2017-2018版高中數(shù)學第二章推理與證明習題課綜合法和分析法學案2-2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE10學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE習題課綜合法和分析法明目標、知重點加深對綜合法、分析法的理解,應用兩種方法證明數(shù)學問題．1．綜合法綜合法是中學數(shù)學證明中最常用的方法，它是從已知到未知，從題設到結論的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷出發(fā)，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導出所要求證的命題．綜合法是一種由因導果的證明方法．綜合法的證明步驟用符號表示是：P0（已知）?P1?P2?…?Pn(結論）2．分析法分析法是指從需證的問題出發(fā)，分析出使這個問題成立的充分條件，使問題轉化為判定那些條件是否具備,其特點可以描述為“執(zhí)果索因”，即從未知看需知,逐步靠攏已知．分析法的書寫形式一般為“因為……,為了證明……，只需證明……，即……，因此，只需證明……，因為……成立,所以……，結論成立"．分析法的證明步驟用符號表示是：P0（已知）?…?Pn－2?Pn－1?Pn（結論）分析法屬邏輯方法范疇，它的嚴謹體現(xiàn)在分析過程步步可逆．題型一選擇恰當?shù)姆椒ㄗC明不等式例1設a，b,c為任意三角形三邊長，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca，試證：3S≤I2<4S.證明I2＝（a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝a2＋b2＋c2＋2S。欲證3S≤I2<4S，即證ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2<2ab＋2bc＋2ca.先證明ab＋bc＋ca≤a2＋b2＋c2,只需證2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋2ca，即(a－b)2＋(a－c）2＋(b－c）2≥0,顯然成立；再證明a2＋b2＋c2〈2ab＋2bc＋2ca,只需證a2－ab－ac＋b2－ab－bc＋c2－bc－ca〈0，即a（a－b－c）＋b(b－a－c)＋c（c－b－a)〈0，只需證a<b＋c，且b<c＋a，且c<b＋a，由于a、b、c為三角形的三邊長，上述三式顯然成立，故有3S≤I2<4S.反思與感悟本題要證明的結論要先進行轉化，可以使用分析法．對于連續(xù)不等式的證明，可以分段來證，使證明過程層次清晰．證明不等式所依賴的主要是不等式的基本性質和已知的重要不等式，其中常用的有如下幾個：(1）a2≥0（a∈R)．（2）（a－b）2≥0（a、b∈R)，其變形有a2＋b2≥2ab,（eq\f（a＋b,2))2≥ab，a2＋b2≥eq\f（a＋b2，2).(3)若a,b∈（0,＋∞），則eq\f（a＋b，2）≥eq\r(ab）,特別地eq\f(b,a)＋eq\f(a,b）≥2。(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca（a，b，c∈R）．跟蹤訓練1已知a，b是正數(shù),且a＋b＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥4.證明方法一∵a，b是正數(shù)且a＋b＝1，∴a＋b≥2eq\r（ab），∴eq\r（ab)≤eq\f(1,2），∴eq\f(1，a)＋eq\f（1，b）＝eq\f（a＋b，ab）＝eq\f（1,ab)≥4.方法二∵a，b是正數(shù)，∴a＋b≥2eq\r（ab)〉0，eq\f(1,a)＋eq\f（1,b)≥2eq\r(\f(1,ab)）〉0，∴(a＋b）(eq\f(1,a)＋eq\f（1，b))≥4.又a＋b＝1,∴eq\f（1，a)＋eq\f（1，b）≥4.方法三eq\f（1,a）＋eq\f（1，b)＝eq\f（a＋b，a)＋eq\f(a＋b，b)＝1＋eq\f(b，a)＋eq\f(a，b）＋1≥2＋2eq\r（\f(b,a）·\f（a，b）)＝4。當且僅當a＝b時，取“＝”號．題型二選擇恰當?shù)姆椒ㄗC明等式例2已知△ABC的三個內角A，B,C成等差數(shù)列,對應的三邊為a，b，c，求證：eq\f(1，a＋b）＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f（3,a＋b＋c).證明要證原式，只需證eq\f(a＋b＋c，a＋b)＋eq\f(a＋b＋c，b＋c）＝3，即證eq\f(c，a＋b）＋eq\f(a，b＋c)＝1，即只需證eq\f（bc＋c2＋a2＋ab,ab＋b2＋ac＋bc)＝1,而由題意知A＋C＝2B,∴B＝eq\f(π,3)，∴b2＝a2＋c2－ac，∴eq\f(bc＋c2＋a2＋ab，ab＋b2＋ac＋bc)＝eq\f(bc＋c2＋a2＋ab,ab＋a2＋c2－ac＋ac＋bc)＝eq\f(bc＋c2＋a2＋ab,ab＋a2＋c2＋bc）＝1,∴原等式成立,即eq\f(1，a＋b）＋eq\f(1，b＋c）＝eq\f(3，a＋b＋c)。反思與感悟綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結論入手易于尋找解題思路．在實際證明命題時,常把分析法與綜合法結合起來使用，稱為分析綜合法，其結構特點是:根據(jù)條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論Q;根據(jù)結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論P;若由P可推出Q，即可得證．跟蹤訓練2設實數(shù)a,b,c成等比數(shù)列，非零實數(shù)x，y分別為a與b，b與c的等差中項,試證:eq\f（a,x)＋eq\f（c，y)＝2.證明由已知條件得b2＝ac,①2x＝a＋b,2y＝b＋c.②要證eq\f(a，x)＋eq\f(c，y)＝2，只要證ay＋cx＝2xy，只要證2ay＋2cx＝4xy。由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c）＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c）＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc,所以2ay＋2cx＝4xy。命題得證．題型三立體幾何中位置關系的證明例3如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．（1）證明:CD⊥AE；(2）證明：PD⊥平面ABE.證明（1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，∴PA⊥CD?！逜C⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC,而AE?平面PAC，∴CD⊥AE。(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中點,∴AE⊥PC。由（1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD,∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又AB∩AE＝A，綜上得PD⊥平面ABE.反思與感悟綜合法證明線面之間的垂直關系是高考考查的重點，利用垂直的判定定理和性質定理可以進行線線、線面以及面面之間垂直關系的轉化．另外,利用一些常見的結論還常常可以將線面間的垂直與平行進行轉化．比如：兩條平行線中一條垂直于平面α，則另外一條也垂直于平面α；垂直于同一條直線的兩個平面相互平行等．跟蹤訓練3如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1.(1）求證：AF∥平面BDE；(2）求證：CF⊥平面BDE.證明（1）如圖，設AC與BD交于點G.因為EF∥AG，且EF＝1，AG＝eq\f（1，2）AC＝1，所以四邊形AGEF為平行四邊形．所以AF∥EG.因為EG?平面BDE，AF?平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)連接FG.因為EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四邊形CEFG為菱形．所以CF⊥EG。因為四邊形ABCD為正方形,所以BD⊥AC。又因為平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE。[呈重點、現(xiàn)規(guī)律]1．綜合法的特點是：從已知看可知,逐步推出未知．2．分析法的特點是：從未知看需知,逐步靠攏已知．3．分析法和綜合法各有優(yōu)缺點．分析法思考起來比較自然，容易尋找到