度模(3)有向線段|eq\o(AB，\s\up6(→）)|｜a｜知識點二思考0或π.梳理（1)∠AOB〈a，b〉（2)0銳角直角鈍角π（3)0π（4)eq\f(π,2)a⊥b知識點三1.方向平行2.法向量題型探究例1B跟蹤訓(xùn)練1B（2）解①由于長方體的高為1，所以長方體的四條高所對應(yīng)的向量eq\o（AA′,\s\up6(→）），eq\o（A′A，\s\up6(→）),eq\o(BB′，\s\up6（→))，eq\o（B′B,\s\up6（→）），eq\o(CC′,\s\up6(→)），eq\o（C′C，\s\up6(→））,eq\o（DD′,\s\up6（→)），eq\o(D′D,\s\up6(→）)，共8個向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共有8個.②由于長方體的左右兩側(cè)面的對角線長均為eq\r(5)，故模為eq\r（5)的向量有eq\o（AD′,\s\up6(→）），eq\o(D′A，\s\up6（→）），eq\o（A′D,\s\up6（→）),eq\o（DA′,\s\up6(→))，eq\o（BC′,\s\up6(→）),eq\o（C′B，\s\up6(→）)，eq\o(B′C,\s\up6(→）)，eq\o（CB′,\s\up6（→)）。③與向量eq\o(AB,\s\up6(→）)相等的所有向量（除它自身之外）有eq\o（A′B′,\s\up6(→）)，eq\o(DC，\s\up6(→)),eq\o(D′C′,\s\up6(→））。④向量eq\o（AA′,\s\up6(→))的相反向量有eq\o(A′A,\s\up6(→))，eq\o(B′B,\s\up6（→）)，eq\o(C′C，\s\up6（→)），eq\o（D′D,\s\up6(→)）.例2解（1)由題意知,eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6（→)），∴〈eq\o(AB，\s\up6(→）),eq\o（A1C1，\s\up6（→）)>＝<eq\o(AB，\s\up6(→）），eq\o(AC,\s\up6（→））〉.又∵∠CAB＝eq\f(π，4），故〈eq\o（AB,\s\up6（→）)，eq\o（A1C1，\s\up6（→）)〉＝eq\f(π，4)。(2）〈eq\o（AB,\s\up6(→））,eq\o(C1A1,\s\up6（→)）>＝π－〈eq\o（AB,\s\up6（→))，eq\o（A1C1,\s\up6（→））>＝π－eq\f（π,4）＝eq\f（3π,4)。(3）〈eq\o(AB,\s\up6（→))，eq\o(A1D1，\s\up6（→))>＝〈eq\o(AB,\s\up6（→）)，eq\o(AD,\s\up6(→))〉＝eq\f（π,2）.引申探究解如圖，連接B1C，則B1C∥A1D，且eq\o(DA1,\s\up6(→））＝eq\o(CB1，\s\up6（→）），連接AC，在△ACB1中，因為AC＝AB1＝B1C，故∠AB1C＝eq\f(π，3),〈eq\o(AB1，\s\up6（→）），eq\o(DA1,\s\up6（→))〉＝〈eq\o（AB1,\s\up6(→)），eq\o(CB1，\s\up6（→））〉＝eq\f(π，3).跟蹤訓(xùn)練2C例3解（1)如圖，過點A作直線AE∥BC，由直線的方向向量的定義可知，直線AE即為過點A且方向向量為eq\o(BC，\s\up6（→））的空間直線.(2)如圖，取△BCD的中心O，由正四面體的性質(zhì)可知，AO垂直于平面BCD，故向量eq\o(AO,\s\up6（→）)可作為平面BCD的一個法向量。跟蹤訓(xùn)練3解取BB1中點Q，C1C中點M，連接C1