2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何5夾角的計(jì)算學(xué)案2-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE19學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE5夾角的計(jì)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線間的夾角、平面間的夾角、直線與平面的夾角的概念.2.掌握直線間的夾角、平面間的夾角、直線與平面的夾角的求解。知識(shí)點(diǎn)一直線間的夾角思考1設(shè)a，b分別是空間兩條直線l1，l2的方向向量，則l1與l2的夾角大小一定為〈a，b>嗎?思考2當(dāng)兩條直線平行時(shí)，它們的夾角是多少？梳理(1）共面直線的夾角當(dāng)兩條直線l1與l2共面時(shí)，我們把兩條直線交角中,范圍在［0,eq\f(π，2)]內(nèi)的角叫作兩直線的夾角，如圖所示，當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，夾角為__________。（2）異面直線的夾角當(dāng)直線l1與l2是異面直線時(shí)，在直線l1上任取一點(diǎn)A作AB∥l2，我們把直線l1和直線AB的夾角叫作異面直線l1與l2的夾角，如圖所示.兩條異面直線的夾角的范圍為________，當(dāng)夾角為eq\f(π，2）時(shí),稱這兩條直線異面______。綜上，空間兩條直線的夾角的范圍是____________。(3）直線的方向向量的夾角與兩直線夾角的關(guān)系空間兩條直線的夾角可由它們的方向向量的夾角來確定.已知直線l1與l2的方向向量分別為s1,s2。當(dāng)0≤〈s1，s2〉≤eq\f(π，2)時(shí)，直線l1與l2的夾角等于____________；當(dāng)eq\f(π，2)＜<s1，s2〉≤π時(shí)，直線l1與l2的夾角等于____________。知識(shí)點(diǎn)二平面間的夾角思考若平面π1與平面π2平行，則它們的夾角是多少？梳理(1)平面間夾角的概念如圖，平面π1與π2相交于直線l,點(diǎn)R為直線l上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)R，在平面π1上作直線l1⊥l,在平面π2上作直線l2⊥l,則l1∩l2＝R。我們把直線l1和l2的夾角叫作平面π1與π2的夾角。由平面間夾角的概念可知，空間中兩個(gè)平面的夾角的范圍是____________.當(dāng)夾角等于0時(shí)，兩個(gè)平面______;當(dāng)夾角等于eq\f(π,2)時(shí),兩個(gè)平面互相______。（2)兩個(gè)平面法向量的夾角與這兩個(gè)平面的夾角的關(guān)系空間兩個(gè)平面的夾角由它們的法向量的夾角確定.已知平面π1與π2的法向量分別為n1與n2.當(dāng)0≤<n1,n2〉≤eq\f（π,2)時(shí),平面π1與π2的夾角等于__________________;當(dāng)eq\f(π,2)＜<n1，n2>≤π時(shí)，平面π1與π2的夾角等于__________________。事實(shí)上,設(shè)平面π1與平面π2的夾角為θ，則cosθ＝|cos<n1，n2〉｜.知識(shí)點(diǎn)三直線與平面的夾角思考若直線l與平面的夾角是0,則直線l與平面是否一定平行？梳理(1）直線與平面夾角的概念平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的投影的夾角叫作該直線與此平面的夾角，如圖所示.(2)直線與平面夾角的范圍如果一條直線與一個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，我們規(guī)定這條直線與平面的夾角是____。如果一條直線與一個(gè)平面垂直，我們規(guī)定這條直線與平面的夾角是____________.由此可得，直線與平面夾角的范圍是____________。(3)利用向量計(jì)算直線與平面夾角的方法空間中,直線與平面的夾角由直線的方向向量與平面的法向量的夾角確定。設(shè)平面α的法向量為n，直線l的方向向量為a,直線l與平面α所成的角為θ。當(dāng)0≤〈n，a>≤eq\f（π,2）時(shí)，θ＝__________________;當(dāng)eq\f(π，2)＜〈n，a〉≤π時(shí),θ＝__________________。即sinθ＝|cos<n，a>｜.類型一直線間的夾角求解例1已知直線l1的一個(gè)方向向量為s1＝（1，0，1)，直線l2的一個(gè)方向向量為s2＝（－1,2，－2）,求直線l1和直線l2夾角的余弦值。反思與感悟利用直線的方向向量求兩條直線的夾角時(shí)，要注意兩條直線的方向向量的夾角與兩條直線的夾角之間的關(guān)系。因?yàn)閮蓷l直線的方向向量的夾角的范圍是[0，π]，而兩條直線的夾角的范圍是[0，eq\f（π,2)］，所以這兩者不一定相等，還可能互補(bǔ)。由于任意兩條直線的夾角θ∈[0，eq\f(π,2)]，所以直線l1和直線l2夾角的余弦值等于|cos〈s1，s2>｜.跟蹤訓(xùn)練1如圖所示,在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝eq\r(3），求異面直線A1B與AO1夾角的余弦值。