2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示學(xué)案4_第1頁
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE13學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精PAGE6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1。理解兩個(gè)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過程,能運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算.2.能根據(jù)向量的坐標(biāo)計(jì)算向量的模。3。能根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的夾角及判定兩個(gè)向量垂直.知識點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)i,j是兩個(gè)互相垂直且分別與x軸、y軸的正半軸同向的單位向量.思考1i·i,j·j,i·j分別是多少?思考2取i,j為坐標(biāo)平面內(nèi)的一組基底,設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),試將a,b用i,j表示,并計(jì)算a·b。梳理設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=________________。這就是說,兩個(gè)向量的數(shù)量積等于相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和.知識點(diǎn)二向量模的坐標(biāo)表示思考若a=(x,y),試將向量的模|a|用坐標(biāo)表示.梳理設(shè)a=(x,y),則|a|2=____________,或|a|=____________.知識點(diǎn)三向量夾角的坐標(biāo)表示思考設(shè)a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a與b的夾角,那么cosθ如何用坐標(biāo)表示?梳理設(shè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ,則(1)cosθ=eq\f(x1x2+y1y2,\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2))).(2)a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0。知識點(diǎn)四直線的方向向量思考1什么是直線的方向向量?思考2直線的方向向量唯一嗎?梳理(1)給定斜率為k的直線l,則向量m=(1,k)與直線l共線,我們把與直線l共線的非零向量m稱為直線l的方向向量.(2)對于直線l:Ax+By+C=0,可取直線l的方向向量為m=(1,-eq\f(A,B))(B≠0),或取直線l的方向向量為m=(B,-A).類型一平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示例1已知a與b同向,b=(1,2),a·b=10.(1)求a的坐標(biāo);(2)若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c。反思與感悟此類題目是有關(guān)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,靈活應(yīng)用基本公式是前提,設(shè)向量一般有兩種方法:一是直接設(shè)坐標(biāo),二是利用共線或垂直的關(guān)系設(shè)向量,還可以驗(yàn)證一般情況下(a·b)·c≠a·(b·c),即向量運(yùn)算結(jié)合律一般不成立.跟蹤訓(xùn)練1向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a等于()A.-1B.0C.1D.2類型二向量的模、夾角問題例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O是原點(diǎn)(如圖).已知點(diǎn)A(16,12),B(-5,15).(1)求|eq\o(OA,\s\up6(→))|,|eq\o(AB,\s\up6(→))|;(2)求∠OAB.反思與感悟利用向量的數(shù)量積求兩向量夾角的一般步驟(1)利用向量的坐標(biāo)求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積.(2)利用|a|=eq\r(x2+y2)求兩向量的模.(3)代入夾角公式求cosθ,并根據(jù)θ的范圍確定θ的值.跟蹤訓(xùn)練2已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a與b的夾角α為鈍角,求λ的取值范圍.類型三向量垂直的坐標(biāo)形式例3(1)已知a=(-3,2),b=(-1,0),若向量λa+b與a-2b垂直,則實(shí)數(shù)λ的值為()A.eq\f(1,7)B.-eq\f(1,7)C.eq\f(1,6)D.-eq\f(1,6)(2)在△ABC中,eq\o(AB,\s\up6(→))=(2,3),eq\o(AC,\s\up6(→))=(1,k),若△ABC是直角三角形,求k的值.反思與感悟利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決垂直問題的實(shí)質(zhì)是把垂直條件代數(shù)化,若在關(guān)于三角形的問題中,未明確哪個(gè)角是直角時(shí),要分類討論.跟蹤訓(xùn)練3在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(1,4),B(-2,3),C(2,-1),若(eq\o(AB,\s\up6(→))-teq\o(OC,\s\up6(→)))⊥eq\o(OC,\s\up6(→)),則實(shí)數(shù)t=____。1.已知a=(3,-1),b=(1,-2),則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6) B。eq\f(π,4)C。eq\f(π,3) D。eq\f(π,2)2.已知向量eq\o(BA,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(\r(3),2))),eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2),\f(1,2))),則∠ABC等于()A.30° B.45°C.60° D.120°3.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),則λ等于()A.-4 B.-3C.-2 D.-14.已知平面向量a,b,若a=(4,-3),|b|=1,且a·b=5,則向量b=____________。5.已知a=(4,3),b=(-1,2).(1)求a與b的夾角的余弦值;(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求實(shí)數(shù)λ的值.1.平面向量數(shù)量積的定義及其坐標(biāo)表示,提供了數(shù)量積運(yùn)算的兩種不同的途徑.準(zhǔn)確地把握這兩種途徑,根據(jù)不同的條件選擇不同的途徑,可以優(yōu)化解題過程.同時(shí),平面向量數(shù)量積的兩種形式溝通了“數(shù)”與“形”轉(zhuǎn)化的橋梁,成為解決距離、角度、垂直等有關(guān)問題的有力工具.2.應(yīng)用數(shù)量積運(yùn)算可以解決兩向量的垂直、平行、夾角以及長度等幾何問題,在學(xué)習(xí)中要不斷地提高利用向量工具解決數(shù)學(xué)問題的能力.3.注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標(biāo)形式,二者不能混淆,可以對比學(xué)習(xí)、記憶.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0。4.事實(shí)上應(yīng)用平面向量的數(shù)量積公式解答某些平面向量問題時(shí),向量夾角問題卻隱藏了許多陷阱與誤區(qū),常常會出現(xiàn)因模糊“兩向量的夾角的概念”和忽視“兩向量夾角"的范圍,稍不注意就會帶來失誤與錯(cuò)誤.

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1i·i=1×1×cos0=1,j·j=1×1×cos0=1,i·j=0.思考2∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2.梳理x1x2+y1y2知識點(diǎn)二思考∵a=xi+yj,x,y∈R,∴a2=(xi+yj)2=(xi)2+2xyi·j+(yj)2=x2i2+2xyi·j+y2j2.又∵i2=1,j2=1,i·j=0,∴a2=x2+y2,∴|a|2=x2+y2,∴|a|=eq\r(x2+y2)。梳理x2+y2eq\r(x2+y2)知識點(diǎn)三思考cosθ=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(x1x2+y1y2,\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2)))。知識點(diǎn)四思考1與直線l共線的非零向量m稱為直線l的方向向量.思考2不唯一.因?yàn)榕c直線l共線的非零向量有無數(shù)個(gè),所以直線l的方向向量也有無數(shù)個(gè).題型探究例1解(1)設(shè)a=λb=(λ,2λ)(λ>0),則有a·b=λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4).(2)∵b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,∴a(b·c)=0a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).跟蹤訓(xùn)練1C例2解(1)由eq\o(OA,\s\up6(→))=(16,12),eq\o(AB,\s\up6(→))=(-5-16,15-12)=(-21,3),得|eq\o(OA,\s\up6(→))|=eq\r(162+122)=20,|eq\o(AB,\s\up6(→))|=eq\r(-212+32)=15eq\r(2).(2)cos∠OAB=coseq\o(AO,\s\up6(→)),eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\f(\o(AO,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AO,\s\up6(→))||\o(AB,\s\up6(→))|).其中eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=-eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=-(16,12)·(-21,3)=-[16×(-21)+12×3]=300,故cos∠OAB=eq\f(300,20×15\r(2))=eq\f(\r(2),2).∴∠OAB=45°。跟蹤訓(xùn)練2解∵a=(1,-1),b=(λ,1),∴|a|=eq\r(2),|b|=eq\r(1+λ2),a·b=λ-1.又∵a,b的夾角α為鈍角,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ-1<0,,\r(2)·\r(1+λ2)≠1-λ,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ〈1,,λ2+2λ+1≠0.))∴λ〈1且λ≠-1?!唳说娜≈捣秶?-∞,-1)∪(-1,1).例3(1)B(2)k=-eq\f(2,3)或eq\f(11,3)或eq\f(3±\r(

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