類型二求平面間的夾角例2如圖，已知ABCD為直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°,SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f（1，2）.求平面SAB與平面SCD的夾角的余弦值.反思與感悟利用法向量求平面間夾角的大小的一般步驟(1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2）分別求出兩平面的法向量；（3）求出兩個(gè)法向量的夾角；(4)確定平面間夾角的大小.跟蹤訓(xùn)練2如圖,在四棱錐S－ABCD中,SD⊥底面ABCD，AB∥DC,AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2,E為棱SB上的一點(diǎn),平面EDC⊥平面SBC.（1)證明：SE＝2EB；(2)求平面ADE與平面CDE夾角的大小。類型三直線與平面的夾角例3已知直線l的一個(gè)方向向量為s＝(1，0,0)，平面π的一個(gè)法向量為n＝(2，1，1），求直線與平面夾角的正弦值。反思與感悟注意公式sinθ＝|cos〈n，a>｜中，是線面夾角的正弦值等于直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，不要記錯(cuò)。跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，已知直角梯形ABCD,其中AB＝BC＝2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB。求直線SC與底面ABCD的夾角θ的余弦值.1.在兩個(gè)平面內(nèi)，與兩個(gè)面的交線都垂直的兩個(gè)向量分別為(0，－1,3)，(2，2,4),則這兩個(gè)平面夾角的余弦值為（）A.eq\f（\r(15),6) B。－eq\f（\r（15)，3)C。eq\f（\r（15），3） D。eq\f(\r(15)，6)或－eq\f(\r(15),6）2。已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1的夾角的正弦值是(）A。eq\f（2，3）B。eq\f(\r（3），3)C.eq\f(\r（2),3)D。eq\f(1，3)3。在矩形ABCD中，AB＝1,BC＝eq\r(2），PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD的夾角大小為________。4。已知直線l1的一個(gè)方向向量為a＝（1,－1，2），直線l2的一個(gè)方向向量為b＝（3，－2,0），則兩條直線夾角的余弦值為________。5.已知平面π1的一個(gè)法向量為n1＝（1，－1，3)，平面π2的一個(gè)法向量為n2＝(－1，0，－1)，求這兩個(gè)平面夾角的余弦值。用坐標(biāo)法求異面直線的夾角的一般步驟(1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)；(3）利用向量的夾角公式計(jì)算兩條直線的方向向量的夾角；（4）結(jié)合異面直線夾角的范圍得到異面直線的夾角.提醒：完成作業(yè)第二章§5

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1不一定。若l1，l2的方向向量的夾角為［0，eq\f（π，2）］內(nèi)的角時(shí),l1與l2的夾角為〈a，b>,否則為π－〈a，b〉.思考20。梳理(1)eq\f(π,2)(2）（0，eq\f(π,2）］垂直[0，eq\f（π,2）］（3)<s1,s2〉π－<s1,s2>知識(shí)點(diǎn)二思考0.梳理（1）[0，eq\f（π，2）］重合垂直（2）<n1，n2〉π－〈n1，n2>知識(shí)點(diǎn)三思考不一定.梳理（2)0eq\f（π,2）［0，eq\f(π，2）］(3）eq\f（π,2)－〈n，a〉〈n，a>－eq\f（π，2)題型探究例1解∵s1＝（1，0,1),s2＝(－1，2,－2),∴cos〈s1，s2〉＝eq\f(s1·s2,|s1｜｜s2｜)＝eq\f(－1－2,\r(2）×\r(9））＝－eq\f（\r（2），2）＜0，∴〈s1，s2〉＞90°，∴直線l1與直線l2的夾角為π－<s1，s2〉，∴直線l1與直線l2夾角的余弦值為eq\f（\r(2),2）。跟蹤訓(xùn)練1解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O（0，0，0)，O1(0，1，eq\r(3))，A（eq\r(3),0，0)，A1(eq\r(3),1,eq\r(3）)，B（0,2,0），∴eq\o(A1B，\s\up6（→）)＝（－eq\r（3），1，－eq\r（3）)，eq\o（O1A,\s\up6（→））＝（eq\r(3)，－1，－eq\r(3))?！鄚cos〈eq\o（A1B，\s\up6（→)），eq\o（O1A，\s\up6(→））>｜＝eq\f(｜\o（A1B，\s\up6(→))·\o（O1A，\s\up6（→)）｜,｜\o(A1B，\s\up6（→))||\o(O1A，\s\up6（→）)｜）＝eq\f（|－\r（3），1，－\r(3)·\r（3)，－1，－\r(3）｜,\r(7）·\r（7)）＝eq\f（1，7）.∴異面直線A1B與AO1夾角的余弦值為eq\f(1，7)。例2解如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AD，AB,AS所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則S（0,0,1）,D（eq\f(1,2)，0,0），C(1，1,0)，B(0，1，0)，∴eq\o（SD,\s\up6（→）)＝(eq\f（1，2)，0，－1)，eq\o（SC,\s\up6（→））＝（1，1，－1）.設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z），則n·eq\o（SD，\s\up6（→))＝0，n·eq\o(SC，\s\up6(→))＝0，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1,2）x－z＝0,,x＋y－z＝0，）)∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2z，,y＝－z,)）令z＝1，得n＝(2,－1，1）。易得eq\o(BC，\s\up6(→）)是平面SAB的一個(gè)法向量，且eq\o(BC，\s\up6（→）)＝(1,0，0)，∴cos〈eq\o(BC,\s\up6（→）)，n〉＝eq\f（\o(BC，\s\up6（→)）·n，｜\o（BC，\s\up6(→))｜｜n|）＝eq\f(\r(6)，3）。設(shè)平面SAB與平面SCD的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\r(6),3).跟蹤訓(xùn)練2（1)證明以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0),B(1，1,0），C（0,2,0），S(0，0，2)，∴eq\o（SC，\s\up6(→））＝（0,2，－2)，eq\o（BC，\s\up6(→）)＝(－1，1,0),eq\o（DC，\s\up6（→)）＝(0,2,0)。設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量為m＝(a，b，c）.由m⊥eq\o(SC，\s\up6(→）)，m⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(SC，\s\up6（→））＝0,，m·\o(BC，\s\up6（→)）＝0，）)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－2c＝0，，－a＋b＝0,）)令b＝1,則m＝（1，1，1）.又設(shè)eq\o（SE,\s\up6(→))＝λeq\o(EB，\s\up6（→）)（λ＞0),則E(eq\f(λ,1＋λ），eq\f(λ,1＋λ），eq\f(2，1＋λ)），∴eq\o（DE，\s\up6（→）)＝(eq\f（λ,1＋λ)，eq\f（λ，1＋λ），eq\f(2,1＋λ）).設(shè)平面EDC的一個(gè)法向量為n＝(x,y，z）。由n⊥eq\o(DE，\s\up6(→）)，n⊥eq\o（DC,\s\up6（→)）,得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DE，\s\up6(→）)＝0，,n·\o（DC,\s\up6(→)）＝0，))∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(λx,1＋λ)＋\f(λy，1＋λ）＋\f(2z,1＋λ）＝0，,2y＝0，）)令x＝2，則n＝（2,0,－λ).由平面EDC⊥平面SBC,得m⊥n，∴m·n＝0,∴2－λ＝0，即λ＝2，∴SE＝2EB。（2）解由(1)，知Eeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2，3）,\f（2,3)，\f（2，3））)，∴eq\o(DE，\s\up6(→))＝(eq\f（2，3)，eq\f(2,3),eq\f（2，3)),eq\o（EC，\s\up6（→））＝(－eq\f（2，3)，eq\f(4,3）,－eq\f(2，3)），∴eq\o（EC,\s\up6（→））·eq\o(DE,\s\up6（→)）＝0，∴EC⊥DE.取線段DE的中點(diǎn)F,則F（eq\f(1,3)，eq\f（1，3），eq\f（1，3)）,∴eq\o（FA,\s\up6(→))＝(eq\f（2,3）,－eq\f(1,3)，－eq\f(1,3))，∴eq\o（FA，\s\up6(→))·eq\o（DE,\s\up6(→))＝0，∴FA⊥DE。∴向量eq\o(FA，\s\up6(→））與eq\o（EC,\s\up6(→))的夾角或其補(bǔ)角等于平面ADE與平面CDE的夾角。計(jì)算得cos〈eq\o（FA,\s\up6(→））,eq\o（EC,\s\up6（→）)〉＝eq\f(\o（FA，\s\up6(→))·\o(EC，\s\up6(→））,|\o（FA,\s\up6(→））｜|\o（EC,\s\up6(→）)|）＝－eq\f(1,2），故平面ADE與平面CDE夾角的大小為60°.例3解∵cos〈s,n〉＝eq\f（s·n，｜s｜|n｜）＝eq\f（2,1×\r(6）)＝eq\f（\r（6)，3)＞0，∴<s，n〉＜eq\f（π,2)，∴直線l與平面π的夾角θ＝eq\f(π,2)－〈s,n〉,∴sinθ＝sin(eq\f(π，2）－〈s,n>）＝cos〈s,n>＝eq\f(\r(6),3).即直線與平面夾角的正弦值為eq\f（\r(6)，3）。跟蹤訓(xùn)練3解由題設(shè)條件知,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD,AB，AS所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直